Questão resolvida - Resolva as seguintes integrais trigonométricas_ e) f) - Cálculo II - UFBA

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• Resolva as seguintes integrais trigonômétricas: 
 
e tan x sec x dx)∫ ( ) 3( )
 
Resolução:
 
Vamos reescrever a integral, usando uma identidade trigonométricas, para possibilitar a 
integração;
 
tan x sec x dx = dx = dx =∫ ( ) 3( ) ∫sen x
cos x
( )
( )
1
cos x2( )
∫ sen x
cos x
( )
2( )
∫sen x dx
cos x
( )
2( )
 
 u = cos x du = -sen x dx -du = sen x dx( ) → ( ) → ( )
 
Substituindo : = = - u du = - = - = - -u =∫sen x dx
cos x
( )
2( )
∫-du
u2
∫ -2 u
-2 + 1
-2+1( ) u
-1
-1
-1 1
u
 
= = sec x + c∫sen x dx
cos x
( )
2( )
1
cos x( )
( )
 
f 2cos x - 3sen x dx)∫( ( ) ( ))2
 
Resolução:
 
Desenvolvendo o quadrado, a integral fica;
 
2cos x -3sen x dx = 2cos x + 2 ⋅2cos x -3sen x + -3sen x dx∫( ( ) ( ))2 ∫ ( ( ))2 ( )( ( )) ( ( ))2
 
= 4cos x -12cos x sen x + 9sen x dx = 4cos x dx+ -12cos x sen x dx+ 9sen x dx∫ 2( ) ( ) ( ) 2( ) ∫ 2( ) ∫( ( ) ( )) ∫ 2( )
 
4cos x dx+ -12cos x sen x dx+ 9 sen x dx = 4 cos x dx-12 cos x sen x dx+ 9 sen x dx∫ 2( ) ∫( ( ) ( )) ∫ 2( )) ∫ 2( ) ∫ ( ) ( ) ∫ 2( ))
 
Vamos resolver, separamente, cada integral;
 
 
(Resposta)
1) 
4 cos x dx; ∫ 2( )
reescrevendo a integral, usando a identidade trigonométrica : cos x =2( )
1 + cos 2x
2
( )
 
4 cos x dx = 4 dx = 1 + cos 2x dx = 2 1 + cos 2x dx∫ 2( ) ∫1 + cos 2x
2
( ) 4
2
∫( ( )) ∫( ( ))
 
= 2 1 + cos 2x dx = 2 1dx + 2 cos 2x dx = 2x + 2 cos 2x dx∫( ( )) ∫ ∫ ( ) ∫ ( )
 
Resolvendo, separadamente : 2 cos 2x dx; u = 2x du = 2dx = dx∫ ( ) → → du
2
substituindo : 2 cos 2x dx = 2 cos u = cos u du = 1 ⋅ sen 2x = sen 2x∫ ( ) ∫ ( )du
2
2
2
∫ ( ) ( ) ( )
 
Somando os 2 resultados, fica : 4 cos x dx = 2x + sen 2x∫ 2( ) ( )
 
2)
-12 cos x sen x dx = - 12 sen x cos x dx; t = sen x dt = cos x dx∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) → ( )
 
-12 sen x cos x dx = - 12 tdt = - 12 = - 6t = - 6sen x∫ ( ) ( ) ∫ t
2
2
2 2( )
 
3)
9 sen x dx;∫ 2( ))
 
reescrevendo a integral, usando a identidade trigonométrica : cos x =2( )
1 - cos 2x
2
( )
 
9 cos x dx = 9 dx = 1 - cos 2x dx = 1 - cos 2x dx∫ 2( ) ∫1 - cos 2x
2
( ) 9
2
∫( ( )) 9
2
∫( ( ))
 
= 1 - cos 2x dx = 1dx - cos 2x dx = x - cos 2x dx
9
2
∫( ( )) 9
2
∫ 9
2
∫ ( ) 9
2
9
2
∫ ( )
 
Resolvendo, separadamente : - cos 2x dx; u = 2x du = 2dx - = dx
9
2
∫ ( ) → → du
2
 
 
substituindo : - cos 2x dx = - cos u = - cos u du = - ⋅ sen 2x = - sen 2x9
2
∫ ( ) 9
2
∫ ( )du
2
9
2 ⋅ 2
∫ ( ) 9
4
( )
9
4
( )
 
juntando os 2 resultados, fica : 9 sen x dx = x - sen 2x∫ 2( )) 9
2
9
4
( )
 
Finalmente, unindo os resultados obtidos nas 3 integrais, temos resultado final da integração;
 
2cos x - 3sen x dx = 2x + sen 2x - 6sen x + x + sen 2x + c∫( ( ) ( ))2 ( ) 2( ) 9
2
9
4
( )
 
2cos x - 3sen x dx = x + sen 2x - 6sen x + c∫( ( ) ( ))2 4 + 9
2
4 - 9
4
( ) 2( )
 
2cos x - 3sen x dx = x- sen 2x - 6sen x + c∫( ( ) ( ))2 13
2
5
4
( ) 2( )
 
 
(Resposta)