08- INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM

Prévia do material em texto

m.a.perissinotto – IPA - 1 
 
ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
Toda qualquer medida apresenta um erro ( incerteza), por isso os algarismos significativos são responsáveis para dar exatidão a 
um número. São os dígitos que nos dão a certeza da afirmação que esse valor é real de uma medida. 
A representação de uma medida como pro exemplo 8,2, possui dois algarismos significativos, e dessa forma não podemos afirmar 
a exatidão do mesmo, ou seja não sabemos qual valor exato porque a próxima casa decimal não está expressa. No entanto se 
apresentarmos essa medida de outra forma, por exemplo 8,20 seria bem parecido, no entanto agora temos 3 algarismos 
significativos e, agora temos a certeza na segunda casa decimal 
Regras para identificar um algarismo significativo 
 
Regras para identificar quais e quantos dígitos de um número são algarismos significativos: 
Números de 
1 a 9 
serão sempre 
algarismos 
SIGNIFICATIVOS 
 
 
a.s. (algarismo 
significativo 
Número 0 (zero) 
A esquerda A direita Entre os números 
são algarismos NÃO 
SIGNIFICATIVO 
são algarismos 
SIGNIFICATIVOS 
são algarismos 
SIGNIFICATIVOS 
Exs.: 
0,012 ( 2 a.s. ) 
0,0001 ( 1 a.s. ) 
 
Exs.: 
5,10 ( 3 a.s.) 
0,1530 ( 4 a.s.) 
 
Exs.: 
209 ( 3 a.s.) 
0,2304 ( 4 a.s.) 
 
 
Algarismo duvidoso 
 
O algarismo duvidoso será sempre o último algarismo significativo. Por exemplo, em 0,23, que possui dois algarismos 
significativos e, o 3 é o algarismo duvidoso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notação científica 
 
 
Todos os dígitos de um número que está em notação científica são algarismos significativos, com exceção da potência de 10. 
 
Na notação científica em potência de 10, o número de dígitos do número que a letra “m” representa vai ser o número de 
algarismos significativos. 
Exs.: 
3,45.106 – Possui 3 a.s. 
5,032.10-3 – Possui 4 a.s. 
 
Operações com algarismos significativos 
 
Soma, Subtração, Multiplicação e Divisão 
 
Para toda e qualquer operação entre dois números utilizando algarismos significativos, o resultado deve possuir a mesma 
quantidade de algarismos significativos que o número com menor quantidade de algarismos significativos antes da operação. 
Exs.: 
Na cor azul são os algarismos duvidosos 
SOMA SUBTRAÇÃO MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO 
1,3 + 1,21 = 1,51 
 
CORRETO= 1,5 
5,3462 – 2,356= 2,9902 
 
CORRETO= 2,990 
2,3 x 1,36 = 3,128 
 
CORRETO= 3,1 
7,345 / 3,23= 2,274 
 
CORRETO= 2,27 
 
 
 
 
𝒎.𝟏𝟎𝒏 	1≤m<10		 n= número inteiro positivo ou negativo 
 
c 
DUVIDOSO 
CORRETO 
38,5 
CORRETO 
 m.a.perissinotto – IPA - 2 
 REGRAS DE ARREDONDAMENTO 
 
É importante conhecer as regras de arredondamentos, principalmente ao calcular valores que têm muitas casas decimais e 
assim poderemos ter uma uniformidade nas respostas dos exercícios. 
É lógico que para esse arredondamento temos que considerar a precisão dos dados exigido como resposta. 
 
 a Resolução nº 886/66 do IBGE: 
 
1) Arredondamento na casa do número inteiro, ou seja sem casas decimais 
i) Na casa da unidade 
Se na casa decimal o número for menor que 5, ou seja, se o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3, 
4, o algarismo significativo ficará inalterado, dessa forma mantém esse número : 
 
Exemplos: Arredondar para: 
1ª casa decimal 2ª casa decimal 3ª casa decimal 4ª casa decimal 
ð ð ð ð 
0,94232 0,9 0,94232 0,94 0,94232 0,942 0,94232 0,9423 
1,73444 1,7 1,73444 1,73 1,73444 1,734 1,73444 1,7344 
44,24113 44,2 44,24113 44,24 44,24113 44,241 44,24113 44,2411 
 
ii) Se o primeiro algarismo a ser abandonado for maior que 5, o algarismo significativo ficará aumentado de uma 
unidade, ou seja, se primeiro algarismo a ser abandonado for 6, 7, 8, 9, aumenta-se de uma unidade o algarismo a 
permanecer. 
 
Exemplos: Arredondar para: 
1ª casa decimal 2ª casa decimal 3ª casa decimal 4ª casa decimal 
ð ð ð ð 
0,96238 1,0 0,96738 0,97 0,96262 0,943 0,96237 0,9424 
1,97444 2,0 1,73744 1,74 1,73494 1,735 1,73448 1,7345 
44,68411 44,7 44,24613 44, 25 44,24183 44,212 44,24119 44,2412 
 
2) Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções: 
 
i) Se após o 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao algarismo que permanece. 
 
Exemplos: 
 
6,352 - 6,4 55,6501 - 55,7 96,250002 - 96,3 2,352 - 2,4 25,6501 - 25,7 76,250002 - 76,3 
 
ii) Se o 5 for o último algarismo ou após o 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado só será aumentando de 
uma unidade se for ímpar, logicamente se for número par manter o número anterior. 
 
Exemplos: 
Número antes do 5, impar Número antes do 5, par 
323,35 323,4 34,65000 34,6 
14,7500 14,8 44,8500 44,8 
26,55 26,6 78,45 78,4 
24,75 24,8 24,65 24,6 
2,350 2,4 8,85 8,8 
 
 
ATENÇÃO!!!!! 
Não devemos nunca fazer arredondamento sucessivos. Exemplo: 17,3452 passa a 17,3 e não para 17,35 e depois para 17,4. 
 
