Notas de Aula - Analise

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Notas de Aula de Análise Rn I
Edson Alex Arrázola Iriarte
Fevereiro
2021
1
Sumário
1 O espaço vetorial Rn 3
2 Produto Interno e Norma 3
2.1 Normas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Conjuntos abertos 5
3.1 Propriedades dos conjuntos abertos de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Fronteira de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Sequências em Rn 6
4.1 Subsequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Limite de uma sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 O espaço vetorial Rn
• Rn é o conjunto de todas as n-uplas ordenadas
x = (x1, x2, · · · , xn),
onde cada xi ∈ R é chamada i-ésima coordenada de x.
• Os elementos de Rn são chamados pontos ou vetores (se n > 1)
• Em Rn podemos definir as seguintes operações:
Soma
x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn
y = (y1, · · · , yn) ∈ Rn
}
⇒ x+ y = (x1 + y1, · · · , xn + yn) ∈ Rn
Multiplicação por escalar
α ∈ R
x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn
}
⇒ α · x = (αx1, · · · , αxn) ∈ Rn
• As operações definidas satisfazem as seguintes propriedades:
1. x+ y = y + x (comutativa)
2. x+ (y + z) = (x+ y) + z (associativa)
3. 0 = (0, 0, · · · , 0) ∈ Rn (vetor nulo)
x+ 0 = x e 0 + x = x, ∀x ∈ Rn (existência do neutro)
4. x = (x1, · · · , xn) ∈ Rn
−x = (−x1, · · · ,−xn) ∈ Rn (oposto de x)
x+ (−x) = 0 e (−x) + x = 0 (existência do oposto)
5. α(x+ y) = α · x+ α · y (distributividade)
6. (α+ β)x = α · x+ β · x (distributividade)
7. α(βx) = (αβ)x (associatividade)
8. 1 · x = x (multiplicação por 1)
∴ (Rn,+, · ) é um espaço vetorial real
2 Produto Interno e Norma
Produto Interno Sejam x ∈ Rn, y ∈ Rn, O produto interno ou escalar de x e y é definido por
〈x, y〉 =
n∑
i=1
xiyi
Observemos que ∀x, y, z ∈ Rn e ∀α ∈ R tem-se que
1. 〈x, y〉 = 〈y, x〉
2. 〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉
3. 〈x, x〉 ≥ 0 e 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0
4. 〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 = 〈x, αy〉
Norma Sea x ∈ Rn. A norma de x é definida por
‖x‖ =
√
〈x, y〉 =
√√√√ n∑
i=1
x2i
Observemos que ∀x, y ∈ Rn e ∀α ∈ R tem-se que
1. ‖x‖ ≥ 0 e (‖x‖ = 0 ⇔ x = 0)
2. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (desigualdade triangular)
3. ‖αx‖ = |α| ‖x‖
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
x ∈ Rn
y ∈ Rn
]
⇒ | 〈x, y〉 | ≤ ‖x‖‖y‖
2.1 Normas em Rn
Norma do Máximo: x ∈ Rn ⇒ |x|M = max{ |x1|, · · · |xn| }
Norma da Soma: x ∈ Rn ⇒ |x|Σ = |x1|+ · · ·+ |xn|
Definição 1 (Normas equivalentes). Duas normas ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2 em Rn são equivalentes se ∃ a, b > 0 (constantes) tq
a‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ b‖x‖1, ∀x ∈ Rn
Teorema 1. |x|M ≤ ‖x‖ ≤ |x|Σ ≤ n · |x|M , ∀x ∈ Rn
Todas as normas em Rn são equivalentes.
Bolas e esferas em Rn
Sejam a ∈ Rn e ρ > 0
(i) Bola aberta de centro em a e raio ρ: Bρ(a) = {x ∈ Rn | ‖x− a‖ < ρ } = B(a; ρ)
(ii) Bola fechada de centro em a e raio ρ: Bρ(a) = {x ∈ Rn | ‖x− a‖ ≤ ρ } = B[a; ρ]
(iii) Esfera de centro em a e raio ρ: Sρ(a) = {x ∈ Rn | ‖x− a‖ = ρ } = S[a, ρ]
Caso particular (Bola e esferas unitárias no plano)
• Norma Euclideana: ‖(x, y)‖ =
√
x2 + y2
B1(0) = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1 }
• Norma do Máximo: ‖(x, y)‖M = max(|x|, |y|)
B1(0) = { (x, y) ∈ R2 | |x| ≤ 1 e |y| ≤ 1 }
• Norma da Soma: ‖(x, y)‖Σ = |x|+ |y|
B1(0) = { (x, y) ∈ R2 | |x|+ |y| ≤ 1 }
2.2 Conjuntos Convexos
Definição 2. Sejam a, b ∈ Rn. O segmento de reta de extremos a e b é o conjunto
[a, b] = {x ∈ Rn |x = tb+ (1− t)a ; 0 ≤ t ≤ 1 }
Definição 3. O conjunto C ⊂ Rn é convexo se para cada par a, b ∈ C tem-se [a, b] ⊂ C.
