Distrib Geomét e Pascal

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Distribuição Geométrica
Aplicada em experimentos que satisfazem a todas as condições de experimentos binomiais, exceto por não ter um número finito de provas e sim infinito.
A distribuição geométrica recebe esta denominação porque seus valores sucessivos constituem uma progressão geométrica. Para esta distribuição há uma infinidade enumerável de possibilidades; os eventos são independentes e com probabilidade de sucesso p. 
A variável X corresponde ao número de experimentos antes da ocorrência do primeiro sucesso. 
Assim, em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição geométrica é constituída por duas funções de probabilidade discretas:
a distribuição de probabilidade Binomial do nº X de tentativas  necessárias p/ alcançar um sucesso, conjunto { 1, 2, 3, ... }, ou
a distribuição de probabilidade do número Y = X − 1 de insucessos antes do primeiro sucesso, suportadas pelo conjunto { 0, 1, 2, 3, ... }.
Se X é o número de tentativas até aparecer o 1o sucesso. Assim, X assume os valores:
X = 1 , corresponde ao sucesso (S) e p(X=1) = p 
X=2 , corresponde ao fracasso (F) na 1a tentativa e sucesso na 2a , isto é, (FS) . Logo, P(X=2) = P(F(S) = P(F).P(S) = q.p 
X=3 , corresponde a (FFS) e P(X=3) = P(F(F(S)= q.q.p =q2.p
X=4, corresponde a (FFFS) e 
P(X=4)= P(F(F(F(S) =q.q.q.p =q3.p
Por indução, podemos concluir que se X = x , 
que corresponde a FFF..... FS , resulta P(X=x) = qx-1 p
que tem distribuição geométrica.
Portanto, se a probabilidade de sucesso de cada tentativa é p, então a probabilidade de n tentativas serem necessárias para ocorrer um sucesso é
para n = 1, 2, 3, .... 
De forma equivalente, a probabilidade de serem necessários n insucessos antes do primeiro sucesso é
para n = 0, 1, 2, 3, ....
Em qualquer caso, a sequência de probabilidades é uma progressão geométrica.
Por exemplo, suponha um dado que é atirado repetidamente até à primeira vez que aparece um "1". A probabilidade de distribuição do número de vezes que o dado é atirado é suportado pelo conjunto infinito { 1, 2, 3, ... } e é uma distribuição geométrica com p = 1/6.
O valor esperado (esperança, média) de uma variável aleatória geometricamente distribuída  e a variância são dadas por:
Exemplo 1
Em jogadas repetidas de um dado equilibrado, a probabilidade de o primeiro 6 ocorrer na quinta jogada é:
Exemplo 2
Uma empresa produz componentes computacionais. Suponha que a probabilidade de um componente ser defeituoso é 0,2. Numa mesa de testes, uma grande quantidade destes componentes é posta à prova, um a um. Determine a probabilidade do primeiro defeito encontrado ocorrer no sétimo componente testado.
	
A distribuição binomial negativa  ou distribuição de Pascal é uma distribuição de probabilidade p/ variáveis aleatórias discretas. Esta distribuição indica o nº de tentativas necessárias para obter  r  sucessos de igual probabilidade p ao fim de x experiências, sendo a última tentativa um sucesso. 
em que x = r, r+1, r+2, ...
OBS.: A distribuição Geométrica é fortemente relacionada com a Binomial negativa. Na Geométrica queremos o número de tentativas para obter o primeiro sucesso, ou seja, o tempo de espera até que se tenha o evento de importância ou sucesso. Na Binomial negativa queremos o nº de tentativas para obter r sucessos.
Exemplo 1: Numa linha de montagem, 10% das peças são defeituosas. A probabilidade de a quinta peça que se analisa ser a segunda defeituosa é
Distribuição Multinomial
Como se sabe, a Distribuição Binomial se aplica apenas nos casos que envolvem 2 tipos de resultados (sucesso e fracasso) em uma categoria. A Multinomial é uma generalização da Binomial pois envolve mais que duas categorias. Por exemplo, para três categorias a f.p. é expressa pela fórmula:
Valor esperado (esperança) e variância:
O valor esperado do número de vezes em que o índice i é observado e a variância são dados por
 e 
 
	
	
	
Exemplo 1: Os seguintes eventos podem ocorrer com um pacote enviado pelo correio: chegar em perfeito estado, chegar danificado ou perder-se pelo caminho. As probabilidades desses eventos são, respectivamente 0,7, 0,2 e 0,1. Foram enviados recentemente 10 pacotes pelo correio. Qual a probabilidade de 6 chegarem corretamente ao destino, 2 serem perdidos e os outros 2 danificados?
Defina as seguintes variáveis aleatórias:
X1: número de pacotes que chegaram corretamente e sem danos;
X2: número de pacotes que chegaram danificados;
X3: número de pacotes que se perderam pelo caminho.
Então X1+X2+X3 = n= 10 e p1+p2+p3 = 0,7+0,2+0,1 = 1. Logo,
	
	
Exemplo 2: Uma caixa contendo 12 bolas, das quais 5 são vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Suponha que seja retirada 5 bolas ao acaso e com reposição. Qual a probabilidade de que sejam retiradas 2 bolas vermelhas, 2 brancas e 1 azul ?
Primeiramente temos que calcular a probabilidade de retirarmos uma bola branca: 
	
	
a probabilidade de retirarmos uma bola vermelha: 
	
	
e a probabilidade de retirarmos uma bola azul: 
	
	
Assim usando a formula da multinomial temos que 
_1381348762.unknown
_1381348829.unknown
_1172752071.unknown