Juros Compostos

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SISTEMA DE ENSINO
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA
Juros Compostos
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Sumário
Apresentação ................................................................................................................................... 3
Juros Compostos ............................................................................................................................. 4
1. Taxas de Juros .............................................................................................................................. 4
1.1. Taxa de Juros Nominal e Efetiva ............................................................................................ 9
1.2. Taxas de Juros Equivalentes .................................................................................................12
1.3. Taxa de Juros Real e Aparente ..............................................................................................19
2. Comparação entre Juros Simples e Compostos ................................................................. 30
2.1. Cindibilidade do Prazo ........................................................................................................... 35
3. Tópicos Adicionais sobre Juros Compostos ........................................................................ 37
3.1. Logaritmos ............................................................................................................................... 37
3.2. Capitalização Contínua ........................................................................................................ 39
3.3. Convenção Linear ..................................................................................................................42
Resumo ............................................................................................................................................46
Mapas Mentais ..............................................................................................................................48
Questões Comentadas em Aula ..................................................................................................51
Questões de Concurso ................................................................................................................. 59
Gabarito ...........................................................................................................................................111
Apêndice ......................................................................................................................................... 112
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ApresentAção
Olá, amigo(a), tudo bem? Seja bem-vindo(a) a mais uma aula do curso de Matemática Fi-
nanceira. Está animado(a)?
Nesta aula, falaremos sobre os Juros Compostos. Segundo Einstein: “os juros compostos 
são a oitava maravilha do mundo.”
Esse tipo de aplicação pode ser realmente maravilhoso para você, quando você é um inves-
tidor e está ganhando dinheiro com ela. Porém, pode morar nos seus pesadelos quando você 
tem uma dívida.
Além disso, a maior parte das aplicações seguem a lógica de juros compostos, por isso, 
esse assunto é uma base fundamental para qualquer prova.
Como veremos, é um assunto que as bancas gostam bastante de cobrar, portanto precisa-
mos ficar de olho nele para acertar todas as questões.
Como de costume, preparei uma lista de questões resolvidas para você onde inclui um bom 
número de questões de alto nível para que você esteja preparado(a) para um certame extrema-
mente rigoroso.
E, agora, vamos juntos explorar esse pedaço da matéria?
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JUROS COMPOSTOS
1. tAxAs de Juros
No regime de juros compostos, todo o saldo da aplicação é capitalizado – tanto o prin-
cipal como os juros. Esse enunciado também pode aparecer em questões teóricas da se-
guinte forma:
Obs.: � no regime de juros compostos, há capitalização de juros.
Os juros compostos derivam do crescimento natural de populações. Por exemplo, conside-
re um empréstimo de R$1000 capitalizado mensalmente a uma taxa de juros de 10% ao mês.
Como você emprestou R$1000 para alguém te pagar daqui a um mês juros de 10%, isso 
totalizaria R$1100.
Nesse mês, você teria duas opções: receber de volta os R$1100 ou refazer o empréstimo. 
No segundo caso, é natural que você queira receber juros sobre todo o capital de R$1100 e 
receber juros de 10% sobre R$1100 (R$110).
Caso contrário, se você fosse receber juros apenas sobre o capital inicial de R$1000, você 
emprestaria somente R$1000.
Figura 1: Regime de Capitalização Composta
Observe que, a cada período de capitalização, todo o montante acumulado é capitalizado 
– não somente o principal, mas também os juros anteriormente recebidos.
Seja Mio montante acumulado no mês i após o início de um investimento em juros compos-
tos. Pode-se escrever que esse montante é igual ao montante anterior mais os juros recebidos.
Por sua vez, os juros recebidos são calculados pela fórmula geral da capitalização, porém, 
incidindo sobre todo o montante acumulado previamente.
Quando a taxa de juros e a capitalização estão na mesma unidade de tempo, podemos 
dizer que o período de capitalização é igual a 1.
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Essa condição que acabamos de explicar é de extrema importância, pois ela será mais 
explorada na seção em que fazemos uma comparação entre juros simples e compostos, e é 
muito frequente em provas de concursos públicos.
Para entender o que queremos dizer com isso, volte à Figura 1. Nela, tratamos um emprés-
timo com uma taxa de juros de 10% ao mês com capitalização mensal.
Essa equação é uma típica progressão geométrica, que possui as seguintes características:
Nessa equação, M0 é o primeiro termo, ou seja, o capital acumulado no mês 0 que corres-
ponde justamente ao capital inicial. Já a razão dessa progressão é o termo (1+i). Sendo assim, 
pode-se escrever o termo geral, isto é, o capital acumulado em um mês qualquer, como:
Obs.: � caso você se lembre da expressão do termo geral de uma progressão, você deve se 
lembrar da seguinte expressão:
Nessa expressão, tem-se o (n-1) no expoente, porque a progressão começa no termo a1. 
No nosso problema de juros compostos, começamos no mês 0, por isso, o primeiro termo é a0. 
É uma sutil diferença.
De qualquer maneira, você pode simplesmente memorizar a expressão deduzida para o 
montante acumulado numa operação de juros compostos. Vamos repeti-la:
Em questões de juros compostos, é relativamente comum ser pedido para calcular os juros 
recebidos na aplicação. É possível deduzir uma expressão para eles:
Note, porém, que tal expressão não é muito elegante nem fácil de memorizar. Por isso, a 
minha recomendaçãoé que você sempre calcule o montante final e obtenha os juros como a 
diferença entre o montante final e o capital inicial investido.
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001. (FCC/METRÔ-SP/ANALISTA DESENVOLVIMENTO GESTÃO JÚNIOR/ADMINISTRA-
ÇÃO DE EMPRESAS/2014) Joaquim pretende comprar um carro no valor de R$12.500,00 e 
fará um depósito bancário. Sabendo-se que a taxa de juros do Banco A é de 6% ao ano, e que 
ele deverá resgatar o total do valor do carro, ao final de 12 meses, o valor principal a ser depo-
sitado por Joaquim deve ser de:
a) R$12.083,33.
b) R$10.000,00.
c) R$11.792,45.
d) R$7.500,00.
e) R$3.472,22.
Joaquim pretende acumular um montante de R$12.500 ao final dos 12 meses (ou 1 ano). Por-
tanto, o capital que ele deve investir é dado pela expressão dos juros compostos:
Letra c.
002. (CESPE/STM/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2011) A diferença entre a re-
muneração de capital - devido a empréstimo, investimento etc. - nos regimes de juros simples e 
compostos dá-se pelo fato de que, no caso de juros compostos, o cálculo da remuneração por 
determinado período é feito sobre o capital inicial acrescido dos rendimentos nos períodos an-
teriores, e, no caso de juros simples, a remuneração é calculada apenas sobre o capital inicial.
É exatamente isso! No regime de juros simples, a capitalização incide apenas sobre o capital 
inicial. Não ocorre a capitalização dos juros.
Certo.
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003. (CESPE/TCE-SC/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO/2016) Pedro aplicou R$ 
10.000 em uma instituição financeira pelo prazo de 3 meses consecutivos. A taxa de juros 
compostos dessa aplicação no primeiro mês foi de 5%; no segundo mês, de 10%; e no terceiro, 
de 8%. Nessa situação, Pedro, ao final do terceiro mês, recebeu de juros mais de R$ 2.400.
Uma boa questão para começarmos a treinar a expressão dos juros compostos. No primeiro 
mês, Pedro recebe juros de 5% sobre o seu capital inicial investido.
O montante acumulado no primeiro mês, portanto, será de:
No mês seguinte, Pedro recebe juros de 10% sobre o montante previamente acumulado no mês 1.
O montante acumulado no segundo mês, portanto, será de:
No mês seguinte, Pedro recebe juros de 8% sobre o montante previamente acumulado no mês 2.
Apenas por curiosidade, o montante acumulado no terceiro mês será de:
Os juros recebidos podem ser calculados de duas formas diferentes:
Por fim, podemos representar graficamente a situação:
Certo.
