Aula 10 - U2 - Estimação e Intervalo de Confiança - Probabilidade e Estatística

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Aula 10 – Estimação e Intervalo de 
Confiança
Prof.: Me. Caio Tácito M. Castro
Campina Grande – PB
Até o momento estudamos a estatística descritiva
(coletar e descrever dados) e probabilidade
(encontrar probabilidades e analisar distribuições).
Nesta aula começaremos os estudos de estatística
inferencial. Veremos como serão calculadas
ESTIMATIVAS PONTUAIS e ESTIMATIVAS POR
INTERVALO, importantes parâmetros para análise
de populações a partir de dados de amostras.
INTRODUÇÃO
INTRODUÇÃO
 É muito utilizado e de extrema importância o uso de
parâmetros amostrais para retratar fenômenos
populacionais.
 Vamos aprender como estimar o valor da média 𝜇𝜇
quando o desvio padrão populacional 𝜎𝜎 for conhecido.
 É importante saber que existe o método da
ESTIMATIVA PONTUAL e da ESTIMATIVA INTERVALAR.
ESTIMANDO PARÂMETROS 
POPULACIONAIS
“[...] é um valor único estimado para um
parâmetro populacional.”(LARSON e FARBER,
2016, p.277).
Raramente se iguala ao parâmetro exato da
população.
ESTIMATIVA PONTUAL
“[...] é um intervalo, ou amplitude de valores,
usado para estimar um parâmetro
populacional”(LARSON e FARBER, 2016, p.278)
A probabilidade da igualdade entre a média
amostral e populacional é praticamente zero.
Por isso o uso de um intervalo para estimar
este parâmetro.
ESTIMATIVA INTERVALAR
ESTIMATIVA PONTUAL
A estimativa pontual menos tendenciosa da média
populacional 𝜇𝜇 é a média amostral �̅�𝑥.
ESTIMATIVA PONTUAL
ENCONTRANDO UMA ESTIMATIVA PONTUAL:
�̅�𝑥 =
∑𝑥𝑥
𝑛𝑛
=
1184
40
= 29,6
Logo a estimativa pontual para o número médio da
população (horas trabalhadas por funcionários do
condado) é 29,6 horas.
OBS: dificilmente essa coincidência ocorre na prática, ou seja, a probabilidade da média 
populacional ser 29,6 é zero (mesmo havendo a possibilidade de proximidade dos valores).
ESTIMATIVA PONTUAL
ENCONTRANDO UMA ESTIMATIVA PONTUAL:
TENTE VOCÊ MESMO 1
Uma amostra aleatória de horas semanais trabalhadas por 30
funcionários de uma empresa é mostrada na tabela a seguir. Use a
amostra para encontrar a estimativa pontual 𝜇𝜇.
a) Encontre a média amostral.
b) Estime a média populacional.
ESTIMATIVA PONTUAL
ENCONTRANDO UMA ESTIMATIVA PONTUAL:
TENTE VOCÊ MESMO 2
Pesquisadores de mercado usam o número de frases por anúncio como
medida de legibilidade de anúncios de revistas. A seguir, representamos
uma amostra aleatória do número de frases encontrados em 50
anúncios.
a) Encontre a média amostral.
b) Estime a média populacional.
9 20 18 16 9 9 11 13 22 16
5 18 6 6 5 12 25 17 23 7
10 9 10 10 5 11 18 18 9 9
17 13 11 7 14 6 11 12 11 6
12 14 11 9 18 12 12 17 11 20
• Como solução para estimativas mais significativas,
especifica-se um intervalo de valores associada a
confiança de que o intervalo contém o parâmetro
populacional.
• “[...] é um intervalo, ou amplitude de valores,
usado para estimar um parâmetro populacional.”
ESTIMATIVA INTERVALAR
 Como já foi dito, dificilmente a média populacional será 29,6,
mas provavelmente será muito próxima.
 Para formar uma estimativa intervalar, use a estimativa pontual
como o centro do intervalo e depois adicione e subtraia uma
margem de erro. Por exemplo, se a margem de erro for 2,1,
então uma estimativa intervalar seria dada por 29,6 ±
2,1 𝑜𝑜𝑜𝑜 27,5 < 𝜇𝜇 < 31,7 de forma que seja mais garantida a
presença da média neste intervalo.
ESTIMATIVA INTERVALAR
Antes de encontrar a margem de erro para uma estimativa
intervalar, devemos primeiro determinar quão confiante você
precisa estar de que sua estimativa contenha a média
populacional 𝜇𝜇.
O NÍVEL DE CONFIANÇA “c” é a probabilidade de que a
estimativa intervalar contenha o parâmetro
populacional, supondo que o processo de estimação é
repetido um grande número de vezes.
