Importância da matemática na engenharia

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BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA - CCE1151
Semana Aula: 1
Importância da matemática na engenharia
Tema
Importância da matemática na engenharia
Palavras-chave
importância da matemática na engenharia
Objetivos
O aluno no final dessa aula entenderá a importância da matemática para engenharia.
Estrutura de Conteúdo
UNIDADE 1 - IMPORTÂNCIA DA MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA
1.1. Matemática e Engenharia
1.2. Modelagem e Simulação
1.3. A importância das funções 
1.4. Exemplos
A importância da Matemática na Engenharia
É fundamental que desde o início do curso o aluno de Engenharia vá se conscientizando 
das responsabilidades e atribuições da profissão. Como pode-se dizer que o engenheiro é 
um agente transformador da natureza, que cria novos materiais, dispositivos e 
equipamentos ou implanta empreendimentos que impactam o meio ambiente, cada vez 
mais suas ações devem ser coerentes, seguras e responsáveis tanto no âmbito social como 
no ambiental.
É por meio da união do conhecimento científico e da lógica de raciocínio que um 
indivíduo se torna um agente transformador da natureza com responsabilidade sócio-
ambiental, ou seja, um engenheiro. Não é possível o desenvolvimento tecnológico sem o 
conhecimento das leis do universo. Através dos séculos cientistas investigam e idealizam 
as leis que regem a natureza, aperfeiçoando e modelando matematicamente estas ideias, 
construindo o conhecimento científico da humanidade. 
Antes de abordar a importância da matemática para a engenharia, vamos refletir um 
pouco sobre a matemática. Para nos ajudar, são apresentadas algumas citações referentes 
à Matemática de alguns pensadores que influenciaram fortemente a Ciência:
1. Pitágoras: "O número domina o Universo".
2. Sócrates: "O estudo da Matemática é o mais indicado para 
desenvolver as faculdades, fortalecer o raciocínio e iluminar o espírito".
3. Galileu Galilei: "O livro da natureza foi escrito exclusivamente com 
figuras e símbolos matemáticos".
4. Leonardo da Vinci: "Nenhuma investigação humana pode ser 
chamada realmente Ciência, se não puder ser demonstrada 
matematicamente".
5. Albert Einstein: "A Matemática pura é, à sua maneira, a poesia das 
ideias lógicas".
Agora, em sequência, para nos ajudar a pensar em uma definição para a engenharia 
apresenta-se o pensamento de uma série de pessoas influentes e até uma definição do 
Wikipedia, que hoje pode ser considerada como uma definição "popular":
1. S. E. Lindsay (1920): Engenharia é a prática da aplicação segura 
e econômica das leis científicas que governam as forças e materiais da 
Natureza, através da organização, design e construção, para o benefício 
da humanidade.
2. Vanevar Bush (1939): Engenharia, num sentido amplo, é a 
aplicação da ciência de maneira econômica para as necessidades da 
humanidade.
3. T. J. Hoover e J. C. L. Fish (1941): Engenharia é a aplicação 
profissional e sistemática da ciência para a utilização eficiente dos 
recursos naturais a fim de produzir riqueza.
4. John C. Calhoun, Jr. (1963): É responsabilidade do engenheiro 
estar atento às necessidades sociais e decidir como as leis da ciência 
podem ser melhor adaptadas através da Engenharia a fim de cumprir 
essas necessidades.
5. Wikipedia (http://pt.wikipedia.org/wiki/Engenharia em 
09/03/2015): a engenharia é definida como a ciência, a arte e a profissão 
de adquirir e de aplicar os conhecimentos matemáticos, técnicos e 
científicos na criação, aperfeiçoamento e implementação de utilidades, tais 
como materiais, estruturas, máquinas, aparelhos, sistemas ou processos, 
que realizem uma determinada função ou objetivo.
6. Comitê de Certificação de Engenharia e Tecnologia dos Estados 
Unidos (1982): Engenharia é a profissão na qual o conhecimento das 
ciências matemáticas e naturais, obtido através do estudo, experiência e 
prática, é aplicado com julgamento no desenvolvimento de novos meios de 
utilizar, economicamente, os materiais e forças da Natureza para o 
benefício da humanidade.
 