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004. (CESPE/SEFAZ-RS/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL/2019) Uma dívida de R$ 
5.000 foi liquidada pelo valor de R$ 11.250, pagos de uma única vez, dois anos após ter sido 
contraída. Nesse caso, no regime de juros compostos, a taxa anual de juros empregada nesse 
negócio foi de:
a) 5%.
b) 12,5%.
c) 25%.
d) 50%.
e) 62,5%.
Pelo enunciado, temos que:
Vamos substituir esses dados na equação dos juros compostos:
Podemos extrair a raiz quadrada:
Letra d.
005. (FCC/FUNAPE/ANALISTA DE GESTÃO PREVIDENCIÁRIA/2017) A quantia de 
R$41.212,04 é o montante de aplicação de R$40.000,00, durante 3 meses, a uma taxa mensal de:
a) 1,0%.
b) 0,9%.
c) 0,8%.
d) 0,7%.
e) 1,1%.
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Acho chatas essas questões em que o(a) aluno(a) deve supor se o enunciado fala de juros 
simples ou compostos. Em linhas gerais, posso dizer que os juros compostos são operações 
mais comuns no mercado, portanto prefira juros compostos. Dessa forma, vamos aplicar a 
equação dos juros compostos:
Não se preocupe. Você não vai precisar tirar nenhuma raiz cúbica na hora da prova. Basta tes-
tar as taxas de juros fornecidas pelo enunciado.
Por sorte, conseguimos o valor procurado logo na letra “a”.
Letra a.
1.1. tAxA de Juros nominAl e efetivA
Na seção anterior, vimos uma condição muito importante para que a expressão do montan-
te acumulado em juros compostos seja válida: a taxa de juros deve estar na mesma unidade 
de tempo da capitalização.
Quando a taxa de juros está num período diferente da capitalização, ela é denominada taxa 
de juros nominal. São exemplos:
• 12% ao ano (capitalizada mensalmente);
• 24% ao ano (capitalizada semestralmente);
• 1% ao mês (capitalizada trimestralmente).
A taxa de juros nominal não deve ser utilizada para efetuar contas.
Quando um problema fornece uma taxa de juros nominal, ela deve ser convertida em uma 
taxa efetiva para que as contas possam ser efetuadas.
Essa conversão é muito simples e muito cobrada em concursos. Lembre-se de que a taxa 
de juros nominal é sempre proporcional à taxa de juros efetiva, ainda que a operação seja de 
juros compostos.
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Figura 2: Taxa de Juros Nominal e Efetiva
006. (FGV/IBGE/ANALISTA DE RECURSOS MATERIAIS E LOGÍSTICA/2016) Um investimen-
to tem taxa nominal de 18% ao ano, capitalizados mensalmente no sistema de juros compos-
tos. Para calcular o montante no final de 2 meses, o capital inicial deve ser multiplicado por:
a) 1+0,15².
b) (1+0,15)².
c) 1+0,015².
d) (1+0,015)².
e) 1 + 2.0,015.
A taxa de 18% ao ano é capitalizada mensalmente, portanto trata-se de uma taxa nominal. 
Sendo assim, devemos convertê-la em taxa efetiva. Dessa forma, temos:
Agora, basta aplicar a expressão dos juros compostos:
Dessa maneira, o termo (1,015)² deve multiplicar o capital inicial.
Letra d.
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007. (CESPE/TCE-PR/2016) Um investidor possui as propostas A e B de investimentos, com 
prazo de resgate de um ano, e ambas exigem um aporte inicial de R$ 10.000. Com relação ao 
investimento A, está previsto o rendimento de 14,4% de juros anuais (nominal), capitalizados 
mensalmente.No que se refere ao investimento B, está previsto o rendimento de 15% de juros 
ao ano (nominal), capitalizados bimestralmente. Nessas condições, a proposta B é mais atra-
tiva que a proposta A.
Essa questão solicita a comparação entre duas taxas de juros nominais com capitalizações di-
ferentes. Uma forma de resolver o problema é converter ambas as taxas em efetivas bimestrais.
Para a taxa A, em primeiro lugar, calcularemos a taxa efetiva mensal pela proporcionalidade:
A conversão de taxa efetiva mensal em efetiva bimestral é feita pelo procedimento das taxas 
equivalentes:
Para a taxa B, a taxa efetiva bimestral é dada diretamente pela proporcionalidade com a 
taxa nominal:
Dessa forma, o banco B oferece uma taxa melhor que o banco A.
Certo.
008. (ESAF/ISS-RN/2008) Duas pessoas fizeram uma aplicação financeira. A pessoa “A” apli-
cou R$ 100.000,00, à taxa efetiva de juros de 0,5% a. m. e a pessoa “B” aplicou R$ 50.000,00, à 
taxa nominal de 6% a. a. Em ambos os casos as capitalizações são mensais e os juros serão 
pagos junto com o principal. Ao final de 1 (um) ano podemos afirmar que:
a) O juro recebido pela pessoa “A” é maior do que o juro recebido pela pessoa “B”.
b) Não há proporcionalidade entre juros de “A” e “B”.
c) A taxa efetiva de juros de “A” é maior do que a taxa efetiva de “B”.
d) A taxa nominal de “B” é maior do que a taxa nominal de “A”.
e) Os montantes finais são iguais.
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Nessa questão, lembre-se de que a taxa de juros nominal é sempre proporcional à taxa efetiva. 
Dessa forma, para encontrar a taxa de juros mensal que é proporcional à taxa nominal de 6% 
ao ano, devemos dividir por 12, já que 1 ano tem 12 meses.
Perceba, portanto, que a taxa nominal de 6% ao ano capitalizada mensalmente é proporcional 
à taxa efetiva de 0,5% ao mês capitalizada mensalmente. Portanto, as duas taxas efetivas das 
aplicações de A e B são iguais. Logo, as afirmações “c” e “d” estão erradas.
Porém, como o capital investido por A é o dobro do capital investido por B, concluímos que A 
receberá o dobro dos juros. Portanto, A recebe mais juros que B.
Existe, sim, uma proporcionalidade entre os juros recebidos, pois os juros são diretamente pro-
porcionais aos capitais investidos. Afirmação “b” está errada.
Letra a.
1.2. tAxAs de Juros equivAlentes
Duas taxas de juros são equivalentes quando produzem, no regime de juros compostos, o 
mesmo montante final quando aplicadas pelo mesmo capital e o mesmo tempo.
Para encontrar duas taxas equivalentes, devemos nos lembrar da expressão dos juros 
compostos.
Por exemplo, a taxa de juros de 12% ao ano é equivalente a que taxa de juros mensal? Basta 
montar o esquema:
Agora, devemos nos lembrar de que 1 ano é equivalente a 12 meses. Portanto, escrevemos 
esses coeficientes na equação:
Então, procedemos às contas:
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Não se preocupe, você não precisará fazer esse tipo de potência - sem calculadora na hora 
da prova. Em geral, as questões pedem potências menores, fornecem a potência ou deixam a 
resposta com esse termo a ser calculado – veremos algumas questões assim.
De qualquer forma, com o auxílio de uma calculadora, é fácil calcular a taxa mensal equi-
valente a 12% ao ano.
Olha só que interessante. A taxa de juros de 12% ao ano é equivalente a 0,95% ao mês, 
porém é proporcional a 1% ao mês.
Vejamos, agora, mais alguns exemplos. Qual taxa de juros trimestral é equivalente a 
1% ao mês?
Os números que apareceram nos expoentes refletem que 1 trimestre é igual a 3 meses. 
Portanto, o lado da taxa mensal deve ser elevado ao cubo. Dessa forma, tem-se:
Agora, podemos extrair a taxa trimestral equivalente:
Também é possível fazer a conversão de uma unidade de tempo maior para uma menor. 
Por exemplo, qual a taxa mensal que é equivalente a 21% ao bimestre?
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Por fim, resta-nos dizer que as bancas adoram confundir os conceitos de taxas de juros 
proporcionais e equivalentes. Portanto, você deve ficar atento.