Arredondamento para Dezenas, Centenas e Milhares - Segue as mesmas regrinhas da 886/66 
 
DEZENAS - 1324 – ( 1320<1324<1330 ) = 1320 
 
CENTENAS – 3598 - ( 3500<3598<3600 ) = 3600 
 
MILHARES – 1736 – ( 1000<1736<2000 ) = 2000 
 
 
 
 
 
 m.a.perissinotto – IPA - 3 
 INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM 
1- FUNDAMENTO 
Sobre uma amostra (n) retirada, aleatoriamente, de um lote (N) podemos fazer a avaliação do mesmo, ou seja 
APROVAR ou REJEITAR o lote. 
2- ONDE APLICAR INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM 
➢ Inspeção de Recebimento v Inspeção em Estoque Intermediário ✓ Inspeção Final 
 
3-TIPOS DE INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM 
 
INSPEÇÃO POR ATRIBUTOS INSPEÇÃO POR VARIÁVEIS 
É aquela onde a peça é classificada como: 
defeituosa ou não. 
Ex.: Calibrador P - NP 
É aquela onde uma característica da peça é medida numa 
escala contínua. 
Ex.: dimensão, temperatura, etc. 
 
INSPEÇÃO - 100% 
X 
INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM 
• onerosa 
• demorada 
• resultado questionável 
• impossível em testes destrutivos 
ERRO AMOSTRAL 
✓ custo pela aceitação de lotes ruins 
✓ custo pela rejeição de lotes bons 
 
 
ERRO 
AMOSTRAL 
® risco do consumidor ( b ) Äum lote de má qualidade pode ser APROVADO 
® risco do produtor ( a ) Äum lote de boa qualidade pode ser REJEITADO 
Contudo, esse erro não ocorre de forma descontrolada, pois se por exemplo, dentro de um determinado período 
forem inspecionados 100 lotes que contenham uma fração defeituosa - p = 3% e o plano de amostragem definindo 
uma amostra – n = 100 peças e o número de aceitação - Ac = 3, após esse período teríamos provavelmente: 65% 
dos lotes APROVADOS e 35% dos lotes REJEITADOS 
3- TERMOS UTILIZADOS NA INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM 
4.1-DEFEITO 
É a falta de conformidade a qualquer dos requisitos especificados 
4.2-NÚMERO DE ACEITAÇÃO - ( Ac ) 
É a quantidade máxima de defeituosos, em uma amostra de tamanho ( n ), que ainda é permitida a aprovação do lote. 
 
4.3-NÚMERO DE REJEIÇÃO - ( Re ) 
É a quantidade mínima de defeituosos, em uma amostra de tamanho ( n ), que determinam a 
rejeição do lote. Portanto: Re ³ Ac + 1 
 
4.4-PORCENTAGEM DEFEITUOSA è 
 
 
 
 
4.5-DEFEITOS POR CEM UNIDADES è 
 
4.6-RISCO DO CONSUMIDOR - ( b ) É a probabilidade de um lote de má qualidade ser aceita. 
 
4.7-RISCO DO PRODUTOR - ( a ) É a probabilidade de um lote de boa qualidade ser rejeitado. 
4.8-NÍVEL DE QUALIDADE ACEITÁVEL - ( NQA ) 
É a máxima porcentagem defeituosa ( ou máximo DCU ) que para fins de inspeção por amostragem pode ser 
considerada satisfatória como média de um processo. Uso recomendado para entregas contínuas. 
4.9-QUALIDADE LIMITE - ( QL ) 
É o limite mínimo de porcentagem defeituosa ( ou mínimo DCU ), acima do qual o lote é considerado de má qualidade. 
Uso recomendado para lotes isolados. 
 
4.10-NÍVEL DE QUALIDADE INDEPENDENTE- (NQI) – PONTO DE INDIFERENÇA ( P0,5) 
Com esse número de porcentagem defeituosa a probabilidade de aceitação é 50%
Por exemplo, se fixarmos o risco do consumidor em 10%, isto significa que em uma série de lotes 
apresentados, um em cada 10 aceitos será de má qualidade. 
Por exemplo, se fixarmos o risco do produtor em 5%, isto significa que em uma série de 20 lotes de 
boa qualidade apresentados, um será rejeitado como sendo de má qualidade. 
𝑝 =
𝑑
𝑛
× 100	 ≫
𝑑 = 𝑛°	𝑑𝑒	𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠	𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠
𝑛 = 𝑛°	𝑑𝑒	𝑢𝑛	𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠	𝑖𝑛𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
 
𝐷𝐶𝑈 =
∑𝑑
𝑛
× 100 ≫
𝑆𝑜𝑚𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜	𝑑𝑒	𝑑𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑠
𝑛°	𝑑𝑒	𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠	𝑖𝑛𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜𝑛𝑑𝑎𝑠
 
Obs.: Qualquer unidade do produto poderá conter um ou mais defeitos 
 m.a.perissinotto – IPA - 4 
 
nível II. 
QMR = p * Pa 
 
 
 
4.11-CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERAÇÃO - ( CCO ) 
A “CCO” define, para cada plano de amostragem, a probabilidade ( Pa ) 
de aceitação do lote, que tenha uma qualidade ( p ) em porcentagem 
defeituosa, ao ser submetido à inspeção através de uma amostra ( n ), 
retirada aleatoriamente do lote e, um critério de aceitação ( Ac ). 
 
