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3ºAula
Equilíbrio de Forças e Momentos
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• entender quais são as condições de equilíbrio de uma partícula;
• conhecer o diagrama de corpo livre;
• compreender as equações de equilíbrio;
• determinar resultante de forças;
• determinar resultante de momentos. 
Caros(as) alunos(as),
Nesta terceira aula, estudaremos sobre as condições 
de equilíbrio de uma partícula, bem como o passos para a 
construção do diagrama de corpo livre, método este que serve 
de base para determinação de forças e momentos atuantes em 
um elemento. 
Bons estudos!
20Mecânica dos Sólidos
Seções de estudo
1- Condição de equilíbrio de uma partícula
2- Diagrama de corpo livre
3- Equações de equilíbrio
4- Resultante de Forças e resultante de Momentos
1- Condição de equilíbrio de uma 
partícula
Assim como aprendemos na aula passada sobre estrutura 
e seu comportamento, nas obras civis, elas devem ser estáveis, 
apesar de um emaranhado de forças aos quais estas estão 
sendo submetidas. Logo, um edifício deve permanecer estável, 
mesmo na presença de forças como a força gravitacional e a 
força do vento, como exemplo, da mesma forma uma ponte 
deve permanecer estável, mesmo que esteja exposta a mesma 
força gravitacional do edifício e dos impactos dos movimentos 
repetitivos de solavancos que recebe de carros e caminhões 
(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2012). 
Diante disto, um dos objetivos da mecânica é conhecer e 
determinar o que faz com que um objeto, como os expostos 
nos exemplos acima, permaneça estável diante destas forças. 
Nesta aula, examinaremos uns dos aspectos principais de 
estabilidade que é o “equilíbrio das forças” que agem sobre 
os objetos rígidos. 
Ainda para Halliday, Resnick e Walker (2012), podemos 
exemplifi car as condições de equilíbrio, ao considerarmos os 
seguintes objetos: (1) um livro sobre a mesa, (2) um disco de 
metal que desliza com velocidade constante em uma superfície 
sem atrito, (3) as pás de um ventilador de teto girando e (4) 
uma roda de bicicleta que se move EM uma estrada retilínea 
com velocidade constante. Se considerarmos para cada um 
destes objetos os seguintes critérios de condições de equilíbrio, 
teremos: 
1. O momento linear de centro de massa será dado 
como constante;
2. O momento angular em relação ao centro de 
massa, ou em relação a qualquer outro ponto, 
também será dado como constante.
Se estes objetos atendem estes critérios, podemos dizer 
que os mesmos estão em equilíbrio. Logo, podemos concluir 
que os requisitos para que um corpo esteja em condição de 
equilíbrio são:
 
Vale ressaltar que nesta aula consideremos situações onde 
as constantes da equação P e L são nulas, ou seja, vamos tratar 
de situações onde os objetos não se movam em movimentos 
de translação ou rotação, quando isto acontece dizemos que 
estes objetos estão em “equilíbrio estático”. 
Figura 3.1. Exemplo de uma pedra em condição de 
equilíbrio.
Fonte: https://sulagora.com.br/colunistas/maciel-brognoli/a-misteriosa-pedra-
do-equilibrio-119. Acesso em: 16.09.2020.
2- Diagrama de corpo livre
Para uma equação de equilíbrio ser aplicada deve-se 
considerar todas as forças conhecidas e desconhecidas, ou 
seja, o somatório das forças . Para isto, Hibbeler (2011), 
em seu estudo, explica que a melhor maneira para esta 
condição é pensar nesta partícula de forma isolada e ‘livre’ de 
seu redor. 
Diante do exposto, o diagrama de corpo livre é 
considerado um esboço da forma de um corpo, representado 
isolado ou como o próprio nome do diagrama ‘livre’ de 
elementos vizinhos. Para a elaboração deste esboço é 
necessário apresentar todas as forças e momentos que as 
vizinhanças exercem sobre o corpo para que esses efeitos sejam 
levados em consideração quando as equações de equilíbrio 
forem aplicadas. À vista disto, para estudos de equilíbrio, 
o profi ssional de engenharia deve saber como desenhar 
um diagrama de corpo livre, sendo parte fundamental para 
resolução de problemas que envolvem em suas resoluções o 
conceito da mecânica. 
2.1 Reações de apoio
Para a construção de um diagrama de corpo livre, nós 
já vimos que devemos considerar os vários tipos de reações 
que ocorrem no corpo, deste modo, em relação aos apoios 
aos corpos submetidos a sistemas de forças coplanares, como 
regra geral, temos a seguinte condição: “Se um apoio impede 
o movimento de translação de um corpo em dada direção, 
então uma força é desenvolvida sobre o corpo naquela direção. 
Da mesma forma, se a rotação é impedida, um momento é 
aplicado sobre o corpo” (HIBBELER, 2011).
As fi guras 3.2 e 3.3 apresentam vários tipos de reações 
que ocorrem em apoios e pontos de contato entre corpos 
sujeitos a forças coplanares. 
