06 JORGE SOTOMAYOR

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JORGE SOTOMAYOR 
 
IME – USP 
 
EIMAN II, MARÇO 2012 
 
Plano da apresentação: 
 1. Ingredientes da Teoria Qualitativa; 
 2. Século 19: Poincaré; 
 3. Marcos de referencia Geometria; 
 4. Euler, Monge, Dupin, Darboux; 
 5. Fatos cruciais: Séculos 20 e 21. 
Andronov, Pontrjagin, Peixoto. 
1. Esboço: Ingredientes da 
Teoria Qualitativa das 
Equações Diferenciais 
Ordinárias (TQEDO). 
 Consideraremos uma equação 
diferencial no plano da forma 
 ou equivalentemente, um campo de 
vetores F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)). 
 A procura por soluções explícitas de 
(1), dadas por fórmulas matemáticas, 
norteou os estudos dos matemáticos 
até meados do século XIX. 
 No entanto, já se sabia naquela 
época, que soluções explícitas de (1) 
eram muito difíceis e muitas vezes 
pouco úteis, por sua complexidade... 
 No final do século XIX, em torno de 
1881, iniciou-se uma nova etapa no 
entendimento de uma equação 
diferencial ordinária, etapa esta 
conhecida como 
Teoria Qualitativa das Equações 
Diferenciais Ordinárias (TQEDO). 
2.- POINCARÉ, PERSONAGEM 
CENTRAL NA MATEMÁTICA NO 
SÉCULO 19, A TQEDO. 
Esta nova concepção do estudo das 
equações diferenciais foi devida ao 
matemático francês 
 Jules Henri Poincaré 
Nancy, 29/04/1854 - Paris, 17/07/1912. 
 Descrições qualitativas ou 
geométricas das soluções de uma 
equação diferencial como curvas no 
plano, chamadas curvas integrais do 
campo de vetores 
F(x,y) = (P(x,y), Q(x,y)). 
 Grosso modo, a TQEDO visa: 
2. Poincaré: 
Fotografia da primeira Conferência Solvay em 1911. Sentados (E-D): Nernst, Brillouin, 
Solvay, Lorentz, Warburg, Perrin, Wien, Curie e Poincaré. Em pé (E-D): Goldschmidt, 
Planck, Rubens, Sommerfeld, Lindemann, de Broglie, Knudsen, Hasenöhrl, Hostelet, 
Herzen, Jeans, Rutherford, Kamerlingh Onnes, Einstein e Langevin. 
H. Poincaré, Mémoire sur les courbes définies par une équation 
différentielle (I) 
Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 3e série, tome 7 (1881), 
375-422. 
 Principais noções introduzidas e 
analisadas por Poincaré no estudo 
qualitativo de uma equação 
diferencial, um verniz: 
1.1.- Classificação dos pontos de equilíbrio 
i.é. PONTOS SINGULARES (OU SEJA 
NÃO REGULARES), ONDE F=0: 
 
 
Nós, focos, selas e centros. 
1.2.- Ciclos limites: 
Soluções periódicas isoladas (no conjunto 
das soluções periódicas). 
Síntese do estudo qualitativo de uma EDO. 
Decomposição do plano, visto como 
espaço de fase, pelas curvas integrais de 
um campo de vetores, munidas de suas 
orientações. 
 
TEOREMA DE POINCARÉ - BENDIXSON 
 
 1.3.- Retrato de Fase: 
3. Alguns marcos de 
referência da Geometria. 
Séculos 18 e 19. 
OUTROS, não abordados 
aqui: Gauss, Riemann, Lie, 
Cartan… 
 Aqui, consideramos a ideia intuitiva de 
superfície no espaço tridimensional. 
As nossas superfícies são regulares, isto é, 
em cada um de seus pontos está bem 
definido um plano tangente. 
Exemplo de superfície: parabolóide 
Exemplo de superfície: Toro 
As nossas superfícies são orientáveis e 
estão orientadas, isto é, está escolhido 
um campo de vetores normais unitários. 
Superfície orientada 
Leonhard Euler 
 
 Basileia, 15/04/1707 — São Petersburgo, 18/09/1783 
 Euler é considerado o fundador da Teoria 
da Curvatura Bidimensional, introduzindo 
o conceito de curvatura normal e das 
curvaturas e direções principais. 
 