A análise dos pensamentos apresentados nos mostra que, quando a matemática não 
aparece explicitamente na definição do que seria a engenharia, são mencionados termos 
como ciência, leis científicas ou leis da ciência, que podem ser interpretados como as leis 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Arte
http://pt.wikipedia.org/wiki/Profiss%C3%A3o
http://pt.wikipedia.org/wiki/Material
http://pt.wikipedia.org/wiki/Estrutura
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina
http://pt.wikipedia.org/wiki/Equipamento
http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema
http://pt.wikipedia.org/wiki/Processo
da física modeladas matematicamente, além de nos remeterem aos pensamentos acerca da 
matemática apresentados inicialmente. Fica claro que existe uma relação muito forte 
entre a matemática e a engenharia.
Se avançarmos para a Mecânica, a Hidráulica, a Termodinâmica, a Eletricidade, a 
Química, etc. são áreas do saber regidas por leis demonstradas matematicamente. Cabe 
ao engenheiro estudá-las, entendê-las e aplicá-las de maneira correta e responsável, 
transformando a natureza e a sociedade. 
Portanto, espera-se que o engenheiro seja um profissional dotado de raciocínio lógico, 
capaz de aliar conhecimentos matemáticos e científicos para produzir avanços 
tecnológicos em prol da sociedade. Como a Matemática é reconhecidamente a melhor 
forma de se desenvolver o raciocínio lógico e também é imprescindível para que os 
conceitos científicos sejam comprovados, pode-se concluir que a Matemática é essencial 
para que o engenheiro possa contribuir com a inovação tecnológica. 
Uma vez colocada a importância direta e indireta da matemática na formação do 
engenheiro, vamos fazer uma viagem motivadora até a sua aplicação na pesquisa e no 
exercício da profissão de engenheiro. O desenvolvimento da informática em geral e da 
Computação Gráfica em especial, fez com que seja cada vez mais comum a utilização da 
modelagem matemática em sistemas de simulação de fenômenos físicos baseados em 
computação gráfica em todas as áreas da engenharia.
 
Modelagem matemática consiste na arte de transformar problemas da 
realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas 
soluções na linguagem do mundo real... o modelo matemático "é um 
conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de 
alguma forma o objeto estudado". (BASSANEZI, R.C. Ensino-
aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto, 
2002.) 
 