4.12-QUALIDADE MÉDIA RESULTANTE - ( QMR ) 
QMR de todo um processo de inspeção por amostragem, incluídos os resultados de todos os lotes aceitos e todos os lotes 
rejeitados, após estes terem sido inspecionados em 100% e todas as unidades de produtos defeituosos substituídas por não 
defeituosas. 
4.13-NÍVEL DE INSPEÇÃO 
O nível de inspeção determina a relação entre o tamanho do lote e o tamanho da amostra. 
São prescritos 3 níveis de inspeção normal ® I, II, III. O nível a ser usado deverá ser determinado pelo responsável pela 
inspeção, quando não houver nenhuma indicação deverá ser usado o 
São prescritos ainda 4 níveis de “ inspeção especial ” ® S1 , S2 , S3 , S4 
Esses níveis de inspeção especial, poderão ser utilizados quando forem necessários tamanhos de amostras relativamente 
pequenos. 
Ex.: testes destrutivos ou custo de inspeção muito elevado. 
Esses níveis também são considerados adequados para quando for utilizado processo repetitivo. 
Ex.: estampagem, cunhagem, forja, etc. 
4.14-CÓDIGO LITERAL 
Os tamanhos de amostras são indicados por um código literal em função do tamanho do lote e do nível de inspeção, 
conforme tabela. 
4.15-PLANO DE AMOSTRAGEM 
TIPO amostragem 
ü Simples uma amostra de tamanho “n” 
o Dupla duas amostras de tamanhos “n1” e “n2” (n1 = n2) 
• Múltipla sequência de amostras “n1”, “n2”, ... “nn” (n1=n2=...nn) 
A escolha do tipo de amostragem a ser utilizada não pode negligenciar os aspectos de custo: 
Quanto ao custo de inspeção, a amostragem simples é mais cara que a múltipla, pois o mesmo depende diretamente da 
quantidade média inspecionada. Quanto ao custo administrativo, a amostragem simples é a mais barata, pois requer um 
menor grau de sofisticação na obtenção das amostras. 
 
4.16-REGIME DE INSPEÇÃO 
A escolha se dá em função das performances dos lotes recebidos anteriormente, resumo: 
Resumo: 
 
 
 
Quando não houver nenhuma indicação contrária devemos iniciar pela inspeção normal, porém: 
 
 
Se de 5 lotes consecutivos recebidos, 2 tiverem sido 
rejeitados na inspeção original, então: NORMAL 
 SEVERA 
 
 
Se 5 lotes consecutivos recebidos tiverem sido 
aprovados na inspeção original, então: SEVERA 
 NORMAL 
v Após 10 lotes em regime de inspeção severa, a norma recomenda a necessidade de aprimoramento da qualidade do 
produto. 
 
Se 10 lotes consecutivos recebidos tiverem sido 
aprovados na inspeção original, então: NORMAL ATENUADA 
 
Se 1 lote for rejeitado, ou 
Se Ac < d < Re, ou 
Se o processo estiver irregular, junto ao produtor 
ATENUADA 
 
NORMAL 
 
 
 
 
Relação de criticidade I = 0,4 II III = 1,6 II 
 
Tipo REGIME 
SIMPLES 
 
NORMAL 
DUPLA SEVERA 
SSEV ERA 
MÚLTIPLA ATENUADA ATENUADAA 
S 
C 
C 
C 
C 
 m.a.perissinotto – IPA - 5 
 
4.17-CONSIDERAÇÕES NO ESTABELECIMENTO DE UM PLANO DE AMOSTRAGEM 
Quando da decisão de terceirizar algum tipo de peça, o acordo comercial deve prever o tipo de inspeção a ser executado. 
5.1-CUSTO DE NÃO INSPEÇÃO - ( Cni ) 
Se o lote for aceito sem inspeção, as peças defeituosas, não identificadas, causarão determinados prejuízos, seja na produção 
do cliente, seja para o usuário final, pois neste caso todas as peças defeituosas passarão para a fase seguinte do processo 
produtivo, provocando um custo de não inspeção de : 
 
 
 
5.2-CUSTO DA INSPEÇÃO 100% - ( Ci ) 
N = tamanho do lote 
p = fração defeituosa do lote 
T = custo do retrabalho por ter aceito peça ruim 
Neste caso, considerando inspeção 100% ( considerada eficiente ), temos o custo de inspeção de todo o lote, de. 
 
 
 
 
 
 
 
v Analisando o ponto de indiferença temos: 
 
Portanto, se a porcentagem de defeituosos for “ p0 ” , o plano de amostragem a ser escolhido será aquele em que as 
possibilidades de aceitação e rejeição são iguais, assim sendo poderemos, com o auxílio da CCO, definir o plano de 
amostragem ideal. 
 
Exemplo: 
 
Exemplo, reduzido de uma tabela da NBR-5426 
 
 
INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM - ATRIBUTOS – ( NBR 5426 ) 
A Inspeção por Amostragem-Atributos, esta baseada nas: 
Distribuição Binomial para % defeituosa e, Distribuição de Poisson para “defeitos por 100 unidades”. 
 
 
Nas próximas páginas uma RECORDAÇÃO nas teorias das distribuições: 
BINOMIAL, POISSON e HIPERGEOMÉTRICA
Quanto ao custo, através do gráfico, 
podemos verificar que: 
1ª p < po Interessante insp. 0% 
2ª p > po Interessante insp 100% 
3ª p = po ü Indiferença 
 
Tamanho do Lote (N) 500 pçs. 
Custo da Inspeção ( I ) $ 20 u.m 
Custo da Não Inspeção ( T ) $ 400 u.m 
 
I = custo da inspeção por peça 
𝑪𝒏𝒊 = 𝑵 × 𝒑 × 𝑻 
𝑪𝒊 = 𝑵 × 𝑰 
𝑪𝒏𝒊 = 𝑪𝒊 ≫ 𝑵 × 𝒑 × 𝑻 = 𝑵 × 𝑰	 ≫ 𝒑 =
𝑰
𝑻
 
𝒑 =
𝟐𝟎
𝟒𝟎𝟎
= 𝟎, 𝟎𝟓 → 𝟓% 
 m.a.perissinotto – IPA - 6 
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
A Distribuição Binomial descreve eventos independentes, quando somente 2 resultados são possíveis. 
Ex.: Calibrador “P - NP”, “obtenção de caras em “n” lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda”. 
Vamos, neste item, considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições: 
 
A Distribuição Binomial se aproxima da Distribuição Normal, se: 
 
np ≥ 5 e nq ≥ 5 ( explicações dessa “vantagem”, no fascículo DISTRIBUIÇÃO NORMAL). 
 
