Lista de Exercícios - Permutação - Prof Aruã

Prévia do material em texto

@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 1 de 17 
 
 
1. (Uemg) Observe a tirinha de quadrinhos, a seguir: 
 
 
 
A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo de guerra”. 
 
Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e 
que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o 
número de maneiras distintas que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a 
a) 60. 
b) 150. 
c) 600. 
d) 120. 
 
2. (Ucs) Rose não anotou o número de celular que seu novo amigo lhe informou. Agora ela 
tem dúvidas em relação aos últimos quatro dígitos. Sabe quais são os dígitos, porém não sabe 
a ordem em que eles aparecem no número do telefone. 
Quantas são as diferentes possibilidades para a ordem desses quatros dígitos? 
a) 8 
b) 16 
c) 24 
d) 36 
e) 120 
 
3. (Ufsm) Para cuidar da saúde, muitas pessoas buscam atendimento em cidades maiores 
onde há centros médicos especializados e hospitais mais equipados. Muitas vezes, o 
transporte até essas cidades é feito por vans disponibilizadas pelas prefeituras. 
 
Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e o motorista. De quantos modos 
distintos os 9 passageiros podem ocupar suas poltronas na van? 
a) 4.032. 
b) 36.288. 
c) 40.320. 
d) 362.880. 
e) 403.200. 
 
4. (Imed) O número de candidatos inscritos para realização do último vestibular de verão, em 
um determinado curso, corresponde ao número de anagramas da palavra VESTIBULAR que 
começam por VE e terminam por AR. Esse número é igual a: 
a) 120. 
b) 240. 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 2 de 17 
 
c) 360. 
d) 540. 
e) 720. 
 
5. (Unigranrio - Medicina) Quantos são os anagramas da palavra VESTIBULAR, em que as 
consoantes aparecem juntas, mas em qualquer ordem? 
a) 120 
b) 720 
c) 17.280 
d) 34.560 
e) 86.400 
 
6. (Enem digital) Eduardo deseja criar um e-mail utilizando um anagrama exclusivamente com 
as sete letras que compõem o seu nome, antes do símbolo @ . 
O e-mail terá a forma *******@site.com.br e será de tal modo que as três letras “edu” apareçam 
sempre juntas e exatamente nessa ordem. 
Ele sabe que o e-mail eduardo@site.com.br já foi criado por outro usuário e que qualquer outro 
agrupamento das letras do seu nome forma um e-mail que ainda não foi cadastrado. 
 
De quantas maneiras Eduardo pode criar um e-mail desejado? 
a) 59 
b) 60 
c) 118 
d) 119 
e) 120 
 
7. (Unisc) Newton possui 7 livros distintos, sendo 3 de Álgebra, 2 de Cálculo e 2 de Geometria. 
O número de maneiras diferentes que Newton pode organizar esses livros em uma estante, de 
forma que os livros de um mesmo assunto permaneçam juntos, é 
a) 24 
b) 36 
c) 56 
d) 72 
e) 144 
 
8. (Espcex (Aman)) Um grupo é formado por oito homens e cinco mulheres. Deseja-se dispor 
essas oito pessoas em uma fila, conforme figura abaixo, de modo que as cinco mulheres 
ocupem sempre as posições 1, 2, 3, 4 e 5, e os homens as posições 6, 7 e 8. 
 
 
 
Quantas formas possíveis de fila podem ser formadas obedecendo a essas restrições? 
a) 56 
b) 456 
c) 40.320 
d) 72.072 
e) 8.648.640 
 
9. (Fac. Albert Einstein - Medicin) Oito adultos e um bebê irão tirar uma foto de família. Os 
adultos se sentarão em oito cadeiras, um adulto por cadeira, que estão dispostas lado a lado e 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 3 de 17 
 
o bebê sentará no colo de um dos adultos. O número de maneiras distintas de dispor essas 9 
pessoas para a foto é 
a) 8 ⋅ 8! 
b) 9! 
c) 9 ⋅ 88 
d) 89 
 
10. (Enem) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma 
cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, 
delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão 
localizadas as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente. 
 
 
 
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de 
Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a 
direita (→)ou para cima (↑),segundo o esquema da figura. 
 
