CALCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA

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1. 
 
 
Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ? 
 
 
 
(0,0) 
 
(1,1) 
 
(1,0) 
 
(0,1) 
 
(2,2) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza 
matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta suporte que contem o 
vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está apontando. 
 
 
 
V,V,V,V. 
 
V,F,V,V. 
 
V,F,V,F. 
 
 
V,V,F,F. 
 
F,V,F,F. 
 
 
 
Explicação: 
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são: 
 
 
 
(3;6) 
 
(-3;6) 
 
 
(3;2) 
 
(-3;2) 
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(-3;-2) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais. 
 
 
 
-13 
 
 
-26 
 
-15 
 
-30 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗. 
 
 
 
(-11, 145/3) 
 
 
(-11, -145/3) 
 
(-11, 154/3) 
 
(-9, 145/3) 
 
(9, 145/3) 
 
 
 
Explicação: 
A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ 
AD = D - A = (-1, -1) -> 5AD = (-5,-5) 
BC = C - B = (3, 5) -> 1/3BC = (1, 5/3) 
DC = C - D = (-1, 11) -> 5DC = (-5, 55) 
5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ = (-5,-5) - (1, 5/3) + (-5, 55) = (-11, 145/3) 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗. 
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(104/3, 119/3) 
 
(126/3, 104/3) 
 
(126/3, 96/3) 
 
(134/3, 96/3) 
 
 
(134/3, 119/3) 
 
 
 
Explicação: 
= (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 12, 27 + 8/3 + 10) 
= (134/3, 119/3) 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a uma das diagonais desse quadrado, que terá área medindo: 
 
 
 
16 ua 
 
24 ua 
 
8 ua 
 
4 ua 
 
 
12 ua 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4). 
 
 
30° 
 
 
0° 
 
 
90° 
 
60° 
 
45° 
 
 
 
Explicação: 
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u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 
!!u!!=V3²+2² = V9+4 = V13 
!!v!!=V6²+4² = V36+16 = V52 = 2V13 
 
Logo, chamando de A o ângulo entre os vetores, temos: cos A = u.v / !!u!!.!!v!! = 26 / V13.2V13 = 26 / 
2.13 = 1 
Daí: A=0° 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Dados os vetores u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j- k o vetor u + v é: 
 
 
 
 
(3,0,0) 
 
(3,-2,2) 
 
 
(3,-2,0) 
 
(3,-2,1) 
 
(3,-2,4) 
 
 
 
Explicação: Operar cada vetor respeitando a sua componente 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
 
(5, 30) 
 
 
(-5, -30) 
 
(0, 30) 
 
(-5, 30) 
 
(5, -30) 
 
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3. 
 
 
Calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2). 
 
 
 
45° 
 
60° 
 
53° 
 
 
35° 
 
47° 
 
 
 
Explicação: 
Fazer a = u . v / (|u| . |v|) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Os valores de a e de b, de modo que (3a - 4, 2b - 8) = (11, -10), são respectivamente: 
 
 
18 e 6 
 
 
5 e -1 
 
 
-1 e -12 
 
10 e 6 
 
12 e 1 
 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: 3a-4=11 => 3a=15 => a=5 e 2b-8=-10 => 2b=-2 => b=-1 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dados os vetores →uu→=(0,1,2), →vv→=(3,0,1), calcule 3→uu→ x (→uu→+→vv→) 
 
 
(18,3,-9) 
 
 
(-9,3,18) 
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(0,9,-9) 
 
(3,0,-9) 
 
 
(3,18,-9) 
 
 
 
Explicação: 
⎡⎢⎣ijk036313⎤⎥⎦[ijk036313] 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dados os vetores no plano, u = 3i - 4j e v = 2i + 2j o vetor 2u + v é: 
 
 
 
10i - 3j 
 
6i -8j 
 
 
6i + 8j 
 
-6i + 8j 
 
 
8i - 6j 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Sobre os vetores i = (1,0) e j = (0,1), podemos afirmar: 
 
 
 
São unitários, mas não são ortogonais 
 
 
São ortogonais e unitários 
 
Formam um ângulo de 60º 
 
Não são nem ortogonais e nem unitários 
 
São ortogonais, mas não são unitários 
 
 
 
Explicação: 
i . j = 0, logo i e j são ortogonais 
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|i| = |j| = 1, logo são unitários 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes. 
 
