introducao_a_algebra_unidade3

Prévia do material em texto

Introdução 
à álgebra
1ª Edição |Maio| 2014
Impressão em São Paulo/SP
Marcelo Eduardo Pereira
Introdução À Álgebra
Catalogação elaborada por Glaucy dos Santos Silva - CRB8/6353
Coordenação Geral 
Nelson Boni
Professor Responsável
Marcelo Eduardo Pereira
Coordenadora Peda-
gógica de Curso- EAD
Roseli Leal
Coordenação de Projetos
Leandro Lousada
Revisão Ortográfica
Vanessa Almeida
Projeto Gráfico, Dia-
gramação e Capa
Ana Flávia Marcheti
1º Edição: Maio de 2014
Impressão em São Paulo/SP
Unidade 3 – Progressões
3 Progressões aritméticas 
3.1 Fórmula do termo geral de uma PA
3.1.1 Soma dos termos de uma PA
3.2 Progressões geométricas
3.2.1 Fórmula do termo geral de uma PG
3.2.2 Crescimento de uma progressão geométrica
3.2.3 Soma dos termos de uma PG 
3.3 Progressões e Matemática Financeira
3.3.1 Fórmula do montante para juros simples
3.3.2 Fórmula do montante para juros compostos
Gabarito
Referências
.05
SUMÁRIO
.41
.37
Progressões
Caro (a) Aluno (a)
Dedicaremos esta unidade ao importante estudo das Progres-
sões. Elas serão o pano de fundo para o entendimento dos 
conceitos de Juros simples e compostos. Estes serão estudados 
de forma introdutória nesta disciplina, com o intuito de dar 
sentido ao estudo de progressões e também para que você pos-
sa, aos poucos, se familiarizar com estes conteúdos.
7
3 Progressões aritméticas 
Uma sequência numérica em que a diferença 
entre dois termos consecutivos é constante se chama 
progressão aritmética (PA).
Assim, a sequência (1,5,9,13,…) é uma progres-
são aritmética. Note que a diferença entre dois ter-
mos consecutivos é sempre 4. Chamamos essa dife-
rença de razão e a representamos pela letra r.
A sequência (7,7,7,…) é uma PA de razão zero 
e a sequência (10,4,-2,-8,…) é uma PA de razão -6.
Uma PA é crescente quando sua razão é positi-
va, e decrescente quando é negativa. No caso de r=0 
a PA é constante.
Podemos nomear os termos de uma PA por le-
tras minúsculas com um índice de contagem.
Dessa forma, os termos da PA (1,5,9,13,…) po-
dem ser representados por a1,a2,a3,…,an,… onde an 
é um valor arbitrário da sequência, precisamente o 
que ocupa a n-ésima posição. A PA pode ser repre-
sentada por (an ). Note que an é um termo da PA, 
enquanto (an ) representa toda a PA.
É fácil verificarmos que o segundo termo é 
igual ao primeiro mais a razão (a2=a1+r). No caso da 
PA (1,5,9,13,…), temos que 5=1+4.
De igual forma, o terceiro termo é igual ao pri-
meiro termo mais duas vezes a razão (a3=a1+2r), ou 
seja, 9=1+2.4.
8
Também é verdade que o décimo termo é igual 
ao terceiro mais sete vezes a razão (a10=a3+7r).
Podemos generalizar esse raciocínio. De fato, 
para chegar a um termo a_n a partir de um termo 
a_m, temos que “saltar” n-m vezes, ou seja, somar a 
a_m, n-m vezes a razão.
Exemplificando, para chegar a a20 a partir de a6, 
temos que “saltar” 14 vezes, ou seja, somar a a6, 14 
vezes a razão.
Assim, a20=a6+14r.
E, de forma geral, a_n=a_m+(n-m)r
3.1 Fórmula do termo geral de uma PA
Uma fórmula muito utilizada, constituindo um 
caso particular da fórmula anterior, é 
an=a1+(n-1)r, onde an é um termo qualquer da 
PA, a1 é o primeiro termo, n é a posição de a_n e r 
é a razão da PA. Esta fórmula se chama fórmula do 
termo geral de uma PA.
