Gabarito_MatemáticaII_Módulo19_9ano

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Resolução 
 I. A área do hexágono pode ser calculada de duas maneiras diferentes. Observe a figura abaixo 
para fazer os cálculos da área do hexágono.
h 5
2
3,
a) Multiplicando o semiperímetro pelo apótema, temos:
2p 6 18 6 108 6 p 54 6⇒5 ? 5 5
a h 3
2
a 18 6 3
2
9 3 2 27 2⇒,5 5 5 ? 5 ? 5
A a p 27 2 54 6 1 458 12 1 458 2 3 A 2 916 3 cm .2⇒5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5
b) Multiplicando por 6 a área de um dos triângulos equiláteros, obtemos:
5 ?
?
5 ?
?
5 ?
? ? ?
5
( )
⇒A 6 3
4
A 6 18 6 3
4
3 18 18 6 3
2
2 916 3
2 2
,
 cm2
Logo, a área do hexágono é 2 916 3 cm .2
 II. Área do triângulo equilátero:
5
?
5
?
5
? ?
5
( )
⇒A 3
4
A 18 3 3
4
18 18 3 3
4
243 3
2 2
,
Logo, a área do triângulo equilátero é 243 3 cm .2
 III. Área do quadrado:
5 5 5 ? 5A A 16 3 256 3 7682
2
, ( )⇒
Logo, a área do quadrado é 768 cm2.
PRATICANDO O APRENDIZADO
1 Calcule as medidas do lado e do apótema de um triân-
gulo equilátero inscrito em uma circunferência de 20 cm 
de raio.
5 5   20 3  cm e a    10 cm.p,
2 O apótema de um triângulo equilátero mede 16 cm. 
Qual é a medida do lado e da área desse triângulo?
   32 3  cm e A   768 3  cm .2, 5 5
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3 Em uma mesma circunferência estão inscritos um 
quadrado e um triângulo equilátero. O apótema 
do quadrado mede 5,5 2 cm. Qual é a medida do apó-
tema do triângulo?
5,5 cm
4 Dado um hexágono regular inscrito em uma circunferên-
cia de raio 18 cm, determine a área do hexágono e a área 
do triangulo equilátero inscrito nessa circunferência.
486 3  cm  e  243 3  cm .2 2
5 Observe a figura abaixo.
 
A
B
E F
C
D
 Sabendo que a área do triângulo equilátero BCE é 
24 3 cm2, determine:
a) o raio da circunferência e o apótema do triângulo 
equilátero BCE;
R   4 2  cm e5 5a 2 2  cm.
BCE( )
b) o apótema e a área do triângulo equilátero ADF.
a    4 2  cm e
ADF
5( ) A    96 3  cm .ADF
2
5( )
6 Sabendo que a área do hexágono regular inscrito em uma 
circunferência é 36 3 cm2, determine a área do quadrado 
e a do triângulo equilátero inscritos nessa circunferência.
A    48 cm  e A    36 3  cm .4
2
3
2
5 5( )
7 O apótema de um icoságono regular é 12 6 cm, e seu pe-
rímetro mede 200 3 cm. Determine a área desse polígono.
3 600 2  cm2
8 Na figura abaixo, podemos observar um hexágono 
regular e um triângulo equilátero, ambos inscritos na 
mesma circunferência de raio 60 3 cm. Determine a 
área destacada em vermelho.
 