 
 
(3 ,5) e (4, 6) 
 
 
(2 ,5) e (4, 8) 
 
(4 ,5) e (7, 9) 
 
s.r 
 
(4 ,3) e (7, 8) 
 
 
 
Explicação: 
xk = (6-0)/3 = 2; yk = (11-2)/3 = 3 
P1 = (0 + 2.1, 2 + 3.1) = (2, 5) 
P1 = (0 + 2.2, 2 + 3.2) = (4, 8) 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Tem-se os vetores x = (a + 3, 5, 2) e o vetor y = (- 4, b + 5, 2), logo os valores de a e b de modo que os vetores x e y sejam iguais é, 
respectivamente: 
 
 
(E) 1 e 0 
 
 
(B) 7 e 0 
 
(C) 7 e 7 
 
(D) 1 e 10 
 
 
(A) - 7 e 0 
 
 
 
Explicação: Tem-se que a + 3 = - 4, logo a = - 7 Tem-se que b + 5 = 5, logo b = 0 
 
 
 
 
 
 
 
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2. 
 
 
 
Dados os vetores u ( 2, x ) e v ( 1, -1 ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
 
4 
 
-2 
 
 
2 
 
3 
 
-3 
 
 
 
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dada as seguintes afirmações: 
I. Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo. 
II. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares. 
III. Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes. 
IV. O módulo do vetor →uu→=(-3,0,-4) é igual a 5 
V. As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →ii→
, →jj→ e →kk→, respectivamente. 
Marque a alternativa correta: 
 
 
 
I e III estão corretas 
 
 
Apenas I está correta 
 
IV e V estão corretas 
 
III e IV estão corretas 
 
 
I, IV e V estão corretas 
 
 
 
Explicação: 
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais 
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4. 
 
 
Dados os vetores u = i + k e v = 2i + 2j o vetor u + v é 
 
 
 
(3,2,0) 
 
 
(3,2,1) 
 
(3,2,2) 
 
(3,3,1) 
 
(3,0,1) 
 
 
 
Explicação: Operar cada componente de vetor com seu componente 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço o vetor x = (2, 0, - 4), corresponde ao vetor: 
 
 
(B) x = 2i - 4 
 
 
(A) x = - 2i 
 
 
(D) x = 2i - 4k 
 
(E) x = 2i + 0k - 4j 
 
(C) x = 2i - 4j 
 
 
 
Explicação: Sendo x = (2, 0, - 4) a forma canônica é 2i + 0j - 4k = 2i - 4k 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Se u = (x;5) e v = (-2; 10) são vetores paralelos, então o valor e x é 
 
 
x = 25 
 
 
x = 1 
 
 
x = -1 
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x = 2 
 
x = -5 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Sabendo-se que u = (a, b, c) é versor de v = (1,2,2),qual o valor de a 
 
 
-1 
 
0 
 
2/3 
 
 
1/3 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
u = v / |v| 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determinar os valores de m e n para que os vetores →uu→=(m+1)→ii→ + 
2→jj→ + →kk→ e →vv→=(4,2,2n-1) sejam iguais. 
 
 
 
m= 5 e n= -1 
 
 
m= 3 e n= 1 
 
m= 3 e n= -1 
 
m= -5 e n= 1 
 
m= 0 e n= 1 
 
1. 
 
 
Dados os vetores u ( 1, -2) e v ( 3, -x ), qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
 
-3/2 
 
4/3 
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-4/3 
 
3/2 
 
2 
 
 
 
Explicação: 
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Você deve ter u.v=0 => 3 +2x=0 => x=-3/2 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dados os vetores u = 3i - 5j + 8k e v= 4i - 2j -k, calcular o produto escalar u.v. 
 
 
 
18 
 
13 
 
 
14 
 
22 
 
12 
 
 
 
Explicação: produto escalar u.v = 3.(4) - 5.(-2) + 8.(-1) = 12 + 10 -8 = 14. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dado os vetores a (-3,0,2) e b (3,1,-4), calcule o produto escalar a.b 
 
 
 
-17 
 
-19 
 
-20 
 
-15 
 
19 
 
 
 
Explicação: 
a.b = xa.xb + ya.yb + za.zb 
 
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4. 
 
