Exercicios Resolvidos_Probabilidade_Topico 05 e 06

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE PROBABILIDADE 
Profª. Flávia Ferreira Batista 
 
1 - Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 30%, 25% e 45% do total produzido 
respectivamente. Da produção de cada máquina 8%, 4% e 7%, são defeituosos, respectivamente. Retira-se um 
parafuso ao acaso e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade que tenha sido produzido por C? 
𝑷(𝑫𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑫) + 𝑷(𝑩 ∩ 𝑫) + 𝑷(𝑪 ∩ 𝑫) = 𝟎, 𝟑 ∗ 𝟎, 𝟎𝟖 + 𝟎, 𝟐𝟓 ∗ 𝟎, 𝟎𝟒 + 𝟎, 𝟒𝟓 ∗ 𝟎, 𝟎𝟕 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟓𝟓 
 
𝑷(𝑪 | 𝑫) = 
𝑷(𝑪 ∩ 𝑫)
𝑷(𝑫)
= 
𝟎, 𝟒𝟓 ∗ 𝟎, 𝟎𝟕
𝟎, 𝟎𝟔𝟓𝟓
= 𝟎, 𝟒𝟖𝟏 
 
2 - Toda a produção de uma determinada peça em uma indústria é feita apenas por duas máquinas: A e B. 
Sabe-se que a máquina A produz o dobro de peças do que a máquina B. As porcentagens de peças defeituosas 
produzidas por A e B são dadas, respectivamente, por 6% e 3%. Uma peça é selecionada ao acaso da produção 
conjunta das duas máquinas. Qual a probabilidade de ter sido produzida por A, sabendo-se que ela é defeituosa? 
 
𝑷(𝑫𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒖𝒐𝒔𝒐) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑫) + 𝑷(𝑩 ∩ 𝑫) =
𝟐
𝟑
∗ 𝟎, 𝟎𝟔 +
𝟏
𝟑
∗ 𝟎, 𝟎𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟓 
 
𝑷(𝑨 | 𝑫) = 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑫)
𝑷(𝑫)
= 
𝟐
𝟑
∗ 𝟎, 𝟎𝟔
𝟎, 𝟎𝟓
= 𝟎, 𝟖 
 
3 - O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de 
um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,1. Se uma loja acaba de vender 
10 aparelhos desse modelo para um cliente, qual a probabilidade desse 
cliente sair da loja com: 
𝑋: 𝑛º 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑙ℎ𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠 
 𝑋 ~𝐵𝑖𝑛(10; 0,10) 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 
𝑛
𝑥
 . 𝑝𝑥 . (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 
a) Exatamente dois aparelhos defeituosos? 
𝑃(𝑋 = 2) = 
10
2
 . 0,102. (0,90)8 = 0,1937 𝑂𝑈 19,37% 
 
b)Nenhum aparelho defeituoso? 
𝑃(𝑋 = 0) = 
10
0
 . 0,100. (0,90)10 = 0,3487 𝑂𝑈 34,87% 
 
c) Calcule a média de aparelhos defeituosos? 
𝐸(𝑋) = 𝑛 ∗ 𝑝 = 10 ∗ 0,1 = 1, 𝑒𝑚 𝑚é𝑑𝑖𝑎 1 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑙ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠𝑜 
 
4 - Uma fábrica de motores para máquinas de lavar roupas separa de sua linha de produção diária de 350 peças 
uma amostra de 30 itens para inspeção. O número de peças defeituosas é de 14 por dia. Qual a probabilidade 
de que a amostra contenha não mais que 3 motores defeituosos? 
X = nº de motores defeitos 
M = 14 N = 350 n = 30 𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝐶𝑥
14∗𝐶30−𝑥
336
𝐶30
350 
 
 
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) 
 = 
𝐶0
14∗ 𝐶30
336
𝐶30
350 +
𝐶1
14∗ 𝐶29
336
𝐶30
350 +
𝐶2
14∗ 𝐶28
336
𝐶30
350 +
𝐶3
14∗ 𝐶27
336
𝐶30
350 
 = 0,2781 + 0,3805 + 0,2389 + 0,0844 = 0,975 
 
Resposta: 44,22% 
Resposta: 97,5% 
Resposta: 0,481 
Resposta: 80% 
 
5 - As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa, independentemente, com 
segurança, depois de beber, são: 0,30, 0,35 e 0,40. Se decidirem guiar até em casa, após beberem numa festa, 
qual a probabilidade de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo? 
 