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas 
condições propostas é 
a) 4. 
b) 14. 
c) 17. 
d) 35. 
e) 48. 
 
11. (Unicamp) Cinco pessoas devem ficar em pé, uma ao lado da outra, para tirar uma 
fotografia, sendo que duas delas se recusam a ficar lado a lado. O número de posições 
distintas para as cinco pessoas serem fotografadas juntas é igual a 
a) 48. 
b) 72. 
c) 96. 
d) 120. 
 
12. (Upf) Na figura a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas e os quadrados 
representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando 𝐴 a 𝐵 é: 
 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 4 de 17 
 
 
a) 40.320 
b) 6.720 
c) 256 
d) 120 
e) 56 
 
13. (Fgv) Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que a 
ordem é levada em consideração. Eis uma senha possível: 
Quantas senhas diferentes podem ser formadas com quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro 
algarismos iguais a 7? 
a) 10! 
b) 2 520 
c) 3 150 
d) 6 300 
e) 
 
14. (Enem) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. 
Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a 
videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de 
drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. 
Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem 
as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos 
os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. 
 
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? 
a) 20 × 8! + (3!)2 
b) 8! × 5! × 3! 
c) 
8!×5!×3!
28
 
d) 
8!×5!×3!
22
 
e) 
16!
28
 
 
15. (Enem) O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 
candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um 
número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os 
interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 
algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. 
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75.913 é 
a) 24. 
b) 31. 
c) 32. 
d) 88. 
(a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a, 7).
10!
4!6!
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 5 de 17 
 
e) 89. 
 
16. (Enem) Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta 
por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As 
letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é 
composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha. 
 
Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012. 
 
 
O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por 
a) 102 ⋅ 262 
b) 102 ⋅ 522 
c) 102 ⋅ 522 ⋅
4!
2!
 
d) 102 ⋅ 262 ⋅
4!
2!⋅2!
 
e) 102 ⋅ 522 ⋅
4!
2!⋅2!
 
 
17. (Enem) João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades 
diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. 
Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, 
D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o númeroindicado entre as letras 
informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento 
entre cada uma das cidades. 
 
 
 
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar 
os cinco clientes. 
Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os 
trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma 
sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. 
 
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é 
de 
a) 60 min. 
b) 90 min. 
c) 120 min. 
d) 180 min. 
e) 360 min. 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 6 de 17 
 
 
18. (Enem) Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO 
RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”. 
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma 
que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o 
espaçamento entre as letras. 
 
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por 
a) 9! 
b) 4! 5! 
c) 2 × 4! 5! 
d) 
9!
2
 
e) 
4!5!
2
 
 
19. (Epcar (Afa)) Dez vagas de um estacionamento serão ocupadas por seis carros, sendo: 3 
pretos, 2 vermelhos e 1 branco. 
 
Considerando que uma maneira de isso ocorrer se distingue de outra tão somente pela cor dos 
carros, o total de possibilidades de os seis carros ocuparem as dez vagas é igual a 
a) 12.600 
b) 16.200 
c) 21.600 
d) 26.100 
 
20. (Ueg) O número de anagramas que se pode formar com a palavra ARRANJO é igual a 
a) 21 
b) 42 
c) 5.040 
d) 2.520 
e) 1.260 
 
21. (Uerj) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e 
chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a 
criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. 
Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: 
 
(𝐵,  𝐵,  𝑀,  𝐶,  𝑀,  𝐶) ou (𝐵,  𝑀,  𝑀,  𝐶,  𝐵,  𝐶) ou (𝐶,  𝑀,  𝑀,  𝐵,  𝐵,  𝐶) 
 
O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: 
a) 6 
b) 90 
c) 180 
d) 720 
 
22. (G1 - ifal) Em uma civilização antiga, o alfabeto tinha apenas três letras. Na linguagem 
dessa civilização, as palavras tinham de uma a quatro letras. Quantas palavras existiam na 
linguagem dessa civilização? 
a) 4. 
b) 12. 
c) 16. 
d) 40. 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 7 de 17 
 
e) 120. 
 