NÍVEL DE CONFIANÇA
NÍVEL DE CONFIANÇA
OBS: Conforme eu 
diminuo o nível de 
confiança, eu 
aumento a precisão 
do intervalo de 
confiança 
MARGEM DE ERRO
 A importância do nível de confiança está relacionada com a avaliação do ERRO
MÁXIMO “E”.
 A diferença entre a estimativa pontual e o valor real do parâmetro é chamada de
erro amostral. Quando 𝜇𝜇 é estimado, o erro amostral é a diferença de �̅�𝑥 − 𝜇𝜇. Na
maioria dos casos, o 𝜇𝜇 é desconhecido e o �̅�𝑥 varia de amostra para amostra.
Entretanto, você pode calcular o valor máximo do erro quando souber o nível de
confiança e a distribuição amostral a variável.
MARGEM DE ERRO
ENCONTRANDO A MARGEM DE ERRO:
Use os dados do Exemplo 1 e um nível de confiança de 95% para
encontrar a margem de erro para o número médio de horas trabalhadas
por funcionários de mercearias. Suponha que o desvio padrão da
população seja de 7,9 horas.
𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝑐𝑐
𝜎𝜎
√𝑛𝑛
= 1,96 �
7,9
40
≈ 2,4
Assim, você está 95% confiante que a margem de erro para a média populacional 
é de aproximadamente 2,4 horas
MARGEM DE ERRO
ENCONTRANDO A MARGEM DE ERRO:
TENTE VOCÊ MESMO 3
Use os dados do Exemplo 1 e um nível de confiança de 80% e 90% para
encontrar a margem de erro para o número médio de horas trabalhadas
por funcionários de mercearias. Suponha que o desvio padrão da
população seja de 7,9 horas.
MARGEM DE ERRO
ENCONTRANDO A MARGEM DE ERRO:
TENTE VOCÊ MESMO 4
Use os dados do Tente Você Mesmo 1 e um nível de confiança de 95%
para encontrar a margem de erro para o número médio de horas
trabalhadas por funcionários de uma empresa. Suponha que o desvio
padrão da população seja de 7,9 horas, interprete os resultados.
INTERVALO DE CONFIANÇA 
PARA A MÉDIA POPULACIONAL
 Usando uma estimativa pontual e uma margem de
erro, você pode construir uma estimativa intervalar
de um parâmetro populacional tal como 𝜇𝜇.
 Este estimativa intervalar é chamada de intervalo de
confiança.
É uma faixa de possíveis valores em torno da média amostral, e a
probabilidade de que esta faixa realmente contenha o valor real da média da
população
O Intervalo de confiança terá uma certa probabilidade chamada de nível de
confiança (simbolizada por 1 – α) de conter a média da população.
x
c
(1-c)/2 (1-c)/2
Intervalo de confiança
c = nível de confiança
1-c = nível de significância (probabilidade de erro)
Há uma probabilidade c da média 
estar contida no intervalo definido 
Há uma probabilidade (1-c) de a média 
amostral estar fora do intervalo definido 
(área hachurada)
INTERVALO DE CONFIANÇA 
PARA A MÉDIA POPULACIONAL
INTERVALO DE CONFIANÇA 
PARA A MÉDIA POPULACIONAL
INTERVALO DE CONFIANÇA 
PARA A MÉDIA POPULACIONAL
CONSTRUINDO UM INTERVALO DE CONFIANÇA:
Usando os dados do Exemplo 1 para construir um intervalo de confiança
de 95% de confiança para o número médio de horas semanais
trabalhadas.
Já foram encontrados:
Assim, com 95% de confiança, podemos dizer que o número médio de horas 
trabalhadas da população está entre 27,2 e 32,0 horas.
INTERVALO DE CONFIANÇA 
PARA A MÉDIA POPULACIONAL
CONSTRUINDO UM INTERVALO DE CONFIANÇA:
TENTE VOCÊ MESMO 5
Usando os dados do Exemplo 1 com confiança de 80% e 90% confira os
intervalos de confiança gerados para o número médio de horas semanais
trabalhadas. Interprete os resultados.
• O conceito de nível de confiança pode ser utilizado para o cálculo do
tamanho da amostra, necessário para fazermos inferências confiáveis.
• Se a amostra empregada for muito pequena, a margem de erro será
grande, o que impossibilita ou inviabiliza a tomada de decisão.
• Por outro lado, se a amostra for muito grande, o intervalo obtido pode ser
mais estreito do que o necessário (gastos desnecessários);
Como o tamanho da amostra afeta o erro de amostragem?
