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Mecânica Geral M A T E R I A L T E Ó R I C O Unidade III: Equilíbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Responsável pelo Conteúdo: Prof. Dr. João Pacheco B. C. de Melo Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga Revisão Técnica: Prof. Ms. Victor Barbosa Felix Revisão Textual: Prof. Dr. Jaime Sandro da Veiga Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 1 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br zzzzzzzzzzzzzzz Orientação de Estudos Olá caros alunos, Sejam bem-vindos a mais uma unidade de ensino e de aprendizagem da disciplina de Mecânica Geral. Espero que tenham um excelente estudo e um bom aproveitamento. Há nesta unidade atividades que contemplam exercícios de sistematização e aprofundamento do conteúdo em que aplicamos o que aprendemos sobre o Equilíbrio do Ponto Material e Momento de uma Força. A T E NÇ Ã O: Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar as atividades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma. Olá, Caros Alunos: Nesta unidade, abordaremos o Equilíbrio do Ponto Material, a fim de introduzir o primeiro tipo de condição para ocorrência de um equilíbrio estático: o equilíbrio de forças externas. Além disso, para estabelecer o equilíbrio estático de corpos extensos, além do equilíbrio de forças, é necessário haver um equilíbrio de momentos. A segunda parte desta unidade visa apenas a introduzir o conceito de momento e como determiná-lo em alguns casos. Nesta unidade, não será estabelecida a condição de equilíbrio rotacional para corpos extensos, pois um tratamento mais detalhado será feito na próxima unidade. A Estrutura do Parágrafo , conhecendo mais os tópicos frasais, seu desenvolvimento e os tipos existentes, e Os Tipos de Desenvolvimento de Parágrafos, que mostrará como melhorar sua redação. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 2 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Contextualização Nesta unidade III, iremos estudar o equilíbrio estático em pontos materiais, objetos que podem ser considerados, dentro de certa aproximação, com dimensões desprezíveis. O ponto fundamental para o equilíbrio entre as forças agindo em um corpo é que estas forças devem resultar em uma força total – a força resultante – nula. Em outras palavras, para que um corpo fique parado, a soma total de todas as forças agindo sobre o corpo deve ser zero. Devemos ficar atentos para a utilização, neste capítulo, de várias ferramentas matemáticas vistas na unidade I e II, principalmente, vetores e suas operações, somatórios de forças etc., uma vez que forças que são adicionadas para se alcançar a condição de equilíbrio são grandezas vetoriais. Mais do que isto, para o cálculo do momento de uma força, na segunda parte desta unidade, há a utilização do produto vetorial na definição do momento, assim como do produto escalar, para a decomposição desse momento em uma componente na direção de um eixo de rotação. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 3 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Equilíbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Introdução: Condição de Equilíbrio Nesta parte do curso, tratamos do equilíbrio de uma partícula ou ponto material. Temos de descrever quais são as condições necessárias e suficientes para manter um ponto material na situação de equilíbrio sob a ação de um conjunto de forças. Entende-se aqui por força como sendo o agente capaz de levar a modificações no estado de movimento do ponto material ou ainda a deformações em um corpo semirrígido. Notamos que estes efeitos, tem uma grande dependência não somente da intensidade da força aplicada, mas também em relação à direção e sentido, o que caracteriza uma força como uma grandeza vetorial. Um ponto material é um corpo cujas dimensões são desprezíveis quando comparadas às outras dimensões envolvidas. Um corpo material (doravante ponto material) se encontra em equilíbrio, se está em repouso ou tenha uma velocidade constante, o que implica uma aceleração igual a zero. Os fatos acima estão baseados na 1ª Lei de Newton: Uma partícula (ou ponto material) permanece no seu estado de repouso ou de movimento retilíneo e uniforme a menos que uma força resultante externa altere seu estad0 de movimento. Estas condições também podem ser expressas pela equação abaixo: em que a soma vetorial engloba todas as forças atuando sobre o ponto material em questão. Notamos que a 1ª Lei de Newton é decorrência da 2ª Lei de Newton, que pode ser escrita, para massa constante, conforme é apresentada a seguir: o que equivale a ter uma aceleração resultante igual a zero. Logo, o ponto material ou está em repouso ou tem uma velocidade constante. A fim de isolar as forças que atuam sobre um corpo ou sobre um ponto material, utilizamos a noção de diagrama de corpo livre, que consiste em isolar o corpo material que queremos estudar, livre de todos os outros corpos materiais e apenas com as forças que agem neste. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 4 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Sistema de Forças Dados um sistema de forças atuando em um ponto material P, a resultante do sistema de forças é a força , dada pela soma vetorial: Podemos escrever essa equação como: Figura 1: Vetores de forças concorrentes e coplanares. Se conhecermos as expressões cartesianas para as forças, teremos que: Fazendo-se a soma de cada componente na equação acima, obtemos: Assim, podemos escrever a força resultante como: Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 5 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força O módulo para a força resultante é dado por: Podemos determinar a direção da força resultante a partir das equações abaixo: ou Exemplo 1: Dada um conjunto de forças aplicadas ao ponto P, como mostra a figura abaixo. Determinar a força resultante e sua direção. Figura 2: Três forças coplanares com suas respectivas intensidades e direções. Solução: O primeiro procedimento em problemas deste tipo é fazer a decomposição das forças que estão agindo no corpo, que na figura é denotado por P. Dessa forma, teremos que: Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 6 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momentode uma Força Fazendo-se a adição de cada componente em separado, teremos que a força resultante é dada por: e a direção é dada pelo ângulo Logo temos que o ângulo Teorema de Lamy Para um sistema de forças em equilíbrio, se no caso termos somente três forças que atuam sobre um ponto P, pode-se expressar o seguinte teorema (conhecido como teorema de Lamy): Se um ponto material sujeito a ação de três forças está em equilíbrio, os módulos das forças serão proporcionais aos senos dos ângulos determinados pelas outras duas forças: Figura 3: Esquematização de três forças coplanares para o Teorema de Lamy. Exemplo 2 - (aplicação do teorema de Lamy) Seja um sistema de forças conforme descrito pela figura abaixo, Fig. 4. O peso do corpo é de 60 N. Ache o valor da tensão nos fios sabendo que o sistema está em equilíbrio. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 7 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Figura 4: Um corpo é mantido suspenso por duas forças de tração. Os respectivos ângulos são mostrados. Solução: Note que o valor do ângulo não foi fornecido. Este é encontrado facilmente, sabendo-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo plano é igual a 180°. Logo, . Agora, o isolamento do ponto P a fim de podermos aplicar o teorema de Lamy será mostrado na figura a seguir: Figura 5: O mesmo problema da figura anterior com os valores dos ângulos dados. Os ângulos e são iguais, uma vez que na figura original. Como a soma dos ângulos do círculo completo é igual a 360°, resultam os valores para e . Consequentemente, pelo Teorema de Lamy, agora podemos escrever: Da equação abaixo: resulta que Também temos que: Sabendo-se que e que obtemos: Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 8 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Logo, é necessário que para manter o sistema em equilíbrio estático. Note que poderíamos ter resolvido este exemplo pelo método da decomposição das forças no plano cartesiano (x, y) com as resultantes da soma das forças sendo igualadas a zero, a saber: Plano Cartesiano Ao trabalhar no plano estamos na verdade trabalhando no plano cartesiano. Este foi o caso dos dois exemplos resolvidos anteriormente. Por conseguinte, no plano de forças coplanares, temos que: Para que este conjunto de equações vetoriais seja verdadeiro, temos a seguir um sistema de equações: Daremos um exemplo de como utilizar este conjunto de equações de equilíbrio de forças na resolução de problemas de pontos materiais estáticos. Exemplo 3: Seja uma situação conforme a apresentada na figura abaixo, em que uma máquina de 500 kg (representada por um bloco na figura) está em equilíbrio estático. Ache a tensão nos respectivos cabos necessária para a sustentação da máquina em equilíbrio. Figura 6: Uma massa é suspensa por dois fios presos a duas paaredes. Solução: Podemos resolver este problema de dois modos: Aplicando-se o teorema de Lamy ou utilizando as equações para forças coplanares conforme exposto anteriormente. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 9 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Primeiro método - A máquina pesa . Decompondo as forças que atuam no equilíbrio da máquina, teremos que: e Para , obtemos o valor de : Com o valor de em mãos, pode ser calculado: Segundo Método - Teorema de Lamy: Isolando-se o ponto onde todas as forças em questão são aplicadas, temos a situação representada na figura a seguir: Figura 7: Esquema de forças e seus respectivos para aplicação do Teorema de Lamy. A soma dos ângulos é . Logo, pelo teorema de Lamy, temos: Resolvendo esse sistema, resulta em: Assim, com o Teorema de Lamy, chegamos ao mesmo resultado. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 10 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Exemplo 4: Um corpo de peso de é mantido em equilíbrio por intermédio de um fio e pela aplicação de uma força horizontal. A distância AB é de e a distância entre a parede e o corpo AC é de . Calcule o valor da força e a tensão na corda. Note que não são dados os ângulos e . Figura 8: Problema semelhante ao anterior, mas sem fornecer diretamente os ângulos. Solução: O ângulo pode ser determinado calculando-se sua tangente a partir da figura com respeito ao triângulo retângulo ABC. Para tanto, utilizamos o teorema de Pitágoras para calcular o comprimento do cateto oposto: logo Assim, podemos encontrar o valor do ângulo Agora, a partir das componentes horizontal e vertical da força de tensão juntamente com a força (balanço de forças), temos as seguintes equações para o equilíbrio de forças estáticas: Isolando a tensão nas duas equações e dividindo a de baixo pela de cima, a tensão é eliminada, recaindo na equação: Da segunda equação é possível fazer a determinação do valor da tensão na corda: Fica como sugestão para o leitor resolver este problema aplicando o teorema de Lamy. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 11 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Momento de uma Força Quando aplicamos uma força a certo corpo, o qual tem um eixo fixo, pode-se provocar um movimento de rotação no corpo em questão. De um modo geral, o sentido do movimento de rotação que é produzido pela força aplicada ao corpo depende do sentido da força e também da posição a qual é aplicada a força em relação ao eixo fixo do corpo. A intensidade do momento de uma força é dada pelo produto do módulo da força pela distância do eixo de rotação à linha de ação da mesma, ou seja, Algumas vezes, o d na equação acima é denominado de braço de alavanca, apesar de este conceito poder ser aplicado a pontos materiais que estão em um movimentoem torno da origem de um sistema de referência como, por exemplo, o movimento de planetas em torno do Sol. Para pontos materiais, não há qualquer alavanca, mas a terminologia se refere ao uso do momento de uma força em máquinas simples, como as alavancas. O braço de alavanca é caracterizado como sendo a distância do ponto O (ponto este em torno do qual o corpo pode girar quando a força é aplicada) ao ponto de aplicação da força. A distância d é sempre medida na perpendicular a partir do ponto O à linha de ação da força. Note que o produto acima pode ser positivo ou negativo; no caso de ser positivo, temos o movimento de rotação no sentido anti-horário, e negativo no sentido oposto, o horário. No entanto, o momento de uma força não é somente caracterizado pela sua intensidade; devemos também dar a sua direção e sentido. Deste modo, para tanto, utilizamos a regra da mão direita: Os dedos da mão direita devem ser curvados para acompanhar o sentido de rotação da força aplicada. O dedo polegar da mão direita dará o sentido e a direção do momento da força. A figura a seguir serve para dar uma ideia do que foi discutido, onde uma força é aplicada em um corpo qualquer e o braço de alavanca d, perpendicular à direção de aplicação da força: Figura 9: Força aplicada para girar o objeto em torno do ponto P. Observe o braço de alavanca d. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 12 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força O momento de uma força também é conhecido com torque ou binário de forças (este último é aplicado em corpos rígidos). Podemos perceber que o momento de uma força é proporcional à intensidade da força e à distância que essa força é aplicada do eixo de rotação. Além disso, ela é máxima sempre que essa distância e a força formem um ângulo reto entre si. A fórmula para o momento de uma força pode ser generalizada para situações em que a força não se encontra em uma direção perpendicular à distância do eixo de rotação, mas formando um ângulo qualquer entre os vetores, conforme a figura a seguir: Figura 10: Várias formas de decompor os vetores para o cálculo do momento. Se os vetores força e a posição da força, , esta com módulo igual a d, podemos escrever o vetor momento como: Na figura anterior, todas as três possibilidades de decomposição resultam no mesmo valor do momento. Podemos notar que o momento aponta para fora do plano definido pelos dois vetores, O vetor momento em três dimensões é dado pelo produto vetorial abaixo (percebemos que a componente z é o valor do momento para a força e o braço de alavanca, situados no plano Oxy): Uma forma prática de calcular o momento , já que ele constitui um produto vetorial, é pelo determinante: Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 13 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Resultando no mesmo vetor da expressão anterior. Exemplo 1: (Momento em torno de um eixo) Dada uma força: atuando em um ponto P cuja posição é dada por , qual é o momento em torno de um eixo passando através da origem O com direção ? Solução: A componente do momento na direção do vetor é dada pelo produto escalar: O vetor é dado por: Assim, O momento procurado é dado por: Formas Especiais de Denotar o Vetor Momento Nenhuma das notações especiais para rotações é necessária porque o momento é um vetor como outro qualquer. Todavia, é muito comum encontrar em livros ou em outros textos uma notação que sugere a natureza rotacional dessas quantidades. A Figura 11 apresenta formas de representar o momento em duas dimensões (a) e três dimensões (b e