aula8 (1)

Prévia do material em texto

8ºAula
Princípios da Mecânica dos Sólidos
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• compreender o conceito e os princípios fundamentais de cargas atuantes em uma estrutura;
• diferenciar as propriedades mecânicas mecânicas dos materiais dúcteis e frágeis;
• conhecer o que é flambagem e saber determinar o seu índice de Esbeltz e tensão crítica, através das variações das 
fórmula de Euler.
Olá, caros(as) alunos(as), chegamos em nossa última aula. 
Espero que, em sua jornada até aqui nesta disciplina, possam 
ter agregado conhecimentos que os ajudem em sua vida 
profissional, e que tenham crescido enquanto engenheiros de 
produção. Nesta aula, iremos abordar os conceitos adicionais 
relacionados a mecânica dos sólidos e rígidos, e dos sólidos 
deformáveis, como análise de cargas atuantes em um estrutura, 
princípio da superposição e processo de flambagem com 
tensão crítica, o que proporcionará à vocês conhecimentos 
fundamentais no planejamento e execução de diversos projetos 
que envolvem estes conceitos. 
Bons estudos!
50Mecânica dos Sólidos
Seções de estudo
1– Princípios da Mecânica dos Sólidos Rígidos
2– Princípios da Mecânica dos Sólidos Deformáveis 
1- Princípios da Mecânica dos Sólidos 
Rígidos
1.1 Cargas atuantes em uma 
estrutura
Nas aulas passadas, estudamos somente a ação de 
cargas concentradas atuante em um determinado ponto, 
não se preocupando com a ação das cargas distribuídas, e 
na engenharia, quando se trabalha com uma peça de uma 
estrutura, devemos ter em mente a sua fi nalidade, portanto, 
devemos avaliar a quantidade de carga que ela deve ser capaz 
de suportar.
Denomina-se o conjunto destas cargas como Cargas 
Externas Ativas, desta forma, o vínculo destas cargas torna 
a peça em equilíbrio estático. Lembre-se que, em termos 
de estática, nos referimos a restrição das possibilidades 
de movimento desta peça estrutural nos eixos verticais e 
horizontais, deste modo, com a necessidade de desenvolver 
vínculos estruturais, surgem como ação, reações na direção 
deste movimento restringido, tais reações podemos chamar 
de Cargas Externas Reativas. 
De acordo com Leggerini, (2007), quanto a distribuição 
destas externas ativas podemos classifi cá-las como:
• Cargas concentradas: atuação limitada a um 
determinado ponto ou região com área desprezível, 
neste caso é considerada concentrada no centro de 
gravidade da área de atuação das ações na estrutura. 
• Cargas momento ou conjugados – surgimento de 
momentos aplicados em determinados pontos de 
uma estrutura (fi xos). Podem se originar de um par 
de forças, ou eixos de transmissão.
• Cargas distribuídas - São aquelas que atuam em uma 
área com dimensões na mesma ordem de grandeza 
da estrutura, estas cargas podem ser permanentes 
com atuação em toda ou quase toda a vida útil do 
elemento estrutural, ou apresentarem de forma 
acidenta ou de sobrecarga. 
Figura 8.1 – Exemplo de carga distribuída, representação 
do peso de uma laje em uma viga. 
Fonte: Melconian, 2007.
1.2 Princípio da Superposição
O princípio da superposição é constantemente utilizado 
no que tange aos métodos para determinar a tensão ou o 
deslocamento em um ponto de um elemento quando este 
estiver sujeito a um carregamento complicado.
Para esta determinação podemos subdividir o 
carregamento em componentes, então, o princípio da 
superposição considera que a tensão ou o deslocamento 
resultante no ponto pode ser determinado a partir da 
análise das componentes da carga que atua separadamente 
sobre o elemento. Mediante ao exposto, a tensão ou 
deslocamento resultante é determinado pela soma algébrica 
das contribuições causadas por cada uma das componentes 
das cargas (HIBBELER, 2010).
A aplicação do princípio da superposição deve se 
atentar a duas condições; a primeira é que a carga deve estar 
relacionada linearmente com a tensão ou o deslocamento a ser 
determinado; a segunda remete que a carga não deve provocar 
mudanças signifi cativas na geometria ou confi guração original 
do elemento, visto que se ocorrerem mudanças signifi cativas 
no elemento ocorrerão mudanças na direção e a localização 
das forças aplicadas, bem como em seus momentos mudarão 
e, por consequência, a aplicação das equações de equilíbrio 
darão resultados diferentes, o que poderá levar a erros em 
cálculos estruturais (HIBBELER, 2010).