 COMENTAR: CASO UNIDIMENSIONAL E A 
GEOMETRIA DOS GREGOS FOCANDO 
CASOS MUITO HOMOGÊNEOS. 
 
 
 Para cada ponto de uma superfície, 
temos bem definidas duas direções 
ortogonais no plano tangente à superfície 
neste ponto, chamadas direções 
principais, exceto nos pontos umbílicos, 
onde as curvaturas normais máxima e 
mínima coincidem. 
Curvaturas normais máxima e mínima. ORIENTAR 
 As linhas de curvatura de uma superfície 
são as curvas integrais dos campos de 
direções principais. EQUAÇÕES BINÁRIAS. 
 Assim, as linhas de curvatura definem 
duas folheações ortogonais com 
singularidades sobre uma superfície, 
onde as singularidades são os pontos 
umbílicos. 
Superfície: parabolóide com umbílico 
Beaune, 10/05/1746 — Paris, 28/07/1818 
 Gaspard Monge: 
 Monge descreveu as linhas de curvatura 
e os pontos umbílicos de um elipsóide de 
três eixos distintos. 
 
 MONGE INTEGROU EDOs DAS L.C. 
 
 EULER não integrou. 
Linhas de curvatura e pontos umbílicos sobre um 
elipsóide de três eixos distintos. STRUIK, 1970. 
 NOTEMOS que Monge obteve, quase 100 
anos antes que Poincaré, a descrição 
qualitativa das linhas de curvatura e dos 
pontos umbílicos sobre um elipsóide de 
três eixos distintos. 
Elipsóide de três eixos distintos com linhas de 
curvatura e pontos umbílicos. Site de E. Ghys 
 Monge vislumbrou aplicações de sua 
ideia à arquitetura, com a concepção de 
um projeto para a construção de uma 
cúpula elipsoidal para a Câmara 
Legislativa do Governo da Revolução 
Francesa. 
C.F.A. Leroy, Traité de Géométrie Descriptive, Paris, 
Mallet-Bachelier, 1844 
 Uma primeira teoria matemática para 
entender as linhas de curvatura em 
superfícies aparece com Charles Dupin, 
discípulo de Monge, com a noção de 
famílias de superfícies triplamente 
ortogonais. 
Charles Dupin 
 
 Varzy, 6/10/1784 – Paris, 18/01/1873 
Teorema de Dupin 
Famílias de superfícies 
triplamente ortogonais se 
intersectam ao longo de 
linhas de curvatura. 
Comentário de cunho histórico, Século 19: 
 Apontamos evidências históricas que 
colocam Monge e seus discípulos, 
especialmente Dupin, como precursores 
da Teoria Qualitativa das Equações 
Diferenciais Ordinárias. 
DARBOUX E UMA TEORIA 
LOCAL GENÉRICA. 
 
ABAIXO OS PONTOS UMBÍLICOS 
DARBOUXIANOS. 
 RECAP. Eventos Históricos SÉCULO 19 
 
a. Euler - 1760 
 b. Monge - 1796 
 c. Dupin - 1813 
d. Poincaré - 1881 
 e. Darboux - 1896 
-- Andronov - Pontrjagin, 1937: Estabilidade 
Estrutural dos Retratos de Fase de E.D.O. no 
Plano. Pequenas perturbações das funções que 
as definem: Teorema de Caracterização. 
-- Andronov - Leontovich, 1938: Teoria das Bifurcações 
das E.D.O.. 
-- Peixoto, 1962: Estabilidade Estrutural de E.D.O. 
(Campos Vetoriais) em Superfícies: Caracterização e 
Genericidade. 
-- Carathéodory, 1942: Número de Pontos Umbílicos 
em Superfícies Convexas. 
5.- Fontes Históricas. Século 20 
É POSSÍVEL FAZER UMA TEORIA 
GLOBAL DIFERENCIÁVEL PARA 
AS LINHAS DE CURVATURA? 
 