c). Exemplo 2: (Momento de uma força) A força atua em um ponto A de um objeto que possui um eixo de rotação passando por O, conforme mostrado na Figura 12. A distância OA mede 2 m. Determine o momento da força em torno do eixo no ponto O. Solução: O momento é dado por (o símbolo entre dois vetores indica um produto vetorial): 41 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 14 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Figura 11: Formas de se representar o momento em 2D (a) e 3D (b e c). Lembrando que e , podemos escrever: Figura 12: Corpo capaz de girar em torno do ponto O com uma força aplicada em A. Exemplo 3: Uma placa quadrada de 2m x 2m é pendurada por um de seus vértices. No vértice diagonalmente oposto, uma força de 50 N é aplicada por uma corda AB que o está puxando. Determine o momento da força aplicada em torno do centro C utilizando: a) A componente da força perpendicular a b) O braço de alavanca (a distância a partir de C perpendicular à força); c) Os vetores Figura 13: Uma placa quadrada pendurada pelo vértice O e puxada por uma corda presa ao vértice A. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 15 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Solução: a) Para encontrar o momento em torno do ponto C, precisamos encontrar a componente de perpendicular a AC. Pela figura, vemos que a componente desejada é , com Daí, A direção e o sentido do momento são dados pela regra da mão direita, girando os dedos de na direção de , o que dará isto é, o vetor está entrando na página. Assim, b) O braço de alavanca é a distância perpendicular a linha de ação da força a partir do ponto C. Esta distância perpendicular é dada por Veja a figura para uma melhor orientação: Figura 14: Diagrama esquemático dos vetores, ângulo e braço de alavanca d. Portanto, o momento de em torno de C é c) O vetor 2 , pois a diagonal de um quadrado é igual ao comprimento do lado multiplicado por o vetor é dado por Perceba que o vetor momento poderia ser calculado pelo produto vetorial: Portanto, há várias formas equivalentes de se calcular o momento de uma força. Exemplo 4: (Só para ir preparando o caminho para a próxima unidade!) Um peso de 445 N é pendurado por duas cordas, conforme a Figura 15. Determine as forças , as respectivas tensões nas cordas. Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 16 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Figura15: Um corpo de peso W está preso por duas cordas no ponto P. As forças de tensão aparecem no diagrama de baixo. Solução: Método 1: Fazendo a decomposição das forças nas componentes horizontal e vertical, temos: Isto significa que cada um dos somatórios deve se anular: Logo, e A solução do sistema é Método 2: Construindo o vetor e fazendo o produto vetorial com o vetor , temos: O resultado é Percebe-se que nos dois parênteses aparecem somas, o que poderia sugerir a existência de um somatório. Podemos notar também que cada termo da soma possui unidade de momento (N.m), o que nos leva a concluir que o somatório é para cada momento das duas forças que são escritas como A e B. E se o valores Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 17 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força somatório dos momentos for nulo para situações estáticas (tal qual para as forças), recaímos no mesmo par de equações para e , resultando nos mesmos valores Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 18 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Material Complementar Existem muitos sites excelentes na web sobre o assunto Equilíbrio do Ponto Material e Momento de uma Força. A seguir, listaremos alguns que julgamos interessantes: http://www.estudefisica.com.br/etrb/1_ano/problemas_proposto s/TP_V1_CAP_18.pdf http://www.infoescola.com/fisica/equilibrio-estatico/ E para complementar seus conhecimentos, visite também: http://www.brasilescola.com/fisica/equilibrio-um-ponto-material.htm http://www.mecanicavetorial.com/menu_estrela.swf http://rived.mec.gov.br/atividades/concurso2006/pontos/inde x.html Depois de ler o material e se informar sobre o assunto, vamos pôr em prática esses conhecimentos nas atividades! Bom trabalho! Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 19 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Anotações _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Campus Virtual Cruzeiro do Sul | 20 | www.cruzeirodosulvirtual.com.br Unidade III: Equil íbrio do Ponto Material e Momento de uma Força Referências BEER, F.P. & JOHNSTON JUNIOR, E.R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5ª Edição; São Paulo, Makron Books do Brasil, 2005. HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para Engenharia. 10ª edição; São Paulo, Pearson Prentice Hall , 2006 (e-book). MERIAM, J.L. Mecânica: Estática. 4ª Edição; Rio de Janeiro, LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1997. GIACAGLIA, G.E.O. Mecânica Geral. 7ª Edição; São Paulo, Nobel, 1977. www.cruzeirodosul.edu.br Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, 868 01506-000 São Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000 Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br