Uma PA pode ser finita ou infinita conforme 
a quantidade de elementos que possui: quantidade 
finita ou infinita, respectivamente.
Exemplo 1: Determinar o termo geral da PA (6, 
10, 14, ...).
Determinar o termo geral é o mesmo que esta-
9
belecer a fórmula para o cálculo de qualquer termo 
n da sequência. Podemos fazer isso aplicando a fór-
mula do termo geral an=a1+(n-1)r para a1=6 e r=4. 
Assim, temos:
an=6+(n-1)4 
an=6+4n-4 
an=4n+2 
Portanto, qualquer termo desta PA pode ser 
determinado a partir desta fórmula. Podemos ve-
rificar facilmente que a1=6, visto que a1=4.1+2=6, 
de acordo com a fórmula encontrada. Da mes-
ma forma, a2=10, pois a2=4.2+2=10 e assim por 
diante. Se quiser encontrar, por exemplo, o décimo 
termo da sequência (a10), seria simples, basta fazer 
a_10=4.10+2=42.
Exemplo 2: Em uma PA o 10º termo é -8 e o 3º 
termo é 27. Encontre o 8º termo da PA.
Como sabemos o 10º e o 3º termo da PA, po-
demos determinar sua razão, utilizando a fórmula 
a10=a3+7r.
-8=27+7r 
-8-27=7r 
-35=7r 
r=-5 
10
Sabendo a razão, podemos determinar o 8º ter-
mo usando a fórmula a8=a3+5r.
a8=27+5.(-5) 
a8=27-25=2 
Exemplo 3: Determinar a quantidade de ter-
mos da PA finita (-5,1,7,…49).
Usando a fórmula do termo geral de uma PA 
an=a1+(n-1)r podemos determinar a quantidade de 
termos da PA (n) já que conhecemos an=49, a1=-5 
e podemos determinar r fazendo 1-(-5)=6. Assim, 
49=-5+(n-1).6 
49+5=(n-1).6 
54=(n-1).6 
 = n-1
9=n-1 
9+1=n 
n=10 
Portanto, a PA tem 10 termos.
Exemplo 4: Qual o valor de x para que os nú-
meros x2, (x+2)2 e (x+3)2 sejam termos consecutivos 
de uma PA?
Para que estes números sejam termos conse-
54
6
11
cutivos em uma PA, a diferença entre o segundo e 
o primeiro deve ser a mesma entre o terceiro e o 
segundo. Assim,
(x+2)2-x2=(x+3)2-(x+2)2 de onde temos que:
x2+4x+4-x2=x2+6x+9-(x2+4x+4) 
x2+4x+4-x2=x2+6x+9-x2-4x-4 
4x+4=2x+5 
4x-2x=5-4 
2x=1 
Exemplo 5: Uma indústria teve uma produção 
crescente no primeiro semestre de 2013. Os valores 
da produção em cada mês estão em PA, sendo que 
em janeiro foi de 12 000 unidades e em junho foi de 
29 500 unidades. 
a) Quais foram as produções nos meses de fe-
vereiro, março, abril e maio?
b) Se o crescimento da produção mantiver esse 
comportamento, qual será a produção em dezembro 
de 2013?
a) Primeiro, determinemos a razão desta PA. 
Para isso, vamos utilizar a fórmula do termo geral 
an=a1+(n-1)r.
12
Logo,
29500=12000+(6-1)r 
29500-12000=5r 
17500=5r 
E, portanto, r=3500. Assim, basta somar 3500 
a cada termo para obter o termo seguinte. Logo, a 
produção de fevereiro foi de 12000+3500=15500 
unidades, a de março 15500+3500=19000 unidades, 
a de abril 19000+3500=22500 unidades e a de maio 
22500+3500=26000 unidades.
b) A produção de dezembro será dada pelo 12º 
elemento desta PA, ou seja, a12. Como a12=a6+6r, te-
mos que
a12=29500+6.3500 
a12=29500+21000 
a12=50500 
Logo, a produção de dezembro será de 50500.
13
Exemplo 6: Determinar a quantidade de múlti-
plos de 7 entre 100 e 1000.