Figura 3.2 – Tipos de apoio, reação e número de incógnitas.
Fonte: Hibbeler, 2011.
Figura 3.3 – Continuação dos tipos de apoio, reação e número de incógnitas.
Fonte: Hibbeler, 2011.
22Mecânica dos Sólidos
Para exemplifi car, utilizaremos a seguinte situação 
apresentada por Hibbeler em seu estudo, podemos considerar 
3 (três) maneiras na qual um corpo em sentido horizontal, 
como uma viga, tem um apoio em sua extremidade. 
Situação 1: O rolete impede que a viga translade na 
vertical. Logo, o rolete só exercerá uma força sobre a viga 
nessa direção. 
Fonte: Baldini Neto, 2015.
Situação 2: O pino impedirá que a viga translade em 
qualquer direção, sendo assim uma forma mais restritiva de 
apoio. Logo, o pino exerce uma força (F) sobre a viga nessa 
direção formando um ângulo φ. 
Fonte: Baldini Neto, 2015.
Em termos de análise, em geral, é mais fácil representar 
esta força atuante F por suas componentes, sendo representada 
em duas componentes retangulares e . 
Fonte: Baldini Neto, 2015.
Situação 3: Restrição total do movimento de translação 
e rotação através de um apoio fi xo. Por isso, há o surgimento 
de uma força e de um momento de binário no ponto de 
conexão. 
Fonte: Adaptado, Baldini Neto, 2015.
2.2 Procedimento para construir 
um diagrama de corpo livre
De acordo com Hibbeler (2011), para construir um 
diagrama de corpo livre siga os seguintes passos:
1. Desenhe a forma do contorno: Idealize um 
corpo a ser isolado ou mantido “livre” de qualquer 
vizinhança (vínculos e conexões), após desenhe 
(esboce) o formato do seu contorno. 
2. Expresse todas as Forças e Momentos: 
Identifi que todas as forças e momentos externos 
que atuam no corpo, advindos de cargas aplicadas 
e reações que ocorrem nos apoios ou em pontos de 
contato entre outros corpos, bem como o peso do 
corpo em análise.
3. Apontar cada carregamento e forneça as 
dimensões: Identifi car as forças e os momentos 
conhecidos, com suas respectivas intensidades, 
direções e sentidos. Para representar a intensidade 
utilize letras e para representar a direção utilize 
ângulos, também estabeleça um sistema de 
coordenadas x,y, de modo que as incógnitas , 
etc. possam ser identifi cadas. Indique quais são as 
dimensões do corpo necessárias para o cálculo dos 
momentos de forças. 
Vejamos o seguinte exemplo adaptado de Baldini Neto 
(2015): 
Suponhamos que devemos desenhar o diagrama de 
corpo livre da estrutura abaixo e a viga tem massa de 100 kg.
Fonte: Adaptado, Baldini Neto, 2015.
Solução: 
Como temos um apoio fi xo (parede) em A, podemos 
elencar três reações atuantes na viga em A, defi nidas pelas 
incógnitas , e . Temos também o peso da viga 
sendo representada a sua força peso W = 100. (9.81)= 981 
N, atuando assim no centro de gravidade G da viga, que está 
a 3 m de A. Logo, temos como diagrama de corpo livre a 
seguinte representação;
Fonte: Adaptado, Baldini Neto, 2015.
23
3- Equações de equilíbrio
3.1 Condição de equilíbrio para 
movimento de translação e movimento 
de rotação
Dos princípios fundamentais, nós já estudamos que o 
movimento de translação de um corpo é descrito pela segunda 
lei de Newton dado pela equação:
Onde,se for constante, temos que o que 
resulta em , sendo assim a condição de equilíbrio 
para o movimento de translação. 
O movimento de rotação de um corpo também pode 
ser descrito pela segunda Lei de Newton, sendo expressa 
matematicamente como: 
Se o corpo está em equilíbrio para rotações, temos que 
 é constante, logo, e , que signifi ca o 
equilíbrio dos torques. 
Deste modo, para Halliday, Resnick e Walker (2012), 
através dos conceitos da condição de equilíbrio, podemos 
concluir que os requisitos para que um corpo esteja em 
equilíbrio estático para cada eixo do sistema de coordenadas 
(x, y e z) são os seguintes: 
1. A soma vetorial das forças externas que agem sobre 
o corpo deve ser nula.
2. A soma vetorial dos torques externos que agem 
sobre o corpo, medidos em relação a qualquer 
ponto, deve ser nula. 
3. O momento linear do corpo deve ser nulo. 
4- Resultante de Forças e resultante 
de Momentos
Nós já sabemos que para uma condição de equilíbrio a 
resultante do sistema de forças deverá ser nula, bem como 
a resultante dos momentos atuantes em relação a um ponto 
qualquer do plano será nula. Diante deste cenário, podemos 
adotar um procedimento para análise das equações de 
equilíbrio. Conforme na sequência (HIBBELER, 2011):
Aplique a equação de equilíbrio dos momentos 
=0, em relação a um ponto de origem (O), localizado na 
intersecção das linhas de ação de duas forças desconhecidas. 