E, agora, vamos ver como esse assunto aparece em provas.
009. (FCC/TRE-PR/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2017) A Cia. Escocesa, não 
tendo recursos para pagar um empréstimo de R$ 150.000,00 na data do vencimento, fez um 
acordo com a instituição financeira credora para pagá-la 90 dias após a data do vencimento. 
Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pela instituição financeira foi 3% ao mês, o 
valor pago pela empresa, desprezando-se os centavos, foi, em reais,
a) 163.909,00.
b) 163.500,00.
c) 154.500,00.
d) 159.135,00.
e) 159.000,00.
90 dias é o equivalente a 3 meses. Assim, basta aplicar a expressão do montante final em juros 
compostos:
Letra a.
010. (CESPE/TCE-PE/AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS/2017) A taxa de 24% ao ano é pro-
porcional à taxa de 2% ao mês.
A questão falou em taxas proporcionais, desse modo, devemos utilizar o conceito de juros 
simples. Sendo assim, a taxa mensal que é proporcional a 24% ao ano é dada por:
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Portanto, a afirmativa está correta.
Certo.
011. (FCC/TRF-3ª REGIÃO/2016) Uma instituição financeira divulga que a taxa de juros no-
minal para seus tomadores de empréstimos é de 24% ao ano com capitalização mensal. Isto 
significa que a taxa efetiva bimestral correspondente é de:
a)
b) 
c)
d) 
e) 
A taxa efetiva bimestral, na verdade, pode ser entendida como a taxa bimestral equivalente à 
efetiva mensal. Dessa maneira, devemos fazer o procedimento.
Façamos, portanto, a primeira etapa. Encontraremos a taxa efetiva mensal por meio da propor-
cionalidade entre a taxa nominal e a taxa efetiva:
Agora, utilizando o conceito de taxas equivalentes, calcularemos a chamada taxa efetiva 
bimestral:
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Letra d.
012. (FGV/SEFAZ-RJ/ANALISTA DE CONTROLE INTERNO/2011) A taxa de juros anual equi-
valente à taxa de juros de 30% ao ano, capitalizados semestralmente, é:
a) 31,75%.
b) 15,00%.
c) 30,00%.
d) 32,25%.
e) 60,00%.
Devemos seguir o mesmo esquema da questão anterior.
Primeiramente,transformaremos a taxa nominal em efetiva, no caso, semestral, usando o con-
ceito de taxas proporcionais:
Agora, para calcularmos a taxa efetiva anual, usamos o conceito de taxas equivalentes:
Letra d.
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013. (FGV/SEFIN-RO/AUDITOR-FISCAL/2018) A taxa efetiva trimestral, que é equivalente a 
uma taxa nominal de 120% ao ano, capitalizados mensalmente, é uma taxa de:
a) 21,78%.
b) 30,00%.
c) 33,10%.
d) 46,41%.
e) 50,00%.
Percebeu que é um problema recorrente? Devemos seguir o mesmo esquema da ques-
tão anterior.
Primeiramente, transformaremos a taxa nominal em efetiva, no caso, mensal, usando o con-
ceito de taxas proporcionais:
Agora, para calcular a taxa efetiva trimestral, devemos utilizar o conceito de taxas equivalentes:
Letra c.
014. (CESPE/BRB/ESCRITURÁRIO/2011) Se o capital de R$ 5.000,00 for aplicado por 3 anos, 
à taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalização trimestral, o juro auferido por essa 
aplicação, em reais, ao final do período, será igual a 5.000 × (1,0412 - 1).
A taxa de 12% ao ano é nominal. Portanto, devemos convertê-la em efetiva trimestral. Para 
isso, precisamos lembrar que 1 ano é equivalente a 4 trimestres.
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Dessa maneira, podemos aplicar a expressão dos juros compostos:
Agora, podemos calcular os juros auferidos na aplicação:
Errado.
015. (FCC/MPE-AM/AGENTE TÉCNICO/ECONOMIA/2013) Uma pessoa tem R$ 20.000,00 e 
deseja aplicá-lo a juros compostos por 2 meses. Está em dúvida se deve aplicar todo o capital 
à taxa de 4% ao mês ou se deve aplicar metade à taxa de 3% ao mês e a outra metade à taxa de 
5% ao mês. Se M1 e M2 são, respectivamente, os montantes que seriam obtidos pela primeira 
e pela segunda opção, é verdade que:
a) M1 = M2.
b) M1 – M2 = R$4,00.
c) M2 – M1 = R$2,00.
d) M1 > R$22.000,00.
e) M2 < R$21.500,00.
Vamos calcular o montante de cada operação. Na primeira, a pessoa investe todo o seu capital 
a uma taxa de 4% ao mês:
Para a segunda operação, a pessoa divide o capital inicial em dois, portanto:
Assim, concluímos que:
Letra c.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
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1.3. tAxA de Juros reAl e ApArente
Considere que você tenha investido R$10.000 nas ações da CVC entre julho de 2016 e julho 
de 2017. Nessa época, as ações valiam R$23,53. Em um ano, as ações da companhia atingi-
ram R$34,53.
Figura 3: Comportamento das Ações da CVC
Dessa maneira, você teria obtido um ganho de 46,75% aproximadamente. Isso significa 
que você teria um montante bruto de R$14.675. Muito bom, não é?
Porém, existem dois detalhes a considerar:
• Se você quisesse sacar esse dinheiro hoje, você não poderia sacar tudo. Você teria que 
pagar imposto de renda sobre os seus rendimentos. No caso de ações, uma alíquota é 
de 15% – pelo menos, para a prova de Matemática Financeira, você não precisa saber 
disso, ok?
Esse imposto pode ser calculado por:
O valor que você efetivamente pode sacar é conhecido como montante líquido – na realida-
de – ou ainda como montante aparente – nas questões de prova. Esse montante seria:
• Sendo assim, você pode sacar um montante líquido de aproximadamente R$14 mil. Po-
rém, vivemos num mundo de inflação. O poder de compra desses R$14 mil hoje é menor 
do que era há um ano, quando você começou o seu investimento.
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Juros Compostos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Se a inflação acumulada no período citado foi de 10%, é necessário descontar a inflação. O 
desconto a ser aplicado é o desconto racional composto, que será estudado propriamente na 
aula de Descontos. Por enquanto, basta você conhecer a expressão.
A taxa real é calculada por um desconto racional.
Muitos alunos tentam subtrair a inflação da taxa aparente – e, provavelmente, a questão de 
prova terá uma alternativa errada esperando por essa conta.
No caso do exemplo que vimos anteriormente, podemos calcular:
Além disso, poderíamos calcular o montante real – grandeza muito explorada no mercado 
financeiro e, por isso, pode aparecer numa prova futuramente –, que corresponde ao montante 
aparente descontado da inflação.
De qualquer maneira, a única expressão que você precisa saber é a relação entre a taxa 
real, a taxa aparente e a taxa de inflação.
É útil saber ainda que essa relação também vale entre os montantes real e aparente.
Não vale a pena decorar todas as expressões que vimos aqui nesta seção. É muito melhor 
você aprender a lógica da inflação e da taxa real do que decorar um monte de expressões.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Caso você já tenha estudado o assunto de Descontos, é bom lembrar que:
Vamos treinar bastante sobre essa expressão antes de nos aprofundarmos no tema 
de inflação?
016. (CESPE/SEFAZ-AC/2009) Se, para uma aplicação de um ano, um fundo de investimentos 
oferecer a taxa de remuneração de 12,35%, e a taxa de inflação nesse período for de 5%, então 
a taxa real de ganho desse fundo no período será igual a:
a) 1,07%.
b) 7%.
c) 7,35%.
d) 17,35%.
Questão muito direta. Basta aplicar a fórmula do desconto racional para a taxa de juros real:
Letra b.