Uma sequência de múltiplos de um número m 
é sempre uma PA, cuja razão é o próprio m. No caso 
particular dos múltiplos de 7, temos uma PA de ra-
zão 7. Para determinar a quantidade de elementos de 
uma PA precisamos saber, além da razão, qual é o 
primeiro e qual o último elemento desta PA.
Neste caso, o primeiro elemento da PA será o 
primeiro múltiplo de 7 acima de 100. Dividindo 100 
por 7, verificamos que 100 não é múltiplo de 7. Po-
demos dividir 101 por 7, depois 102 e assim sucessi-
vamente até encontrar um múltiplo de 7, ou seja, até 
que a divisão seja exata.
A alternativa prática para encontrar o múltiplo 
de 7 procurado é dividir 100 por 7 e verificar qual 
é o resto que, neste caso é 2. Como queremos res-
to zero, podemos subtrair 2 de 100, mas isso não 
é desejável, pois queremos um número maior que 
100. Então, para obter o resto zero, somamos 5 (o 
que falta de 2 para chegar em 7). Portanto, 105 é um 
múltiplo de 7 e é o primeiro termo da PA.
Para determinar o último termo, podemos fa-
zer o mesmo. Dividindo 1000 por 7, obtemos resto 
6. Subtraindo 6 de 1000, obtemos 994. Este será o 
último termo da PA.
Agora, podemos aplicar a fórmula do termo ge-
14
ral an=a1+(n-1)r.
994=105+(n-1).7 
994-105=(n-1).7 
889=(n-1).7 
=n-1 
127=n-1 
128=n 
Portanto, existem 128 múltiplos de 7 entre 
100 e 1000.
3.1.1 Soma dos termos de uma PA
Além de determinar elementos de uma PA, po-
demos também somar uma quantidade finita deles. 
A fórmula que nos dá a soma dos n primeiros ter-
mos de uma PA é:
Vejamos alguns exemplos de aplicação 
desta fórmula:
Exemplo 1: Calcule a soma dos 20 primeiros 
termos da PA (7,10,13,…).
889
7
(a1+an ).n
2(a1+an ).n
2
sn=sn=
15
Para utilizar a fórmula da soma precisamos co-
nhecer o primeiro e o 20º termo da PA, além da ra-
zão. O primeiro termo é 7. O 20º termo pode ser 
determinado pela fórmula a_20=a1+19r. Assim, 
a20=7+19.3=64. A razão da PA é 3.
Portanto, temos
Exemplo 2: Determine a soma dos 30 primei-
ros números ímpares positivos.
O primeiro número ímpar positivo é 1. Vamos 
determinar o 30º com a fórmula do termo geral. As-
sim, a30=a1+29r. Como a PA é formada por números 
ímpares, sua razão é 2. Logo, temos a30=1+29.2=59.
Aplicando agora a fórmula da soma
 , temos que:
A soma dos 30 primeiros números positivos é 
900. Esse é um caso particular de um fato geral: a soma 
dos n primeiros números ímpares positivos é n2.
Portanto:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
710, que é a soma dos 20 primeiros termos da PA.
(a1+a20 ).n
2
(a1+an ).n
2
(1+59).30
2
(7+64).20
2
sn=
sn=
s30= =900.
= =
16
E assim sucessivamente.
O que justifica esse fato? Analisemos:
Ao calcularmos a soma dos n primeiros termos 
de uma PA, teremos:
 onde an=a1+(n-1).r. Como r=2 
e a_1=1, concluímos que a_n=1+(n-1).2=1+2n-
-2=2n-1. Substituindo na fórmula da soma, fica-
mos com:
Isso nos garante que a soma dos n primeiros 
ímpares positivos vale n2.
Exemplo 3: Em uma PA, o 3º termo é -3 e a r 
razão é 17. Calcule a soma dos 10 primeiros termos 
desta PA.
