Relatório 7

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
RELATÓRIO 7
LABORATÓRIO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 1
JOÃO PEDRO PADILHA PERES
DRE 119140907
JUAN CARLOS RAMOS DE OLIVEIRA
DRE 117249268
MÁRIO FELIPE MORAES VELOSO MOURA
DRE 119189202
DOUGLAS PEREIRA LOPES
DRE 116080019
PROFESSOR OUMAR DIENE
Rio de Janeiro, RJ - Brasil
08 de março de 2022
Índice
1. Objetivos 3
2. Fundamentação teórica 3
3. Procedimento Experimental 7
4. Resultados e discussões 13
5. Conclusão 14
2
https://docs.google.com/document/d/1W5qMRHKQ4tTXbo2votObGQgnMrIXWgSz3yXWAaHZcLs/edit#heading=h.jhfa0br66doi
https://docs.google.com/document/d/1W5qMRHKQ4tTXbo2votObGQgnMrIXWgSz3yXWAaHZcLs/edit#heading=h.jhfa0br66doi
https://docs.google.com/document/d/1y6m7F5QSErzco3DAkb1H7UmFgC7MkrupUdfLP0DdNx8/edit#heading=h.gwyw3z9xydlr
https://docs.google.com/document/d/1y6m7F5QSErzco3DAkb1H7UmFgC7MkrupUdfLP0DdNx8/edit#heading=h.gwyw3z9xydlr
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1. Objetivos
Este relatório tem como objetivo analisar o comportamento de um circuito
RLC paralelo. Será inicialmente abordada a fundamentação teórica e
posteriormente o desenvolvimento do preparatório. Após essas duas etapas
será montado um circuito com fonte de tensão quadrada conectada a um
indutor, capacitor e resistor. Este experimento será a simulação do circuito da
figura 1 com o auxílio do software MultiSim.
Figura 1: Circuito RLC em paralelo
2. Fundamentação Teórica
A seguir é apresentado um circuito RLC em paralelo com um gerador de
corrente:
Figura 2: Circuito RLC em paralelo com gerador de corrente
Para o circuito apresentado a equação (1), a seguir, descreve seu
comportamento:
(1)
Onde 𝐺 = 1𝑅
3
A sua equação característica é dada por (2):
(2)
A sua pulsação natural não amortecida é a seguinte expressão (3):
(3)
A sua condutância crítica é dada pela relação (4):
(4)
A relação . relação de amortecimento é (5):ξ
(5)
O Índice de mérito é descrito por (6):𝑄
(6)
Resultado na equação (7):
(7)
As raízes da equação (7) estão descritas abaixo (8):
(8)
4
Dada a equação anterior temos então três casos para analisar. Raízes
complexas conjugadas (Caso 1) ; Raízes iguais (Caso 2) ; Raízes diferentes
(Caso 3). Então faremos um estudo de cada um dos casos.
● Caso 1: Neste cenário temos que , que corresponde às raízes𝑄 > 12
complexas conjugadas. O circuito é subamortecido, e a resposta transitória
é dada pela equação (9):
(9)
Onde:
E:
A tensão é dada pela expressão (10):
(10)
E pela expressão (11):
(11)
A sua curva de tensão, V(t) por (t) , é a seguinte forma de onda, figura 3:
5
Figura 3: Forma de onda V(t) x t - Caso1
● Caso 2: Neste cenário temos que , que corresponde às raízes𝑄 = 12
iguais, e a equação é dada por (12):
(12)
E a sua tensão é dada pela expressão (13):
(13)
A sua curva de tensão, V(t) por (t) , é a seguinte forma de onda, figura 4:
Figura 4: Forma de onda V(t) x t - Caso 2
6
● Caso 3: Neste cenário temos que , que corresponde às raízes𝑄 < 12
diferentes, e a equação é dada por (14):
(14)
Onde:
E:
E a sua tensão é dada pela expressão (15):
(15)
3. Procedimento Experimental
Figura 5: Circuito RLC em paralelo
A figura 5b pode ser descrita pela equação:
𝑖(𝑡) = 𝐿𝐶 𝑥 
𝑑²𝑖
𝑙
(𝑡)
𝑑𝑡² 𝑥 
𝐿
𝑅
𝑒𝑞
 𝑥 
𝑑𝑖
𝑙
(𝑡)
𝑑𝑡 𝑥 𝑖𝑙 
E ao substituir:
7
𝑅
𝑒𝑞
= 𝑅 𝑥 𝐿𝐿 + 𝑅
𝑙
 𝑥 𝑅 𝑥 𝐶 
Temos a equação:
𝑖(𝑡) = 𝐿𝐶 𝑥 
𝑑²𝑖
𝑙
(𝑡)
𝑑𝑡² 𝑥 
𝐿
𝑅 + 𝑅𝑙 𝑥 𝐶( ) 𝑥 𝑑𝑖𝑙(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 𝑖𝑙 
Quando R >>R, → 1, podemos descrever a figura 5a a partir da𝑅𝑖𝑛𝑑 + 1𝑅( )
equação:
𝑖(𝑡) = 𝐿𝐶 𝑥 
𝑑²𝑖
𝑙
(𝑡)
𝑑𝑡² 𝑥 
𝐿
𝑅 + 𝑅𝑙 𝑥 𝐶( ) 𝑥 𝑑𝑖𝑙(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 𝑖𝑙 
Portanto, as equações que descrevem as figuras 5a e 5b são iguais.