 
Considerando as afirmativas abaixo podemos afirmar que: 
1. O módulo de um vetor unitário é sempre 1. 
2. Podemos afirmar que o vetor v=(1,1,1) é um vetor unitário. 
3. Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano e o produto misto entre eles é zero. 
4. Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano e o produto escalar entre eles é zero. 
5. Vetores ortogonais tem o produto escalar entre eles igual a zero. 
6. Vetores colineares tem a mesma direção. 
7. Vetores paralelos tem a mesma direção. 
 
 
 
Somente as afirmativas 2 e 4 são falsas. 
 
Todas as afirmativas são corretas. 
 
Somente a afirmativa 4 é falsa. 
 
Todas asafirmativas são falsas. 
 
Somente as afirmativas 4 e 6 são falsas. 
 
 
 
Explicação: 
Uma revisão de conceitos básicos sobre vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dados os vetores u= i + 3j+ 2k e v= 4i +2j+xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
 
 
 
-5 
 
2 
 
-4 
 
4 
 
5 
 
 
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Explicação: 
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim: 
u.v = 0 => (1.3,2) . (4.2.x) = 0 => 4+6+2x = 0 => 2x = -10 => x = -5. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine x de modo que os vetores u=(x, 0, 2) e v=(1, x, 2) sejam ortogonais 
 
 
x=-2 
 
 
x=4 
 
x=0 
 
x=2 
 
 
x=-4 
 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: u.v=0 => x+4=0 => x=-4. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
O ângulo, em graus, formado entre os vetores u e v, sendo u = (1, 0, 1) e v = (1, -√3, 0) é: 
 
 
(C) 90 
 
(B) 45 
 
 
(E) 270 
 
(A) 30 
 
 
(D) 150 
 
 
 
Explicação: produto u.v= (0, 1, 0).(1, -√3, 0) = -√3 módulo u = 1 módulo de v = 2 Logo: cos x = (- √3/2), 
então x = arc cos (-√3/2) e portanto x = 150 graus 
 
 
 
 
 
 
 
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8. 
 
 
Qual deve ser o valor de m para que os vetores 
→u=(3,m,−2),→v=(1,−1,0)→w=(2,−1,2)u→=(3,m,−2),v→=(1,−1,0)w→=(2,−1,2) 
sejam coplanares? 
 
 
 
m=-2 
 
m = 4 
 
m= 2 
 
m= -8 
 
 
m = -4 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (4,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1) 
 
 
 
x=4+t y=-2 z=2t 
 
x=4+t y=-2t z=t 
 
x=4-t y=-2 z=t 
 
x=4+2t y=-2 z=t 
 
 
x=4+t y=-2 z=t 
 
 
 
Explicação: 
Uma reta que passa pelo ponto A = (xa , ya, za) e tem a direção do vetor B = (xb , yb, zb) terá as seguintes 
equações paramétricas: 
x = xa + txb; y = ya + tyb; z = za + tzb 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, 1 ) que tem a direção do vetor (3,0, 2) 
 
 
 
x= 1+3t y=2 z=1 
 
x= 1+3t y=2t z=1+2t 
 
 
x= 1+3t y=2 z=1+2t 
 
x= 1 y=2 z=1+2t 
 
x= 1+3t y=2 z=t 
 
 
 
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Explicação: 
Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a direção do vetor (2,2, 2 ) 
 
 
x= 5+2t y=2 z=2+2t 
 
 
x= 5+2t y=2+2t z=2t 
 
x= 5+2t y=2+2t z=2 
 
x= 5+2t y=2+2t z=2+2t 
 
x= 5 y=2+2t z=2+2t 
 
 
 
Explicação: 
Temos : 
(x,y,z) = (5,2,0) + t(2,2,2) => x=5+2t , y=2+2t e z=2t 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine as equações simétricas da reta r que passa pelos pontos A(5,-2,3) e tem a direção do vetor v=(4,-4,-7). 
 
 
 
x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 
 
 
X-5 /4 = Y+2 /-4 = Z-3 / -7 
 
x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 /7 
 
x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 
 
x-5 / -4 = y-2 /-4 = z+3 / 7 
 
 
 
Explicação: 
As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y"z") é dada 
por: x-x' / x" = y-y' / y" = z-z' / z". Basta então substituir os valores dados. 
 