𝑷(𝒑𝒆𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝟏 𝒔𝒂𝒍𝒗𝒐) = 𝑷(𝟏 𝒐𝒖 + 𝒔𝒂𝒍𝒗𝒐) = 𝟏 − 𝑷(𝒏𝒆𝒏𝒉𝒖𝒎 𝒔𝒂𝒍𝒗𝒐) 
 
 
 = 𝟏 − (𝟎, 𝟕 ∗ 𝟎, 𝟔𝟓 ∗ 𝟎, 𝟒) = 𝟎, 𝟖𝟏𝟖 
 
 
 
 
 
 
6 – Estuda-se a relação da pressão arterial elevada e três distúrbios nutricionais, chamados de A, B e C. Uma 
amostra de 100 pessoas com os referidos distúrbios forneceu os seguintes resultados: 
 
Pressão arterial Distúrbio Total 
A B C 
Normal 8 10 2 20 
Elevada 15 45 20 80 
Total 23 55 22 100 
 
Qual a probabilidade de uma pessoa ter distúrbio B ou não ter a pressão elevada? 
 
𝑷(𝑩 ∪ �̅�)= 𝑷(𝑩) + 𝑷(�̅�) − 𝑷(𝑩 ∩ �̅�) = 
𝟓𝟓
𝟏𝟎𝟎
+ 
𝟐𝟎
𝟏𝟎𝟎
− 
𝟏𝟎
𝟏𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟔𝟓 
 
 
 
 
7 - Em uma certa comunidade, 38% das famílias possuem um cachorro e, 15% são donas de um gato e um 
cachorro. Sabe-se, também, que 30% das famílias possuem um gato. Qual a probabilidade de que uma família 
escolhida aleatoriamente não tenha animal de estimação? 
 
 
 
 
 𝑃(�̅� ∩ �̅�) = 𝟏 − 𝑷(𝑪 ∪ 𝑮) = 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝟑 = 𝟎, 𝟒𝟕 
 
 
 
 
 
8 - Em um concurso público serão chamados para contratação imediata 25% dos candidatos com as maiores 
notas. As notas obtidas seguem uma distribuição normal com média 5,5 e desvio padrão 2,4. Qual a nota 
mínima para que o candidato seja chamado para contratação imediata? 
 
X – Salário dos funcionários 
X~N(5,5; 2,4²) 𝑒 𝑍 =
𝑋 − 5,5
2,4
 
𝑃(𝑋 > 𝑘) = 0,25 então 𝑃 𝑍 >
𝑘−5,5
2,4
 = 0,25 
𝑃(0 < 𝑍 < 𝑧) = 0,25 → 𝑃(0 < 𝑍 < 0,67) = 0,25 
Z = 0,67 
0,67 =
𝑘 − 5,5
2,4
→ 𝑘 = 7,1 
 
Resposta: 65% 
Resposta: 7,1 
Resposta: 47% 
Resposta: 81,8% 
23% 15% 15% 
Cachorro Gato 
47% 
9 - Uma empresa tem 2 alarmes que funcionam de forma independente. Qual a probabilidade de que um 
problema seja detectado por apenas um deles? A probabilidade do alarme funcionar quando o sensor detecta 
uma invasão é de 95% no alarme A e 90% no alarme B. 
 
 
 
 
𝑃(𝒂𝒑𝒆𝒏𝒂𝒔 𝑨) + 𝑷(𝒂𝒑𝒆𝒏𝒂𝒔 𝑩) = 𝟗, 𝟓% + 𝟒, 𝟓% = 𝟏𝟒% 
 
 
 
 
 
10 - Um time de futebol joga 5 partidas. Assumindo que a probabilidade de vitória em cada jogo é de 40%, 
qual é a probabilidade de que o time vença menos da metade das partidas jogadas? 
 