017. (FCC/ICMS-PI/2015) Um investidor aplicou um capital de R$10.000,00 e resgatou o total 
de R$ 13.600,00 ao fim de 1 semestre. Se, nesse período, a taxa real de juros foi de 32%, então, 
dos valores seguintes, o que mais se aproxima da taxa de inflação do período é:
a) 3%.
b) 2,5%.
c) 4,5%.
d) 4%.
e) 3,5%.
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Podemos calcular a taxa aparente pelo montante fornecido no enunciado:
Agora, usemos a relação clássica entre a taxa real e a aparente:
Letra a.
018. (CESPE/TCE-SC/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO/2016) Um investidor do 
mercado imobiliáriocomprou um terreno por R$ 40.000 e, após dois anos, vendeu-o por R$ 
62.400. A taxa de inflação acumulada durante esses dois anos foi de 20%. Nessa situação, a 
rentabilidade real desse investimento foi superior a 32% no biênio.
Como não houve imposto de renda, o montante aparente é de R$62.400. A taxa de ganho apa-
rente é calculada pela valorização entre o montante aparente e o capital inicialmente investido.
Agora, basta utilizar a expressão que aprendemos para o cálculo de taxa de juros real:
Portanto, a rentabilidade real do investimento é inferior a 32%.
Errado.
019. (FCC/TST/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2017) Um investidor aplicou R$ 
10.000,00 em títulos que remuneram à taxa de juros compostos de 10% ao ano e o prazo para 
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resgate da aplicação foi de 2 anos. Sabendo-se que a inflação no prazo total da aplicação foi 
15%, a taxa real de remuneração obtida pelo investidor no prazo total da aplicação foi:
a) 5,00%.
b) 6,00%.
c) 5,22%.
d) 5,00% (negativo).
e) 4,55%. 
Em primeiro lugar, calcularemos o rendimento aparente obtido pelo investidor, que correspon-
de a uma taxa de 10% ao ano por 2 anos:
Agora, basta usar a definição de juros reais para calcular o juro real obtido:
Infelizmente, o enunciado não forneceu uma conta simples de fazer. Realmente, você teria que 
dividir 1,21 por 1,15. Bom, agora podemos obter a taxa de juros reais:
Letra c.
020. (CESPE/TCU/AUDITOR FEDERAL DE CONTROLE EXTERNO/2015) Situação Hipotética: 
Um investidor pretende adquirir um dos imóveis da empresa FastBrick por R$ 75.000,00 à vista 
e vendê-lo, após quatro anos, por R$ 120.000,00. Assertiva: Nesse caso, se a inflação acumu-
lada no período for de 20%, a rentabilidade real do investidor, no período de quatro anos, será 
superior a 35%.
No período de quatro anos, o montante aparente obtido pelo investidor é de R$120.000, assim 
sendo, podemos calcular a taxa de juros aparente:
Como a inflação acumulada foi fornecida para o mesmo período de 4 anos, podemos aplicar a 
expressão conhecida para a taxa de juros real:
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Errado.
1.3.1. Inflação e Poder de Compra
Você já parou para se perguntar sobre o que é o dinheiro?
O dinheiro emerge do mercado. O mercado é o processo de trocas voluntárias entre 
indivíduos.
Tigres têm um jeito muito idiota de viver. Suponha que o tigre A viva num território com 
ampla disponibilidade de caça, enquanto o tigre B vive num território com ampla disponibilida-
de de água.
O que aconteceria se o tigre A cruzasse a fronteira dos territórios em busca da água que o 
tigre B tem em excesso?
Provavelmente, os dois lutariam até morrer ou até que um deles abandonasse o território 
disputado.
Por outro lado, dois seres humanos teriam atitudes diferentes. Provavelmente, o ser huma-
no A caçaria em excesso, assim como o ser humano B coletaria água em excesso. Então, eles 
se encontrariam na fronteira e trocariam seus recursos.
Assim, tanto o ser humano A como o ser humano B teriam água e caça disponíveis de ma-
neira completamente pacífica. E é exatamente assim que funciona um mercado.
O processo de trocas diretas de um bem por outro, como ilustrado na situação representa-
da anteriormente, é denominado escambo. Numa economia mais complexa, torna-se impossí-
vel fazer trocas diretas.
Imagine que você precise de cuidados médicos. Como você poderia pagar por es-
ses cuidados?
Você poderia levar 1 kg de filé-mignon ao consultório e oferecer como pagamento. Porém, 
e se o médico não gostar ou não tiver interesse naquele pedaço de carne?
É para isso que serve o dinheiro. O dinheiro é um meio de troca entre bens, permitindo tro-
cas indiretas.
O dinheiro é um bem facilmente comerciável, ou seja, é aceito por um grande número de 
pessoas. Elas aceitam o dinheiro simplesmente porque sabem que podem trocá-lo por outros 
bens no futuro.
No Império Romano, utilizava-se o sal como dinheiro. Isso tornou-se uma convenção na-
quela civilização.
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Porém, o sal se tornava um grande problema: toda vez que alguma expedição voltava carre-
gada, pois provocava uma grande flutuação na quantidade de dinheiro disponível na economia.
Por isso, uma característica importantíssima do dinheiro é que ele deve ser um bem es-
casso. Um bem escasso é aquele que não pode ser produzido pelo ser humano e que é muito 
difícil de ser falsificado, já que é facilmente reconhecível.
Com o tempo, o ouro e a prata foram escolhidos pelo mercado como bens para o dinheiro, 
justamente por reunir essas características que detalhamos no infográfico.
O ouro e a prata não podem ser produzidos pelo ser humano – a natureza criou uma quan-
tidade fixa e o máximo que o ser humano pode fazer é extrair.
O dinheiro que utilizamos hoje em dia nasceu como certificados de ouro e prata.
O conceito mais importante sobre dinheiro que precisamos para entender a inflação 
é o de que:
“Dinheiro não é riqueza”
Isso mesmo que você leu. Não importa quanto dinheiro você tenha, ele, por si só, não re-
presenta riqueza.
Pense, por exemplo, num grande imperador, como Napoleão. Ele tinha exércitos, podia ad-
quirir todos os grandes luxos da época. Se você fosse Napoleão, você poderia, certamente, 
adquirir um apartamento gigantesco na Champs Elysées, uma casa de praia nas melhores e 
mais caras praias da região e morar em um palácio.
Porém, Napoleão não tinha acesso a bens como: frutas o ano inteiro, ar-condicionado – no 
caso de Napoleão, certamente, ele adoraria ter à sua disposição os sistemas de calefação que 
existem hoje para aquecimento –, medicamentos de toda espécie. Ele não podia ouvir rádio, 
que só foi inventado em 1920, nem ver televisão 1935, muito menos tinha internet à sua dispo-
sição para baixar as músicas que quisesse.
A riqueza deve ser medida pela disponibilidade de bens e serviços. Um cidadão de classe 
média de hoje em dia tem acesso a muito mais riqueza do que Napoleão em sua época.
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E, por isso, temos o importante conceito de poder de compra do dinheiro. Por exemplo, na 
tabela a seguir, tratamos o poder de compra de R$300.
Bem Preço Poder de Compra de R$300
Arroz R$4/kg 75 kg
Feijão R$5/kg 60 kg
Leite R$3/L 100 L
Dólar R$3/1US$ US$100
Tabela 1: Poder de Compra de R$300
Observe que o poder de compra é inversamente proporcional ao preço dos bens.
021. (CESPE/ANAC/ANALISTA ADMINISTRATIVO/2008)Se, em determinado mês, um tra-
balhador não sofrer reajuste salarial e os preços subirem 25%, então o poder de compra desse 
trabalhador será reduzido em 20% no referido mês.
O poder de compra do salário de um trabalhador é inversamente proporcional. Seja P o preço 
inicial dos bens, os preços aumentaram 25%, portanto o preço final será:
As setas estão no sentido contrário, porque as grandezas são inversamente proporcionais. 
Montando a proporção no sentido das setas:
Lembre-se da nossa dica sobre resolver contas com 25 no denominador. Basta multiplicar por 4.