Conclui-se neste caso que, os momentos dessas forças 
desconhecidas são zero em relação a O, o que permite a 
determinação de uma terceira incógnita por solução direta.
1. Ao aplicar as equações de equilíbrio para as forças, 
= 0 e = 0, oriente os eixos x,y ao longo das 
linhas para que forneçam a resolução mais simplista 
destas forças em termos de suas componentes 
retangulares x,y.
2. Se a solução da equação de equilíbrio produzir um 
escalar negativo para a intensidade da força ou do 
momento, será um indicativo de que o sentido da 
força ou do momento é oposto ao que foi adotado 
no diagrama de corpo livre.
Para exemplifi car o método proposto acima, adotaremos 
o seguinte problema 02 onde há a necessidade de se determinar 
as componentes horizontal e vertical para uma viga carregada, 
como mostra a Figura 3.4. Neste exemplo, iremos desprezar 
o peso da viga para a determinação dos cálculos. 
Figura 3.4 (a) – Exemplo de problema de aplicação das 
equações de equilíbrio. 
Fonte: Adaptado, BALDINI NETO, 2015.
Solução do problema 02. 
Comece pela elaboração do diagrama de corpo livre, 
conforme o diagrama representado na Figura 3.4 (b) para este 
problema.
Figura 3.4 (b) – Diagrama de corpo livre para o problema 
02.
Fonte: Adaptado, BALDINI NETO, 2015.
A princípio, no diagrama de corpo livre, identifi que 
cada uma das forças mostradas no diagrama, por exemplo, 
a força de 600 N é representada pelos seus componentes x,y 
formando um ângulo de 45º, como mostra a fi gura. Observe 
também que há uma força atuante de 200 N sobre a viga no 
ponto de apoio B e é independente das componentes deste 
ponto e da força que representam o efeito do pino na 
viga. Analisando este cenário, podemos montar as equações 
de equilíbrio, primeiramente somando-se as forças na direção 
x, obtemos:
24Mecânica dos Sólidos
 = 0 ; 600 cos45°N - = 0
 = 424 N (Resposta)
No ponto A para a componente podemos aplicar 
a equação dos momentos, sendo = 0 em relação ao 
ponto B. Para fi ns deste cálculo, considere que as forças de 
200 N, ou seja, e , criam um momento nulo em relação 
ao ponto B. Supondo também que a rotação anti-horária em 
relação a B seja positiva, temos: 
= 0; 100 N(2m) + (600 sen45°N)(5m)
 = 319 N (Resposta)
Com o resultado de e somando-se as forças na 
direção y, obtemos:
= 0; 319 N – 600 sem 45°N – 100N – 200N+ 
= 0
 = 405 N (Resposta)
Podemos validar este resultado com a soma dos 
momentos em relação ao ponto A e assim temos:
 = 0; - (600 sem 45°N)(2m) – (600 cos 45°N)
(0,2m)
= 405 N (Resposta)
Ao fi nal desta terceira aula, vamos recordar sobre o 
que aprendemos até aqui.
Retomando a aula
1- Condição de equilíbrio de uma partícula
Na seção 1, vimos que para que um corpo rígido 
permaneça sob condição de equilíbrio é necessário que a sua 
resultante de força, bem como a resultante dos momentos 
seja nula, onde força resultante encontra-se no mesmo plano 
das forças que a geram e os momentos são perpendiculares ao 
plano onde as forças atuam.
2- Diagrama de corpo livre
Na seção 2, estudamos que no diagrama de corpo livre 
todas as forças externas e momentos que atuam no corpo 
devem ser desenhados, somente assim, as equações de 
equilíbrio devem ser aplicadas. 
3- Equações de equilíbrio
Na seção 3, aprendemos que no plano, quando um 
corpo está sujeito a um sistema de forças e torques, temos que 
as forças com suas componentes nos eixos x,y, bem como o 
momento em (O) são = 0.
4- Resultante de Forças e Resultante de Momentos
Por fim, na última seção, fizemos o fechamento do 
estudo de que um corpo esteja em condição de equilíbrio, 
em que pudemos seguir 2 passos para determinar a resultante 
de força e a resultante de momento, através da aplicação das 
equações de equilíbrio.
Equilíbrio de um ponto material: Diagrama de 
Corpo Livre. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=m7Hpmh4oUhA. Acesso em: 11.10.2020.
Vale a pena assistir
BEER, Ferdinand P.; JHONSTON JUNIOR, E. 
Russell. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: McGraw-
Hill, 1995.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, 
Jearl. Fundamentos de Física: gravitação, ondas e termodinâmica. 
9. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2012.
HIBBELER, Russell Charles. Estática: mecânica para a 
engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2011. 265 p.
Vale a pena ler
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