𝐗 = 𝐧º 𝐝𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐭𝐢𝐝𝐚𝐬 𝐠𝐚𝐧𝐡𝐚𝐬 𝐗~𝐁(𝟓, 𝟎, 𝟒) 
 
𝒎é𝒕𝒂𝒅𝒆 é 𝟐, 𝟓, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒂 𝒎𝒆𝒕𝒂𝒅𝒆 é 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝟐. 
 
𝑷(𝑿 < 𝟐, 𝟓) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝟐) = [𝑷(𝑿 = 𝟎) + 𝑷(𝑿 = 𝟏) + 𝑷(𝑿 = 𝟐)] 
 = [𝑪𝟎
𝟓 ∗ 𝟎, 𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟔𝟓 + 𝑪𝟏
𝟓 ∗ 𝟎, 𝟒𝟏 ∗ 𝟎, 𝟔𝟒+𝑪𝟐
𝟓 ∗ 𝟎, 𝟒𝟐 ∗ 𝟎, 𝟔𝟑] 
 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟔 + 𝟎, 𝟐𝟓𝟗𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟒𝟓𝟔 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟐𝟔 
 
11 - Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou um prato à base de 
carne. Considere que 30% dos fregueses do sexo masculino preferem a salada, 40% das mulheres escolhem 
carne, 65% dos fregueses são homens e os seguintes eventos: 
H: freguês é homem A: freguês prefere salada 
M: freguês é mulher B: freguês prefere carne. 
 
Para um freguês sorteado ao acaso desse restaurante, calcule P(M|A). 
 
𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑯 ∩ 𝑨) + 𝑷(𝑴 ∩ 𝑨) = 𝟎, 𝟑𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔 + 𝟎, 𝟔𝟓 ∗ 𝟎, 𝟑 = 𝟎, 𝟒𝟎𝟓 
 
 
𝑷(𝑴 | 𝑨) = 
𝑷(𝑴 ∩ 𝑨)
𝑷(𝑨)
= 
𝟎, 𝟑𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔
𝟎, 𝟒𝟎𝟓
= 𝟎, 𝟓𝟏𝟖𝟓 
 
12 - Suponha que 5% da população portuguesa sofre de hipertensão e que de entre estes, 75% ingerem bebidas 
alcoólicas. De entre os que não são hipertensos 50% ingerem bebidas alcoólicas. Qual a percentagem de 
pessoas que não bebem álcool e não são hipertensos? 
 Ingere B. alcoólica Não ingere Total 
Hipertenso 0,75*0,05 = 0,0375 0,25*0,05= 0,0125 0,05 
Não hipertenso 0,5*0,95 = 0,475 0,5*0,95 = 0,475 0,95 
 0,5125 0,4875 1,00 
 
𝑷(𝑵ã𝒐 𝒉𝒊𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒔𝒐 ∩ 𝑵ã𝒐 𝒊𝒏𝒈𝒆𝒓𝒆) = 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟗𝟓 = 𝟎, 𝟒𝟕𝟓 
 
13 - As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até em casa, independentemente, com 
segurança, depois de beber, são: 0,30, 0,35 e 0,40. Se decidirem guiar até em casa, após beberem numa festa, 
qual a probabilidade de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo? 
 
𝑷(𝒑𝒆𝒍𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝟏 𝒔𝒂𝒍𝒗𝒐) = 𝑷(𝟏 𝒐𝒖 + 𝒔𝒂𝒍𝒗𝒐) = 𝟏 − 𝑷(𝒏𝒆𝒏𝒉𝒖𝒎 𝒔𝒂𝒍𝒗𝒐) 
 
 
 = 𝟏 − (𝟎, 𝟕 ∗ 𝟎, 𝟔𝟓 ∗ 𝟎, 𝟔) = 𝟎, 𝟕𝟐𝟕 
Resposta: 14% 
Resposta: 68,26% 
9,5% 85,5% 4,5% 
Alarme A Alarme B 
0,5%
%% 
Resposta: 47,5% 
Resposta: 51,85% 
Resposta: 72,7%14 - Numa propriedade agrícola, sabe-se que 60%, 75% e 50% das árvores são de folha caduca, de fruto e de 
fruto com folha caduca, respectivamente. Calcule a probabilidade de uma árvore da propriedade, escolhida ao 
acaso ser árvore de fruto, sabendo que tem folha caduca. 
 