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Portanto, de fato, o poder de compra diminuiu em 20%. Note que esse é também um ponto 
importante sobre porcentagem: aumentar 25% não é a mesma coisa de reduzir 25%.
Certo.
022. (CESPE/TCE-PB/AUDITOR DAS CONTAS PÚBLICAS/2018) Em novembro de 2016, 
João comprou 10 kg de uma mercadoria e, um ano depois, ele comprou 11 kg dessa mesma 
mercadoria, mas pagou 21% a mais que em 2016. Se a inflação do período tiver sido a única 
responsável pelo aumento de preço da mercadoria, então a inflação desse período foi de:
a) 12,1%.
b) 18,9%.
c) 7,9%.
d) 10,0%.
e) 11,0%.
A inflação diz respeito à variação do preço da mercadoria. Suponha que João tenha gastado 
uma quantia Q em 2016 para comprar 10 kg da mercadoria. Desse modo, o preço da mercado-
ria em 2016 é de:
Já em 2017, João comprou 11 kg da mesma mercadoria, porém, gastando 21% a mais, ou 
seja, 1,21Q:
Queremos saber o aumento percentual de preço, que corresponde à inflação, portanto bas-
ta dividir:
Desse modo, o aumento de preço foi de 0,10 ou 10%.
Letra d.
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O que aconteceria se a Fada do Dente visitasse todas as casas brasileiras e multiplicasse 
por dois todo o dinheiro disponível nas contas bancárias de todas as pessoas? Será que todos 
nós ficaríamos mais ricos?
Certamente não. Dinheiro não é riqueza. A riqueza é medida pela disponibilidade de bens 
e serviços.
A Fada não aumentou a quantidade de bens e serviços disponíveis na economia. Então, o 
que aconteceria é que, quando as pessoas fossem tentar gastar o dinheiro extra que recebe-
ram, os preços dos bens teriam subido.
O único efeito que a Fada causou foi aumentar a quantidade de dinheiro na economia, o 
que é conhecido como inflação monetária. Se existe mais dinheiro, ele vale menos.
Portanto, a inflação não é o aumento generalizado dos preços, mas sim o aumento na 
quantidade de dinheiro na economia. O aumento generalizado dos preços dos bens é apenas 
uma consequência.
No Brasil, o Banco Central é o único órgão autorizado a emitir moeda.
Quando o Banco Central emite moeda, acontece algo diferente da Fada: o que acontece é 
que o governo simplesmente imprime mais dinheiro para si.
Há um aumento na quantidade de dinheiro na economia, mas esse aumento é desigual, 
pois o governo recebeu todo o dinheiro novo.
No entanto, é importante destacar que o que conhecemos popularmente como inflação, 
na verdade, é o IPCA – índice de preços ao consumidor amplo. O IPCA é uma medida de como 
os preços aumentaram. Desse modo, o IPCA não é uma medida da inflação propriamente dita, 
mas apenas um de seus sintomas.
A despeito disso, o índice de preços reflete o poder de compra do dinheiro e, por isso, é uma 
métrica muito útil para a avaliação de investimentos.
Um dos efeitos mais danosos da inflação, segundo o economista Friedrich von Hayek, Prê-
mio Nobel de Economia em 1974, é que ela torna muito mais difícil o cálculo econômico, por-
tanto os agentes terão mais dificuldade em tomar decisões racionais.
Para ilustrar essa afirmação, tomemos como exemplo uma situação que apresentei aos 
clientes da minha consultoria de investimentos em julho de 2017.
023. (INÉDITA/2021) O Tesouro Selic é um título público pós-fixado que paga juros de acordo 
com a Taxa Selic. Em julho de 2016, a Taxa Selic era de 14,25% ao ano e a inflação era de 10% 
ao ano. Já em julho de 2017, a Taxa Selic era de 9% ao ano e a inflação era de 5% ao ano.
Sobre os rendimentos no Tesouro, incide alíquota de Imposto de Renda de 17,5% para aplica-
ções de 1 ano.
Nessa situação, considerando o prazo de 1 ano, é correto afirmar que era mais vantajoso inves-
tir nesse título em 2016 do que em 2017.
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Obs.: � use calculadora, porque os dados são reais e não receberam nenhum tratamento para 
facilitar as contas.
Calculemos os ganhos líquidos em ambos os anos:
Agora, calculemos os ganhos reais considerando a inflação. Para 2016:
Para o ano de 2017:
Portanto, o ganho real no ano de 2017, com o Tesouro Selic, foi superior ao ganho real do mes-
mo investimento em 2016.
Errado.
A despeito do que vimos na questão anterior, se você lesse qualquer jornal de investimen-
tos na época, muitos analistas de investimentos estavam apontando para a morte da renda 
fixa em 2017.
Eles estavam simplesmente olhando para a taxa de juros nominal que caiu de 14,25% para 
9% naquela época. Bastante compreensível a confusão, não é?
Agora, imagine um cenário em que você não tenha nem mesmo a previsão de quanto será 
a inflação nos próximos anos? É muito difícil dizer qual retorno você deve esperar para um in-
vestimento, não é verdade?
A Figura 4 mostra o comportamento da taxa de inflação no Brasil de 2007 a 2017. Perceba 
como a inflação brasileira é instável. Esse cenário afasta muitos investidores.
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Figura 4: Taxa de Inflação no Brasil
2. CompArAção entre Juros simples e Compostos
Um tema frequentemente abordado pelas bancas é a relação entre juros simples e 
compostos.
Para isso, tomemos uma aplicação de R$10 mil que rende 12% ao ano calculados a juros 
simples e compostos com o auxílio de uma planilha de Excel.
Tempo 
(anos) Juros Simples Juros Compostos Observação
0 R$ - R$ - Ambos nulos
0,1 R$ 120,00 R$ 113,97 JS > JC
0,2 R$ 240,00 R$ 229,25 JS > JC
0,3 R$ 360,00 R$ 345,83 JS > JC
0,4 R$ 480,00 R$ 463,75 JS > JC
0,5 R$ 600,00 R$ 583,01 JS > JC
0,6 R$ 720,00 R$ 703,62 JS > JC
0,7 R$ 840,00 R$ 825,62 JS > JC
0,8 R$ 960,00 R$ 949,00 JS > JC
0,9 R$ 1.080,00 R$ 1.073,79 JS > JC
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Tempo 
(anos) Juros Simples Juros Compostos Observação
1 R$ 1.200,00 R$ 1.200,00 JS = JC
1,1 R$ 1.320,00 R$ 1.327,65 JC > JS
1,2 R$ 1.440,00 R$ 1.456,76 JC > JS
1,3 R$ 1.560,00 R$ 1.587,33 JC > JS
1,4 R$ 1.680,00 R$ 1.719,40 JC > JS
1,5 R$ 1.800,00 R$ 1.852,97 JC > JS
1,6 R$ 1.920,00 R$ 1.988,06 JC > JS
1,7 R$ 2.040,00 R$ 2.124,69 JC > JS
1,8 R$ 2.160,00 R$ 2.262,88 JC > JS
1,9 R$ 2.280,00 R$ 2.402,64 JC > JS
2 R$ 2.400,00 R$ 2.544,00 JC > JS
Tabela 2: Efeito dos Juros Simples e Compostos num Período de 2 anos
A conclusão da Tabela 2 é muito importante para provas de concursos. É natural esperar 
que os juros compostos superem os juros simples ao longo do tempo. Porém, perceba que os 
juros simples rendem mais que os juros compostos quando o período de tempo é inferior a 1.
Essa conclusão também pode ser visualizada na Figura 5 e na Figura 6.
Figura 5: Efeito dos Juros Simples e Compostos num Prazo de 2 anos
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Figura 6: Proporção entre Juros Simples e Compostos no Prazo de 2 Anos
Agora, vamos esquematizar essa conclusão para que você não esqueça mais.
O tempo deve ser medido na mesma unidade da taxa de juros. Assim, se a taxa é anual, para t 
< 1 ano, os juros simples rendem mais que os juros compostos.