ESTUDO INCIADO EM 1970. 
REFERÊNCIAS VALIOSAS NO 
LIVRO DE STRUIK. 
PROPOSTA DE 1970 A PARTIR DAS 
QUATRO CONDIÇÕES CRUCIAIS DO 
TEOREMA DE PEIXOTO, 1962, 
ESTENDENDO PARA SUPERFICIES O 
ESTUDO DA ESTABILIDADE 
ESTRUTURAL DE ANDRONOV E 
PONTRJAGIN PARA O PLANO. 
Estabilidade Estrutural das Configurações 
Principais em Superfícies Compactas 
Orientadas em R3 
Gutierrez - Sotomayor, 1981 
Condições suficientes: 
a. Pontos Umbílicos Darbouxianos: D1, D2, D3 
b. Ciclos Principais Hiperbólicos 
c. Não existência de Conexões, nem Auto-Conexões de 
Separatrizes Umbílicas 
d. Conjuntos Limites de Curvas Principais são Pontos 
Umbílicos ou Ciclos Principais. 
COMPARAÇÃO COM O TEOREMA 
DE ANDRONOV-PONTRJAGIN 
(1937) E PEIXOTO (1962) PARA 
EDOs. 
 
 COMENTAR NO QUADRO…. 
 
(r,s)  Espaço das superfícies compactas e 
orientadas, de classe Cr, r  4, munido da topologia 
Cs, s r. 
  Classe das superfícies satisfazendo às condições 
a), b), c) e d). 
Teorema (Gutierrez-Sotomayor): A classe  é 
 
(i) aberta em (r,s), s3, 
 
(ii) constituída por superfícies Cs - estruturalmente 
estáveis e 
 
(iii) densa em (r,2). 
Demonstração de (i) e (ii): Asterisque, 1981-82. 
Demonstração de (iii): Springer Lecture Notes, 1983. 
Colóquio Brasileiro de Matemática, 1991. LIVRO COM 
CARLOS GUTIERREZ --- Exposição unificada. 
Elipsóide de três eixos distintos.INSTÁVEL POR 
PERTURBÁÇÕES C4, ESTÁVEL QUADRÁTICA 
Comentários e Problemas em Aberto 
b. A Teoria Qualitativa das Equações das Linhas de 
Curvatura possui problemas próprios, ou todos eles 
seriam derivados daqueles da Teoria Qualitativa Geral 
de E.D.O? 
a. O que é a Teoria Qualitativa das Equações 
Diferenciais Ordinárias? 
• Bifurcações 
• Sistemas Dinâmicos 
• Problema de Carathéodory (Próprio da 
Geometria, Aberto)‏ 
• Linhas de Curvatura em Superfícies Cúbicas (PA)‏ 
• Extensão ao R4: co-dimensões 1 e 2. 
• Outras E.D.O. da Geometria Clássica: Curvaturas 
Médias, Linhas Assintóticas, Geodésicas,... 
• “Closing Lemma”: Densidade em C3 (PA)‏ 
 Recapitulação CRONOLÓGICA 
 de Assuntos Abordados 
 Eventos Históricos 1 
 Euler 
 Monge 
 Dupin 
 Poincaré 
 Darboux 
 Equações Diferenciais das Linhas de Curvatura. 
 Eventos Históricos 2 
 Estabilidade: Condições Suficientes 
 Teorema de Gutierrez-Sotomayor - PRECURSOR 
Peixoto 
 Comentários. Problemas 
 Referência bibliográfica. SOTO-GARCIA C. B. M. 
2009.