 
 
𝑷(𝒇𝒓𝒖𝒕𝒐 |𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒖𝒄𝒂) =
𝑷(𝑭𝒓𝒖𝒕𝒐 ∩ 𝑭𝒐𝒍𝒉𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒖𝒄𝒂)
𝑷(𝒇𝒐𝒍𝒉𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒖𝒄𝒂)
 
 = 
𝟓𝟎
𝟔𝟎
= 𝟎, 𝟖𝟑𝟑 
 
 
 
 
15 - Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, duas 
defeituosas. Se a caixa contém 40 peças, e a experiência tem mostrado que esse processo de fabricação produz 
10% de peças defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa não satisfaça a garantia? 
 
𝐗 = 𝐧º 𝐝𝐞 𝐩𝐞ç𝐚𝐬 𝐝𝐞𝐟𝐞𝐢𝐭𝐮𝐨𝐬𝐚𝐬 𝐗~𝐁𝐢𝐧(𝟒𝟎, 𝟎, 𝟏) 
 
𝑮𝒂𝒓𝒂𝒏𝒕𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒂𝒕é 𝟐 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂𝒔 
𝑷(𝒏ã𝒐 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒛𝒆𝒓 𝒈𝒂𝒓𝒂𝒏𝒕𝒊𝒂) = 𝑷(𝑿 > 𝟐) 
𝑷(𝑿 > 𝟐) = 𝟏 − 𝑷(𝑿 ≤ 𝟐) = 𝟏 − [𝑷(𝑿 = 𝟎) + 𝑷(𝑿 = 𝟏) + 𝑷(𝑿 = 𝟐)] 
= 𝟏 − [𝑪𝟎
𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏𝟎 ∗ 𝟎, 𝟗𝟒𝟎 + 𝑪𝟏
𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏𝟏 ∗ 𝟎, 𝟗𝟑𝟗 + 𝑪𝟐
𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟏𝟐 ∗ 𝟎, 𝟗𝟑𝟖 
 = 𝟏 − (𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝟖 + 𝟎, 𝟎𝟔𝟓𝟕 + 𝟎, 𝟏𝟒𝟐𝟑) = 𝟎, 𝟕𝟕𝟕 
 
16 - Os salários dos funcionários de um hotel fazenda têm distribuição normal em torno da média de R$ 
1500,00, com desvio padrão de R$ 200,00. Qual a probabilidade de um funcionário ganhar acima R$ 1500,00? 
X – salário dos funcionários 
𝐗~𝐍(𝟏𝟓𝟎𝟎, 𝟐𝟎𝟎𝟐) 𝒆 𝒁 =
𝒙 − 𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎
 
𝑷(𝑿 > 𝟏𝟓𝟎𝟎) = 𝑷 𝒁 >
𝟏𝟓𝟎𝟎−𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟎
 = 𝑷(𝒁 > 𝟎) = 𝟎, 𝟓 
Probabilidade de ser maior que a média é 50%. 
 
17 – Um time de futebol joga 5 partidas. Assumindo que a probabilidade de vitória em cada jogo é de 40%, 
qual é a probabilidade de que o time vença menos da metade das partidas jogadas? 
 
𝐗 = 𝐧º 𝐝𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐭𝐢𝐝𝐚𝐬 𝐠𝐚𝐧𝐡𝐚𝐬 𝐗~𝐁𝐢𝐧(𝟓, 𝟎, 𝟒) 
 
𝒎é𝒕𝒂𝒅𝒆 é 𝟐, 𝟓, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒂 𝒎𝒆𝒕𝒂𝒅𝒆 é 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝟐. 
𝑷(𝑿 < 𝟐, 𝟓) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝟐) = [𝑷(𝑿 = 𝟎) + 𝑷(𝑿 = 𝟏) + 𝑷(𝑿 = 𝟐)] 
 = [𝑪𝟎
𝟓 ∗ 𝟎, 𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟔𝟓 + 𝑪𝟏
𝟓 ∗ 𝟎, 𝟒𝟏 ∗ 𝟎, 𝟔𝟒+𝑪𝟐
𝟓 ∗ 𝟎, 𝟒𝟐 ∗ 𝟎, 𝟔𝟑] 
 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟔 + 𝟎, 𝟐𝟓𝟗𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟒𝟓𝟔 = 𝟎, 𝟔𝟖𝟐𝟔 
 