✓ O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes “n”; 
✓ As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os 
resultados das sucessivas; 
✓ Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis resultados: sucesso e insucesso; 
✓ No decorrer do experimento, a probabilidade “p” do sucesso e a probabilidade do insucesso q (q = 1 – p) se manterão 
constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem “ x” sucessos em “n” tentativas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando: 
 
 
 
 (n ) = ( Cn,x ) combinação de “n” elementos “x a x” ® 
1- Uma moeda é jogada 20 vezes. Calcular a probabilidade de obtermos exatamente 10 caras. 
parâmetros: n=20, x=10, p=0,5*, q=(1-0,5) = 0,5 
• Probabilidade ½ = 0,5 =50% 
• X = 10 
 
 
 
 
2- Um lote de N=1000 peças tem a fração defeituosa p=0,04. Calcular a probabilidade de aceitação e de rejeição do lote 
com amostras n=50 peças e número de aceitação Ac= 2, 3 e 6. 
 f(x) F(a) Ac. Rj 
f(0) 
 (1) × (1) × (0,12988) 0,130 0,130 0,130 0,870 
f(1) 
 
(50) × (0,04) × (0,13530) 0,271 0,401 0,271 0,729 
f(2) 
 
(1225) × (1,6.10-3) × (0,14094) 0,276 0,677 0,677 0,323 
f(3) 
 
(19600) × (6,4.10-5) × (0,14681) 0,184 0,861 0,861 0,139 
f(4) (230300) × (2,56. 10c`) × (0,15292) 0,090 0,951 0,951 0,049 
f(5) (2118760) × (1,02. 10c_) × (0,159296) 0,035 0,986 0,986 0,014 
f(6) 
 
𝒇(𝒙) = T𝒏𝒙U × 𝒑
𝒙 × 𝒒(𝒏W𝒙) 
𝑴é𝒅𝒊𝒂 − 𝒏𝒑 𝑽𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝒏 × 𝒑 × (𝟏 − 𝒑) 
p (fração defeituosa) q = (1-p) 
Probabilidade de ocorrer peças defeituosas Probabilidade de ocorrer peças perfeitas𝑭(𝒂) = bT𝒏𝒙U × 𝒑
𝒙 × 𝒒(𝒏W𝒙)
𝒙c𝒂
𝒙c𝟎
 
A probabilidade de ocorrerem até “a” (no máximo “a”) 
peças defeituosas em “n” provas é: 
 
A probabilidade de ocorrer “x”( exatamente “x”) 
peças defeituosas em “n”provas é: 
T𝑛𝑥U = e𝐶f,gh	𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜	𝑑𝑒	"n"	elementos	"x	a	x"→ T
𝑛
𝑥U
𝑛!
(𝑛 − 𝑥)! × 𝑥!
 
 
T𝑛𝑥U × 𝑝
v × 𝑞(xWv) → T2010U × 0,5
{| × 0,5(}|W{|) → 184,756 × 0,000977 × 0,000977 = 0,1762 
T500 U × 0,04
| × 0,96�| 
T501 U × 0,04
{ × 0,96�� 
T502 U × 0,04
} × 0,96�� 
T503 U × 0,04
� × 0,96�� 
T504 U × 0,04
� × 0,96�� 
T505 U × 0,04
� × 0,96�� 
 m.a.perissinotto – IPA - 7 
 
Pode-se utilizar Poisson como aproximação da 
Binomial quando : (regra empírica) 
n = grande >100 e n.p< 5 
 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
A Distribuição de Poisson, também conhecida como “Lei dos eventos raros”, a ocorrência do evento surge com grande 
número de oportunidades porém com pequena probabilidade. 
O evento ocorre em um intervalo (esse intervalo pode ser: tempo, a distância, a área, o volume ou outra unidade análoga. 
Essas ocorrências devem ser: aleatórias, independentes umas das outras, tenham a mesma probabilidade sobre o intervalo 
considerado. Exs.: 
✓ Na maioria dos estudos “p” depende da unidade de tempo; 
✓ Quantidade de defeitos em uma unidade pintada ( automóvel ); 
✓ Defeitos por unidade (m2, m, etc.), ou por peça fabricada; 
✓ Erros tipográficos por página, em um material impresso 
onde: 
p = probabilidade de ocorrer peças defeituosas ( fração 
defeituosa ), ou Taxa de Ocorrência 
n = nº de elementos da amostra. 
 
lembrando: 
m = produto da amostragem (n) pela fração defeituosa (p) 
e = 2,71828...constante neperiana, ou número de Euler 
 
A probabilidade de ocorrer “x” (exatamente “x”) peças 
defeituosas em “n” provas é: 
A probabilidade de ocorrerem até “a” (no máximo “a”) peças 
defeituosas em “n” provas é: 
 
 
 
 
 
A distribuição binomial pode ser usada para encontrar a probabilidade de um número designado de sucessos em “n” 
tentativas, ou por intervalo de tempo. As outras condições exigidas para se aplicar a distribuição Binomial são também 
exigidas para se aplicar a distribuição de Poisson; isto é, 
(1) deve existir somente dois resultados mutuamente exclusivos, 
(2) os eventos devem ser independentes, e 
(3) o número médio de sucessos por unidade de intervalo deve permanecer constante. 
Ex.: 1 - Um pronto socorro de um hospital recebe em média 05 entradas por hora, qual a probabilidade de receber 02 
solicitações numa hora selecionada aleatoriamente? 
Parâmetros: x = nº designado de sucessos =2 / m = nº médio de sucessos no intervalo específico (1 hora)= 5 
 