 
 
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5. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-5,-2, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 0) 
 
 
 
x= -5 +t y=-2 z=1 
 
 
x= -5 +t y=-2 z=0 
 
x= -5 +t y=-2 z=1+t 
 
x= -5 +2t y=-2 z=1 
 
x= -5 +t y=0 z=1 
 
 
 
Explicação: Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, -1 ) que tem a direção do vetor (3,0, 0 ) 
 
 
x= 1+3t y=2 z=t 
 
 
x= 1+3t y=2 z=1 
 
x= 1+3t y=2t z=-1 
 
x= 3t y=2 z=-1 
 
 
x= 1+3t y=2 z=-1 
 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: 
(x,y,z)=(1,2,-1) + t(3,0,0) => x=1+3t 
 y=2 
 z=-1 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a direção do vetor v=(-4,-1,3). 
 
 
 
x=-4+t 
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y=-2-t 
z=3-5t 
 
x=2t 
y=-3t 
z=5t 
 
 
x=2-4t 
y=-t 
z=5+3t 
 
x=-4+2t 
y=-1 
z=3+5t 
 
x=t 
y=2y 
z=5+3t 
 
 
 
Explicação: 
Temos que as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor 
v=(x",y",z") basta substituir os valores para obtermos: x=2-4t 
 y=-t 
 z=5+3t 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (0, 0, 1 ) 
 
 
 
x= 5 y=-2+t z=t 
 
 
x= 5 y=-2 z=t 
 
x= 5 y=-2 z=1 
 
x= 5 y=-2+ t z=t 
 
x= 5 - t y=-2 z=t 
 
1. 
 
 
Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i, j e k? 
 
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3 
 
-1 
 
0 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considere o vetor u = (0,4,3). O módulo de tal vetor é igual a: 
 
 
 
3 
 
2 
 
1 
 
4 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O Módulo do vetor VAB, sendo A = (-1, 3) e B = (1; 3) é: 
 
 
 
2 
 
0 
 
4 
 
2,83 
 
3,52 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A equação do plano que contém os pontos A(0,1,2 ) B( 1,-1,4) e C(2,2,2) está na opção 
 
 
 
2x + 2j + 2k =0 
 
2x + 8y =2 
 
3x + 7y - 5z -4 =0 
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x + y + 2z - 1 =0 
 
 
-2x + 2y + 5z -12 = 0 
 
 
 
Explicação: 
produto vetorial de dois vetores quaisquer de um plano determina um vetor normal a esse plano. Depois 
substituir um dos pontos para achar a variavel independente desse plano. 
LEMBRAR: o vetor v = (a,b,c) é ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual deve ser o valor de m para que os vetores a=(m,2,-1), b=(1,-1,3) e c=(0,-2,4) sejam coplanares? 
 
 
 
m=4 
 
m=3/2 
 
m=2 
 
m=3/4 
 
 
m=3 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Se o ponto P do eixo das abscissas pertence ao plano determinado pela equação: 2x + 5y - 10z - 20 = 0. Podemos afirmar que: 
 
 
 
P( 10, 0, 0 ) 
 
P( 0, 4, 0 ) 
 
P( 5, 0, 0 ) 
 
P( 0, 0, 2 ) 
 
P( 0, 0, -2 ) 
 
 
 
Explicação: 
Se P pertence eixo das abscissas, P = (x,0,0). Substituindo na equação do plano, 2x-20=0 -> x = 10 
 
 
 
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7. 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ? 
 
 
 
 
-x +2 y - 6 z - 35 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z+ 35 = 0 
 
-x - 2 y + 6 z - 35 = 0 
 
 
-x - 2 y - 6 z - 35 = 0 
 
-x + 2 y + 6 z - 35 = 0 
 
 
 
Explicação: 
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (-4) ] = 0 -> -x - 2 y - 6 z - 35 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ? 
 
 
 
 
-x - 2 y + 6 z - 13 = 0 
 
-x + 2 y - 6 z - 13 = 0 
 
-x - 2 y - 6 z + 13 = 0 
 
 
-x - 2 y - 6 z - 13 = 0 
 
=x - 2 y - 6 z - 13 = 0 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,0). O produto escalar u.v é igual a: 
 
 
 
3 
 
2 
 
1 
 
 
0 
 
4 
 
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2. 
 