Para determinar a soma dos 10 primeiros ter-
mos, precisamos conhecer o primeiro e o décimo 
termos. Podemos fazer isso, respectivamente, por 
meio das fórmulas seguintes:
a3=a1+2r e a10=a3+7r
(a1+an ).n
2
sn=
17
Portanto 
Assim, -3=a1+2.17. Resolvendo a equação, temos:
-3=a1+34 
-3-34=a1 
Portanto, a1=-37
De maneira análoga, a_10=-3+7.17. Resolven-
do a expressão, temos:
a10=-3+119 
Portanto, a10=116.
Agora já estamos em condições de aplicar a fór-
mula da soma dos 10 primeiros termos da PA, que é
3.2 Progressões geométricas
Uma sequência numérica em que o quociente entre 
dois termos consecutivos é constante é denominada pro-
gressão geométrica (PG).
Assim, a sequência (3,6,12,24…) é uma progressão 
geométrica. Note que o quociente entre dois termos con-
secutivos é sempre 2. Chamamos esse quociente de razão 
(a1+a10 ).10
2
(-37+116).10
2
79.10
2
s10=
s10= = = 395
18
e o representamos pela letra q.
A sequência (7,7,7,…) é uma PG de razão 1 e a sequ-
ência (10,4, , …) uma PA de razão
Assim como ocorre nas PA, podemos nomear 
os termos de uma PG por letras minúsculas com um 
índice de contagem.
Dessa forma, os termos da PG (3,6,12,24…) 
podem ser representados por a1,a2,a3,…,an,….
É fácil verificarmos que o segundo termo é 
igual ao primeiro vezes a razão (a2=a1.q). No caso da 
PG (3,6,12,24…), temos que 6=3.2.
De igual forma, o terceiro termo é igual ao pri-
meiro termo vezes o quadrado da razão (a3=a1.q
2 ), 
ou seja, 12=3.22.
Também é verdade que o décimo termo é igual 
ao terceiro vezes a razão elevada a sétima potência 
(a10=a3.q
7 ).
Podemos, também, generalizar esse raciocínio. 
Com efeito, para chegar a um termo an a partir de 
um termo am, temos que “saltar” n-m vezes, ou seja, 
multiplicar am, pela razão elevada a n-m.
Exemplificando, para chegar a a20 a partir de a6, 
temos que “saltar” 14 vezes, ou seja, multiplicar a6 
por q14.
Assim, a20=a6.q
14.
E, de forma geral, an=am.q
n-m
8
7
16
25
2
5
19
3.2.1 Fórmula do termo geral de uma PG
Outra fórmula muito utilizada, considerada um 
caso particular da fórmula anterior, é 
an=a1.q
n-1, onde an é um termo qualquer da PG, 
a1 é o primeiro termo, n é a posição de an e q é a 
razão da PG.
Exemplo 1: Determine o termo geral da pro-
gressão geométrica (2, , , ,…):
O termo geral de uma PG é dado pela fórmu-
la an=a1.q
n-1. Sabemos que a1=2. Para determinar a 
razão q da PG basta dividir um termo qualquer por 
seu antecessor. Escolhendo 2 e , temos q= :
2= . = .
Portanto an=2.( )
n-1
Exemplo 2: Qual o décimo termo da PG (
, ,1,…)?
Podemos simplesmente continuar a sequência 
até o 10º termo. Como cada termo é o dobro do 
anterior, teríamos a sequência ( , , 1,2,4,8,16,
32,64,128…) e o 10º termo é o número 128.
4
32
3
2
3
4
3
1
2
1
2
1
4
1
4
1
2
4
3
4
7
8
9
16
27
20
Usando a fórmula a10=a3.q
7, basta substituir a3 
por 1 e q por 2.
Assim, a10=1.2
7=128
Exemplo 3: Uma indústria teve uma produção 
crescente no primeiro semestre de 2013. Os valores 
da produção em cada mês estão em PG, sendo que 
em janeiro foi de 1 500 unidades e em junho foi de 
48 000 unidades. Quais foram as produções nos me-
ses de fevereiro, março, abril e maio?
Primeiro, precisamos calcular a razão desta PG. 
Para isso, vamos utilizar a fórmula do termo geral 
an=a1.q
n-1.
