Integrais duplas exercícios RESOLVIDOS

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Questão 6
O texto nos diz que: “a integral dupla de uma função f (x,y) é definida em uma região fechada
finita do plano xy ´´. A rigor, podemos então definir um conjunto D arbitrário que expresse esse
enunciado de forma matemática, no caso, temos que cada eixo. Então, definamos dois valores a,b∈R
com a < b que estão sobre o eixo x e c,d ∈ R com c < d que estão sobre o eixo y. Em geral temos:
a ≤ x ≤ b
c ≤ y ≤ d
ou seja x ∈ [a,b] e y ∈ [c,d]. Com isso, podemos então construir a região D do plano x,y, com efeito
está será a região dos pares ordenados (x,y) com as restrições obtidas pelas desigualdades acima então
temos o seguinte conjunto D:
D = {(x,y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d; a,b,c,d ∈ R}
note que o conjunto D é finito conforme dito no enunciado e a região é fechada conforme feito da
construção dos x e y. Observe que a escolha dos valores a,b,c,d são arbitrários e estes são tomados
de acordo com o problema e objetivo em questão deste modo o conjunto D pode ser adequado para
qualquer região do plano xy e assim sendo o conjunto sobre onde a integral dupla está definido.
Ademais, a região D pode ainda ser posta de forma diferente de modo que ainda seja um conjunto
limitado e finito, onde expressamos a região de integração com auxílio de funções, nesses casos uma
das variáveis, seja x ou y é expressa nas seguintes desigualdades:
h(y)≤ x ≤ g(y) e c ≤ y ≤ d
onde (h,g)(y) são duas funções suficientemente bem comportadas de modo que as condições de
integrabilidade ainda sejam satisfeitas e c,d dois números reais. Ou ainda, em termos de x temos que:
m(x)≤ y ≤ M(x) e a ≤ x ≤ b
onde (m,M)(x) são duas funções suficientemente bem comportadas de modo que as condições de
integrabilidade ainda sejam satisfeitas e a,b dois números reais. E com isso as regiões Dy e Dx são
postas respectivamente por:
Dy = {(x,y) ∈ R2 | h(y)≤ x ≤ g(y) e c ≤ y ≤ d, c,d ∈ R}
Dx = {(x,y) ∈ R2 | m(x)≤ y ≤ M(x) e a ≤ x ≤ b, a,b ∈ R}
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Observe ainda que essas noções generalizam o que fizemos ao definir a região D de integração,
ora tomando h(y) = a e g(y) = b no conjunto Dy temos que Dy = D e ainda que se fizermos m(x) = c
e M(x) = d em Dx obtemos então Dx = D o que mostra que esses dois conjuntos de fato generalizam
as noções anteriormente postas. E ainda é importante dizer que, os conjuntos Dx e Dy podem ser equi-
valentes, visto que podemos expressar uma mesma região do plano xy tanto em termos de funções em
x quanto de y. Com isso, obtemos conjuntos de onde as integrais duplas estão definidas, é importante
ainda dizer que aqui consideramos que ambos os conjuntos possuem medida nula de modo que as
condições topológicas para integração sejam satisfeitas.
Questão 7
Para resolvermos a questão, primeiramente determinaremos o conjunto D sobre onde a integral
dupla está definido. Com efeito, buscamos a região onde x = 0, y = 0 e x+ y = 4 note que dessa
última equação obtemos o seguinte: y = 4−x, não só isso, mas veja que x = 0 temos que y = 4 e que
se y = 0 temos x = 4, logo obtemos o seguinte:
0 ≤ y ≤ 4− x
0 ≤ x ≤ 4
ou seja, obtemos dessa forma que o conjunto D é:
D = {(x,y) ∈ R2 | 0 ≤ y ≤ 4− x, 0 ≤ x ≤ 4}
Com isso, podemos calcular o volume em questão, conforme dado na questão este é a integral dupla
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em z = 16− x2 que conforme dado na questão é:
∫∫
D
zdA =
∫ 4
0
∫ 4−x
0
16− x2dydx
=
∫ 4
0
[∫ 4−x
0
16− x2dy
]
dx
=
∫ 4
0
[
16y− x2y
]4−x
0 dx
=
∫ 4
0
[
16(4− x)− x2(4− x)
]
dx
=
∫ 4
0
64−16x−4x2 + x3dx
=
[
64x−16x
2
2
−4x
3
3
+
x4
4
dx
]4
0
=
[
64x−8x2 −4x
3
3
+
x4
4
dx
]4
0
= 256−128− 256
3
+64
=
320
3
Portanto, o volume do sólido é de
320
3
unidades de volume.
3