Naturalmente, os bancos tomam vantagem dessa propriedade. Por exemplo, como as taxas 
de juros dos bancos são mensais, caso você fique devendo no cheque especial por um período 
de tempo inferior a um mês (situação bem corriqueira), você será cobrado por juros simples.
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Outro ponto a se comentar é que os juros compostos realmente rendem mais que os juros 
simples quando o tempo cresce e que essa diferença fica sensivelmente maior à medida que 
o tempo passa.
Figura 7: Efeito dos Juros Simples e Compostos para o Prazo de 10 Anos
A Figura 7 mostra que, quanto maior o efeito do tempo sobre a aplicação financeira, maior 
será a diferença de rendimento entre juros simples e compostos.
024. (CESPE/TJ-CE/2014) Considere que dois capitais de mesmo valor C tenham sido aplica-
dos, um no regime de juros simples e outro no regime de juros compostos, às mesmas taxas 
de juros anuais e no mesmo prazo, o que gerou, respectivamente, os montantes M e N. Nessa 
situação, é correto afirmar que:
a) M > N, para prazo inferior a um ano.
b) N > M, para prazo inferior a um ano.
c) M = N, visto que são calculados com a mesma taxa de juros e com o mesmo prazo.
d) M > N, qualquer que seja o prazo da operação.
e) N > M, qualquer que seja o prazo da operação.
Como a taxa de juros é anual, temos que os juros simples rendem mais que os compostos para 
um prazo inferior a um ano.
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Juros Compostos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Letra a.
025. (CESPE/TCE-PE/AUDITOR DAS CONTAS PÚBLICAS/2017) Considere que dois capitais, 
cada um de R$10.000, tenham sido aplicados à taxa de juros de 44% ao mês – 30 dias –, por 
um período de 15 dias, sendo um a juros simples e outro a juros compostos. Nessa situação, 
o montante auferido com a capitalização no regime de juros compostos será superior ao mon-
tante auferido com a capitalização no regime de juros simples.
Como a taxa de juros é ao mês, o período de 15 dias corresponde a t = 1/2, portanto é inferior 
a uma unidade de tempo. Sendo assim, o regime de juros simples rende mais.
Errado.
026. (FGV/ISS-NITERÓI/CONTADOR/2015) Um empréstimo por dois meses utilizando o regi-
me de juros compostos de 10% ao mês equivale a um empréstimo utilizando o regime de juros 
simples, pelo mesmo período, de:
a) 9,0% ao mês.
b) 9,5% ao mês.
c) 10,0% ao mês.
d) 10,5% ao mês.
e) 11,0% ao mês.
Calculemos o montante da operação pela expressão dos juros compostos:
Agora, queremos saber qual taxa de juros simples produziria o mesmo montante no mesmo 
intervalo de tempo de 2 meses.
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Juros Compostos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
Um comentário importante a se fazer é que realmente deveríamos esperar que a taxa de juros 
simples fosse maior. Como o período de tempo é superior a 1 ano, temos que, numa mesma 
taxa, os juros compostos seriam superiores aos juros simples.
Como queremos que sejam iguais, precisamos de uma taxa de juros simples maior.
Letra d.
027. (FGV/ISS-NITERÓI/FISCAL DE TRIBUTOS/2015) Um empréstimo de dois anos utilizan-
do o regime de juros simples de 150% ao ano equivale a um empréstimo utilizando o regime de 
juros compostos, pelo mesmo período, de:
a) 100% ao ano.
b) 125% ao ano.
c) 150% ao ano.
d) 175% ao ano.
e) 200% ao ano.
Agora se trata do problema inverso. Calculemos, primeiramente, o montante acumulado no 
regime de juros simples:
Em seguida, calculemos qual taxa de juros compostos produziria o mesmo montante no mes-
mo período de 2 anos:
Letra a.
2.1. CindibilidAde do prAzo
No capítulo de juros simples, vimos que o prazo da aplicação não pode ser cindido. Lá, 
vimos o caso de uma aplicação de R$500,00 aplicada à taxa de 4% ao ano por 4 anos em duas 
situações: na primeira, o capital seria mantido ininterruptamente na aplicação; na segunda, o 
capital seria retirado após dois anos e reaplicado.
É interessante notar que, caso os R$500,00 tivessem sido aplicados diretamente à taxa de 
4% ao ano por 4 anos, o montante final produzido seria diferente.
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Juros Compostos
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Dessa maneira, é diferente aplicar um capital de R$500,00 por uma taxa de juros simples 
contínua por 4 anos de aplicar o mesmo capital à mesma taxa de juros simples, porém quebra-
da em dois períodos de 2 anos.
Por isso, diz-se que, no caso de juros simples, não é possível cindir o prazo da aplicação.
Por outro lado, caso a operação fosse de juros compostos, teríamos a seguinte situação: 
se calculássemos em partes, exatamente como tratado nessa situação, teríamos:
No entanto, caso o prazo da aplicação não fosse cindido, ou seja, se a aplicação permane-
cesse por 4 anos, teríamos:
Sendo assim, no caso de juros compostos, é indiferentese a aplicação é mantida ou que-
brada, desde que o prazo global seja o mesmo. Por isso, é possível afirmar que o regime de 
juros compostos possui a propriedade de cindibilidade do prazo.
A cindibilidade do prazo é uma propriedade importante da operação de juros compostos. 
Graças a ela, os juros compostos se tornam uma maneira muito natural de fazer investimentos.
Se você tivesse um capital de R$500 investidos a juros simples, naturalmente, você gosta-
ria de sacá-lo todo ano e reinvestir o montante global para obter um rendimento maior.
Porém, se o capital estiver investido a juros compostos, não há necessidade de mexer na 
sua aplicação, pois todo o seu montante acumulado está rendendo a juros.
A falta de cindibilidade do prazo nas operações de juros simples tornou essa operação 
praticamente morta no mercado financeiro. As poucas aplicações derivam apenas da proprie-
dade de que os juros simples rendem mais que os juros compostos para tempo inferior a 
uma unidade.
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3. tópiCos AdiCionAis sobre Juros Compostos
Nesta seção, eu resolvi incluir alguns assuntos que sempre causam confusão entre os alu-
nos quando aparecem em provas.
Gostaria de adiantar que não são assuntos muito frequentes, porém, para chegar ao topo 
da montanha e estar bem preparado para uma prova de alto nível de dificuldade, você precisa 
estar atento a eles.
3.1. logAritmos
Talvez você odiasse esse assunto quando você estava no Ensino Médio. Porém, fique tran-
quilo(a), não é nada do outro mundo.
O logaritmo é a operação inversa da potenciação. Em outras palavras:
O logaritmo é composto pelos termos:
• logaritmando ou antilogaritmo (b): é o número cujo logaritmo se deseja calcular;
• base (a): é a base da potência.
A expressão que acabamos de ver mostra que o logaritmo de “b” na base “a” é o número ao 
qual se deve elevar a base “a” para se obter “b”.
Vejamos um exemplo para você entender melhor.
Em outras palavras, 3 é o logaritmo de 8 na base, porque 2 elevado a 3 é igual a 8. O loga-
ritmo é muito útil para simplificar algumas contas envolvendo juros compostos.
A base mais comum para o cálculo de logaritmos é a base 10. Por isso, quando a base 
estiver omitida, considere que ela é 10. Por exemplo:
Para ajudar nas nossas contas, precisaremos lançar mão de algumas propriedades.
3.1.1. Propriedades do Logaritmo
Os logaritmos são muito interessantes, porque são capazes de transformar operações 
mais complicadas em operações mais simples.
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Por exemplo, os logaritmos transformam produto em soma.
Logaritmo do Produto: 
Exemplo:
log2(4
.8) = log2(4) + log2 (8)
Vamos calcular ambos os lados da equação:
log2(4.8) = log2(32) = 5
Note que 25 = 32, por isso, log2(32) = 5. O lado direito da equação também pode ser resolvido:
log2(4) + log2 (8) = 2 + 3 = 5
Portanto, chegamos à conclusão de que o logaritmo do produto é igual à soma dos 
logaritmos.