E, portanto, q=2
Assim, basta multiplicar cada termo por 2 
para obter o termo seguinte. Logo, a produção de 
fevereiro foi de 1500.2=3000 unidades, a de março 
3000.2=6000 unidades, a de abril 6000.2=12000 uni-
dades e a de maio 12000.2=24000 unidades.
21
3.2.2 Crescimento de uma progressão geométrica
Uma PG pode ser crescente, constante, decres-
cente ou alternante. Isso depende do valor da razão 
e, em alguns casos, dos sinais dos termos da PG.
Vejamos o primeiro caso onde q>1. Se o pri-
meiro termo da PG for positivo a PG será crescente, 
já que o resultado da multiplicação de um número 
real positivo por 1 é maior que esse número.
Exemplo: (2,6,18,54…)
Se o primeiro termo da PG fosse negativo, todos 
os demais seriam negativos e a PG seria decrescente.
Exemplo: (-2,-6,-18,-54…)
Agora, consideremos o caso trivial onde q=1. 
Evidentemente, todos os termos da PG serão iguais 
e ela será constante.
Exemplo: (-2,-2,-2,-2…)
Para 0<q<1 teremos uma PG decrescente se 
o primeiro termo for positivo, já que o produto de 
um número positivo a por um número positivo q 
(0<q<1) é menor que a.
22
Ainda para 0<q<1 teremos uma PG crescente, 
se o primeiro termo for negativo.
Por fim, se q<0 teremos uma PG alternante, já 
que os sinais dos termos se alternarão entre positivo 
e negativo.
Exemplo: (-1,3,-9,27,…)
Exemplo: Em uma PG crescente, o 1º termo é 
32 e o 3º termo é 72. Qual é o 6º termo?
Primeiramente, vamos determinar a razão da 
PG usando a fórmula a3=a1.q
2.
72=32.q2 
Como foi dito no enunciado, a PG é crescente, 
logo q= 3
2
23
Para obter o 6º termo, fazemos a6=a3.q
3=72.
( )3=72. =243.
3.2.3 Soma dos termos de uma PG
Assim como nas PA, também podemos somar 
elementos de uma PG. A diferença é que em algu-
mas PG poderemos somar, inclusive, infinitos valo-
res. A fórmula que nos dá a soma dos n primeiros 
termos de uma PG é:
Analisemos alguns exemplos de aplicação des-
ta fórmula:
Exemplo 1: Voltemos ao problema da indústria 
que teve uma produção crescente no primeiro se-
mestre de 2013 e cujos valores da produção em cada 
mês estão em PG, sendo que em janeiro foi de 1 500 
unidades e em junho foi de 48 000 unidades. Qual a 
soma da produção de janeiro a junho?
Certamente, podemos obter os valores da pro-
dução para cada mês e somá-los. Para uma quan-
tidade grande de valores esse procedimento não é 
aconselhável. Para tal, podemos usar a fórmula da 
soma dos primeiros termos de uma PG determinan-
3
2
27
8
24
do, primeiro, a razão.
Sabemos que:
Utilizando a fórmula do termo geral an=a1.q
n-1, 
chegamos a:
Assim, podemos determinar a soma dos 6 pri-
meiros termos da PG:
3.3 Progressões e Matemática Financeira
Nesta seção veremos como as progressões po-
dem ser úteis no estudo da Matemática Financeira.
Começaremos com uma situação bem comum.
Você faz um empréstimo de R$ 2 000 com um 
25
amigo. Ao final de dois meses, você lhe paga R$ 2 300.
O valor emprestado (2 000 reais) recebe o nome 
de capital (C) ou principal e o valor pago (2 300 re-
ais) é o montante (M). A diferença entre o principal 
e o montante (300 reais) recebe o nome de juro (J). 
Assim, M=C+J.
Os juros pagos foram de R$ 300 sobre um ca-
pital de R$ 2 000, ou seja, vocêpagou 15% de juros. 
A essa taxa dá-se o nome de taxa de juros (i) e ela 
é calculada dividindo-se o juro pelo capital, ou seja,
E qual foi a taxa de juros mensal que você pa-
gou a seu amigo? Isso dependerá do sistema de juros 
adotado, se é simples ou composto, conforme cons-
tataremos. Iniciemos com este próximo exemplo:
Você faz um empréstimo de R$ 800 e se com-
promete a pagar uma taxa de juros de 10% ao mês. 
Passado um mês, você pede para adiar o pagamento, 
se comprometendo a fazê-lo um mês depois. Como 
foi acordado que você pagaria 10% de juros ao mês, 
você devia R$ 880 após o primeiro mês de dívida. 
Assim, ficando mais um mês com o dinheiro, você 
deve pagar 10% de juros sobre a sua dívida, que ago-
ra é de R$ 880, ou seja, pagará R$ 88 de juros, pelo 
segundo mês. Assim, você deveria devolver ao seu 
credor, R$ 968.
Esse é o caso dos juros compostos. A taxa de 
j
ci=
26
juros incide sobre a dívida do início de cada período 
e não sobre o capital.
Como seria se a taxa de juros incidisse sobre o 
capital? Você pediu R$ 800 emprestados e pagou de-
pois de 2 meses. Se a taxa de juros é de 10% e incide 
sobre o capital, você deve pagar R$ 80 por mês, ou 
seja, R$ 160 de juros, o que totalizaria um montante 
de R$ 960.
3.3.1 Fórmula do montante para juros simples
Considere o caso em que um capital (denomi-
nado C) é aplicado a uma taxa i de juros simples.
Após 1 período o valor C é acrescido dos juros 
que são de C.i e o montante passa a ser M=C+C.i e.
Após 2 períodos, temos que M=C+C.(2i) e as-
sim por diante.
Portanto, temos os seguintes valores para 
o montante:
27
Novamente, vemos uma PA na coluna 
“Montante (R$)”. A razão da PA é 60, ou seja, a 
taxa mensal de juros simples.
Se quisermos saber o montante após 9 me-
ses, podemos usar a fórmula a9=a1+8r ou, como 
sabemos o valor de a_4, podemos usar a9=a4+5r.
Deste modo, o montante após 9 meses será 
de 1260+8.60=1740 reais.
Assim, a fórmula para o montante, no caso de 
juros simples é:
M=C(1+n.i)
Notemos que a sequência dos montantes, no 
caso dos juros simples, é uma progressão aritmética. 
De fato, a cada período, é acrescido C.i.
Vejamos um exemplo: Você emprestou R$ 
1 200 a juros simples de 5% ao mês. Quais são os 
montantes que você deve receber? Façamos uma ta-
bela para alguns valores:
28
E se usarmos a fórmula do montante para juros 
simples? Teríamos, nesse caso:
M=C(1+n.i) 
M=1200(1+9.0,05) 
M=1740 reais. 
3.3.2 Fórmula do montante para juros compostos
Considere agora que um capital (C) é aplicado a 
uma taxa i de juros compostos.
Após 1 período o valor C é multiplicado por 
(1+i) e o montante passa a ser M=C.(1+i).
Após 2 períodos, temos que M=C.(1+i).
(1+1)=C.(1+i)2 e assim por diante.
Portanto, temos os seguintes valores para 
o montante:
Assim, a fórmula para o montante, no caso de 
juros compostos é:
29
M=C.(1+i)n
Notemos que a sequência dos montantes, no 
caso dos juros compostos, é uma progressão geo-
métrica. De fato, a cada período, o montante é mul-
tiplicado por 1+i.
Vejamos um exemplo: Você emprestou R$ 4 
000 a juros compostos de 2% ao mês. Quais são os 
montantes que você deve receber? Façamos uma ta-
bela para alguns valores:
Observe que temos uma PG na coluna “Mon-
tante (R$)”. A razão da PG é 1,02.
Se quisermos saber o montante após 9 meses, 
podemos usar a fórmula a9=a1.q
8 ou, como sabemos 
o valor de a4, podemos usar a9=a4.q
5.
Assim, o montante será de 4080.
(1,02)8=4780,37 reais.