23. (Upe) Na comemoração de suas Bodas de Ouro, Sr. Manuel e D. Joaquina resolveram 
registrar o encontro com seus familiares através de fotos. Uma delas sugerida pela família foi 
dos avós com seus 8 netos. Por sugestão do fotógrafo, na organização para a foto, todos os 
netos deveriam ficar entre os seus avós. 
De quantos modos distintos Sr. Manuel e D. Joaquina podem posar para essa foto com os 
seus netos? 
a) 100 
b) 800 
c) 40 320 
d) 80 640 
e) 3 628 800 
 
24. (Uerj) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a 
representação abaixo. 
 
 
 
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo 
X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. 
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, 
X equivale a: 
a) 20 
b) 15 
c) 12 
d) 10 
 
25. (G1 - ifpe) Os alunos do curso de Computação Gráfica do campus Olinda estão 
desenvolvendo um vídeo com todos os anagramas da palavra CARNAVAL. Se cada anagrama 
é mostrado durante 0,5 𝑠 na tela, a animação completa dura 
a) menos de 1 minuto. 
b) menos de 1 hora. 
c) menos de meia hora. 
d) menos de 10 minutos. 
e) mais de 1 hora. 
 
26. (Fatec) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro 
golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-
se para os Jogos Olímpicos do Rio, em 2016, queira criar uma sequência com 6 golpes, 
empregando necessariamente dois jabs, dois diretos, um cruzado e um gancho. 
 
Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar será de 
 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 8 de 17 
 
Lembre-se de que: 
 
Permutação com repetição 
𝑃𝑛
𝑘1,𝑘2,𝑘3,... =
𝑛!
𝑘1!𝑘2!𝑘3!...
 
a) 180. 
b) 160. 
c) 140. 
d) 120. 
e) 100. 
 
27. (G1 - ifsp) Um banco está testando um novo produto e disponibilizou a alguns dos seus 
clientes acesso via internet para esse produto, por meio de senhas compostas por cinco vogais 
distintas e dois números pares distintos, de 2 a 8, nessa ordem, ou seja, primeiro as vogais e 
depois os números. O número de clientes que podem acessar esse novo produto, via internet, 
é: 
a) 22. 
b) 3.520. 
c) 1.440. 
d) 180. 
e) 920. 
 
28. (Efomm) Quantos anagramas é possível formar com a palavra CARAVELAS, não havendo 
duas vogais consecutivas e nem duas consoantes consecutivas? 
a) 24 
b) 120 
c) 480 
d) 1.920 
e) 3.840 
 
29. (Acafe) Um grupo de seis amigos, sendo dois meninos e quatro meninas, estão 
comemorando a formatura do Ensino Médio. O fotógrafo solicitou ao grupo que se sentasse em 
um banco de seis lugares e que os meninos se sentassem nas extremidades do banco. Com 
essa configuração, o número de maneiras distintas que o grupo pode se sentar é de: 
a) 720 
b) 24 
c) 48 
d) 120 
 
30. (Upe) Oito amigos entraram em um restaurante para jantar e sentaram-se numa mesa 
retangular, com oito lugares, como mostra a figura a seguir: 
 
 
 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 9 de 17 
 
Dentre todas as configurações possíveis, quantas são as possibilidades de dois desses 
amigos, Amaro e Danilo, ficarem sentados em frente um do outro? 
a) 1 440 
b) 1 920 
c) 2 016 
d) 4 032 
e) 5 760 
 
31. (Unioeste) Quantas palavras podemos formar, independente se tenham sentido ou não, 
com as 9 letras da palavra BORBOLETA? 
a) 81 440. 
b) 90 720. 
c) 362 880. 
d) 358 140. 
e) 181 440. 
 
32. (Imed) Desenvolvido em 1835, pelo pintor e inventor Samuel Finley Breese Morse, o 
Código Morse é um sistema binário de representação a distância de números, letras e sinais 
gráficos, utilizando-se de sons curtos e longos, além de pontos e traços para transmitir 
mensagens. Esse sistema é composto por todas as letras do alfabeto e todos os números. Os 
caracteres são representados por uma combinação específica de pontos e traços [...] 
 
Fonte: FRANCISCO, Wagner de Cerqueria e. “Código Morse”; Brasil Escola. 
Disponível em <http://brasilescola.uol.com.br/geografia/codigo-morse.htm>. Acesso em 03 de 
outubro de 2017. 
 