 
 
 
Ex.: 2 - Um lote de N = 1000 peças tem a fração defeituosa p = 0,04. Calcular a probabilidade de aceitação e de rejeição do 
lote com amostras n = 50 peças e número de aceitação Ac = 2, 3 e 6. 
 f(x) F(a) 
f(0) 
 
0,135 0,135 
f(1) 
 
 
 
0,271 0,406 
f(2) 
 
0,271 0,677 
f(3) 
 
0,180 0,857 
f(4) 
 
0,090 0,947 
f(5) 
 
0,036 0,983 
f(6) 
 
m = n x p 
no exemplo: 
p = 5 entradas 
n = 1hora 
𝒇(𝒙) =
𝒎𝒙 × 𝒆W𝒎
𝒙!
 
𝑴é𝒅𝒊𝒂 = 𝑽𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝒎 → 𝒎 = 𝒏 × 𝒑 
𝑭(𝒂) = b
𝒎𝒙 × 𝒆W𝒎
𝒙!
𝒙c𝒂
𝒙c𝟎
 
𝑓(𝑥) =
𝑚v × 𝑒W�
𝑥!
→
5} × 𝑒W�
2!
→
25 × 0,0067
2
→
0,1684
2
→ 0,0842 → 8,42% 
2| × 𝑒W}
0!
 
2{ × 𝑒W}
1!
 
2} × 𝑒W}
2!
 
2� × 𝑒W}
3!
 
2� × 𝑒W}
4!
 
2� × 𝑒W}
5!
 
1 × 0,1353
1
 
2 × 0,1353
1
 
4 × 0,1353
2
 
8 × 0,1353
6
 
16 × 0,1353
24
 
32 × 0,1353
120
 
 m.a.perissinotto – IPA - 8 
 DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
Um experimento hipergeométrico é um experimento estatístico que tem as seguintes propriedades: 
✓ Uma amostra de tamanho “n” é selecionada aleatoriamente sem reposição de uma população de “N” itens. 
✓ Na população, “D” itens podem ser classificados como fracassos. 
A diferença para a Binomial é que a probabilidade de sucesso, na Hipergeométrica, muda a cada tentativa, no entanto 
quando a população (N) for muito grande essa diferença é minimizada. 
 
O cálculo da Probabilidade de aceitação pela Distribuição Hipergeométrica pode ser feita como segue: 
 
 
 
 
 
 
N quantidade de peças no lote 
n nº de elementos da amostra 
D nº de defeituosos no lote (número inteiro) 
 
A probabilidade de ocorrer “x” (exatamente “x” ) 
peças defeituosas em “n” provas é 
A probabilidade de ocorrerem até “a” (no máximo “a”) 
peças defeituosas em “n” provas é: 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
Um fabricante de eixos entrega, conforme definição do cliente, caixas de 25 eixos. O cliente definiu, para o seu setor de recebimento: 
sortear uma caixa e dessa caixa retirar 10 eixos, se houver no máximo 01 eixos rejeitados aceitar o lote com posterior troca com o 
fornecedor. Qual a probabilidade da aprovação de uma caixa com 5 peças defeituosas? 
N= 25 
D= 5 
x= 0,1 
n=10 
 
 
 
 
2- Um lote de N = 10 peças tem D = 2 defeituosos, qual a probabilidade de aceitação do lote retirando-se uma peça por vez, 
num total da amostra de n = 5 peças, com número de aceitação Ac = 2 peça. 
 
 
 f(x) F(a) 
 
f(0) 
 
 
0,222 
 
 
0,222 
 
f(1) 
 
0,555 
 
0,777 
 
 
f(2) 
 
𝑴é𝒅𝒊𝒂 = 𝒏 T𝑫𝑵U 𝑉𝒂𝒓𝒊â𝒏𝒄𝒊𝒂 = 𝒏 ×
T𝑫
𝑵
U × T𝟏 −𝑫𝑵U × (𝑵 − 𝒏)
(𝑵 − 𝟏)
 
𝒇(𝒙) = T𝑫𝒙U
��
(𝑵 −𝑫)
(𝒏 − 𝒙)��
T𝑵𝒏U
 𝑭(𝒂) = bT
𝑫
𝒙U
𝒙c𝒂
𝒙c𝟎
��
(𝑵 −𝑫)
(𝒏 − 𝒙)��
T𝑵𝒏U
 
𝑓(𝑥) = T𝐷𝑥U
��(𝑁 − 𝐷)(𝑛 − 𝑥) ��
T𝑁𝑛U
→ T50U
��(25 − 5)(10 − 0)��
T2510U
→ T50U
T2010U
T2510U
→ 1
184.756
3.268.760
→ 1 × 0,0565 = 0,0565 → 5,65% 
𝑓(𝑥) = T𝐷𝑥U
��(𝑁 − 𝐷)(𝑛 − 𝑥) ��
T𝑁𝑛U
→ T51U
��(25 − 5)(10 − 1)��
T2510U
→ T51U
T209 U
T2510U
→ 5
167.960
3.268.760
→ 5 × 0,0514 = 0,2569 → 25,69 
0,0565+0,2569=0,3134 
 
 31,34% 
T20U
��(10 − 2)(5 − 0) ��
T105 U
 T20U
T85U
T105 U
 1 56
252
 
T21U
��(10 − 2)(5 − 1) ��
T105 U
 T20U
T84U
T105 U
 2 70252 
 m.a.perissinotto – IPA - 9 
 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) 
É uma medida de dispersão empregada para estimar a precisão de experimentos, ou seja, exprime a variabilidade dos 
dados, independente da ordem de grandeza dos dados. 
Onde: 
s = Desvio padrão do lote 
µ = Média do lote 
 
