MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS (196)

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Modelagem de Sistemas Dinâmicos
Sistemas Elétricos III
Prof. Rodrigo de Toledo Caropreso
Características fundamentais
» Modelagem utiliza as Leis de Kirchhoff;
» A ordem da Equação Diferencial do Circuito, e portanto, a ordem de sua 
Função de Transferência, será dada pela quantidade de elementos 
armazenadores de energia (indutores e capacitores) presentes no circuito.
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1 – Modelagem de Circuitos Elétricos
Relações constitutivas dos modelos
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1 – Modelagem de Circuitos Elétricos
Componente Tensão Corrente
Resistor 𝑣𝑅 = 𝑅 . 𝑖 𝑖 =
𝑣𝑅
𝑅
Capacitor 𝑣𝐶 =
1
𝐶
න 𝑖 𝑑𝑡 𝑖𝑐 = 𝐶.
𝑑𝑣𝑐
𝑑𝑡
Indutor 𝑣𝐿 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
𝑖𝐿 =
1
𝐿
න𝑣𝐿𝑑𝑡
Relações constitutivas dos modelos: Laplace
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1 – Modelagem de Circuitos Elétricos
Componente Tensão Corrente
Resistor 𝑉𝑅 = 𝑅 . 𝐼 𝐼 =
𝑉𝑅
𝑅
Capacitor 𝑉𝐶 =
1
𝐶. 𝑠
𝐼 𝑖𝑐 = 𝐶. 𝑠. 𝑉𝑐
Indutor 𝑉𝐿 = 𝐿. 𝑠. 𝐼 𝑖𝐿 =
1
𝐿. 𝑠
𝑉𝐿
A relação:
𝑉 𝑠
𝐼 𝑠
= 𝑍(𝑠)
é denominada 
IMPEDÂNCIA 
COMPLEXA
Exemplo 1: Circuito RLC-Série
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1 – Modelagem de Circuitos Elétricos
Exemplo 1: Circuito RLC-Série
• A partir da Lei de Kirchhoff, temos:
• Onde, vR é a tensão no Resistor, vL a tensão no Indutor e vC a tensão no
Capacitor.
• Também sabemos que:
• Substituindo essas relações em (1):
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1 – Modelagem de Circuitos Elétricos
𝑥 𝑡 = 𝑣𝑅 𝑡 + 𝑣𝐿 𝑡 + 𝑣𝐶 𝑡 (1)
𝑣𝑅 = 𝑅. 𝑖
𝑥 = 𝑅. 𝑖 + 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐶
න 𝑖 𝑑𝑡 (2)
𝑣𝐿 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
EDO do Circuito RLC
𝑣𝑐 =
1
𝐶
න 𝑖 𝑑𝑡
Exemplo 1: Circuito RLC-Série
 Estamos interessados na relação entrada/saída, portanto, devemos eliminar a 
corrente da Equação (2).
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1 – Modelagem de Circuitos Elétricos
𝑋 𝑠 = 𝑉𝑅(𝑠) + 𝑉𝐿(𝑠) + 𝑌(𝑠)
𝑌 𝑠 = 𝑉𝑐 =
1
𝐶. 𝑠
. 𝐼
𝑉𝐿 𝑠 = 𝐿. 𝑠. 𝐼
𝑉𝑅 𝑠 = 𝑅. 𝐼
𝐼 = 𝑌. 𝐶. 𝑠
𝑋 = 𝑅. 𝑌. 𝐶. 𝑠 + 𝐿. 𝑠. (𝑌. 𝐶. 𝑠) + 𝑌(𝑠)
𝑋 = 𝑌(𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1)
Exemplo 1: Circuito RLC-Série
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1 – Modelagem de Circuitos Elétricos
𝑌(𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1) = 𝑋
𝑌
𝑋
=
1
𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠 + 1
Função de Transferência do Circuito RLC
Exemplo 2: Circuito RLC-Paralelo
 Determine a Função de Transferência do circuito abaixo:
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1 – Modelagem de Circuitos Elétricos
Fonte: Tavares, 2017 (AVA)
Reatâncias
 circuitos RC e RL são um dos mais simples filtros eletrônicos analógicos 
existentes (passa-baixas e passa-altas, respectivamente).
 eles filtram frequências a partir das relações:
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2 – Filtros
𝑠 = 𝑗𝜔
𝑋𝑐 =
1
𝑗𝜔𝐶
𝑍𝑐 𝑠 =
𝑉 𝑠
𝐼 𝑠
=
1
𝑠. 𝐶
𝑠 = 𝑗𝜔
𝑋𝐿 = 𝑗𝜔𝐿𝑍𝐿 𝑠 =
𝑉 𝑠
𝐼 𝑠
= 𝐿. 𝑠
Reatância Capacitiva
Reatância Indutiva
Conceitos
 Largura de banda: faixa de frequências que o filtro permite a passagem;
 Frequencia de corte: frequencia na qual a potência do sinal é atenuada pela 
METADE ao passar pelo filtro (corresponde a um ganho de 1/ 2).