8 100 3   cm2
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 O texto a seguir está relacionado às atividades 1 a 3.
 Os gerentes de um restaurante estavam estudando 
3 tipos de embalagem para pizzas: a primeira embala-
gem tem a base na forma de triângulo equilátero e será 
usada nos pedidos para viagem; a segunda tem a base 
na forma de quadrado e será usada como embalagem 
padrão de venda; e uma terceira tem a base na forma 
de um hexágono regular e será usada em eventos es-
peciais. A pizza tem a forma de um círculo de 42 cm 
de diâmetro e deve ficar justa e sem folgas dentro de 
cada uma das embalagens disponíveis, ou seja, a pizza 
deve tangenciar as bordas da embalagem. 
1 Determine a medida do lado do triângulo da embala-
gem para viagem.
42 3 cm
2 Determine a medida do lado do quadrado da embala-
gem padrão.
42 cm
3 Determine a medida do lado do hexágono da embala-
gem especial.
14 3 cm
4 Uma praça no formato de hexágono regular vai ser cons-
truída em uma área circular cujo raio mede 100 metros 
de modo que o hexágono esteja inscrito na circunferên-
cia. Sabendo que essa praça vai ser toda revestida por 
lajotas quadradas de diagonal 20 2 cm, determine a 
quantidade de lajotas que serão utilizadas.
 (Considere 3 1,7> .)
64 lajotas. 
5 Uma escultura foi feita sobre uma base quadrada. Para 
poder expô-la, é necessário um pedestal cuja base de 
apoio da escultura seja um círculo. Por questões de es-
tabilidade, deve-se ter a base da escultura inteiramente 
dentro do círculo (inscrita no círculo).
 Determine a menor medida possível do raio da base 
do pedestal para satisfazer a condição de estabilidade, 
sabendo que o lado da base da escultura mede 32 cm.
R   16 25 cm
 O texto a seguir está relacionado às atividades 6 e 7.
 Uma das possíveis maneiras de ladrilhar um piso com 
figuras de mesma medida é utilizando hexágonos regu-
lares. Observe a figura abaixo, que destaca uma parte 
do que seria esse ladrilhamento.
 
C
4
C
3
C
2
C
5
C
1
C
7
C
6
 Na figura, os pontos C1, C2, C3, C4, C5, C6 e C7 são os 
centros de cada um dos 7 hexágonos representados, 
cujos lados medem 50 cm.
6 Qual é a distância entre os centros de dois hexágonos 
adjacentes? (Por exemplo: C1 e C2.)
50 3 cm
APLICANDO O CONHECIMENTO
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7 Qual é a distância entre os centros de dois hexágonos 
separados por outros dois hexágonos? (Por exemplo: 
C2 e C4.)
150 cm
8 Uma roda maciça de madeira foi desmontada de uma 
carroça para ser substituída por uma nova. Para rea-
proveitar a roda antiga, o marceneiro teve a ideia de 
usá-la como um tampo de mesa quadrada, cortando a 
madeira para formar o quadrado. Sabendo que o diâ-
metro da roda mede 1,2 m, qual deverá ser a medida 
do lado do quadrado a ser formado pelo corte para que 
o aproveitamento seja máximo?
0,6 2 m
1 Um banheiro foi ladrilhado com hexágonos regulares de 
lado 6 cm. Para passar uma tubulação, será necessário 
fazer um furo circular em apenas um desses ladrilhos. 
Com o objetivo de manter o acabamento e ter o máxi-
mo de espaço possível para passar os canos, qual deverá 
ser o diâmetro do furo?
a) 12 cm
b) 6 3 cm
c) 6 cm
d) 3 3 cm
e) 3 6
2 O piso da sala de uma casa foi feito com ladrilhos na 
forma de quadrados. Para decorar o ambiente, foi colo-
cado o maior tapete circular que cabia na sala. Sabendo 
que a sala tem o formato de um quadrado e que foram 
necessários 25 ladrilhos de lado medindo 60 cm, deter-
mine a área ocupada pelo tapete.
a) 2,25π m2
b) 4,5π m2
c) 9π m2
d) 18π m2
e) 20π m²
3 Uma barra de chocolate tem uma base cujo formato 
é um triângulo equilátero de lado 6 cm. A embalagem 
de venda dessa barra é um tubo circular de mesmo 
comprimento que a barra de chocolate.
 Qual deve ser o menor diâmetro da base circular da 
embalagem para que a barra de chocolate fique intei-
ramente dentro do tubo, mantendo sua forma?
a) 3 cm
b) 2 3 cm
c) 3 3 cm
d) 4 3 cm
e) 5 3 cm
4 Uma das maneiras de conseguir uma aproximação para 
o número π é por meio de polígonos regulares.
 Para conseguir essa estimativa, constroem-se dois po-
lígonos regulares com a mesma quantidade de lados 
em uma mesma circunferência: um inscrito e outro 
circunscrito. Assim, é possível determinar a medida de 
seus lados em função do raio da circunferência.
 Uma vez calculados os lados, obtém-se a razão entre o 
perímetro e o diâmetro.
 Quanto melhor for a aproximação, mais próxima a 
razão entre o maior lado e o menor lado estará de 1 
(este número será sempre maior do que 1).
 Seguindo essa ideia, qual é o valor dessa razão entre 
lados quando o polígono regular utilizado for o hexá-
gono regular?
a) 2
b) 2
c) 
2 3
3
d) 
3
2
DESENVOLVENDO HABILIDADES
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