Relatório 3 - Estabilidade de Sistemas

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Discente: Cláudio Albués Alves da Silva 
 
RELATÓRIO PRÁTICA 3 – Aula 17 
Análise de Processos e Sistemas II 
 
 
OBJETIVO 
Simular sistemas em malha fechada analisando as condições de estabilidade. 
1.0 - IDENTIFICAÇÃO DO SISTEMA E EQUAÇÃO DE ESTADOS 
A análise será feita em um sistema em malha fechada, cujo elemento de controle é o 
parâmetro K. 
 
Figura 1 – Diagrama do Sistema 
 
Fonte: Americano, Marcos 
 
 
Foi dado que o processo tem a seguinte equação de estados: 
 
[
𝑥1̇
𝑥2̇
] = [
1
0
−2
1
] . [
𝑥1
𝑥2
] + [
1
0
] . 𝑢1 
𝑦 = [1 1 ]. [
𝑥1
𝑥2
] 
Utilizando a lei de controle no processo acima, tem-se a seguinte equação de estados: 
[
𝑥1̇
𝑥2̇
] = [
1 − 𝐾 
0
 −2 − 𝐾
1
] . [
𝑥1
𝑥2
] + [
1
0
] . 𝑢1 
𝑦 = [1 1 ]. [
𝑥1
𝑥2
] 
Analisando ainda o processo proposto, pode-se obter a seguinte função de transferência 
a partir da Equação de estados: 
𝐺𝑃𝑟𝑜𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 =
1
𝑆 − 1
 
2.0 – SIMULAÇÕES NO SIMULINK/MATLAB 
 
De posse da função de transferência do processo e da equação de estados com a lei de 
controle, montou-se o seguinte diagrama de simulação no Simulink: 
 
Figura 2 - Diagrama de Bloco do sistema utilizando bloco de espaço de estado e malha fechada com 
função de transferência do processo 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
 
Procedeu-se à simulações com o diagrama acima, e fez-se a comparação da saída do 
sistema em malha fechada, obtido a partir da substituição da função de transferência 
do processo no diagrama dado, com o sistema obtido utilizando o bloco de equação 
de estados do Simulink, o resultado é como segue: 
 
 
 
• Para r(t) = 1 e K = 0, então têm-se: 
Figura 3 – Saída y(s) para R(s)=1 e K=0 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
 
 
Análise: Da figura 3 percebe-se que a saída y(s) cresce indefinitivamente, 
caracterizando um processo sem lei de controle aplicada, o que era esperado já que o 
valor do parâmetro de controle K = 0. 
 
2.1 - Sistema Externamente Estável (BIBO-Estável) 
 
Para a próxima simulação será calculado, utilizando da função de transferência do sistema 
em malha fechada, o intervalo de valores que K pode assumir de modo que o sistema seja 
estável. 
 
• Função de transferência em malha fechada: 
𝐺𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎 =
𝐾
𝑆 + (𝐾 − 1)
 
 
Para que o sistema seja BIBO-estável seus polos reais devem ser negativos, portanto: 
𝐾 − 1 > 0 
𝐾 > 1 
Para comprovar que K deve ser maior do que 1 para que o sistema seja estável, fez-se 
uma simulação na qual K=0.9; 
Figura 4 - Resposta do sistema para K=0.9 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
Da figura 4, percebe-se que o sistema é instável, tendo crescimento exponencial, sem 
estabilizar-se em torno de um determinado valor, o que é esperado dado que 0.9 é menor 
que 1. 
Agora faremos a simulação para K=1: 
Figura 5 - Resposta do sistema para K=0.9 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
Da figura 5, pode-se notar que o sistema ainda é instável, tendo crescimento linear, sem 
estabilizar-se em torno de um determinado valor, comportamento semelhante a um 
processo integrativo, o que é esperado dado que K ainda não é maior que 1. 
 
Agora faremos a simulação quando K = 1.1, isto é, K é maior que 1: 
Figura 6 - Resposta do sistema para K=0.9 
 
Fonte: Simulink/Matlab 
 
Analisando a figura 6, é notável que o sistema é estável, estabilizando-se a partir do 
instante 50s no valor 10. Fica, portanto, comprovado que para que o sistema dado seja 
estável, K precisa ser maior do que 1 (K>1). 
 
2.2 - Sistema Assintoticamente Estável: 
 
Para que o sistema seja assintoticamente estável é necessário que todos os autovalores da 
matriz A dos coeficientes na equação de estados do sistema em malha fechada seja menor 
do que 1. 
Sabe-se que a equação de estado do processo com a lei de controle é: 
[
𝑥1̇
𝑥2̇
] = [
1 − 𝐾 
0
 −2 − 𝐾
1
] . [
𝑥1
𝑥2
] + [
1
0
] . 𝑢1 
𝑦 = [1 1 ]. [
𝑥1
𝑥2
] 
Então, 
𝑑𝑒𝑡 [
1 − 𝐾 − 𝜆 
0
 −2 − 𝐾
1 − 𝜆 
] 
𝜆2 + 𝜆(𝐾 − 2) + (1 − 𝐾) = 0 
Utilizando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, obtém-se que: 
(𝐾 − 2) > 0 
𝐾 > 2 
E 
(1 − 𝐾) > 0 
𝐾 < 1 
 
Analiticamente, percebe-se que há uma indeterminação, visto que K não pode ser menor 
que 1 e maior que 2 ao mesmo tempo, portanto não há K tal que o sistema seja 
assintoticamente estável. 
3.0 – CONCLUSÃO 
Da análise dos resultados pôde-se perceber que os métodos para avaliação de estabilidade 
do sistema são bastante precisos, oferecendo uma garantia para quem está projetando 
sistemas de controle. Pode-se perceber também que um sistema pode ser externamente 
estável e internamente instável ao mesmo tempo.