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Matemática Financeira AD1 1a/2022
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Avaliação a Distância 1 – AD1 – 1a/2022
Questão 1 [2, 0pts] Um investidor aplicou metade do seu capital à taxa de 30% ao semestre no
regime de juros compostos e a outra metade à taxa de 27% ao quadrimestre no sistema de juros
simples e obteve ao final de um ano um montante de R$ 4.200, 00. Qual o capital inicial deste
investidor?
Solução: Sendo 2C o valor do capital aplicado, metade a i1 = 0, 30a.s. por n1 = 2 semestres e
a outra metade a i2 = 0, 27a.q. por n2 = 3 quadrimestres. A soma dos montantes M1 e M2 fica
4200, 00. Assim
M1 = C(1 + 0, 3)2 = 1, 69C e M2 = C + C0̇, 27 · 3 = C(1 + 0, 81).
Daí,
M1 + M2 = 4200⇒ (1, 69 + 1, 81)C = 4200⇒ C = 1200.
Portanto, o capital inicial era de 2C = R$ 2 400, 00.
Questão 2 [2, 0pts] Determine o montante de um principal de R$ 4 600, 00 em cinco meses e 13
dias, a juros de 0, 52% ao mês.
(a) pela convenção exponencial;
(b) pela convenção linear
Solução: a)
4.600(1 + 0, 52)5+ 1330 = 4.600(1 + 0, 52) 16330 = 44 748, 10.
b) Para a convenção linear temos
4.600(1 + 0, 52)5 + 4.600(1 + 0, 52)5 × 0, 5230 × 13 = 4.600(1 + 0, 52)
5
(
1 + 6, 7630
)
= 45733, 00.
Questão 3: [2, 0pts] O período de um pêndulo simples é diretamente proporcional à raiz quadrada
do seu comprimento. De quanto devemos aumentar o comprimento para aumentar de 33% o período?
Solução: Sejam T o período e ω o comprimento, depois da variação teremos T ′ o novo período e
ω′ o novo comprimento, sabemos que √
ω′
T ′
=
√
ω
T
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Daí, √
ω′
1, 33T =
√
ω
T
⇒
√
ω′ = 1, 33
√
ω ⇒ ω′ = 1, 7689ω
Devemos aumentar de 76, 89% seu comprimento.
Questão 4: [2, 0pts] Dois jogadores apostam cada um R$ 50, 00. E jogam com uma moeda
justa uma partida de cara e coroa. Quando saia uma cara o jogador A ganhava um ponto, quando
saia uma coroa o jogador B ganhava um ponto. Quando o jogo estava com o placar de 7 a 5 para
o jogador A, o jogo foi interrompido. Qual seria a forma justa de dividir o dinheiro?
Solução: Vence o jogo aquele jogador que alcançar em primeiro lugar o número N de pontos. Para
facilitar digamos que N = 10. A ideia é imaginar o que poderia acontecer se o jogo continuasse. Por
exemplo se na próxima rodada saísse uma cara CA então o jogador A teria 8 ou o jogador B ficaria
com 5... Observe que o jogador A precisa obter mais 3 = 10− 7 pontos para vencer e o jogador B
precisa obter 5 = 10− 5. Logo se o jogo continuasse até o lance 7 = 3 + 5− 1 com certeza um dos
jogadores teria vencido. Veja uns exemplos:
CAcocoCACAcoco→ vence o jogador A, cococoCAcoCAco→ vence o jogador B.
Agora precisamos contar entre as 27 = 128 possibilidades aquelas que aparecem 3 ou mais caras.
Para isso considere sete espaços em branco
_______
Agora considere a primeira CA temos 7 posições para escolher, depois a segunda CA teremos apenas
6 posições e por fim a terceira CA terá apenas 5 posições. Observe ainda que se a primeira CA esta
na posição 3 e a segunda CA na posição 4, daria o mesmo resultado se tomássemos a primeira CA
e colocássemos na posição 4 e a segunda CA na posição 3. Portanto estamos contando 3 · 2 · 1 = 6
vezes em excesso. Esta conta é
7 · 6 · 5
3 · 2 · 1 =
7!
3!(7− 3)! =
(
7
3
)
.
Agora se houver 4 CA temos
(
7
4
)
possibilidades. Se houver 5 CA temos
(
7
5
)
possibilidades e por fim
se houver 6 ou 7 CA teremos
(
7
6
)
,
(
7
7
)
possibilidades, respectivamente.
Portanto, a quantidade de dinheiro que cabe ao jogador A será dada por
100 ·
(
7
3
)
+
(
7
4
)
+
(
7
5
)
+
(
7
6
)
+
(
7
7
)
27 = 100 ·
35 + 35 + 21 + 7 + 1
128 = 77, 35
Portanto, o jogador A deve receber R$ 77, 35 e o jogador B deve receber R$ 22, 65.
Questão 5: [2, 0pts] Que taxa mensal de desconto comercial composto é equivalente à taxa
mensal de 24% de desconto racional composto?
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Solução: Sabemos que o valor atual racional e comercial de um título são dados por: Ar = F(1+i)n
e Ac = F × (1 − ic)n, respectivamente. Como o desconto racional dr = V − Vr é igual desconto
comercial dc = F − Vc. Segue que os valores atuais devem ser iguais. Daí, temos
F × (1− ic)n =
F
(1 + i)n ⇒ (1− ic)(1 + ir) = 1.
No nosso caso,
(1− ic)(1 + 0, 24) = 1⇒ ic = 1−
1
1, 24 = 0, 1935 . . . .
Portanto, a taca comercial equivalente é de 19, 35%.
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