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12/03/2013 1 ESTIMATIVA POR INTERVALO DE UMA MÉDIA DE POPULAÇÃO, o caso da Grande AMOSTRA (n ≥30 ) n X z 2 n zEe 2 b) quando é desconhecido e n≥ 30: n s zEe 2 n s X z 2 a) quando é conhecido: EXEXEX O intervalo de confiança será onde E=margem de erro n s tEonde . 2 c) quando é desconhecido e n< 30 => utilizar a distribuição t- Student n s X tquesabendo EXEXEX O intervalo de confiança será ).,.( 2 lgtt ttabelana 12/03/2013 2 Observações: 1ª) A probabilidade P [ -μ ≤ E] vamos denominar, a partir de agora, de nível de confiança de uma estimativa por intervalo e vamos representá-la por (1- ) ou (1- )%. 2ª) O valor Z/2 é obtido na tabela da distribuição normal padrão e corresponde à área (1- ) / 2. 3ª) Lembremos que é o desvio-padrão da população e s é o desvio-padrão da amostra. x 4ª) A estimativa por intervalo é também denominada de intervalo de confiança. 5ª) Interpretação do intervalo de confiança da média: Pode-se afirmar, com (1- )% de confiança, que a média da população está entre ( - E) e ( + E) . x x 6ª) A amplitude do intervalo de confiança é inversamente proporcional ao tamanho da amostra. Isto significa que quanto maior o n (menor a margem de erro), mais estreito é o intervalo de confiança (maior é a precisão na pesquisa). 12/03/2013 3 6ª) Valores de Z/2 para os níveis de confiança mais usados na prática: Nível de confiança / 2 Z/2 90% 10% 5% 1,65 95% 5% 2,5% 1,96 99% 1% 0,5% 2,58 O número t/2 é encontrado na tabela da distribuição t e necessita, para ser localizado na tabela, dos seguintes dados: g.l.= “graus de liberdade” = n – 1 e do nível de significância . Aumente o tamanho da amostra n para n 30 de modo a desenvolver uma estimativa do intervalo (TLC). 12/03/2013 4 PARA DETERMINAR O TAMANHO DA AMOSTRA “n” O uso da fórmula acima exige um valor para o desvio-padrão da população . Na maioria dos casos, é desconhecido. No entanto, podemos ainda usar a fórmula acima se tivermos um valor preliminar ou um valor planejado para . Um valor valor estimado de poderia ser =(maior valor – menor valor)/4. 2 2 . E z n 12/03/2013 5 12/03/2013 6 Proporção populacional Proporção Amostral N f p ˆ f p n 12/03/2013 7 Desvio padrão da proporção Como p não é conhecido, temos ˆ . .(1 ) p p q p p n n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. .(1 ) p p q p p n n 12/03/2013 8 ˆ 2 2 ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.(1 ) .(1 ) ˆ ˆ.(1 ) . p p Ep p Z Z p p p p n n p p E Z n ou ˆ ˆ p p E ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 1 p p P p E p p Assim, temos que o I.C. para proporção populacional p é dado por 12/03/2013 9 Em uma amostra de 136 pessoas dentre 400 que tomaram uma vacina contra gripe sentiram algum efeito colateral. Construa um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira proporção que experimentaram efeito colateral com a referida vacina. A proporção amostral é E o erro-padrão da proporção é Logo, a margem de erro é Logo, o intervalo de confiança para a proporção populacional é: 136 ˆ 0,34 400 p ˆ 0,34.0,66 0,0237 400 p ˆ 1,96.0,0237 0,0464pE ˆˆ pp E 0464,034,0 12/03/2013 10 De outra forma podemos escrever que o I.C. para a proporção populacional é: %95)0464,034,0p0464,034,0(P %95)3864,02936,0( pP Exemplo 2 12/03/2013 11 z0,9750=1,96 3.0 100 30 ˆ n X p Exemplo 3: Em 100 acessos a páginas de internet escolhidos ao acaso 30 são as páginas nacionais. Determine um IC a 95% para a proporção de acessos a páginas nacionais 04582,096,13,0 ,04582,096,13,0)(%)95( pIC 089818,03,0 ,089818,03,0 .38980 ,2102.0)(%95 pIC 04582,0 100 7,03,0)ˆ1(ˆ n pp S p pp SzpSzppIC 9750.09750.0%)95( ˆ,ˆ)( pp SpSppIC 96,1ˆ,96,1ˆ)(%)95( )100Binomial(~ ,pXX - número de acessos á páginas de internet nacionais p – proporção de acessos a páginas nacionais (em geral) p – desconhecido pp SzpSzppIC 2121)1( ˆ,ˆ)( n pp S p )ˆ1(ˆ n X p ˆ com e 1º. Determinar z1-/2 para =0,05 3º. Substituir na fórmula: 2º. Determinar as estimativas p e Sp ^ 12/03/2013 12 2 2 ˆ .(1 ) p Z n p p E 2 .(1 ) . p p E Z n 2 2 ˆ 1 4 p Z n 12/03/2013 13
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