CalculoIII-Aula 3

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Cálculo Diferencial e Integral
Vetorial
Planos tangente e aproximações lineares. Diferenciais
e regra da cadeia.
Uma equação do plano tangente ao gráfico de uma função que tem derivadas
parciais contı́nuas f de duas variáveis em um ponto (a, b, f (a, b)) é
z = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
A função linear cujio gráfico é esse plano tangente, dada por,
L(x, y) = f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
é chamada linearização de f em (a, b), e a aproximação
f (x, y) f (a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
é chamada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de f em (a, b).
Exemplo 1: Determine o plano tangente ao parabolóide elı́ptico z = 2x2 + y2
no ponto (1, 1, 3).
Se z = f (x, y), então f é diferenciável em (a, b) se ∆z pode ser expresso na
forma
∆z = fx(a, b)∆x + fy(a, b)∆y + �1∆x + �2y
onde �1 e �2 → 0 quando (∆x,∆y)→ (0, 0).
Se as derivadas parciais fx e fy existem perto do ponto (a, b) e são contı́nuas
em (a, b), então f é diferenciável em (a, b).
Exemplo 2: Mostre que f (x, y) = xexy é diferenciável em (1, 0) edetermine
sua linearização. Em segyuida use a linearização para aproximar f (1, 1;−0, 1).
Para uma função de duas vaiáveis, z = f (x, y), definimos os diferenciais dx
e dy como variáveis independentes. Então o diferencial dz, também chamado
diferencial total, é definido por
d f = dz = fx(x, y)dx + dy(x, y)dy =
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy
Se tomamos dx = ∆x = x − a e dy = ∆y = y − b nessa equação, então a
diferencial de z é
dz = fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)
1
E assim, com a notação de diferencial, a aproximação linear pode ser escrita
como
f (x, y) f (a, b) + dz
Exemplo 3:
a. Se z = f (x, y) = x2 + 3xy − y2, determine o diferencial dz.
b. Se x varia de 2 a 2, 05 e y varia de 3 a 2, 96, compare os valores de ∆z e dz.
Exemplo 4: Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone
circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cmtilize o diferencial para estimar o erro
máximo cometido no cálculo do volume do cone.
Exemplo 5: As dimensões de uma caixa retangular são medidas como 75 cm,
60 cm e 40 cm, e cada medida feita com precisão de até 0,2 cm. Use diferenciais
para estimar o maior valor possı́vel do erro quando calculamos o volume da
caixa usando essas medidas.
Regra da cadeia (Caso 1): Suponha que z = f (x, y) seja uma função dife-
renciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) são funções diferenciáveis de t. Então
z é uma função diferenciável de t e
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
Exemplo 6: Se z = x2y + 3xy4, onde x = sen2t e y = cost, determine
dz
dt
quando t = 0.
Exemplo 7: A pressão P ( em quilopascals), o volume V (em litros) e a
temperatura T (em kelvins) de um mol de um gás ideal estão relacionados por
meio da fórmula PV = 8, 31T. Determine a taxa de variação da pressão quando
a temperatura é de 300K e está almentando com a taxa de 0, 1K/s e o volume é
de 100L e está aumentando com a taxa de 0, 2L/s.
Regra da cadeia (Caso 2): Suponha que z = f (x, y) seja uma função dife-
renciável de x e y, onde x = g(s, t) e y = h(s, t) são funções diferenciáveis de s e
de t. Então
dz
ds
=
∂z
∂x
∂x
∂s
+
∂z
∂y
∂y
∂s
dz
dt
=
∂z
∂x
∂x
∂t
+
∂z
∂y
∂y
∂t
2
Exemplo 8: Se z = exseny, onde x = st2 e y = s2t, determine
∂z
∂s
e
∂z
∂t
.
Regra da Cadeia (Versão geral): Suponha que u seja uma função diferenciável
de n variáveis x1, x2, · · · , xn, onde cada x j é uma função diferenciável de m
variáveis t1, t2, · · · , tm. Então u é uma função de t1, t2, · · · , tm e
∂u
∂ti
=
∂u
∂x1
∂x1
∂ti
+
∂u
∂x2
∂x2
∂ti
+ · · · +
∂u
∂xn
∂xn
∂ti
para cada i = 1, 2, · · · ,m.
Exemplo 9: Escreva a regra da cadeia para o caso onde w = f (x, y, z, t, s) e
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), t = t(u, v) e s = s(u, v).
Exemplo 10: Se u = x4y + y2z3, onde x = rset, y = rs2e−t e z = r2ssent,
determine o valor de
∂u
∂s
quando r = 2, s = 1, t = 0.
Exemplo 11: Se g(s, t) = f (s2 − t2, t2 − s2) e f é diferenciável, mostre que g
satisfaz a equação
t
∂g
∂s
+ s
∂g
∂t
= 0
Exemplo 12: Se z = f (x, y) tem derivadas parciais de segunda ordem
contı́nuas e x = r2 + s2 e y = 2rs, determine
∂z
∂r
e
∂2z
∂r2
.
Exemplo 13: Determine y′ se x3 + y3 = 6xy.
Exemplo 14: Determine
∂z
∂x
e
∂z
∂y
se x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1.
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