Desta forma, a simulação computacional de problemas de engenharia se tornou uma 
grande área de pesquisa, impulsionando o desenvolvimento de sistemas muito 
sofisticados que já são largamente utilizados, tanto em situações de pesquisa quanto em 
projetos de engenharia. 
A seguir são apresentadas algumas situações práticas da engenharia, altamente 
motivadoras para quem gosta do tema, e que somente são possíveis pelo uso pesado da 
matemática. São exemplos divididos por especialidades, todos envolvendo modelagem 
matemática e simulação de problemas de engenharia.
Na Engenharia Ambiental a modelagem matemática vem sendo cada vez mais empregada 
em simulações diversas como escoamento e dispersão de poluentes, fluxo de águas 
subterrâneas em aquíferos, transporte de sedimentos, hidrodinâmica e qualidade da água. 
A figura 1 é parte de um estudo sobre os emissários submarinos na costa dos municípios 
do Rio de Janeiro e Niterói, realizada com o sistema SisBaHia e mostra as plumas dos 
emissários submarinos da Barra, Ipanema e Icaraí em uma determinada condição do dia e 
das correntes.
O SisBaHia (Sistema Base de Hidrodinâmica Ambiental) é um sistema de modelagem 
computacional registrado pela Fundação Coppetec, órgão gestor de convênios e contratos 
de pesquisa do COPPE/UFRJ - Instituto Aberto Luiz Coimbra de Pós Graduação e 
Pesquisa de Engenharia (COPPE) da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) 
(http://www.sisbahia.coppe.ufrj.br/, em 16/03/2015). 
Na Engenharia Civil é comum oemprego de métodos matemáticos aplicados à Mecânica 
Computacional no desenvolvimento de sistemas computacionais aplicados à Teoria das 
Estruturas, à Mecânica dos Sólidos, à Mecânica dos Solos e à Mecânica das Rochas. 
Estes sistemas são importantes ferramentas para a simulação do comportamento de 
estruturas ou de solo/maciço rochoso submetidos à condições específicas de tensão. A 
figura 2 mostra modelos capazes realizar a simulação do comportamento estrutural em 
situações específicas para o Estádio Ninho de Pássaro, das Olimpíadas de Pequim e de 
uma laje de ponte. Recentemente temos visto o desenvolvimento da implantação do BIM 
(Building Information Modeling) ou Modelagem da Informação da Construção em todo o 
mundo, 
http://www.coppetec.coppe.ufrj.br/
http://www.coppe.ufrj.br/
inclusive no Brasil. A ideia é que equipes multidisciplinares compartilhem um único 
modelo 3D que é capaz de armazenar e processar o edifício, todos os seus sistemas, 
planejamento, orçamento e tudo o mais que se deseje. A implantação do BIM impacta na 
forma de trabalhar de todos os elos da cadeia da indústria da construção civil.
A modelagem matemática aplicada à Engenharia de Petróleo também é bastante 
desenvolvida e contempla temas como a modelagem de reservatórios, de fluxo em meios 
porosos, de elevação e escoamento de petróleo, modelagem geológica e Geofísica, por 
exemplo. 
O CENPES, Centro de Pesquisa da Petrobras, desenvolve, em parceria com a 
COPPE e com o TecGraf-PUC-Rio, sistemas baseados em modelagem matemática 
para a área de Petróleo como os contemplados na figura 3, de modelagem Geofísica 
e Geológica e na figura 4, de modelagem de reservatórios e de risers.
Na Engenharia de Produção a modelagem matemática permite a simulação e otimização 
de processos como, por exemplo, testar diversos procedimentos, com alterações de 
rotinas, equipamentos e layouts em uma indústria sem a necessidade de interrupção do 
sistema real que prossegue em funcionamento. A figura 5 mostra estudos de caso da 2014 
Winter Simulation Conference (WSC). 
Na Engenharia elétrica a modelagem matemática também é utilizada para realização de 
simulações de sistemas elétricos de potência, de fontes alternativas de energia e 
tecnologias emergentes de controle e operação de sistemas elétricos, por exemplo. As 
técnicas de modelagem e simulação também são largamente utilizadas para automação e 
controle. 
A figura 6 ilustra uma simulação de automação e de um painel em 3D.
Por fim, a engenharia mecânica, que também utiliza largamente a modelagem e 
simulação para situações de projeto. Na figura 7 estão apresentados modelos de 
componentes de motores para análise estrutural e térmica, ensaio virtual de uma cadeira 
plástica e o modelo de uma mola helicoidal para simulação dinâmica.
Estratégias de Aprendizagem
Indicação de Leitura Específica
Aplicação: articulação teoria e prática
Após a introdução e contextualização o conteúdo prossegue com a apresentação de 
recursos da Álgebra e da Aritmética, com o objetivo de resgatar e equalizar os 
conhecimentos matemáticos que vão dar sustentação, principalmente, ao estudo das 
funções. Serão abordados os tópicos Potenciação e Radiciação, Expressões Algébricas, 
Produtos Notáveis, Fatoração, Razão e proporção, Regras de 3 simples e compostas e, 
por fim, Porcentagem. 
O capítulo apresenta os vetores livres, base para o estudo da mecânica, área da Física 
onde os vetores representam forças, por exemplo. No estudo da física, lidamos com 
grandezas escalares e grandezas vetoriais. As grandezas escalares são representadas 
apenas por um valor numérico que representa a intensidade da grandeza em uma 
determinada unidade. Como exemplo, podemos citar a temperatura: -Hoje a temperatura 
está 25 graus?. Esta informação está completa. Já as grandezas ditas vetoriais precisam de 
mais informações além da intensidade. Vamos imaginar uma força aplicada em um 
ponto. Ela pode estar aplicada em qualquer direção e, para cada direção possível, ainda 
temos possibilidade de dois sentidos distintos, "empurrando" ou "puxando" o ponto, 
como mostrado na figura 8.
Portanto, uma grandeza vetorial, como a força, é perfeitamente representada por um 
vetor, na medida em que todas as informações necessárias ao seu entendimento estão 
contidas tanto na representação gráfica quanto na representação numérica. A intensidade 
da força é proporcional ao tamanho do vetor, a direção é definida pelo seu segmento de 
reta e o sentido pela seta posicionada em uma de suas extremidades.
Além de dar suporte à Física, a manipulação de vetores também é fundamental para o 
estudo do cálculo vetorial, quando os vetores são utilizados para modelar 
matematicamente as retas e os planos, de grande importância em diversas situações de 
engenharia.
O conteúdo da disciplina aborda as operações matriciais básicas que vão dar suporte ao 
ensino da álgebra linear. Para exemplificar, muitas das simulações apresentadas para as 
várias engenharias recaem em problemas de resolução de grandes sistemas de equações, 
resolvidos computacionalmente pela álgebra matricial, tornando-se um recurso 
extremamente valioso para todas as engenharias.
O estudo das funções, talvez o ponto mais importante da matemática para engenharia, 
que será aprofundado nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral na sequência do 
curso. Os capítulos seguintes apresentam vários tipos de funções: afins, quadráticas, 
modulares, exponenciais, logarítmicas e as funções trigonométricas. 
 