O CV é utilizado para comparação de dois ou mais conujntos de dados mesmo quando são comparadas unidades de 
medidas diferentes. De uma forma geral, se o CV: 
 
CV ≤ 0,15 Dados homogêneos 
0,15 ≤ CV ≤ 0,30 Média dispersão 
CV ≥ 0,30 Dados heterogêneos 
EXEMPLO: 
Em um grupo de moradores de determinada região foram analisadas a idade (em anos) e a altura (em metros) das pessoas. 
Deseja-se comparar a dispersão em termos relativos em torno da média dos dois conjuntos de dados, a fim de verificar qual 
deles é mais homogêneo. Na coleta dos dados verificou-se que: 
 
Idade das pessoas Altura das pessoas 
𝑥̅ = 41,6 𝜎 = 0,82 𝑥̅ = 1,67 𝜎 = 0,2 
 
 
Os dados relativos à idade são mais homogêneos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
PARA FACILITAR A APLICAÇĂO DA INSPEÇĂO POR AMOSTRAGEM, ESSES CÁLCULOS JÁ FORAM 
EFETUADOS E TABELADOS, CONFORME NORMA NBR-5426. 
 
 
EXEMPLO PARA APLICAÇÃO DAS TABELAS DA NBR – 5426 
Ver, No final do assunto, um resumo dessas tabelas, 
 
1-) Estabelecer os planos de amostragem SIMPLES, NORMAL, NÍVEL II, NQA=0,65%. 
 
N 
 
Nível Tabela “ 1 ” 
 
Tipo Regime de Inspeção 
 
NQA Tamanho da Amostra ( n ) 
Critério de 
Aceitação 
Ac Re 
450 pçs II 
H 
Ô 
J 
SIMPLES NORMAL 0,65 % 80 pçs 1 pç 2 pçs 
 
Explicação: 
No primeiro momento, na tabela “1“, o código literal é “H“, contudo quando procuramos, na tabela “2“, na linha 
da letra “H” até a coluna NQA “0,65”, encontramos uma seta direcionando para o próximo plano inferior, então: 
Letra “J“, com uma amostragem de 80 peças com critério de aceitação de Ac = 1 e Re = 2. 
𝑪𝑽 =
𝝈
𝝁 
𝐶𝑉 − 𝑑𝑎	𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝐶𝑉 =
0,82
41,6
= 0,0197 
𝐶𝑉 − 𝑑𝑎	𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 𝐶𝑉 =
0,2
1,67
= 0,119 
 m.a.perissinotto – IPA - 10 
 EXERCÍCIOS: 
( 1 ) – Após o histórico de recebimento abaixo ( 9 lotes ), deu entrada, no setor de recebimento, um lotede 100 
peças, com o seguinte plano de amostragem: 
SIMPLES, NORMAL, NÍVEL II, NQA=0,40% 
o resultado da inspeção desse lote foi 0 (zero) defeituosos 
 
1º 2° 3º 4° 5 º 6º 7º 8º 9º 
A A A A A A A A A 
QUAL O PLANO A SER APLICADO? 
N Nível Tabela Tipo Regime NQA n Ac Re 
 
 
Resultado da Inspeção? Qual o regime para o próximo recebimento? 
 
( 2 ) –No início de recebimento com plano de amostragem SIMPLES, NORMAL, NÍVEL II, NQA=1,0%, com o 
histórico de recebimento abaixo ( 15 lotes ), deu entrada no setor de recebimento, um lote de 500 peças, 
o resultado da inspeção desse lote foi 1 (uma) peça rejeitada. 
 
1º 2° 3º 4° 5 º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º - Resultado da 
inspeção ? 
A R A A R A A A A A R A A A R 
 
 
QUAL O PLANO DE AMOSTRAGEM A SER APLICADO A PARTIR DO 16º RECEBIMENTO ( INCLUSIVE)? 
N Nível Tabela Tipo Regime NQA n Ac Re 
 
 
 
 
 
( 3 ) – Decorrido um certo tempo de recebimento de um determinado produto, observou-se a situação abaixo, 
sem levar em conta os lotes anteriores, o plano de amostragem, aplicado até então, para lotes de 3000 peças: 
DUPLA, NORMAL, NÍVEL II, NQA=0,65%. 
 
 
QUAL O PLANO A SER APLICADO PARA O 35º LOTE? 
N Nível Tabela Tipo Regime NQA n Ac Re 
 
QUAL A DECISÃO PARA O PRÓXIMO RECEBIMENTO? SE NO 35º RECEBIMENTO: 
1ª amostragem com 
“0” defeituosos ? 
Total da 
Amostragem n= 
Resultado da 
Inspeção? 
 
Qual o regime para o próximo recebimento? 
 
1ª e 2ª amostragem 
com “2” defeituosos ? 
Total da 
Amostragem n= 
Resultado da 
Inspeção? 
 
Qual o regime para o próximo recebimento? 
 
1ª e 2ª amostragem 
com “3” defeituosos ? 
Total da 
Amostragem n= 
Resultado da 
Inspeção? 
 
Qual o regime para o próximo recebimento? 
Qual o regime aplicado do 11º ao 15º 
recebimentos ? 
Qual o regime a ser aplicado depois do 5º 
recebimento ? 
25º 26° 27º 28° 29 º 30º 31º 32º 33º 34º 
A A A A A A A A A A 
 
 m.a.perissinotto – IPA - 11 
 ( 4 ) - No recebimento de um lote de 300 peças, com o desempenho do fornecedor conforme tabela abaixo, aplica-se um 
plano de amostragem como segue: DUPLA, NORMAL, NÍVEL III, NQA=0,40%. 
 