 
Na elaboração de um projeto, alunos de engenharia construíram um diagrama de forças que atuam sobre 
o objeto em análise. Os alunos identificaram a atuação de cinco forças distintas, 
representadas vetorialmente por 𝐹1 = (√2, −√2), 𝐹2 = (−√3, √3), 𝐹3 = (0 , 3), 𝐹4 = (2, −√3) 
e 𝐹5 = (1, −2). O vetor com maior intensidade é: 
 
 
F2 
 
 
F4 
 
 
F3 
 
F5 
 
F1 
 
 
 
Explicação: 
F3 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os vetores u = ( 1,2,3) e v = (m-3, 2,-3), podemos afirmar que 
o valor de m para que o produto escalar u.v seja igual a zero , é: 
 
 
 
5 
 
 
8 
 
7 
 
6 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa pelo ponto P(4, 2)? 
 
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(x + 3)^2 +(y + 4)^2 = 5 
 
 
(x−4)2+(y−3)2=sqrt5(x−4)2+(y−3)2=sqrt5 
 
(x−3)2+(y−4)2=sqrt5(x−3)2+(y−4)2=sqrt5 
 
 
(x−3)2+(y−4)2=5(x−3)2+(y−4)2=5 
 
(x−4)2+(y−3)2=5(x−4)2+(y−3)2=5 
 
 
 
Explicação: 
(x-xc)² + (y-yc)² = |PC|² 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dados os vetores u = (2x-1 , 3) e v = ( 3, -4) , determine o valor de x para que u e v sejam perpendiculares. 
 
 
 
2,5 
 
4 
 
3 
 
4,5 
 
3,5 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre o centro e o raio da circunferência cuja equação é: x^2 + y^2 - 2x - 4y = 20. 
 
 
 
r = 5 e C(1,2) 
 
r = 4 e C(-1, -2) 
 
r = 4 e C(-2,-4) 
 
r = 4 e C(2,4) 
 
r = 3 e C(0,1) 
 
 
 
Explicação: 
Da expressão dada, completa-se o quadrado 
: (x−1)²−1+(y−2)²−4=20(x−1)²−1+(y−2)²−4=20 
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 (x−1)²+(y−2)²=25(x−1)²+(y−2)²=25 
Logo, da expressão acima, teremos: 
C(1,2);r=5C(1,2);r=5 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o lugar geométricodos pontos P(x,y) do plano dos quais as tangentes traçadas do ponto à circunferência (x-3)2 + (y-2)2 =16 têm 
comprimento 3. 
 
 
 
uma elipse de centro na origem 
 
uma parábola de vértice (3,2) 
 
 
uma circunferência de raio 5 
 
umpar de retas paralelas 
 
um par de retas concorrentes. 
 
 
 
Explicação: 
O raio da circunferência dada e a tangente formaram um triangulo retangulo de catetos 3 e 4, e a distancia 
dos pontos ao centro da circunferencia será a hipotenusa desse triangulo 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
O centro e o raio da circunferência dada pela equação x² + y² - 8x - 6y + 9 = 0 são respectivamente: 
 
 
 
Centro C(-4, -3) e raio 3 
 
Centro C(-4, -3) e raio 4 
 
Centro C(4,3) e raio 3 
 
 
Centro C(4,3) e raio 4 
 
Centro C(4,3) e raio 16 
 
 
 
 
 
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1. 
 
 
Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice em . 
 
 
 
y = 4x² 
 
y = -x2 / 6 - 97 / 54 
 
y = -x2 / 6 + 4x / 9 
 
 
y = -x2 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54 
 
y = -x2 / 6 
 
 
 
Explicação: 
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar: 
 
 
 
Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário. 
 
O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de origens 
diferentes. 
 
Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes. 
 
 
O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗. 
 