CÁLCULO DO TAMANHO DA 
AMOSTRA
𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝑐𝑐
𝜎𝜎
√𝑛𝑛 𝑛𝑛 = 𝑧𝑧𝑐𝑐
𝜎𝜎
𝐸𝐸
2
OBS: Caso 𝜎𝜎 não seja conhecido, é possível usar s, desde que a amostra tenha 
no mínimo 30 elementos 
1. Determine o valor crítico 𝑧𝑧𝑐𝑐 que corresponde ao grau de
confiança indicado:
a) 99%
b) 94%
c) 92%
d) 50%
e) 20%
f) 10%
g) 1%
EXERCÍCIOS
2. Um dos principais produtos de uma indústria siderúrgica é a
folha de flandres. Haviauma preocupação com a possibilidade
de haver um número de folhas fora da faixa de especificação
de dureza (LIE = 58,0 HR e LSE = 64,0 HR). A partir desta
informação a empresa decidiu estimar a dureza média das
folhas de flandres (µ) coletando uma amostra aleatória de 49
folhas.
61,0 60,2 60,3 60,3 60,0 61,0 60,3
60,0 60,0 60,9 61,0 61,2 59,2 60,9
60,0 60,5 59,8 59,3 61,0 59,6 59,8
59,6 60,1 58,0 59,8 58,9 57,6 58,0
60,5 60,1 61,6 61,1 59,7 58,3 61,6
59,5 59,0 60,3 58,7 59,6 54,2 60,3
61,0 59,7 59,9 59,9 60,0 58,6 59,9
Medidas de dureza (HR) das folhas-de-flandres fabricadas pela 
siderúrgica
EXERCÍCIOS
Plan1
		Medidas de dureza (HR) das folhas-de-flandres fabricadas pela siderúrgica
		61.0		60.2		60.3		60.3		60.0		61.0		60.3
		60.0		60.0		60.9		61.0		61.2		59.2		60.9
		60.0		60.5		59.8		59.3		61.0		59.6		59.8
		59.6		60.1		58.0		59.8		58.9		57.6		58.0
		60.5		60.1		61.6		61.1		59.7		58.3		61.6
		59.5		59.0		60.3		58.7		59.6		54.2		60.3
		61.0		59.7		59.9		59.9		60.0		58.6		59.9
Plan2
		
Plan3
		
Para um grau de confiança de 95%, determine a margem de erro
(E) e o intervalo de confiança para média populacional (µ).
�̅�𝑥 = 59,83 𝜎𝜎 = 1,21
EXERCÍCIOS
3. Em um estudo para a determinação do perfil dos alunos da
Faculdade X, a característica de maior interesse tem s = 0,3.
Qual deve ser o tamanho da amostra para que tenhamos 95%
de confiança em que o erro da estimativa da µ correspondente
a esta característica não supere 0,05? Refaça o cálculo supondo
que se deseja ter 98% de confiança.
EXERCÍCIOS
Use4. os valores da reta real para encontrar o erro na estimação.
a)
b)
c)
d)
EXERCÍCIOS
5. Calcule a margem de erro para os valores dados:
a) 𝑐𝑐 = 0,95; 𝜎𝜎 = 5,2;𝑛𝑛 = 30
b) 𝑐𝑐 = 0,90; 𝜎𝜎 = 2,9; 𝑛𝑛 = 50
c) 𝑐𝑐 = 0,80; 𝜎𝜎 = 1,3;𝑛𝑛 = 75
d) 𝑐𝑐 = 0,975; 𝜎𝜎 = 4,6;𝑛𝑛 = 100
EXERCÍCIOS
6. Construa um intervalo de confiança indicado para a média
populacional 𝜇𝜇.
a) 𝑐𝑐 = 0,90; 𝜎𝜎 = 1,5;𝑛𝑛 = 50; �̅�𝑥 = 12,3
b) 𝑐𝑐 = 0,95; 𝜎𝜎 = 0,8; 𝑛𝑛 = 82; �̅�𝑥 = 31,39
c) 𝑐𝑐 = 0,99; 𝜎𝜎 = 2,14;𝑛𝑛 = 45; �̅�𝑥 = 10,5
d) 𝑐𝑐 = 0,80; 𝜎𝜎 = 4,7;𝑛𝑛 = 100; �̅�𝑥 = 20,6
EXERCÍCIOS
7. Use o intervalo de confiança para encontrar a margem de erro e
a média amostral.
a) (12,0 ; 14,8)
b) 21,61 ; 30,15
c) 1,71 ; 2,05
d) 3,144 ; 3,176
EXERCÍCIOS
Determine8. o tamanho (𝑛𝑛) mínimo da amostra necessário para
estimar 𝜇𝜇 a partir dos valores dados abaixo.
a) 𝑐𝑐 = 0,90; 𝜎𝜎 = 6,8;𝐸𝐸 = 1
b) 𝑐𝑐 = 0,95; 𝜎𝜎 = 2,5;𝐸𝐸 = 1
c) 𝑐𝑐 = 0,80; 𝜎𝜎 = 4,1;𝐸𝐸 = 2
d) 𝑐𝑐 = 0,98; 𝜎𝜎 = 10,1;𝐸𝐸 = 2
EXERCÍCIOS
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