AD1- Geometria Espacial

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AD1 – GEOMETRIA ESPACIAL 
NOME: LIVIA RODRIGUES TONIOLO 
POLO: VOLTA REDONDA 
MATRICULA: 19113010531 
 
Questão 1) 
a) Duas folhas de papel estão apoiadas numa mesa de escritório como indicado na figura 
e representam os planos α e β. Os planos α e β representados são iguais, paralelos ou 
secantes? Justifique. 
 
 
 
 
 
Solução: Os planos α e β são paralelos, pois são dois planos distintos que podemos 
afirmar a existência de um par de retas concorrentes em um dos planos que são paralelos ao 
outro plano. 
 
b) Discuta a veracidade da afirmação: “a figura ilustra dois planos que se intersectam em 
um único ponto.” 
 
 
 
 
 
Solução: Se o ponto A é o único ponto contido entre os planos α e β, a afirmação é 
verificada, caso ao contrário a intersecção entre eles é uma reta. 
 
Questão 2) Considere um cubo ABCD − EF GH 
 
 
 
 
 
 
a) Liste todas as retas reversas à reta AB que passam por dois vértices do cubo. Use os 
vértices para identificar as retas. 
 
Solução: EH, FG, CG, DH, EG e FH 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Escolha uma dessas retas e explique por que não existe um plano que contenha a reta 
escolhida e a reta AB. Isto é, explique por que as retas são reversas. 
 
Solução: Usando como exemplo as retas AB e FG, são retas reversas entre si, pois 
não existe um plano que as contêm, já que tendo um plano em comum seriam retas 
secantes ou paralelas. 
 
 
Questão 3) Na solução de um exercício, um estudante apresenta a figura a seguir e 
indica que ela representa os planos secantes α e β e que eles determinam a reta t. 
Afirma que as retas r e s são reversas pois r está contida em α e a reta s está contida 
em β. Explique qual foi o erro do estudante e apresente uma explicação que contribua 
para que ele entenda o que demonstrou não saber. 
 
 
 
 
 
 
Solução: O erro do estudante foi afirmar que as retas r e s são necessariamente 
reversas dada a configuração do exercício, no entanto, existindo a possibilidade de 
traçar um plano que contenham as duas retas nega esta afirmação, já que neste caso 
as retas são paralelas. 
 
 
 
 
 
Questão 4) Na figura, ABCD−A' B′C′D′ é um cubo, os pontos M, N e P são centros das faces 
ADD′A′, ABCD e BCC′B′ respectivamente. Determine o ângulo entre os planos MNP e MPB′ 
 
 
 
 
 
 
Solução: Podemos afirmar que o plano formado por MNP é paralelo a face do cubo 
A’B’AB, e o plano MPB’ possui uma inclinação de 45° com mesma face, deduzido pela 
análise do ângulo BB’P, logo o ângulo formado entre os planos MNP e MPB’ é 135° 
 
 
 
 
 
 
Questão 5) Considere um triângulo equilátero ABC de lado 6cm e AD um segmento 
perpendicular ao plano ABC com comprimento 8cm. 
a) Determine o conjunto dos pontos P do espaço tais que AP = BP = CP. Justifique a sua 
solução. 
 
Solução: Sendo o baricentro de um triângulo equilátero um ponto G equidistante aos 
vértices, o conjunto dos pontos P no espaço devem estar contidos na reta que passa 
pelo ponto G e é perpendicular ao triângulo 
 
b) Determine a localização do ponto Q tal que AQ = BQ = CQ = DQ. 
 
Solução: O ponto Q está na reta do conjunto dos pontos P para que se verifique a 
equidistância de Q aos vértices, como AQ e DQ possuem o mesmo comprimento, o 
triângulo ADQ é isósceles com base AD igual a 8 cm, logo a altura do ponto Q ao plano 
do triângulo ABC é a metade da base AD, ou seja, 4 cm. 
 
c) Calcule o comprimento do segmento AQ. 
 
Solução: