Atividade contextualizada algebra linear

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA AV1 
ALGEBRA LINEAR
Nome: Daniel de Freitas Bueno
Número de matricula: 28298074
Polo: Centro de Guarulhos – Guarulhos - SP
Curso: Engenharia Mecânica EAD
Universidade de Guarulhos UNG
INTRODUÇÃO
A cadeia de Markov é um sistema especifico para acompanhar o que muda de acordo com determinadas probabilidades.
Em atividades industriais, comerciais e humanas, bem como fenômenos naturais um alto grau de incerteza está sempre presente.
Contudo modelos matemáticos de probabilidades, como a cadeia de Markov, que permite uma previsão estimada do futuro, são de grande importância na tomada de decisões. O interessante sobre a cadeia de Markov é poder realizar um planejamento desenvolvendo a utilização eficiente de recursos disponíveis para atingir objetivos previamente fixados na gestão da produção e com isso ajudando muito no seguimento da indústria.
VETOR PROBABILIDADE
O vetor de probabilidade contém as probabilidades de transição de uma estado para um intervalo de tempo discreto. E pode ser representado por um vetor coluna.
MATRIZ DE TRANSIÇÃO
Para cada situação deverá haver um vetor de probabilidade. A união de todos os vetores de probabilidade em uma matriz nos confere o nome de matriz de transição. Esta matriz sempre será quadrada, ou seja, o número de linha é igual ao de coluna.
DETERMINAÇÃO DE PROBABILIDADE FUTURAS
O vetor probabilidade é a matriz de transição são uteis na determinação de probabilidade ao longo do tempo esta característica é muito útil na indústria, principalmente na engenharia de produção.
DESENVOLVIMENTO DOS CÁLCULOS DA CADEIA DE MARKOV
Para o desenvolvimento dos cálculos é necessário o conhecimento de álgebra linear e dentro da álgebra linear o conhecimento de multiplicação de matrizes, vetor coluna e também tipos de matrizes, sendo que para realizar os cálculo será utilizada uma matriz quadrada. 
EXERCICIO PROPOSTO
Um bioquímico está estudando uma bactéria capaz de combater determinada doença. Ele sabe que, para tal, certo genótipo deve controlar as características necessárias para combater a doença.
O genótipo desejado e constituído por dois alelos dominantes (ou seja, genótipo AA)
Dessa forma, o bioquímico montou uma tabela que indica a probabilidade do cruzamento das bactérias que carregam os três diferentes genótipos (AA, Aa e aa). Resulta em indivíduos com o genótipo de interesse AA. A tabela 
O pesquisador denominou a população de indivíduos com o genótipo AA de X1, A população de indivíduos Aa de X2 e a população de individuo aa de X3. Com isso definiu equações que descrevem a probabilidade de indivíduos de cada genótipo estarem presentes em uma próxima geração, considerado que um dos indivíduos de origem possui sempre o genótipo AA: 
Por fim, o bioquímico traduziu essas equações na forma de uma transformação linear.
É importante ressaltar que o subscrito (N) indica a geração de bactéria à qual estamos no referindo, enquanto que (N-1) se refere a geração anterior. Se analisarmos bem a expressão veremos que se trata de uma cadeia de Markov.
Adotamos como referência, ainda, o texto apresentado no case. Além da transformação que descreve a população de indivíduos através das gerações, sabemos também a proporção inicial das bactérias estudas com três diferentes genótipos são elas: X1=10%, X2= 60% e X3= 30% Temos portanto o seguinte vetor.
Com a equação que descreve as transformações lineares em mãos, somos capazes de estimar a população de indivíduos com o genótipo AA através das mais diversas gerações.
Antes de começar a resolver a atividade contextualizada devemos entender como funciona a cadeia de Markov. 
Quando temos que estudar um sistema proposto como a atividade contextualizada de álgebra linear que se trata de uma cadeia de Markov que pode mudar com o tempo precisamos encontrar uma maneira de seguir as mudanças de gerações proposta no exercício. 
SOLUÇÃO DAS QUESTÕES PROPOSTAS 
1- Qual a população de bactéria com o genótipo Aa (ou seja, X2). Na primeira geração? E na segunda geração?