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2 – Filtros
𝜔𝐶 =
1
𝑅. 𝐶
𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑓𝐶 =
1
2𝜋𝑅. 𝐶
𝐻𝑧
𝜔𝐿 =
𝑅
𝐿
𝑟𝑎𝑑/𝑠 𝑓𝐶 =
𝑅
2𝜋𝐿
𝐻𝑧
Conceitos
 Circuitos RL e RC: são filtros de primeira ordem;
 Filtros formados por circuito RLC: filtros de 2º ordem, mais sofisticados e 
próximos do comportamento ideal.
 Resposta de um filtro de 2ª ordem depende de alguns parâmetros:
 Ganho K: corresponde a amplificação ou atenuação da saída;
 Frequencia de canto (𝜔0): frequencia em que o ganho cai em 3dB (ou metade da potência); 
 Fator de Qualidade (Q): controla a forma da resposta na transição da banda passante para a 
banda de rejeição.
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2 – Filtros
Conceitos
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2 – Filtros
Resposta do filtro de 
2ª ordem para 
diferentes valores de 
Q e 𝜔0 = 1
Fonte: Tavares, 2017 (AVA)
Conceitos
 O projeto de filtros pode ser mais detalhado em estudos de Resposta em 
Frequencia (Teoria de Controle) e Filtros Digitais (Processamento Digital de 
Sinais);
 O objetivo desta seção é apresentar um conjunto de parâmetros para definir os 
modelos de filtros de 2ª ordem padrão.
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3 – Projeto de Filtro de 2ª ordem
Filtro Passa-Baixa
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3 – Projeto de Filtro de 2ª ordem
Fonte: Tavares, 2017 (AVA)
Filtro Passa-Alta
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3 – Projeto de Filtro de 2ª ordem
Fonte: Tavares, 2017 (AVA)
Filtro Passa-Faixa
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3 – Projeto de Filtro de 2ª ordem
Fonte: Tavares, 2017 (AVA)
Filtro Rejeita-Faixa
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3 – Projeto de Filtro de 2ª ordem
Fonte: Tavares, 2017 (AVA)
Exemplo 3: Filtro Passa-Alta
 Determine a Função de Transferência do FPA abaixo. Em seguida encontre a 
frequencia de canto e o fator de qualidade para R=2,7kΩ, L=20mH e C=2,2μF
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3 – Projeto de Filtro de 2ª ordem
Fonte: Tavares, 2017 (AVA)
Exemplo 4: detecção de obstrução da artéria coronária
 A obstrução da artéria coronária, em alguns casos, está sendo diagnosticada por
meio de técnicas não invasivas, como o uso de microfones sensíveis para
detectar anomalias acústicas de fluxo. Com o objetivo de prever as
propriedades sonoras da artéria esquerda, foi desenvolvido um modelo que a
divide em 14 segmentos:
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4 –Avançando na Prática
Fo
n
te
: T
av
ar
es
, 2
01
7 
(A
V
A
)
Exemplo 4: detecção de obstrução da artéria coronária
 Cada segmento é então modelado pelo circuito elétrico RLC, dado pela Figura
(b), o que resulta no modelo completo da artéria, como mostra Figura (c).
 Nesse modelo elétrico a pressão (P) é análoga à tensão, em volts, e o fluxo
sanguíneo (Q) é análogo à corrente elétrica, em amperes.
 Sendo os valores dos elementos passivos o modelo do segmento 5, dado por:
R=8906Ω, C=0,21F, L=140,5H, 
qual seria a relação entre o fluxo sanguíneo e saída pela pressão de entrada para 
esse segmento? 
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4 –Avançando na Prática
Livro Digital
– Unidade 2: Seção 2: situação-problema (p.35)
– Unidade 2: Seção 2: exercícios (pp. 38 e 39)
AVA:
– Unidade 2 – Encontro 2 – Pós-Aula: U2S2 - Atividade de Aprendizagem
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Atividades Recomendadas
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REFERÊNCIAS
• TRIVELATO, G.C., Técnicas de Modelagem e Simulação de
Sistemas Dinâmicos. INPE-9665-NTC/358. São José dos
Campos, 2003.
• AFONSO, A. P., Modelagem Matemática: Introdução aos
Sistemas de Controle. Disponível em:
http://www.matematiques.com.br. Acesso em: 15/01/2015.
• GARCIA, C. Modelagem e Simulação de Processos
Industriais e de Sistemas Eletromecânicos. 2ª ed. São Paulo:
EDUSP - Editora da Universidade de São Paulo, 2005.