Logaritmo da Potência: 
Exemplo: 
log2(4
3) = 3log2(4)
Vamos calcular ambos os lados da equação:
log2(4
3) = log2(64) = 6
Note que 26 = 32 , por isso, log2(64) = 6. O lado direito da equação também pode ser resolvido:
3log2(4) = 3.2 = 6
Portanto, chegamos à conclusão de que o logaritmo da potência pode ser resolvido sim-
plesmente trazendo o expoente para frente do logaritmo.
028. (CESPE/BRB/ESCRITURÁRIO/2010) Um funcionário demitido recebeu o seu FGTS e in-
vestiu parte dele em uma instituição financeira que remunera os investimentos captados com 
juros compostos capitalizados mensalmente.
A partir dessa situação, julgue os itens que se seguem, considerando 0,301 e 0,477 como valo-
res aproximados de log 2 e log 3, respectivamente.
Se a taxa de juros desse investimento for de 2,4% ao mês, então, após 18 meses, o saldo total 
do investimento será inferior a 150% do capital investido.
Devemos aplicar a expressão do montante para juros compostos:
Agora, precisamos perceber que 1024 é uma potência de 2:
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Usando o logaritmo fornecido para 2:
Agora, vamos comparar a expressão encontrada com 150% de C:
Sendo assim:
Errado.
3.2. CApitAlizAção ContínuA
Em operações interbancárias, é relativamente comum que se fale no conceito de capitali-
zação contínua.
Nesse caso, os juros são capitalizados a todo o instante. Trata-se da situação que mais 
rende juros para o investidor.
Pode-se demonstrar – a demonstração requer cálculo integral e está fora do escopo des-
te curso – que o montante final quando se tem uma taxa nominal e capitalização contínua 
é dado por:
O número é conhecido como número de Euler ou a base da exponencial natural. Esse é um 
número irracional, cujo valor aproximado você não precisa saber:
Um importante conceito sobre a exponencial natural é o logaritmo natural ou neperino. 
Esse é o logaritmo, cuja base é o próprio número de Euler. Por isso, é uma ferramenta muito 
importante para as questões de capitalização contínua.
Se você estiver bem afiado com o conceito de logaritmo, esse assunto não te causará ne-
nhum problema. Vejamos alguns exemplos:
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É possível, ainda, deduzir as expressões para o tempo ou para o cálculo da taxa de juros 
numa capitalização contínua. Porém, eu não recomendo que você decore tantas fórmulas – a 
chance de se confundir com qualquer uma delas é imensa.
O melhor a se fazer é treinar e aprender a manipular muito bem a única expressão que você 
precisa saber sobre capitalização contínua. Vamos repeti-la:
029. (CESPE/TJ-SE/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2014) Considerando que um 
empresário tenha tomado empréstimo no valor de R$ 30.000,00 para custear reformas em seu 
estabelecimento comercial, julgue os itens que se seguem a respeito de taxa de juros efetiva.
Considerando-se 1,08 como valor aproximado para e0,08, é correto afirmar que, se toda a quan-
tia tomada como empréstimo tivesse sido investida à taxa de 8% ao ano, em um regime de 
capitalização contínua, pelo período de 2 anos, então, ao final do período, o montante teria sido 
inferior a R$ 32.500,00.
Nessa questão, temos uma taxa nominal com capitalização contínua. Portanto, devemos apli-
car a expressão dos juros contínuos:
São dados:
C = 30.000
i = 8% a.a. = 0,08
n = 2 anos
Logo:
Errado.
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030. (FCC/SEFAZ-SP/2009) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplican-
do um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifi-
ca-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação 
é igual a:
a) 12 meses.
b) 15 meses.
c) 18 meses.
d) 21 meses.
e) 24 meses.
A grande dificuldade das questões que envolvem capitalização contínua é, simplesmente, lem-
brar a fórmula e, em alguns casos, trabalhar com os logaritmos. Fora isso, elas dificilmente 
destoarão do padrão.
Nessa questão, a taxa e o tempo estão na mesma unidade. Portanto, podemos aplicar tranqui-
lamente a expressão:
Queria aproveitar para passar uma dica muito boa nas divisões por potências de 5. Sempre que 
um número terminar em 5, multiplique por 2. Se ele terminar em 25, multiplique por 4.
Letra b.
031. (FCC/SEFAZ-PI/2015) Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado, durante 2 anos, à taxa de 
5% ao semestre com capitalização contínua. Dos valores abaixo, o mais próximo do valor dos 
juros desta aplicação é:
Dados: ln(1,051271) = 0,05;
ln(1,105171) = 0,10;
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ln(1,161834) = 0,15
ln(1,221403) = 0,20;
em que ln é o logarítmoneperiano, tal que ln(e) = 1:
a) R$3.076,00.
b) R$3.155 ,00.
c) R$3.321,00.
d) R$3.487,00.
e) R$3.653,00.
Essa questão foi um tanto capciosa. Mais uma vez temos que aplicar diretamente a expressão 
válida para juros contínuos:
Nessa questão, a taxa é semestral, mas o tempo está em anos. Portanto, devemos converter 
2 anos em 4 semestres.
Olhando nos dados fornecidos, temos que:
Dessa forma, podemos calcular o montante obtido:
Como a questão pediu os juros, devemos nos lembrar de que:
Curiosamente, a questão deu muitas casas decimais no enunciado, mas colocou o número 
arredondado entre as alternativas.
Letra c.
3.3. Convenção lineAr
Como já vimos, os juros simples rendem mais que os juros compostos quando o intervalo 
de tempo é menor que a unidade.
Por isso, os bancos gostam de utilizar a famosa convenção linear. Nessa convenção, é 
feita uma aproximação dos juros compostos por juros simples na parte fracionária do tempo.
Por exemplo, se a sua aplicação for feita a uma taxa anual por 2 anos e 6 meses, a conven-
ção linear calculará o montante final da seguinte maneira:
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• na parte inteira do tempo (2 anos), será calculado o montante por meio de juros com-
postos;
• na parte fracionária do tempo (6 meses), será calculado o montante por meio de juros 
simples, mas sobre todo o montante acumulado até o final da parte inteira.
Na convenção linear, utiliza-se a expressão de juros simples, porém os juros recebidos ante-
riormente são capitalizados.
E, agora, vamos treinar com algumas questões?
032. (FGV/ISS-NITERÓI/CONTADOR/2015) Os juros sobre uma dívida são cobrados utilizan-
do a convenção linear. A dívida será paga após um ano e meio, e a taxa de juros compostos 
anunciada pela instituição financeira é de 20% ao ano.
A porcentagem de juros cobrados em relação ao principal é:
a) 20%.
b) 21%.
c) 30%.
d) 31%.
e) 32%.
Em primeiro lugar, dividiremos o tempo em parte inteira e fracionária. Como a taxa de juros é 
anual, a parte inteira será de 1 ano e a parte fracionária será de meio ano.
Calculemos o capital acumulado (C1) após um ano de aplicação a juros compostos:
Na parte fracionária do tempo, consideraremos o capital inicial como 1,20C, que foi o montante 
obtido na parte anterior da conta:
Agora, extrairemos os juros totais recebidos na operação de 1 ano e meio:
Letra e.
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033. (FCC/SEFAZ-PB/AUDITOR-FISCAL DE TRIBUTOS ESTADUAIS/2006) Um capital no va-
lor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos 
e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a:
a) R$22.755,00.
b) R$ 23.780,00.
c) R$ 24.805,00.
d) R$ 24.932,05.
e) R$ 25.500,00.
Em primeiro lugar, dividiremos o tempo em parte inteira e fracionária. Como a taxa de juros é 
anual, a parte inteira será de 2 anos e a parte fracionária será de 3 meses (ou ¼ de ano).