20º 21° 22º 23° 24º 25º 26º 27º 28º 29º 30º 
A R A A A A A A A A A 
 
 
QUAL O PLANO A 
SER APLICADO? 
N Nível Tabela Tipo Regime NQA n Ac Re 
 
QUAL A DECISÃO PARA O PRÓXIMO RECEBIMENTO? .................SE O 31º RECEBIMENTO FOI; 
1ª amostragem com 
“0” defeituosos ? 
Total da 
Amostragem n= 
Resultado da 
Inspeção? 
 
Qual o regime para o próximo recebimento? 
 
1ª e 2ª amostragem 
com “1” defeituosos ? 
Total da 
Amostragem n= 
Resultado da 
Inspeção? 
 
Qual o regime para o próximo recebimento? 
 
1ª e 2ª amostragem com 
“2” defeituosos ? 
Total da 
Amostragem n= 
Resultado da 
Inspeção? 
 
Qual o regime para o próximo recebimento? 
( 5 ) – Decorrido um determinado tempo, do início de recebimento de lotes com 650 peças, contatou-se o desempenho abaixo, 
considerando os lotes anteriores todos aprovados na inspeção original. O plano de amostragem utilizado até o 10º lote 
(inclusive) era: DUPLA, NORMAL, NÍVEL II, NQA=1,0% 
 
 
PLANO A PARTIR 
DO 10º 
RECEBIMENTO 
(inclusive)? 
N Nível Tabela Tipo Regime NQA n Ac Re 
 
 
 
 
 
PLANO A PARTIR 
DO 11º 
RECEBIMENTO 
(inclusive)? 
N Nível Tabela Tipo Regime NQA n Ac Re 
 
 
 
 
NO 16º RECEBIMENTO O LOTE FOI APROVADO. 
O resultado da inspeção foi: 2 defeituosas na 1ª amostragem e mais 1 defeituosa na 2ª amostragem). 
 
 
PLANO A PARTIR 
DO 17º 
RECEBIMENTO 
(inclusive)? 
N Nível Tabela Tipo Regime NQA n Ac Re 
 
 
 
 
 
 
PLANO A PARTIR 
DO 24º 
RECEBIMENTO 
N Nível Tabela Tipo Regime NQA n Ac Re 
 
 
 
 
 
( 6 ) – 
Qual o plano a ser 
aplicado? 
N Nível Tabela Tipo Regime NQA n Ac Re 
 
250 
 
II 
 
DUPLA 
 
NORMAL 
 
0,40 
 
 
 
 
 
( 7 ) – 
Qual o plano a ser 
aplicado? 
N Nível Tabela Tipo Regime NQA n Ac Re 
 
450 
 
II 
 
DUPLA 
 
SEVERA 
 
0,40 
 
10º ao 19º 20º 21º 22º 23º 24º 
A R A A A R 
 
m.a.perissinotto - IPA - 12
Essas tabelas são extraídas da NBR-5426, de uma forma "exageradamente" simplificada
S1 S2 S3 S4 I II III
≥91 ≤150 B B C D D F G
151 280 B C D E E G H
281 500 B C D E F H J
501 1200 C C E F G J K
1200 3200 C D E G H K L
Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re
D 3 D 8 D 8
E 5 0 1 E 13 0 1 E 13
F 8 0 1 F 20 0 1 F 20 0 1
G 13 0 1 G 32 0 1 G 32 0 1
H 20 0 2 H 50 1 2 H 50 0 1
J 32 0 2 1 3 J 80 1 2 2 3 J 80 1 2
K 50 0 2 1 3 1 4 K 125 1 2 1 2 3 4 K 125 1 2 2 3
L 80 1 3 1 4 2 5 L 200 2 3 2 3 5 6 L 200 1 2 2 3 3 4
Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re
2 5 5
4 10 10
3 8 8
6 16 16
5 13 13
10 26 26
8 20 20
16 40 40
13 0 2 32 0 2 32
26 0 2 64 1 2 64
20 0 2 0 3 50 0 2 0 3 50 0 2
40 0 2 0 4 100 1 2 3 4 100 1 2
32 0 2 0 3 0 4 80 0 2 0 3 1 4 80 0 2 0 3
64 0 2 0 4 1 5 160 1 2 3 4 4 5 160 1 2 3 4
50 0 3 0 4 0 4 125 0 3 1 4 2 5 125 0 2 0 3 1 4
100 0 4 1 5 3 6 250 3 4 4 5 6 7 250 1 2 3 4 4 5
Para amostragem múltiplas segue o mesmo raciocínio
5 - AMOSTRAGEM DUPLA
ATENUADA
1 - CODIFICAÇÃO DE AMOSTRAGEM
Tam. da
Amostra
Níveis Especiais Níveis Gerais
 nº máximo de "d" que ainda permitem a aprovação
 nº mínimo de "d" que implica rejeição
0,65 1,0
 usar o primeiro plano abaixo da seta
Ac
Re
 usar o primeiro plano acima da seta
Na amostragem DUPLA , se após a última amostragem Ac < "d" < Re, aceitar lote e passar para Inspeção NORMAL
*
*
* *
L
H
J
K
L
H
J
6 - AMOSTRAGEM DUPLA
NORMAL
Có
di
go
2 - AMOSTRAGEM SIMPLES
ATENUADA
Có
di
go
Am
os
t.
1ª
r NQA
0,40 0,65 1,0
NQA
0,40
Có
di
go
Am
os
t.
1ª
r NQA
0,40 0,65 1,0
Am
os
t.
1ª
*
*
K
D
G
E
F
G
F
E
D
G
H
J
K
L
*
D
E
F
7 - AMOSTRAGEM DUPLA
SEVERA
NQA
1,00,650,40
Có
di
go
Am
os
t.
1ª
*
*
SEVERA
Có
di
go
NQA
0,40 0,65 1,0
Am
os
t.
1ª
*
Usar o Plano de Amostragem Simples Correspondente, ou
Plano de Amostragem Dupla, imediatamente abaixo do asterisco, na Tabela, se estiver 
previsto
 Para amostragem simples, ou dupla - Ac < "d" < Re = Aceita o lote e
 passa para Inspeção NORMALD
3 - AMOSTRAGEM SIMPLES
NORMAL
Có
di
go
Am
os
t.
1ª
NQA
0,40 0,65 1,0
4 - AMOSTRAGEM SIMPLES
 m.a.perissinotto – IPA - 13 
 