Baseado na figura 5b, com o intuito de tornar o circuito criticamente
subamortecido, utilizando L = 1H e C = 0,002µF temos que:
𝑄 = 0, 5 = 𝑅 𝐶𝐿
𝑅 = 0, 5 𝑥 1
0,002 𝑥 10−6
= 11180, 3 Ω 
, como R >> ,𝑅
𝑒𝑞
= 𝑅 𝑥 𝐿𝐿 + 𝑅
𝑙
 𝑥 𝑅 𝑥 𝐶 𝑥 
1/𝑅²
1/𝑅² =
𝐿/𝑅
𝐿/𝑅² + (𝑅
𝑙
 𝑥 𝐶)/𝑅 𝑅𝑙
𝑅
𝑙
𝑅
𝑅
𝑒𝑞
= 𝐿/𝑅𝐿/𝑅² = 𝑅 = 11180, 3 Ω 
Repetindo o mesmo procedimento desenvolvido acima, mas, dessa vez,
utilizando L = 0,1H e C = 0,002µF, encontramos:
𝑅 = 0, 5 𝑥 0,1
0,002 𝑥 10−6
= 3535, 53 Ω 
Em seguida, realizamos as montagens no Multisim baseadas no circuito
ilustrado pela figura 6 abaixo.
Figura 6: Associação paralela de R,L,C, alimentados por
gerador de tensão de onda quadrada em série
8
Primeiramente, utilizamos o indutor de 1H:
Figura 7: Circuito simulado com frequência de 200Hz
Em seguida, realizamos a montagem para a obtenção do regime
subamortecido:
Figura 8: Circuito para o regime subamortecido
Na figura 9 abaixo, o CH1(amarelo) corresponde ao sinal da tensão no
gerador e o CH2(azul) corresponde ao sinal da tensão V(t):
9
Figura 9: Gráfico de sinais do regime subamortecido
Na sequência, realizamos a montagem para a obtenção do regime crítico:
Figura 10: Circuito para o regime crítico
Na figura 11 abaixo, o CH1(amarelo) corresponde ao sinal da tensão no
gerador e o CH2(azul) corresponde ao sinal da tensão V(t):
10
Figura 11: Gráfico de sinais do regime crítico
Por fim, realizamos a montagem para a obtenção do regime
superamortecido:
Figura 12: Circuito para o regime superamortecido
Na figura 13 abaixo, o CH1(amarelo) corresponde ao sinal da tensão no
gerador e o CH2(azul) corresponde ao sinal da tensão V(t):
11
Figura 13: Gráfico de sinais do regime superamortecido
Para obter os valores de Q’, e , foi necessário tornar o circuitoω'
0
ω'
𝑑
acentuadamente subamortecido. Para isso, ajustamos o valor do
potenciômetro para 100 k , seu valor máximo. Assim, conseguimos obter aΩ
medida de Tp.
Figura 14: Circuito para o regime acentuadamente superamortecido
12
Figura 15: Medição do valor de Tp
4. Resultados e discussões
Encontramos o valor de Tp = 294 µs. Assim, o valor de será:ξ
 ξ' = 12𝑅 𝑥 
𝐿
𝐶 =
1
2 𝑥 100 𝑥 10³ 𝑥 
1
20 𝑥 10−10
= 10
5 𝑥 0,2236
2 𝑥 100 𝑥 10³ = 0, 11
Aplicando o valor de obtido acima e o valor de Tp encontrado na fórmulaξ
descrita abaixo, encontramos:
 𝑇
𝑑
= 2π
ω
0
 𝑥 1−ξ²
 ω
0
= 2π
294𝑥10−6 𝑥 1−0,11²
= 21506, 21 𝑟𝑎𝑑/𝑠
ω'
0
= ω
0
= 21506, 21 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Com isso, podemos calcular o valor de Q’:
 𝑄' = 
ω'
0
𝐺 = ω'0 𝑥 𝐶 𝑥 𝑅 = 21506, 21 𝑥 2𝑥10
−9 𝑥 100𝑥10³ = 4, 3
13
Por fim, conseguimos calcular o valor de :ω'
𝑑
ω'
𝑑
= ω'
0
 𝑥 1 − 12𝑄'( )² = 21506, 21 𝑥 1 − 12 𝑥 4,3( )² = 21359, 97 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Os valores teóricos são:
ω'
0
= ω'
0
= 1
𝐿𝐶
= 22360, 67 𝑟𝑎𝑑/𝑠
ξ' = 12𝑅 𝑥 
𝐿
𝐶 = 0, 11
𝑄' = 12ξ = 4, 47
ω'
𝑑
= ω'
0
 𝑥 1 − 12𝑄'( )² = 22220, 49 𝑟𝑎𝑑/𝑠
Realizamos uma comparação entre os resultados obtidos experimentalmente
e os resultados encontrados através da aplicação dos métodos descritos na
fundamentação teórica. Assim, conseguimos encontrar o erro percentual
entre os valores por meio da fórmula da discrepância relativa.
Discrepância relativa =
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
|| ||
Valor teórico Valor experimental Discrepância relativa (%)
Q’ = 4,47 Q’ = 4,3 3,8
= 22360,67 rad/sω'
0
= 21506,21 rad/sω'
0
3,8
= 22220,49 rad/sω'
𝑑
= 21359,97 rad/sω'
𝑑
3,9
Tabela 1: Comparação entre os valores teóricos e experimentais
5. Conclusão
Com todos os resultados obtidos no experimento, pôde-se concluir que os
cálculos das variáveis, feitos através da montagem experimental e medição
dos circuitos, estão dando resultados satisfatórios, bem próximos ao
esperado, com todas as discrepâncias menores ou iguais a 3,9%. Com isso,
atingiu-se o objetivo desse relatóriosobre o estudo da resposta transitória de
um circuito RLC em paralelo.
14