 
Considerando o exposto no texto e um conjunto de sinais composto de 2 traços e 3 pontos, 
quantas mensagens podem ser representadas usando todos os elementos do conjunto? 
a) 120 mensagens 
b) 10 mensagens 
c) 20 mensagens 
d) 200 mensagens 
e) 30 mensagens 
 
33. (Unesp) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar 
do ponto 𝐴 ao ponto 𝐵 por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos 
sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”. O número de percursos 
diferentes que essa pessoa poderá fazer de 𝐴 até 𝐵 é: 
 
 
a) 95.040. 
b) 40.635. 
c) 924. 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 10 de 17 
 
d) 792. 
e) 35. 
 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 11 de 17 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Cinco crianças para cinco posições.𝑃5 = 5! = 120. 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
O número de possibilidades para a ordem dos quatros dígitos é dado por 𝑃4 = 4! = 24. 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Devemos distribuir 9 pessoas para nove lugares distintos, temos então uma permutação de 
nove elementos: 
P9 = 9! = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 =362880. 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
Permutando as letras S, T, I, B, U, L, temos, uma permutação simples: 
𝑉𝐸 ______⏟ 
𝑃6=6!=6.5.4.3.2.1=720
𝐴𝑅 
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
𝑉𝐸𝑆𝑇𝐼𝐵𝑈𝐿𝐴𝑅 ⇒ 𝑉𝑆𝑇𝐵𝐿𝑅 𝐸𝐼𝑈𝐴 
𝑃6 ⋅ 𝑃5 = 6! ⋅ 5! = 86400 
 
Foi feita uma permutação de 5 elementos (4 vogais + bloco das consoantes) e depois foi feita a 
permutação das consoantes. Portanto, a resposta correta é a letra [E]. 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
O número de anagramas em que as letras “edu” estejam juntas e nessa ordem é dado pela 
permutação das 4 letras com o bloco composto pelas três letras que devem permanecer juntas. 
Ou seja: 
5! = 120 
 
Descontando a sequência “eduardo”, teremos: 
120 − 1 = 119 
 
Resposta da questão 7: 
 [E] 
 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 12 de 17 
 
Tem-se 𝑃3 = 3! maneiras de dispor os três blocos de livros, 𝑃3 = 3! modos de organizar os 
livros de Álgebra, 𝑃2 = 2! maneiras de dispor os livros de Cálculo e 𝑃2 = 2! modos de dispor os 
livros de Geometria. Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, a resposta é 3!  ⋅ 3!   ⋅ 2!   ⋅
2! = 144. 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
 
 
Permutando as mulheres nas cinco primeiras posições, temos: 
𝑃5 = 5! = 120 
 
Calculando todas as sequências de três homens possíveis, escolhidos em um total de 8, temos: 
8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336. 
 
Portanto, o número de formas possíveis de fila que podem ser formadas e obedecendo a essas 
restrições são: 
𝑃 = 120 ⋅ 336 = 40.320 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Existem 𝑃8 = 8! maneiras de acomodar os adultos e 8 maneiras de escolher o colo em que 
sentará o bebê. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 8 ⋅ 8!. 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
O número de maneiras de ir de 𝐴 até 𝐵, passando ou não por 𝐶, é dado por 
𝑃7
(4, 3)
=
7!
4!   ⋅ 3!
= 35. 
 
O número de maneiras de ir de 𝐴 até 𝐶 é igual a 
𝑃4
(2, 2)
=
4!
2!   ⋅ 2!
= 6, 
 
enquanto que o número de maneiras de ir de 𝐶 até 𝐵 é 
𝑃3
(2)
=
3!
2!
= 3. 
 