E se usarmos a fórmula do montante para juros 
compostos? Teríamos, nesse caso:
M=C(1+i)n 
M=4000.(1,02)9 
M=4780,37 reais 
31
Questões da Unidade 3
1) O 100º termo da PA (-11,-1,9,…) é:
a) 909
b) 1000
c) 1177
d) 900
e) 979
2) Em uma PA (an ), o 10º termo é 26 e o 20º termo 
é 96. A soma a15+a18 vale:
a) 123
b) 133
c) 143
d) 153
e) 163
 
3) A quantidade de múltiplos de 6, entre 10 e 1000 é:
a) 984
b) 165
c) 990
d) 164
e) 996
32
4) Qual a soma dos 20 primeiros termos de uma PA 
(an ), sendo que o 8º termo é -7 e o 12º termo é-19?
a) -293
b) -290
c) -287
d) -284
e) -281
5) O 7º termo da PG (64,96,144,…) é:
a) 729
b) 486
c) 336
d) 448
e) 216
6) A soma dos 10 primeiros termos da PG 
(64,32,16,…) é:
33
7) Qual o montante aproximado de um capital de R$ 
5 200, aplicado à taxa de 0,6% ao mês, após um ano?
a) R$ 5 574,40
b) R$ 5 553,68
c) R$ 5 587,01
d) R$ 5 620,52
e) R$ 10 463,42
34
35
gabarito
Questões da Unidade 3
1) O 100º termo da PA (-11,-1,9,…) é:
a) 909
b) 1000
c) 1177
d) 900
e) 979
2) Em uma PA (a_n ), o 10º termo é 26 e o 20º ter-
mo é 96. A soma a15+a18 vale:
a) 123
b) 133
c) 143
d) 153
e) 163
3) A quantidade de múltiplos de 6, entre 10 e 1000 é:
a) 984
b) 165
36
c) 990
d) 164
e) 996
4) Qual a soma dos 20 primeiros termos de uma PA 
(an ), sendo que o 8º termo é -7 e o 12º termo é-19?
a) -293
b) -290
c) -287
d) -284
e) -281
5) O 7º termo da PG (64,96,144,…) é:
a) 729
b) 486
c) 336
d) 448
e) 216
6) A soma dos 10 primeiros termos da PG 
(64,32,16,…) é:
37
7) Qual o montante aproximado de um capital de R$ 
5 200, aplicado à taxa de 0,6% ao mês, após um ano?
a) R$ 5 574,40
b) R$ 5 553,68
c) R$ 5 587,01
d) R$ 5 620,52
e) R$ 10 463,42
Respostas
1) E
2) C
3) B
4) B
5) A
39
Referências
DANTE, L. R., MATEMÁTICA, Contextos & Apli-
cações. Vols.1, 2 e 3. 1a Ed. São Paulo. Ática. 2010.
IEZZI, G. MURAKAMI, C., Fundamentos de Ma-
temática Elementar: Conjuntos e Funções. Vol.1. 9a 
Ed. São Paulo. Atual. 2013. 
____________________, Fundamentos de Mate-
mática Elementar: Sequências, Matrizes, Determinan-
tes e Sistemas. Vol.4. 8a Ed. São Paulo. Atual. 2013. 
IEZZI, G., DOLCE, O., MURAKAMI, C., Fun-
damentos de Matemática Elementar: Logaritmos. 
Vol.2. 10a Ed. São Paulo. Atual. 2013.
IEZZI, G., Fundamentos de Matemática Elementar: 
Complexos, Polinômios, Equações. Vol. 6. 8a Ed. 
São Paulo. Atual. 2013.
IEZZI, G., HAZZAN, S., DOLCE, O., MURAKA-
MI, C., Fundamentos de Matemática Elementar: Ma-
temática comercial, Matemática financeira, Estatística 
descritiva. Vol.11. 2a Ed. São Paulo. Atual. 2013.
LAUREANO, J.L., LEITE, O.V., Os segredos da Ma-
40
temática Financeira. 5a Ed. São Paulo. Ática. 1997.
MACHADO, A.S., Matemática: Ensino Médio. Vo-
lume único. 1a Ed. São Paulo. Atual. 2012.
MILIES, F.C.P., Números: uma introdução à Mate-
mática. 3a Ed. São Paulo. Edusp. 2001.