Portanto, se você consegue calcular o deslocamento 
no meio de um vão, por exemplo, devido a ação 1 que 
atua isoladamente, e também sabe calcular o deslocamento 
no mesmo ponto, devido a ação 2 atuante isoladamente, 
o deslocamento no meio do vão causado pelas duas ações 
atuando ao mesmo tempo será igual ao somatório dos 
deslocamentos, conforme o apresentado na Figura 8.2.
Figura 8.2 – Representação gráfi ca do Princípio da 
Superposição.
Fonte: http://www.angelfi re.com/planet/marvinsc/cme/node11.html.
 Acesso em: 06/10/2020.
Então, por mais que seja complexa as combinações 
de carregamento, a aplicação do princípio da superposição 
dos efeitos facilita os cálculos da engenharia, através da 
divisão destes carregamentos combinados, podendo assim, 
determinar qualquer efeito global. 
Exemplo1. Admita uma viga cuja a ações das cargas 
distribuídas, conforme a fi gura abaixo: 
Figura 8.3 – Exemplo para fi ns de cálculo, utilizando o 
princípio da superposição.
Fonte: Melconian, 2007.
51
Para a solução deste exercício, vamos dividir o trapézio 
em um triângulo e um retângulo, obtendo desta força as 
cargas concentradas a seguir.
Figura 8.4 – Método da Secção para cálculos de equilíbrio. 
Fonte: Melconian, 2007.
Assim temos, considerando o sentido positivo das ações 
e aplicando as equações de equilíbrio,
Para a determinação dos momentos,
Para a determinação das forças,
2- Princípios da Mecânica dos Sólidos 
Deformáveis 
2.1 Propriedades Mecânicas dos 
Materiais – Materiais Dúcteis e Frágeis
Os materiais, conforme as suas características, são 
classifi cados como dúcteis ou frágeis, a classifi cação do 
material quando é dúctil vem através da exposição deste 
material ao ensaio de tração, quando o mesmo apresenta 
deformação plástica, precedida por uma deformação elástica, 
para enfi m atingir o rompimento. Exemplo de materiais 
que possuem propriedades de ductilidade: aço, cobre, latão, 
alumínio, bronze, níquel, etc. 
Figura 8.5 - Exemplo de Diagrama de Tensão-
deformação do aço segundo a ABNT 1020.
Fonte: Melconian, 2007.
Ao analisarmos o diagrama, temos:
Ponto 0 – Início de ensaio com a carga nula;
Ponto A – Limite de proporcionalidade;
Ponto B – Limite superior de escoamento;
Ponto C – Limite inferior de escoamento;
Ponto D – Final de escoamento início da recuperação 
do material;
Ponto E – Limite máximo de resistência (tensão máxima);
Ponto F – Limite de ruptura do material. 
Já para um material ser classifi cado como frágil, quando 
exposto ao teste de tração, não apresentará deformação 
plástica, ou seja, o mesmo passa da deformação elástica para o 
rompimento. Exemplos de materiais frágeis: concreto, vidro, 
porcelana, cerâmica, gesso, cristal, acrílico, baquelite, etc. 
Figura 8.6 – Diagrama de tensão deformação do material 
frágil.
Fonte: Adaptado, Melconian, 2007.
Ao observar o diagrama de tensão deformação para um 
material frágil, temos:
Ponto 0 – Início do ensaio carga nula;
Ponto A – Limite máximo de resistência, ponto de 
ruptura do material. 
52Mecânica dos Sólidos
2.2 Flambagem
Quando se projeta um elemento estrutural, torna-
se necessário que ele satisfaça requisitos específi cos de 
resistência, defl exão e estabilidade. Todavia, alguns elementos 
estruturais podem estar sujeitos a cargas de compressão e, se 
forem compridos e esbeltos, denominamos estes elementos 
de colunas. Nas colunas, a carga atuante poderá ser grande 
o sufi ciente para provocar uma defl exão ou uma oscilação 
lateral, fazendo com que o elemento ou a peça perda a sua 
estabilidade sem que o material tenha ainda atingido o seu 
limite de escoamento, este rompimentosempre ocorrerá na 
direção do eixo de menor momento de inércia de sua secção 
transversal (HIBBELER, 2010).
Desta forma, a carga axial, que faz com que a peça venha 
a perder esta estabilidade, denominamos de carga crítica, 
sendo representada pelo seu encurvamento na direção do 
eixo longitudinal. 
A defl exão lateral que ocorre é chamada de fl ambagem. 
Frequentemente a fl ambagem de uma coluna pode resultar 
em uma falha repentina e dramática de uma estrutura ou 
mecanismo, desta forma, para evitar este colapso deve-se 
ter uma atenção especial na fase de projeto estrutural destas 
colunas, para que haja segurança, e que as mesmas sejam 
capazes de suportar com segurança as cargas que serão 
distribuídas sem que ocorra a fl ambagem (HIBBELER, 2010).