Desse modo, pelo Princípio Multiplicativo, é possível ir de 𝐴 até 𝐵, passando por 𝐶, de 6 ⋅ 3 =
18 maneiras. 
A resposta é 35 − 18 = 17. 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 13 de 17 
 
As cinco pessoas podem ser fotografadas de 𝑃5 = 5! = 120 maneiras. Dentre estas, as duas 
pessoas que se recusam a ficar lado a lado podem aparecer juntas de 𝑃4 ⋅ 𝑃2 = 4!  ⋅ 2! = 48 
modos. Portanto, segue que a resposta é 120 − 48 = 72. 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
𝑃𝑛
𝛼,𝛽,𝜃,...
=
𝑛!
𝛼!𝛽!𝜃!...
⇒ 𝑃8
5,3 =
8!
5!3!
= 56 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
O resultado é dado por 
 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Considere 16 posições consecutivas de uma fila, em que as posições de ordem ímpar serão 
ocupadas pelos 8 filmes de ação, as 5 primeiras posições de ordem par serão ocupadas pelos 
filmes de comédia, e as 3 últimas posições de ordem par serão ocupadas pelos filmes de 
drama. Daí, os filmes de ação podem ser dispostos de 𝑃8 = 8! modos, os de comédia de 𝑃5 =
5! maneiras e os de drama de 𝑃3 = 3! possibilidades. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, 
segue-se que o resultado é 8! × 5! × 3!. 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
Começando com 1: 4! = 24 
Começando com 3: 4! = 24 
Começando com 5: 4! = 24 
Começando com 71: 3! = 6 
Começando com 73: 3! = 6 
Começando com 751: 2! = 2 
Começando com 753: 2! = 2 
O próximo será 75913 
 
Logo, 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89 (octogésima nona posição). 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
 
Existem 10 ⋅ 10 = 102 maneiras de escolher os dois algarismos e 52 ⋅ 52 = 522 maneiras de 
escolher as letras. Definidos os caracteres da senha, podemos dispô-los de 𝑃4
(2, 2)
=
4!
2! ⋅2!
 
modos. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 102 ⋅ 522 ⋅
4!
2! ⋅2!
. 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
(4, 2, 4)
10
10!
P 3150.
4! 2! 4!
= =
 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 14 de 17 
 
 
5! = 120 sequências possíveis para se visitar as 5 cidades. Desconsiderando as simétricas, 
termos 60 sequências para visitar, logo o tempo necessário será de 1,5. 60 = 90 minutos. 
 
Resposta da questão 18: 
 [E] 
 
Como existem quatro vogais e cinco consoantes, a única configuração possível é 
𝑐1𝑣1𝑐2𝑣2𝑐3𝑣3𝑐4𝑣4𝑐5, 
 
em que cada 𝑐𝑖 representa uma consoante e cada 𝑣𝑖 representa uma vogal. 
Desse modo, temos 𝑃5
(2)
=
5!
2!
 maneiras de dispor as consoantes e 𝑃4 = 4! modos de intercalar 
as vogais. 
Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 
5!
2
⋅ 4!. 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
Considerando que as quatro vagas desocupadas são objetos idênticos, segue que o resultado 
é dado por 
 
(3, 2, 4)
10
10!
P
3! 2! 4!
10 9 8 7 6 5
3 2 2
12600.
=
 
    
=
 
=
 
 
Resposta da questão 20: 
 [E] 
 
O cálculo será obtido fazendo uma permutação de 7 elementos com repetição de dois deles. 
𝑃7
2,2 =
7!
2!⋅2!
= 1260. 
 
Resposta da questão 21: 
 [B] 
 
Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que o resultado pedido é 
dado por 
 
𝑃6
(2, 2, 2)
=
6!
2! ⋅2! ⋅2!
= 90. 
 
Resposta da questão 22: 
 [E] 
 
Como as palavras tem até quatro letras temos a seguinte situação: palavras com uma, duas, 
três ou quatro letras. Logo: 
3 + (3 × 3) + (3 × 3 × 3) + (3 × 3 × 3 × 3) = 120 
 
Resposta da questão 23: 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 15 de 17 
 
 [D] 
 
Supondo que todos aparecerão na foto lado a lado, temos 2 possibilidades para os avós e 𝑃8 =
8! = 40320 possibilidades para os netos. Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, 
existem 2 ⋅ 40320 = 80640 maneiras distintas de fazer a foto. 
 
Resposta da questão 24: 
 [B] 
 
 
O menor caminho será formado por dois lados inclinados (decidas) e quatro lados horizontais. 
𝑃6
2,4 =
6!
2!.4!
= 15 
 
Resposta da questão 25: 
 [B] 
 
O número de anagramas da palavra CARNAVAL será dado por: 
𝑃8
3 =
8!
3!
= 6720 𝑎𝑛𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠. 
 