 Primeira Geração x = 
 1x0,1+0,5x0,6+0x0,3=0,4 40%
 0x0,1+0,5x0,6+1x0,3=0,6 60%
 0x0,1+0x0,6+0x0,3=0 0%
 R: Portanto na primeira geração será 60%
 Segunda Geração x= 
 1x0,4+0,5x0,6+0x0= 0,7 70%
 0x0,4+0,5x0,6+1x0=0,3 30%
 0x0,4+0x0,6+0x0=0 0%
 R: Na segunda geração será 30%
2- Qual a população de bactéria com o genótipo aa (ou seja X3) Na terceira geração? Essa proporção se altera na quarta geração
 Terceira Geração x= 
 1x0,7+0,5x0,3+1x0=0,85 85%
 0x0,7+0,5x0,3+1x0= 0,15 15%
 0x7+0x0,3+0x0= 0 0%
 R: A população na terceira geração será 0
 Quarta Geração x=
 1x0,85 +0,5x0,15+0x0 = 0,925 92,5%
 0x0,85+0,5x0,15+1x0=0,075 7,5%
 0x0,85+0x0,15+0x0=0 0%
 Na quarta geração não se altera 
3- Em qual geração a população de bactérias com o genótipo AA atinge 85% do total?
 Terceira Geração x= 
 1x0,7+0,5x0,3+1x0=0,85 85%
 0x0,7+0,5x0,3+1x0= 0,15 15%
 0x7+0x0,3+0x0= 0 0%
 R: Na terceira geração a população de bactéria com o genótipo AA atinge 85% do total. 
GRÁFICO
O gráfico representa as probabilidades futuras com a propriedade de que a distribuição de probabilidade para o próximo estado, depende apenas do estado atual.
CONCLUSÃO:
O conhecimento da álgebra linear que é uma parte muito importante da matemática, que com certeza é uma ferramenta de grande importância na resolução de problemas, em diversas áreas como a engenharia. O conceito das estruturas como vetores, espaços vetoriais, transformações lineares, equações lineares e matrizes confere ao engenheiro o conhecimento e técnica suficiente para o desenvolvimento e utilização como a cadeia de Markov para resolução de problemas e tomada de decisão.
A cadeia de Markov trabalha com a diagonalização com isso podemos processar rapidamente todos os cálculos necessários para decifrar os modelos matemáticos e com isso os fenômenos que pretendemos descrever. A cadeia de Markov são definidas como processos Estocásticos nos quais o estado futuro depende exclusivamente do estado presente.
A cadeia de Markov pela suas características tem vários conceitos para aplicações em diversas áreas do conhecimento. Um exemplo é a própria atividade contextualizada que no campo da bioquímica pode ser utilizada para construir probabilidades futuras das populações de bactérias. As aplicações da cadeia de Markov se estende a física, química, estatística, economia e finanças, biologia, matemática, jogos e na indústria 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
Álgebra linear / José Luiz Boldrini ... [et tal.]. – 3. Ed.- A383 São Paulo : Harper & Row do Brasil, 1980.
TAVARES, André, 2015, Cadeia de Markov: Álgebra Linear aplicada a probabilidades.
Gestão da Produção / Renato Nogueirol Lobo – São Paulo: Erica, 2010
BERNARD, Benjamin, 2017, Monopoly-Na Analysis using Markov Chains (http://carlabermard.ch/beni/downloads/bernard_momopoly.pdf)
https://dec41.user.srcf.net/notes/IB_M/markov_chains_thm_proof.pdf
http://www.portalaction.com.br/processo-estocastico/cadeia-de-markov
Probabilidades Futuras do Experimento
Coluna1	
Inicial 	1°Geração	2°Geração	3°Geração	4°Geração	0.1	0.4	0.7	0.85	0.92500000000000004	Coluna2	
Inicial 	1°Geração	2°Geração	3°Geração	4°Geração	0.6	0.6	0.3	0.15	7.4999999999999997E-2	Coluna3	
Inicial 	1°Geração	2°Geração	3°Geração	4°Geração	0.3	0	0	0	0	Gerações
Porcentagem