Sendo assim, através do estudo de Leonard Euler (1707-
1783), determinou-se a fórmula de equação da carga crítica, 
então, têm-se como:
Onde, – carga crítica [N]; E – módulo de elasticidade 
do material, J- momento de inércia da secção transversal, 
 – comprimento livre de fl ambagem e π – constante 
trigonométrica. 
Figura 8.7 – Flambagem de um material.
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Flambagem. Acesso em: 08/10/2020.
A relação entre o comprimento de fl ambagem e o raio 
de giração mínimo da secção transversal da peça podemos 
denominar de índice de Esbeltez (λ). O que permite 
parametrizar o quão suscetível a barra comprimida é em 
relação ao efeito de fl ambagem. Em resumo, esse índice 
consiste basicamente em uma medida mecânica que permite 
determinar a facilidade que um determinado pilar tem de se 
encurvar, para a sua determinação temos a seguinte fórmula:
Onde, – comprimento de fl ambagem e o raio de 
giração mínimo. 
Outra determinação importante no estudo da fl ambagem 
dar-se-á defi nição de tensão crítica, através da relação entre 
a carga crítica e a área da secção transversal da peça, assim 
podemos expressar numericamente como:
 = . Onde, E – é o módulo de elasticidades do 
material e λ – índice de Esbeltez. 
Exemplo 2- Vamos determinar λ para uma barra de aço 
de baixo carbono, considere σ = 190M para tensão crítica 
do material e = 210 G para o módulo de elasticidade 
do material. Como resolução, temos:
 = , isolando λ na fórmula temos: , 
substituindo os valores já informados no problema temos,
 = λ = 105 (Resposta). 
Ao fi nal desta última aula, vamos recordar sobre o 
que aprendemos até aqui.
Retomando a aula
1- Princípios da Mecânica dos Sólidos Rígidos 
Em nossa última aula, iniciamos abordando alguns 
princípios fundamentais para a Mecânica dos Sólidos, como 
por exemplo, compreendemos o princípio da superposição, 
princípio este extremamente utilizado como método para 
determinar a tensões ou deslocamentos em materiais que 
possuem alta complexidade em seu carregamento (cargas 
distribuídas sob a estrutura).
2- Princípios da Mecânica dos Sólidos Deformáveis
Caros(as) alunos(as), fi nalizamos o estudo dos conceitos 
da mecânica dos sólidos e constatamos que é possível 
prever o comportamento do sólido, seja ele deformável 
ou não, sob diversas ações, sejam elas de ação de forças de 
contato, gradientes de temperatura, campos gravitacionais, 
campos eletromagnéticos entre outros agentes internos e 
externos. Dessa forma, a mecânica dos sólidos mostra-se uma 
ferramenta fundamental para engenheiros, na concepção de 
projetos de máquinas, edifi cações e outros produtos.
53
PELOTAS, Universidade Federal de. Flambagem. 
2014. Disponível em: https://wp.ufpel.edu.br/alinepaliga/
files/2014/08/Flambagem.pdf. Acesso em: 28.09.2020.
Princípio da Superposição dos Efeitos. 2020. Disponível 
em: http://www.angelfire.com/planet/marvinsc/cme/
node11.html. Acesso em: 09.10.2020.
Vale a pena acessar
Flambagem em coluna ideal – Disponível em: https://
www.youtube.com/watch?v=GbPW3LozOgs. Acesso em: 
06.10.2020.
Princípio da superposição - Carga Axial – Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=eKA3NwbHq_o. 
Acesso em: 22.09.2020.
Tensão e Deformação - Propriedades Mecânicas e o 
Diagrama Tensão Deformação. Disponível em: https://
www.youtube.com/watch?v=MwG6TNHkbfY. Acesso 
em: 08.10.2020.
Método das seções de Ricther – Disponível em: 
https://www.youtube.com/h?v=6VOvcgiMqUU&list=P
LNG6I1M7eOuzGWuFYqlvIgw2wzmSyMo52&index=6. 
Acesso em: 08.10.2020.
Vale a pena assistir
HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos materiais. 7. 
ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010. 659 p.
HIGGINS R. A. Propriedades e Estrutura dos Materiais em 
Engenharia. Editora Difel, 1982. 500 p.
MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos 
Materiais. 18. ed. São Paulo: Érica Ltda, 2007. 360 p.