Calculemos o capital acumulado (C1) após dois anos de aplicação a juros compostos:
Na parte fracionária do tempo, consideraremos o capital inicial como 24200, que foi o montan-
te obtido na parte anterior da conta:
Para fazer essa conta, convém abrir os parênteses:
Letra c.
Comentando um pouco mais sobre a questão anterior, podemos calcular – com o auxílio 
de uma calculadora – o montante que seria obtido caso considerássemos juros compostos 
por toda a operação. Essa é a chamada convenção exponencial:
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Observe que, como já deveríamos esperar, o montante total acumulado pela convenção 
exponencial é menor que o montante total acumulado pela convenção linear.
Além disso, podemos calcular a diferença obtida.
Os juros recebidos na parte fracionária (3 meses) pela convenção linear e exponencial são, 
respectivamente:
Sendo assim, a adoção da convenção linear provoca um aumento de aproximadamente 
3,8% nos juros recebidos pelo banco – e isso no período de apenas 3 meses.
Você pode achar pouco, mas ganhar 3,8% sobre o capital de outra pessoa sem fazer ab-
solutamente nenhum esforço é um excelente negócio. Por essas e por outras, a Matemática 
Financeira é fundamental para melhorar sua relação com o dinheiro.
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RESUMO
Em uma operação a juros compostos, os juros também são capitalizados.
O montante cresce exponencialmente:
Os juros podem ser obtidos como a diferença entre o montante e o capital inicial:
Taxa de Juros Equivalentes: diz-se que duas taxas de juros são equivalentes se produzem, 
no regime de juros compostos,o mesmo montante final quando aplicadas pelo mesmo capital 
e o mesmo tempo.
Existe uma expressão para taxas equivalentes:
A mesma expressão pode ser utilizada para encontrar a taxa equivalente em outras unida-
des de tempo (semestre, trimestre...) seguindo o mesmo raciocínio. Exemplo:
Deve-se tomar cuidado com os termos “proporcional” e “equivalente”. Enquanto o primeiro 
remete a juros simples, o segundo é usado em juros compostos.
Taxa de Juros Real e Aparente: a taxa real de juros leva em consideração os descontos 
como a inflação e o imposto de renda. A maneira correta para o cálculo da taxa de juros apa-
rente é através da fórmula:
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Juros Compostos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
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Comparação entre Juros Simples e Juros Compostos: em qual regime o montante final é 
maior? Juros simples ou compostos? A resposta é: depende do tempo de capitalização, con-
forme mostrado no esquema a seguir:
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MAPAS MENTAIS
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QUESTÕES COMENTADAS EM AULA
001. (FCC/METRÔ-SP/ANALISTA DESENVOLVIMENTO GESTÃO JÚNIOR/ADMINISTRA-
ÇÃO DE EMPRESAS/2014) Joaquim pretende comprar um carro no valor de R$12.500,00 e 
fará um depósito bancário. Sabendo-se que a taxa de juros do Banco A é de 6% ao ano, e que 
ele deverá resgatar o total do valor do carro, ao final de 12 meses, o valor principal a ser depo-
sitado por Joaquim deve ser de:
a) R$12.083,33.
b) R$10.000,00.
c) R$11.792,45.
d) R$7.500,00.
e) R$3.472,22.
002. (CESPE/STM/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2011) A diferença entre a re-
muneração de capital - devido a empréstimo, investimento etc. - nos regimes de juros simples e 
compostos dá-se pelo fato de que, no caso de juros compostos, o cálculo da remuneração por 
determinado período é feito sobre o capital inicial acrescido dos rendimentos nos períodos an-
teriores, e, no caso de juros simples, a remuneração é calculada apenas sobre o capital inicial.
003. (CESPE/TCE-SC/AUDITOR-FISCAL DE CONTROLE EXTERNO/2016) Pedro aplicou R$ 
10.000 em uma instituição financeira pelo prazo de 3 meses consecutivos. A taxa de juros 
compostos dessa aplicação no primeiro mês foi de 5%; no segundo mês, de 10%; e no terceiro, 
de 8%. Nessa situação, Pedro, ao final do terceiro mês, recebeu de juros mais de R$ 2.400.
004. (CESPE/SEFAZ-RS/AUDITOR-FISCAL DA RECEITA ESTADUAL/2019) Uma dívida de R$ 
5.000 foi liquidada pelo valor de R$ 11.250, pagos de uma única vez, dois anos após ter sido 
contraída. Nesse caso, no regime de juros compostos, a taxa anual de juros empregada nesse 
negócio foi de:
a) 5%.
b) 12,5%.
c) 25%.
d) 50%.
e) 62,5%.
005. (FCC/FUNAPE/ANALISTA DE GESTÃO PREVIDENCIÁRIA/2017) A quantia de 
R$41.212,04 é o montante de aplicação de R$40.000,00, durante 3 meses, a uma taxa mensal de:
a) 1,0%.
b) 0,9%.
c) 0,8%.
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Juros Compostos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
d) 0,7%.
e) 1,1%.
006. (FGV/IBGE/ANALISTA DE RECURSOS MATERIAIS E LOGÍSTICA/2016) Um investimen-
to tem taxa nominal de 18% ao ano, capitalizados mensalmente no sistema de juros compos-
tos. Para calcular o montante no final de 2 meses, o capital inicial deve ser multiplicado por:
a) 1+0,15².
b) (1+0,15)².
c) 1+0,015².
d) (1+0,015)².
e) 1 + 2.0,015.
007. (CESPE/TCE-PR/2016) Um investidor possui as propostas A e B de investimentos, com 
prazo de resgate de um ano, e ambas exigem um aporte inicial de R$ 10.000. Com relação ao 
investimento A, está previsto o rendimento de 14,4% de juros anuais (nominal), capitalizados 
mensalmente. No que se refere ao investimento B, está previsto o rendimento de 15% de juros 
ao ano (nominal), capitalizados bimestralmente. Nessas condições, a proposta B é mais atra-
tiva que a proposta A.
008. (ESAF/ISS-RN/2008) Duas pessoas fizeram uma aplicação financeira. A pessoa “A” apli-
cou R$ 100.000,00, à taxa efetiva de juros de 0,5% a. m. e a pessoa “B” aplicou R$ 50.000,00, à 
taxa nominal de 6% a. a. Em ambos os casos as capitalizações são mensais e os juros serão 
pagos junto com o principal. Ao final de 1 (um) ano podemos afirmar que:
a) O juro recebido pela pessoa “A” é maior do que o juro recebido pela pessoa “B”.
b) Não há proporcionalidade entre juros de “A” e “B”.
c) A taxa efetiva de juros de “A” é maior do que a taxa efetiva de “B”.
d) A taxa nominal de “B” é maior do que a taxa nominal de “A”.
e) Os montantes finais são iguais.
009. (FCC/TRE-PR/ANALISTA JUDICIÁRIO/CONTABILIDADE/2017) A Cia. Escocesa, não 
tendo recursos para pagar um empréstimo de R$ 150.000,00 na data do vencimento, fez um 
acordo com a instituição financeira credora para pagá-la 90 dias após a data do vencimento. 
Sabendo que a taxa de juros compostos cobrada pela instituição financeira foi 3% ao mês, o 
valor pago pela empresa, desprezando-se os centavos, foi, em reais,
a) 163.909,00.
b) 163.500,00.
c) 154.500,00.
d) 159.135,00.
e) 159.000,00.
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Juros Compostos
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Thiago Cardoso
010. (CESPE/TCE-PE/AUDITOR DE CONTAS PÚBLICAS/2017) A taxa de 24% ao ano é pro-
porcional à taxa de 2% ao mês.
011. (FCC/TRF-3ª REGIÃO/2016) Uma instituição financeira divulga que a taxa de juros no-
minal para seus tomadores de empréstimos é de 24% ao ano com capitalização mensal. Isto 
significa que a taxa efetiva bimestral correspondente é de:
a)
b) 
c)
d) 
e) 
012. (FGV/SEFAZ-RJ/ANALISTA DE CONTROLE INTERNO/2011) A taxa de juros anual equi-
valente à taxa de juros