A importância do estudo das funções na engenharia decorre do fato de que podemos 
representar (modelar) fenômenos físicos através delas, ou seja, permitem a simulação do 
comportamento de determinada situação específica de forma antecipada, sem ter que 
necessariamente recorrer a modelos físicos em laboratórios, por exemplo. 
A importância do estudo das funções é tamanha na engenharia que podemos transformá-
lo em elemento motivador. Para isto, é preciso que seu estudo seja contextualizado em 
problemas de engenharia, por mais simples que sejam, ou mesmo em problemas comuns 
do cotidiano. Somente isso já deve ser suficiente para que a percepção do ingressante 
qualifique aqueles temas estudados como relevantes para a profissão. A consequência 
esperada é que os ingressantes comecem a se sentir estudantes de engenharia o mais cedo 
possível.
 
Como exemplo, se nos mantivermos estritamente na matemática, podemos dizer que a 
definição formal de função pode ser muito abstrata para os alunos de engenharia. Uma 
função pode ser apresentada como uma relação específica entre dois conjuntos A e B, de 
tal forma que:
 
· para cada elemento x do conjunto A corresponda um único 
elemento y pertencente ao conjunto B;
· o conjunto A seja denominado domínio da função
· o conjunto B seja denominado contra-domínio da função
· o subconjunto de B utilizado na relação entre os conjuntos seja 
chamado de Imagem da função.
 
Olhando apenas pela ótica matemática, pode-se até entender e aceitar, mas é muito difícil 
visualizar alguma utilidade sob a ótica de um estudante de engenharia.
 
No entanto, ao utilizar alguma situação específica, como por exemplo, calcular a área de 
um círculo (figura 9), pode-se ter o trabalho facilitado, ao se permitir o raciocínio com o 
auxílio de uma situação concreta. Qual é a fórmula da área do círculo?
Como p é uma constante, pode-se dizer que a expressão apresentada mostra que a área do 
círculo depende apenas do seu raio, ou seja, a área é função do raio. O que quer dizer 
isso? Que para cada valor diferente de raio, corresponde um valor diferente da área. Com 
um pouco mais de formalismo, pode-se dizer que: 
Esta notação tem o objetivo de explicitar que A (área) depende de r (raio) com a regra 
apresentada na expressão, ou seja, para um dado valor de entrada (r), obtém-se um valor 
de saída (A).
Podemos investir na construção de um gráfico para mostrar como varia esta relação entre 
o raio e área de umcírculo. Inicialmente elegeu-se uma série de valores distintos para o 
raio conforme pode ser visto na figura 10.
O gráfico foi construído a partir da tabela apresentada ao seu lado, onde, para cada valor 
de raio no intervalo de 0 a 5, de 0,5 em 0,5, obteve-se um valor de área, aplicando-se a 
expressão da relação. No gráfico, cada ponto destacado representa um valor da tabela. O 
eixo horizontal (r) representa os valores dos raios, ou seja, os dados de entrada da relação. 
O eixo vertical (A) representa os valores das áreas calculadas a partir dos diferentes raios. 
 