Vale a pena ler
Vale a pena
Referências
ANJOS, Talita Alves dos. Corpos Rígidos. 2020. Brasil 
Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/
fi sica/corpos-rigidos.htm. Acesso em: 17.11.2020.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS 
TÉCNICAS. ISO 6892-2:2018: Materiais metálicos — Ensaio 
de Tração. 2 ed. Brasil, 2018.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS 
TÉCNICAS. NBR 8522: Concreto - Determinação dos 
módulos estáticos de elasticidade e de deformação à 
compressão. 3 ed. Brasil, 2017.
BALDINI NETO, Ettore. Equilíbrio de um corpo rígido, 
2015. Notas de Aula.
BEER, Ferdinand P.; JHONSTON JUNIOR, E. Russell. 
Mecânica dos Materiais. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2005.
BEER, Ferdinand P.; JHONSTON JUNIOR, E. Russell. 
Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1995.
BONFIM, Carlos. Vínculos Estruturais: concreto armado 
I, 2015. Notas de Aula.
CASTRO, Lucas Eduardo Oliveira. Estruturas Hipo, 
Iso e Hiperestáticas. Ebah. S.d. Disponível em: http://www.
ebah.com.br/content/ABAAABeq8AC/estruturashipo-iso-
hiperestaticas. Acesso em: 05.09. 2020.
CORRÊA JUNIOR, Elcio E.; POPP, Morgana; ORSO, 
Vanessa S. Isostática, Hiperestática e Hipostática. Brasil: ?, 2015. 
13 slides, color.
EDUCAÇÃO, Mundo. Leis de Newton. 2020. Disponível 
em: https://mundoeducacao.uol.com.br/fi sica/as-leis-
newton.htm. Acesso em: 22 set. 2020.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, 
Jearl. Fundamentos de Física: gravitação, ondas e termodinâmica. 
9. ed. Rio de Janeiro: Ltc, 2012.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, 
Jearl. Fundamentos de Física: mecânica. 10. ed. Rio de Janeiro: 
Ltc, 2016.
HIBBELER, Russell Charles. Estática: mecânica para a 
engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2011. 265 p.
HIBBELER, Russell Charles. Dinâmica: mecânica para a 
engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2011.306 p.
HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos materiais. 7. 
ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010. 659 p.
INMETRO. Quadro Geral de Unidades de Medida no Brasil. 
2013. Portaria nº 590. Disponível em: http://www.inmetro.
gov.br/legislacao/rtac/pdf/rtac002050.pdf. Acesso em: 03 
out. 2020.
LEGGERINI, Maria Regina Costa. Resistência dos materiais 
i.?. Notas de Aula.
LÓPEZ, José Luiz; MAIDANA, Nora Lía. Mecânica dos 
Corpos Rígidos e dos Fluidos, 2011. Notas de Aula.
MASCIA, Nilson Tadeu. Teoria das tensões. Campinas - 
Sp: Unicamp, 2006. 59 p. 
MELCONIAN, Sarkis. Mecânica Técnica e Resistência dos 
Materiais. 18. ed. São Paulo: Érica Ltda, 2007. 360 p.
PASCON, João Paulo. Resistência dos materiais, 2017. 
Notas de Aula.
PELOTAS, Universidade Federal de. Flambagem. 
2014. Disponível em: https://wp.ufpel.edu.br/alinepaliga/
fi les/2014/08/Flambagem.pdf. Acesso em 28.09.2020.
PIMENTA, Paulo de Mattos. Fundamentos da Mecânica dos 
Sólidos e das Estruturas. São Paulo: USP, 2006.
Princípio da Superposição dos Efeitos. 2020. Disponível em: 
http://www.angelfi re.com/planet/marvinsc/cme/node11.
html.. Acesso em: 06.10.2020.
SADALHA FILHO, Michel. Resistência do Materiais. 4. ed. 
54Mecânica dos Sólidos
Campinas - Sp: 2013. 171 p.
SOFISICA. Gravitação Universal. 2020. Disponível 
em: https://www.sofi sica.com.br/conteudos/Mecanica/
GravitacaoUniversal/gu.php. Acesso em: 28 set. 2020.
Sólido. 2020. Wikipédia. Disponível em: https://
pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido.Acesso em: 26 out. 
2020.
SOUZA, Marta Francisca Suassuna Mendes de; 
RODRIGUES, Rafael Bezerra. Sistemas estruturais de edifi cações e 
exemplos. Campinas - Sp: Universidade Estadual de Campinas, 
2008. 93 p.
Tensão de cisalhamento. 2018. Wikipédia. Disponível 
em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_de_
cisalhamento. Acesso em: 18 out. 2020.
TIMOSHENKO, Stephen P.; GERE, James. Mecânica 
dos Sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científi cos, 1983. 
268 p.
Minhas anotações