Teorema 2. Toda bola (aberta ou fechada) em Rn é convexa
Prova:
�
Exemplo: Os conjuntos
C1 = R2 − {(0, 0)} e C2 = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x2}
não são convexos.
Definição 4 (Conjuntos limitados). Seja A ⊂ Rn. Dizemos que A é limitado se ∃k > 0 tal que
‖x‖ ≤ k, ∀x ∈ A
ou seja, se ∃k > 0 : A ⊂ Bk(0) .
Se A for limitado considerando a norma ‖ · ‖, então será limitado considerando a norma ‖ · ‖M ou ‖ · ‖Σ
3 Conjuntos abertos
Definição 5 (Ponto interior). Sejam A ⊂ Rn e a ∈ A. Dizemos que a é um ponto interior de A se ∃ρ > 0 tal que
Bρ(a) ⊂ A
O interior de A, denotado por int(A) =
o
A, é o conjunto dos pontos interiores de A, ou seja,
int(A) = {x ∈ A | x é um ponto interior de A } ⊂ A
Definição 6. Seja A ⊂ Rn. Dizemos que A é aberto se todos seus pontos são interiores, isto é, se
∀x ∈ A, ∃ρ > O : Bρ(x) ⊂ A
A é aberto ⇔ int(A) = A
Exemplo: Toda bola aberta Br(a) ⊂ Rn é um aberto.
Prova: Exerćıcio.
Observações:
1. int(A) é aberto
2. int(A) é o maior conjunto aberto de A, isto é,
∀B ⊂ A,Baberto ⇒ B ⊂ int(A)
3.1 Propriedades dos conjuntos abertos de Rn
1. Rn e ∅ são abertos
2. Interseção finita de abertos é aberto
3. União de uma famı́lia qualquer de abertos é aberto
Observação 1.
∞⋂
k=1
B1/k(0) = {0}
(interseção infinita de conjuntos abertos não é aberto)
3.2 Fronteira de um conjunto
Dados um conjunto A ⊂ Rn e um ponto x ∈ Rn, temos três possibilidades que se excluem mutuamente
“ou x ∈ int(A), ou x ∈ int(Ac) ou então toda bola aberta de centro em x contém pontos de A e pontos do
complementar de A ”
Definição 7. O conjunto
∂A = {x ∈ Rn | ∀r > 0, Br(x) ∩A 6= ∅ e Br(x) ∩Ac 6= ∅ }
é a fronteira de A.
Observação 2. A é aberto ⇔ ∂A ∩A = ∅
(A é aberto se, e somente se, nenhum de seus pontos é ponto de fronteira de A)
4 Sequências em Rn
Definição 8. Uma sequência em Rn é uma aplicação
x : IN → Rn
k 7→ x(k) = xk︸ ︷︷ ︸
notação
Dizemos que xk é o k-ésimo termo da sequência.
Denotaremos uma sequência por (xk)k∈IN, {xk}k∈IN ou simplesmente {x
k}.
Exemplo 1. A seqüencia {xk} definida por xk =
(
1
k ,
1
k+1
)
é uma sequência em R2.
Observação 3. Seja {xk} uma sequência em Rn. O k-ésimo termo da sequência é
xk = (xk1 , x
k
2 , · · · , xkj , · · · , xkn)
Então, para cada 1 ≤ j ≤ n temos que
{xkj } é uma sequência em R
chamada sequência das coordenadas de {xk}.
