cálculo aplicado várias variáveis

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CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS - GR0551
Minhas Disciplinas
202210.ead-29782294.06 - CÁLCULO APLICADO – VÁRIAS VARIÁVEIS - GR0551
UNIDADE 4
Atividade 4 (A4)
Iniciado em sábado, 2 abr 2022, 02:53
Estado Finalizada
Concluída em sábado, 2 abr 2022, 03:34
Tempo empregado 41 minutos 25 segundos
Avaliar 10,00 de um máximo de 10,00(100%)
Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
Considere uma mola com uma massa de 3 kg e de comprimento natural 0,5 m. Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado obedece à equação diferencial: , onde  é uma função do tempo  que indica a posição da massa  e  é a constante elástica.
 
Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta. (Dica: Lei de Hooke: ).
 
 
a.
A solução geral do problema descrito é dada por .
b.
A situação descrita é um PVI dado por:  e .
c.
A posição da massa em qualquer momento  é expressa por
Resposta correta. A alternativa está correta. O enunciado fornece as seguintes condições:  (a mola no tempo  está esticada em 0,8 m sendo seu comprimento natural de 0,5 m; portanto, está deformada em 0,3 m) e  (a velocidade inicial da mola é nula; lembre que a função velocidade é a derivada primeira da função posição). Pela lei de Hooke, temos que o valor da constante elástica é: . Tomando  e  na EDO , obtemos a EDO . Resolvendo o PVI: ,  e  temos que a solução geral da EDO é  , portanto, a solução do PVI é . Portanto,
d.
A equação auxiliar da EDO possui duas raízes reais e distintas.
e.
A situação descrita é um PVI dado por: ,  e
Feedback
A resposta correta é: A posição da massa em qualquer momento  é expressa por
Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Marcar questão
Texto da questão
Uma equação diferencial linear de primeira ordem pode ser expressa na forma , onde  e  são funções contínuas em um dado intervalo. A solução geral para equações diferenciais lineares de primeira ordem é dada pela expressão .
 
Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir e, na sequência, assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s):
 
 
I. A solução geral da equação  é .
II. A solução geral da equação  é .
III. A solução geral da equação  é .
IV. A solução geral da equação  é .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
a.
II, III e IV, apenas.
b.
II e IV, apenas.
c.
I e III, apenas.
d.
I e III, apenas.
e.
I, II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Aplicando o método de solução para uma equação diferencial linear, temos:
Afirmativa I: correta. Temos que  e , assim,
.
 
Afirmativa II: correta. Dividindo toda a equação por , temos que  e , assim, .
 
Afirmativa IV: correta. Temos que  e , assim, , onde .
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A resposta correta é: I, II e IV, apenas.
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
Uma equação diferencial pode ser classificada de acordo com a sua linearidade em equação diferencial linear e equação diferencial não linear. As equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: Considere que a variável independente é  e a variável dependente é , temos que: (i) A variável dependente  e todas as suas derivadas são do primeiro grau, isto é, possuem grau 1. (ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente .
 
Considere a variável  uma função da variável , isto é, . Analise as afirmativas a seguir.
 
I. A equação diferencial  é linear.
II. A equação diferencial  é linear.
III. A equação diferencial  é linear.
IV. A equação diferencial  é linear.
 
Assinale a alternativa correta.
 
a.
II e IV, apenas.
b.
I, III e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as condições de linearidade de uma equação diferencial, temos que as afirmativas I, III e IV estão corretas, pois em todas elas temos que a variável dependente  e todas as suas derivadas possuem grau 1, e cada coeficiente depende apenas da variável independente .
c.
I, II e IV, apenas.
d.
III e IV, apenas.
e.
I, II e III, apenas.
Feedback
A resposta correta é: I, III e IV, apena
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Marcar questão
Texto da questão
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial .
 
 
a.
.
b.
.
c.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação separável. Separando as variáveis  e , podemos reescrever a equação como . Integrando ambos os lados da igualdade, temos .
d.
e.
.
Feedback
A resposta correta é: .
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Marcar questão
Texto da questão
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI).
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias,2003.  Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019.
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: , .
 
 
a.
.
b.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim, podemos resolvê-la separando as variáveis  e , integrando ambos os lados da igualdade em seguida: .
Da condição inicial dada, temos que se  então . Trocando esses valores na solução, obtemos: . Portanto, a solução do PVI é .
c.
.
d.
.
e.
Feedback
A resposta correta é: .
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Marcar questão
Texto da questão
Um circuito elétrico simples composto por um resistor , um indutor  e uma força eletromotriz  (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: . Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um resistor de , uma indutância de  e uma voltagem constante de .
 
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
 
 
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear de primeira ordem  é expresso por . Dada a EDO , temos que  e, portanto, o fator integrante é .
e.
Feedback
A resposta correta é: .
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
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Texto da questão
Leia o excerto a seguir:
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537).
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem constante de , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em .
 
 
a.
.
b.
.
c.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A partir da equação diferencial fornecida no enunciado, , e dos valores fornecidos,  e , temos que . Arrumando a expressão da equação diferencial, temos
.
Tomando  temos . Para , temos que , portanto a expressão da corrente é .
d.
e.
.
Feedback
A resposta correta é: .
Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Marcar questão
Texto da questão“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma , onde  e  são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se , a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se  a equação é dita linear não homogênea.
 
STEWART, J. Cálculo.
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta:
 
 
a.
A equação diferencial  tem solução .
b.
A equação diferencial  tem solução .
c.
A equação diferencial  tem solução .
d.
A equação diferencial  tem solução .
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencial , escrevemos sua equação auxiliar . Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores para . Como as raízes são distintas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada como .
e.
A equação diferencial  tem solução .
Feedback
A resposta correta é: A equação diferencial  tem solução .
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Marcar questão
Texto da questão
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial:
,
onde  é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte situação:
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa população.
 
 
 
 
a.
.
b.
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela seguinte equação diferencial , onde  é a função quantidade de bactérias que depende do tempo . Além disso, temos os seguintes dados: para  temos . Resolvendo a equação diferencial, temos
, onde  e  são constantes e . Como  temos . Portanto, a função que descreve o crescimento dessa população de bactérias é .
c.
.
d.
e.
.
Feedback
A resposta correta é:
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Marcar questão
Texto da questão
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial  se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde  representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial  reduzida em 0,043% após 15 anos.
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é .
II. A função que representa o problema descrito é .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
a.
II, III e IV, apenas.
b.
I, II e IV, apenas.
c.
I e IV, apenas.
d.
I e IV, apenas.
e.
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial separável , temos que as afirmativas I e II estão corretas, pois
, onde .
Para , concluímos que  e, para  concluímos . Portanto, a função que representa o problema descrito é .
Feedback
A resposta correta é: I e II, apenas.