Como na relação estabelecida o valor do raio aparece elevado ao quadrado, estamos 
diante de uma equação quadrática (de segundo grau), que gera um gráfico parabólico, 
portanto representada por uma parábola.
 
Embora uma parábola aceite valores negativos, no nosso caso real, raios negativos não 
fazem sentido. Portanto pode-se afirmar que valores de raio superiores a zero produzem 
um círculo. Não há limite superior, pois sempre é possível se construir um círculo um 
pouco maior, aumentando o valor do raio, qualquer que seja ele.
 
A relação estudada entre o raio e a área de um círculo pode ser classificada como uma 
função quadrática, pois, para cada valor do conjunto de entrada (raio r), corresponde a um 
único valor de saída (área A). Portanto, a relação que analisamos para a área do círculo 
pode ser chamada de função.
 
 O estudo das funções pode ser desenvolvido de forma dissociada de qualquer tipo de 
representação, com foco apenas matemático, ou pode se tornar mais concreto ao se 
buscar apoio em situações reais. As situações listadas a seguir são exemplos onde o 
estudo das funções quadráticas foi muito importante:
A perda de carga numa linha de transmissão de energia elétrica, a variação de tensões 
internas em um elemento estrutural pela presença de cargas externas ou pela variação de 
temperatura, o impacto de ondas do mar ou o efeito das correntes marinhas em uma 
plataforma de petróleo, o efeito de poluentes em um corpo hídrico, a otimização de 
processos de engenharia, o posicionamento de antenas de telefonia celular, são exemplos 
de situações que envolvem fenômenos modelados matematicamente de modo a permitir a 
criação de procedimentos de projeto, sempre suportados por Normas Técnicas. 
 
No Brasil, temos a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), responsável por 
gerar documentos que estabelecem as regras, normalmente focadas em segurança e 
conforto de utilização, para as mais diversas situações de engenharia. Os procedimentos 
de projeto são criados com base no comportamento dos sistemas de engenharia, quase 
sempre baseados em modelos matemáticos capazes de representar os referidos sistemas e 
fornecer os dados necessários ao projeto (http://www.abnt.org.br/).
 
Por fim o livro apresenta o tema Limites de funções. Estudar o comportamento das 
funções torna-se muito importante na medida em que ela esteja representando um 
determinado fenômeno real. Desta forma, conhecer o comportamento de uma função 
nestas condições, significa conhecer o comportamento do fenômeno por ela representado.
 
O conceito de limite é utilizado para expor o comportamento de uma função em situação 
específica, analisando como a função se comporta ao se aproximar do ponto de interesse. 
Obviamente existem funções bem comportadas com todos os seus valores muito bem 
definidos e funções com comportamentos mais complexos como, por exemplo, a função 
f(x)=1/x, como mostra a figura 15. Do lado esquerdo, está exibida a função com valores 
de x entre -2 e 2 aproximadamente e do lado direito, entre -15 e 15. Como a função se 
comporta quando o valor de x se aproxima de 0? Não conseguimos calcular 1/0, mas pelo 
gráfico da direita consegue-se perceber que conforme o valor de x vai tendendo a zero, o 
valor da função tem um comportamento especial. Se acompanharmos pelo lado negativo 
a função responde com um valor também negativo, muito pequeno, e se acompanharmos 
pelo lado direito, positivo, a função responde com um valor muito grande. 
Newton desenvolveu recursos matemáticos para modelar os fenômenos naturais, fato que 
marcou o início da Ciência Moderna.
 
Para finalizar, deve-se ter em mente que esta deve ser a inspiração do uso da matemática 
pela Engenharia. Que ela é fundamental para o engenheiro, pois fornece os recursos 
necessários para a análise dos problemas envolvidos nos sistemas de engenharia. Pouco 
adianta, para o engenheiro, o domínio de recursos matemáticos desconectados do 
contexto da engenharia. O mais importante para a profissão é ter a capacidade de analisar 
um problema de Engenharia e construir uma solução matemática para ele. 
Considerações Adicionais