4.1 Subsequência
Seja N1 = {k1 < k2 < · · · < kj < · · · } ⊂ IN
Uma subsequência da sequência {xk} é a restrição de x a N1, isto é
x|N1 = x ◦ i,
onde
i : N1 ↪→ IN
kj 7→ kj
Notação: {xkj} é uma subsequência da sequência {xk}
Definição 9 (Sequência Limitada). Dizemos que a sequência {xk} é limitada se
∃M > 0 : ‖xk‖ ≤M, ∀k ∈ IN
ou seja
∃M > 0 : xk ∈ BM (0), ∀k ∈ IN
Observação 4. {xk} é limitada ⇔ para cada 1 ≤ j ≤ n, {xkj } é limitada em R
4.2 Limite de uma sequência
Seja {xk} uma sequência em Rn. Dizemos que a ∈ Rn é o limite de {xk} se
∀� > 0,∃k0 ∈ IN : k ≥ k0 ⇒ ‖xk − a‖ < �
ou
∀� > 0,∃k0 ∈ IN : k ≥ k0 ⇒ xk ∈ B�(a)
Nesse caso, dizemos que {xk} converge para a ∈ Rn, e escrevemos
lim
k→∞
xk = a, limxk = a, ou xk → a
Observação 5. Se @a ∈ Rn tal que limxk = a dizemos que a sequência {xk} é divergente
Note que
limxk = a ⇔ lim ‖xk − a‖ = 0
↑ ↑
convergência emRn convergência emR
Consequências imediatas da definição:
1. Se limxk = a então o limite é único
2. Se limxk = a então limxkj = a, para toda subsequência {xkj} de {xk}
3. limxk = a ⇔ toda subsequência de {xk} possui uma subsequência que converge para a
Prova: Provaremos a primeira afirmação, as outras ficam como exerćıcio.
Se xk → a e xk → b, usando que ‖a− b‖ ≤ ‖xk − a‖+ ‖xk − b‖ temos que a = b.
Teorema 3. Toda sequência convergente é limitada
Observação 6. A rećıproca do Teorema é falsa.
De fato, seja
xk =
{
e1, se k é par
e2, se k é ı́mpar
A sequência é tal que ‖xk‖ ≤ 1, ∀k ∈ IN. No entanto {xk} é divergente.
Teorema 4. Seja {xk} uma sequência em Rn, onde xk = (xk1 , · · · , xkj , · · · , xkn). Seja
a = (a1, · · · , aj , · · · , an) ∈ Rn.
Então
xk → a ⇔ xkj → aj , para cada 1 ≤ j ≤ n
Prova: (Idéia)
Propriedades dos limites Sejam as sequências:
• limxk = a• lim yk = b
• limαk = α (sequência em R)
Então
1. lim(xk ± yk) = a± b
2. limαk · xk = α · a
3. lim
〈
xk, yk
〉
= 〈a, b〉
4. lim ‖xk‖ = ‖a‖
Prova: (Idéia)
Teorema 5 (Bolzano-Weierstrass). Toda sequência limitada em Rn possui uma subsequência convergente
Definição 10 (Valor de Aderência). a ∈ Rn é valor de aderência de uma sequência {xk} ⊂ Rn, se a é o limite de alguma
subsequência de {xk}.
Observações:
1. Se {xk} é limitada, pelo Teorema de Bolzano Weierstrass, o conjunto de valores de aderência é 6= ∅
2. Se {xk} é convergente, então possui um único valor de aderência
(Lembre que xk → a ⇒ xkj → a, ∀{xkj} ⊂ {xk})
A rećıproca desta afirmação não é verdadeira. De fato, a sequência de números reais
1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5, · · · , 1, n, 1, n+ 1, · · ·
possui um único valor de aderência, a = 1, no entanto, ela não converge.
Teorema 6. Seja {xk} uma sequência limitada em Rn. Então
{xk} é convergente ⇔ {xk} possui um único valor de aderência
Seqüencia de Cauchy
A sequência {xk} ⊂ Rn é uma sequência de Cauchy se
∀� > 0,∃k0 ∈ IN : k, k′ ≥ k0 ⇒ ‖xk − xk
′
‖ < �
Observações:
1. {xk} é de Cauchy em Rn ⇔ {xkj } é de Cauchy em R, para cada 1 ≤ j ≤ n
(Lembre que {xkj } é a sequência das j-ésimas coordenadas de cada xk )
2. {xk} é de Cauchy ⇔ {xk} é convergente
3. ou seja, toda sequência de Cauchy é convergente.
	O espaço vetorial Rn
	Produto Interno e Norma
	Normas em Rn
	Conjuntos Convexos
	Conjuntos abertos
	Propriedades dos conjuntos abertos de Rn
	Fronteira de um conjunto
	Sequências em Rn
	Subsequência
	Limite de uma sequência