Como são 0,5 𝑠 para cada anagrama, o tempo total será: 
6720 × 0,5 = 3360 𝑠 (menos que 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 = 3600 𝑠) 
 
Ou seja, a resposta correta é a opção [B], menos de 1 hora. 
 
Resposta da questão 26: 
 [A] 
 
Utilizando a permutação simples com repetição de elementos, pode-se escrever: 
𝑃6
2;2 =
6!
2! ⋅2! ⋅1! ⋅1!
=
6⋅5⋅4⋅3⋅2!
2! ⋅2⋅1
→ 𝑃6
2;2 = 180 
 
Resposta da questão 27: 
 [C] 
 
Considerando as vogais: 𝑎,  𝑒,  𝑖,  𝑜 e 𝑢; existem 𝑃5 = 5! modos de dispor as vogais, 4 modos de 
escolher o primeiro algarismo par e 3 modos de escolher o segundo algarismo par. Portanto, 
pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 5!  ⋅ 4 ⋅ 3 = 1.440. 
 
Resposta da questão 28: 
 [C] 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 16 de 17 
 
 
A palavra CARAVELAS possui 5 consoantes e 4 vogais, a única configuração possível dos 
anagramas que apresenta as vogais e consoantes alternadas será dada abaixo, onde 𝐶𝑂 é 
uma consoante e 𝑉𝑂 é uma vogal. 
 
 
 
Temos então 5 consoantes distintas e 4 vogais com 3 repetidas. Logo, o número 𝑁 de 
anagramas pedido será dado por: 
𝑁 = 𝑃5 ⋅ 𝑃4
3 = 5! ⋅
4!
3!
= 480 
 
Resposta da questão 29: 
 [C] 
 
Existem duas escolhas para a primeira extremidade e uma escolha para a segunda 
extremidade. Ademais, as meninas podem ser dispostas de 𝑃4 = 4! = 24 maneiras. 
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a respostaé 2 ⋅ 1 ⋅ 24 = 48. 
 
Resposta da questão 30: 
 [E] 
 
Existem 4 escolhas para os acentos em que sentarão Amaro e Danilo. Definidos os assentos 
que eles ocuparão, ainda podemos permutá-los de 2 maneiras. Além disso, as outras seis 
pessoas podem ser dispostas de 6! maneiras. 
Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue que o resultado pedido é 
 
 4 ⋅ 2 ⋅ 6! = 5.760. 
 
Resposta da questão 31: 
 [B] 
 
Calculando o número de anagramas da palavra BORBOLETA. (Observe que as letras O e B 
parecem duas vezes cada). 
 
𝑃𝑝
2,2 =
9!
2!.2!
=
9⋅8⋅7!
4
= 18 ⋅ 5040 = 90720 
 
Resposta da questão 32: 
 [B] 
 
A questão não é muito clara no enunciado, pois “mensagens” poderia ser entendido como 
formação de palavras/números. Assim, seria necessário primeiro verificar quantas letras e/ou 
números podem ser escritos com 2 traços e 3 pontos. Como não são todas as combinações de 
símbolos que possuem significado no Código Morse, essa interpretação torna a questão sem 
resolução. 
 
Assim, a solução alternativa seria verificar quantas representações gráficas seria possível fazer 
com 2 traços e 3 pontos. Trata-se de um problema de permutação com repetição. Calculando: 
𝑃5
3,2 =
5!
3!⋅2!
=
5⋅4
2
= 10 
 
@matematicacomarua 
LISTA DE EXERCÍCIOS – PERMUTAÇÃO – PROFESSOR ARUÃ DIAS 
 
Página 17 de 17 
 
 
Resposta da questão 33: 
 [D] 
 
𝐷 = para direita 
𝐶 = para cima 
 
Em qualquer caminho mais curto a pessoa terá que se deslocar 7 vezes para direita e 5 vezes 
para cima, em qualquer ordem. 
 
Exemplo: 𝐷𝐷𝐶𝐷𝐶𝐷𝐷𝐶𝐶𝐷𝐶𝐷 
 
Logo, o número de percursos será dado por: 
𝑃12
7,5 =
12!
7!⋅5!
= 792