Relatório 1 - Espaço de Estado

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Discente: Cláudio Albués Alves da Silva 
 
RELATÓRIO PRÁTICA 1 – Aula 7 
Analise de Processos e Sistemas II 
 
 
OBJETIVO 
Desenvolver um simulador para o circuito RLC na plataforma Simulink/Matlab, com a 
forma normal da equação do circuito e a equação de estados do sistema. Bem como 
analisar o comportamento dinâmico da tensão no capacitor. 
1.0 - IDENTIFICAÇÃO DO SISTEMA E EQUAÇÃO NORMAL 
Da análise do circuito proposto, figura 1, observa-se que se trata de um circuito RCL 
com fonte de tensão. 
 
Figura 1 - Circuito RLC 
 
Fonte: Americano, Marcos 
 
Utilizando a lei de Kichorffe para as correntes obtêm-se a seguinte equação para o 
circuito, obtêm-se: 
𝑈(𝑡) = 𝑅 × 𝑖 + 𝐿.×
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) 
Sabe-se também que: 
𝑖 = 𝐶.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
Assim pode-se colocar todos os termos da equação em função de alguma derivada de 
y(t): 
𝑈(𝑡) = 𝑅 × 𝐶.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝐿 × 𝐶.
𝑑′′𝑦
𝑑′′𝑡
+ 𝑦(𝑡) 
Que é equivalente à: 
 
𝑈(𝑡) = 𝑅 × 𝐶. �̇� + 𝐿 × 𝐶. �̈� + 𝑦(𝑡) 
Com base na equação acima, pôde criar o seguinte diagrama de blocos no Simulink: 
Figura 2 - Diagrama de Bloco do sistema a partir da Equação Normal 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
Com os dados fornecidos: 
 
C = 1F; 
L = 12H; 
R = 1,5 Ω; 
 
Procedeu-se a simulação do diagrama acima, e fez-se a leitura da tensão y(t) no 
capacitor, para a seguintes situações: 
 
• Para y(0) = 0v, então têm-se: 
Figura 3 - Tensão do Capacitor x Tempo 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
 
• Para y(0) = 5v, têm-se: 
Figura 4 - Tensão no capacitor para y(0)=5 
 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
1.1 – ENTRADA SENOIDAL 
 
• Para y(0) = 0, têm-se: 
Figura 5 - Tensão no Capacitor para entrada Senoidal e y(0) = 5v 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
• Para y(0) = 5 v, têm-se que: 
 
Figura 6 - Tensão no Capacitor para entrada Senoidal e y(0) = 5v 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
1.2 – DIAGRAMA SISTEMA COM “SENSOR DE CARGA” 
 
A partir do diagrama criado para medir a tensão no capacitor, pode introduzir um 
“sensor” de carga, pra isso basta identificar a corrente no digrama e integra-la, 
pois 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
, deste modo obteve-se o seguinte diagrama com o sensor de 
carga, destacado em azul: 
Figura 7 - Diagrama do Sistema com o Sensor de carga 
 
Fonte: Matlab/Simulink 
 
O gráfico da carga no capacitor pode ser visto na figura abaixo: 
Figura 8 - Gráfico da carga no capacitor 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
2.0 - SIMULAÇÃO COM EQUAÇÃO DE ESTADOS 
Para simulação do sistema no Matlab/Simulink, fez-se necessário transformar a equação 
normal do sistema para equação de estados, obtendo-se seguinte resultado: 
 
𝑢(𝑡) = 𝑅 × 𝐶. �̇� + 𝐿 × 𝐶. �̈� + 𝑦(𝑡) = 1,5 × 1. �̇� + 12 × 1. �̈� + 𝑦(𝑡) 
 
𝑥1 = 𝑦 
𝑥2 = �̇� 
�̇�1 = 𝑥2 
�̇�2 = 
𝑢
𝐿. 𝐶
−
𝑅. �̇�
𝐿. 𝐶
+ 𝑦(𝑡) = 
𝑢
12
−
1,5. �̇�
12
− 𝑦(𝑡) = 
𝑢
12
−
1,5. 𝑥2
12
− 𝑥1 
 
Na forma matricial, teremos: 
�̇�1
�̇�2
=
0 1
−1 12⁄ −1,5 12⁄
 × 
𝑥1
𝑥2
 + 
0
1 12⁄
× 𝑢 
𝑦 = 1 0 × 
𝑥1
𝑥1
 
Assim, conclui-se que: 
A = 
0 1
−1 12⁄ −1,5 12⁄
 
B = 
0
1 12⁄
 
C = 1 0 
D = 0 
Aplicando os valores encontrados ao bloco de equação de estados do simulink obtêm-se 
o seguinte resultado, que pode ser visto na figura 4: 
 
Figura 9 - Diagrama do Sistema com o Bloco de Espaço de Estados 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
Comparando os gráficos da tensão no capacitor no tempo, entre o sistema montado com 
o diagrama de blocos com o obtido com o bloco de espaço de estado fornecido pelo 
Simulink, pode-se perceber que o comportamento é idêntico, sendo, portanto, formas de 
representação que podem ser intercambiáveis sem qualquer problema. A figura 5 abaixo, 
está dividida em três partes: o gráfico da parte de cima mostra a tensão no capacitor para 
a montagem a partir da equação normal; já a parte do meio mostra o gráfico quando 
utilizado o bloco de espaço de estados do Simulink; e a parte de baixo é a tensão de 
entrada u=10v. 
Figura 10 - Equação Normal x Equação de Estados 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
 
Repetindo-se o mesmo procedimento anterior, porém agora para u(t)=5v, obtêm-se o 
seguinte gráfico, figura 7: 
 
Figura 11 - Tensão no capacitor para y(t) = 5v 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
Observando-se o gráfico acima, da tensão do capacitor com a modelagem em espaço de 
estados, com tensão y(0)=5v nota-se que o comportamento é ligeiramente diferente do 
modelado a partir da equação normal, o Overshoot desta foi menor do que naquela, 
concluindo-se, portanto, que alterada as condições iniciais a modelagem no Matlab por 
equações normais e espaço de estados, não são completamente idênticas. 
 
2.1 – ENTRADA SENOIDAL 
 
Considerando agora que entrada u é uma fonte senoidal de amplitude 10v e frequência 
de 100Hz. Observa-se o comportamento da tensão no capacitor para as seguintes 
tensões inicias no capacitor: 
 
• Para y(0) = 0v, têm-se: 
 
Figura 12 - Tensão no capacitor para uma entrada senoidal e y(0) = 0 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
 
 
 
 
 
 
• Para y(0) = 5v, têm-se: 
Figura 13 - Tensão no capacitor para uma entrada senoidal e y(0) = 5 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
3.0 – CONCLUSÃO 
Da analise dos gráficos nas diferentes situações que que impomos o sistema proposto, 
pôde-se perceber que quando aplicado a tensão no capacitor tende a oscilar, mas 
eventualmente se estabiliza em determinado valor, para tensão de entrada constante, esse 
valor é a tensão de entrada, para entradas senoidais o valor final é zero. Pode-se também 
estudar duas formas de modelar o mesmo sistema no Matlab, que são ferramentas para 
melhor compreensão e aplicação do mesmo.