QUESTIONAMENTO: 
Atualmente a aplicação da NBR-5426 está sendo questionada quanto à validade de aceitar produtos não 
conforme no lote, ou seja, o consumidor está comprando uma porcentagem de não conformes, para 
minimizar esse problema o Sr. Nicholas L. Squeglia, ( USA ), desenvolveu um “Plano de Amostragem 
Zero Defeitos", em função do tamanho do lote, do NQA (AQL) adotado, e baseado numa Distribuição 
Hipergeométrica, construiu a Tabela seguinte que pode ser utilizada como um plano de inspeção. 
 
 
 
NQA .010 .015 .025 .040 .065 .10 .15 .25 .40 .65 1.0 1.5 2.5 4.0 6.5 10.0 
LOTE TAMANHO DA AMOSTRA PARA NÚMERO DE ACEITAÇÃO = O 
2 a 8 * * * * * * * * * * * * 5 3 2 2 
9 a15 * * * * * * * * * * 13 8 5 3 2 2 
16 a 25 * * * * * * * * * 20 13 8 5 3 3 2 
26 a 50 * * * * * * * * 32 20 13 8 5 5 5 3 
51 a 90 * * * * * * 80 50 32 20 13 8 7 6 5 4 
91 a 150 * * * * * 125 80 50 32 20 13 12 11 7 6 5 
151 a 280 * * * * 200 125 80 50 32 20 20 19 13 10 7 6 
281 a 500 * * * 315 200 125 80 50 48 47 29 21 16 11 9 7 
501 a 1200 * 800 500 315 200 125 80 75 73 47 34 27 19 15 11 8 
1201 a 3200 1250 800 500 315 200 125 120 116 73 53 42 35 23 18 13 9 
3201 a 10000 1250 800 500 315 200 192 189 116 86 68 50 38 29 22 15 9 
10001 a 35000 1250 800 500 315 300 294 189 135 108 77 60 46 35 29 15 9 
35001 a 150000 1250 800 500 490 476 294 218 170 123 96 74 56 40 29 15 9 
150001 a 500000 1250 800 750 715 476 345 270 200 156 119 90 64 40 29 15 9 
500001 e acima 1250 1200 1112 715 556 435 303 244 189 143 102 64 40 29 15 9 
* indica inspeção 100 % 
 
 
Lembrando – DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA: 
 
 
 
 
 
INSPEÇÃO POR AMOSTRAGEM - VARIÁVEIS – ( NBR 5429 ) 
 
A avaliação sobre a qualidade do lote, também é feita sobre uma amostra retirada do mesmo, no entanto épossível, 
através de cálculos, estimar o percentual de defeituosos do lote. 
Para a aplicação desta metodologia encontramos duas possibilidades: 
 
1 - VARIABILIDADE DESCONHECIDA 
2 - VARIABILIDADE CONHECIDA 
 
A fim de uma melhor assimilação desta metodologia e como proceder para a utilização das tabelas apresentadas, a norma 
exemplifica alguns exercícios, passo a passo. 
𝒇(𝒙) = T𝑫𝒙U
��
(𝑵 −𝑫)
(𝒏 − 𝒙)��
T𝑵𝒏U
 
 m.a.perissinotto – IPA - 14 
 
Exercícios: 
1) No recebimento de um lote com 5% de defeituosos, o inspetor retira 10 peças. Qual a probabilidade dessa 
inspeção apresentar até 1 peça defeituosa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Na fabricação de refrigeradores, no setor de pintura, a média de defeitos ( bolhas, casca de laranja, riscos, etc.) 
por unidade é de 0,5 defeitos. 
Nesse cenário, se sortearmos um refrigerador, qual a probabilidade de: 
a) Apresentar 0 defeito? 
b) Apresentar no máximo 1 defeito? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Em um baú foram colocados os seguintes distintivos: 12 times pequenos e 4 times grandes. 
Retirando-se 5 distintivos, sem reposição, qual a probabilidade de tirarmos um distintivo de time grande? 
 m.a.perissinotto – IPA - 15 
 Nome: _______________________________________________________Nº _________________T:________ 
EXERCÍCIOS: 
(1) Qual a probabilidade de se encontrar, exatamente 01 peça rejeitada, numa amostragem de n=100 peças, em um 
lote que contém 5% de defeituosas? 
 
 
 
 
 
(2) Em um lote de 50 peças existem 5 defeituosas, numa amostragem de 02 peças, qual a probabilidade das 
duas serem rejeitadas? 
 
 
 
 
(3) Uma grande população tem uma fração defeituosa de 10%, numa amostragem de 10 peças, qual a probabilidade 
de encontrarmos até 01 defeituosa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(4) Na FATEC, a cada 200 alunos, 01 é fã do Sepultura. Num show de Axé, para cada 1000 pessoas que passam 
pela bilheteria, qual a probabilidade de: 
a) Não passar nenhum fã do Sepultura? 
b) Passarem 03 fãs do Sepultura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(5) Você precisa trocar os 4 pneus de seu carro, na loja escolhida há um lote de 20 pneus com 5 pneus defeituosos, 
qual a probabilidade de você ter no seu carro 02 pneus defeituosos, sendo que o vendedor pega, aleatoriamente, um 
pneu de cada vez do lote?