O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido de qualquer 
um dos seus representantes. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = (2,0) e d: x= -2 
 
 
 
x = y2 / 32 
 
x = y2 / 16 
 
x = y2 / 4 
 
 
x = y2 / 8 
 
x = y2 / 2 
 
 
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Explicação: 
Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a equação das parábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 = 0 
 
 
x = 4 
 
x = y2 + 3y + 4 
 
 
x = y 
 
 
x = (-y2 + 4y + 3) / 2 
 
x = y2 
 
 
 
Explicação: 
Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico dos pontos 
cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, 
temos d(X,F)=d(X,P) 
= 
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, 
obtemos: 
x2-6x+9+y2-4y+4=x2-8x+16 
ou seja, 2x=3-y2+4y de onde x= 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2 
 
 
(13, -9) 
 
 
(13/2, 8) 
 
 
(13/2, -9) 
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(13,9) 
 
(13/2, -8) 
 
 
 
Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -2, 0). 
 
 
(1, 3, -1) 
 
 
(1, -4, 2) 
 
 
(-2, 1, 1) 
 
(-1, 2, 1) 
 
(-1, 3, 1) 
B 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0, -2) são, respectivamente, 
 
 
 
√33 e √ 3 232 
 
1/2 e √ 3 3 
 
√ 3 232 e 1212 
 
 
2√ 3 23 e √ 3 232 
 
3 e 1/2 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que o triângulo PQR seja retângulo em P. 
 
 
5 
 
 
7 
 
3 
 
 
1 
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3. 
 
 
Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é 24. Determine a distância 
focal dessa elipse. 
 
 
13/12 
 
 
11 
 
22 
 
 
10 
 
12/13 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -2, m) pertença a este ponto, o valor de m tem que ser igual a: 
 
 
 
9 
 
 
-9 
 
15 
 
NRA 
 
-15 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine os valores de p para que o ponto P(3,p) pertença à circunferência de equação x²+y²=18. 
 
 
2 e -3 
 
+/- 9 
 
 
+/- 1 
 
-1 e 9 
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+/- 3 
 
 
 
Explicação: 
Devemos ter: 3²+p²=18 -> 9+p²=18 -> p=+/- 3 
Logo; P(3,3) ou P(3,-3) 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
(IFB - 2017). Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), 
determine os focos da elipse. 
 
 
 
(0, 13) e (0, -13) 
 
(5, 0) e (-5, 0) 
 
(12, 0) e (-12, 0) 
 
 
(0, 12) e (0, - 12) 
 
(13, 0) e ( -13, 0) 
 
 
 
Explicação: 
De acordo com os dados, o eixo maior fica no eixo y, onde a = 13 e b = 5, logo c² = 13² - 5² -> c = 12 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o valor de a, sabendo que os 
vetores →u=2→i+3→j+4→ku→=2i→+3j→+4k→ e → v=→i −3→j+ a→k →v=i→ -3j→+ ak→ são 
ortogonais 
 
 
 
7/4 
 
2/4 
 
1 
 
5 
 
2 
 
 
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8. 
 
 
Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-4x+6y-3=0. 
 
 
 
(3,4) e 6 
 
(3,-1) e 5 
 
(3,-2) e 4 
 
 
(2,-3) e 4 
 
(-1,3) e 5 
 
 
 
 
1. 
 
 
Dada à hipérbole de equação 5x2 - 4y2- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da hipérbole. 
 
 
 
(2, -1) 
 
(2,1) 
 
(-2,1) 
 
(1,2) 
 
(-2,-1) 
 
 
 
Explicação: 
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 - 4x + 4 - 4] - 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x 
- 2)2 - 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x - 2)2 / 4 + (y + 1)2 / 5 = 1. 
Então o centro é C(2, - 1) 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2). 
 
 
 
-9x-3y+z+7=0 
 
 
-9x-3y+z+=0 
 
-9x-8y+z+7=0 
 
-9x-3y+z+9=0 
 
-5x-3y+z+7=0 
 
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3. 
 
 
Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ? 
 
 
17 unidades de volume 
 
 
15 unidades de volume 
 
14 unidades de volume 
 
 
13 unidades de volume 
 
16 unidades de volume 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos 
pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ? 
 
 
 
Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3 
 
Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5 
 
Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3 
 
Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5 
 
Uma circunferência de equação x2+y2 =3 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4) 
 
 
 
10 x (2) 1/2 
 
 
10 
 
20 x(2)1/2 
 
5x (2)1/2 
 
20 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais. 
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados: 
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foco e diretriz 
 
vértice e eixo 
 
centro e eixo 
 
foco e eixo 
 
centro e diretriz