 
Resposta: 83,3% 
Resposta: 77,7% 
10% 50% 25% 
Folha caduca Fruto 
15% 
Resposta: 50% 
Resposta: 68,26% 
18 - Uma empresa observa que na fabricação de determinado tipo de vela há pequena variação nas dimensões 
e no peso entre elas. O diâmetro médio das velas segue distribuição normal com média de 4,45 cm e desvio 
padrão de 0,35 cm. Para saber em quais candelabros as velas poderão ser colocadas, é interessante conhecer a 
probabilidade de as velas terem diâmetros menor que 4,75 cm? 
 
X – Diâmetro das velas (cm) 
X~N(4,45; 0,35²) 𝑒 𝑍 =
𝑋 − 4,45
0,35
 
𝑃(𝑋 < 4,75) = 𝑃 (𝑍 <
4,75 − 4,45
0,35
) = 𝑃(𝑍 < 0,86) = 0,5 + 𝑃(0 < 𝑍 < 0,86) = 0,5 + 0,3051 = 0,8051 
 
19 - Júlio está à procura de um apartamento para compra. As qualidades que ele mais aprecia em um 
apartamento são: que esteja localizado em um andar alto, que seja silencioso e que receba o sol da manhã. Ao 
longo de um fim de semana, um corretor de imóveis mostrou a Júlio 20 apartamentos, sendo que: 
 10 deles recebem o sol da manhã e, quanto aos outros dois itens, se distribuem assim: 
 
 10 deles recebem o sol da tarde e, quanto aos outros dois itens, se distribuem assim: 
 
Todos esses 20 imóveis estavam sendo oferecidos por preços um pouco acima do que Júlio podia pagar. Mas, 
na 2ª feira seguinte o corretor ligou para Júlio com uma boa notícia: o proprietário de um desses 20 
apartamentos tinha acabado de reduzir expressivamente o preço de venda do seu imóvel, por estar com muita 
urgência de fechar o negócio. Qual a probabilidade do referido imóvel receba o sol da manhã, dado que é 
silencioso? 
 
𝑷(𝒔𝒐𝒍 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒏𝒉ã | 𝒔𝒊𝒍𝒆𝒏𝒄𝒊𝒐𝒔𝒐) = 
𝑷(𝒔𝒐𝒍 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒏𝒉ã 𝒆 𝒔𝒊𝒍𝒆𝒏𝒄𝒊𝒐𝒔𝒐)
𝑷(𝒔𝒊𝒍𝒆𝒏𝒄𝒊𝒐𝒔𝒐)
 
 = 
𝟓
𝟏𝟏
= 𝟎, 𝟒𝟓𝟒𝟓 
20 - Em uma certa população, a probabilidade de um menino ser daltônico é 0,08. Num grupo de 4 meninos 
vindos dessa população, qual é a probabilidade de 2 serem daltônicos? 
 
𝑿 = 𝒏º 𝒅𝒆 𝒎𝒆𝒏𝒊𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒂𝒍𝒕𝒐𝒏𝒊𝒔𝒎𝒐𝒔 𝒏𝒂 𝒂𝒎𝒐𝒔𝒕𝒓𝒂 
𝑿~𝑩𝒊𝒏(𝟒; 𝟎𝟎𝟖) 
 𝑷(𝑿 = 𝟐) = 
𝟒
𝟐
 . 𝟎, 𝟎𝟖𝟐. (𝟎, 𝟗𝟐)𝟐 = 𝟔 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟒 ∗ 𝟎, 𝟖𝟒𝟔𝟒 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟐𝟓 𝒐𝒖 𝟑, 𝟐𝟓% 
 
Resposta: 80,51% 
Resposta: 45,45%