Questão resolvida - Resolva as seguintes integrais trigonométricas_ c) d) - Cálculo II - UFBA

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• Resolva as seguintes integrais trigonômétricas: 
 
c tan x dx)∫ 3( )
 
Resolução:
 
Vamos reescrever a integral, usando uma identidade trigonométricas, para possibilitar a 
integração;
 
tan x dx = tan x tan x dx∫ 3( ) ∫ 2( ) ( )
 
Identidade : tan x = sec x - 12( ) 2( )
 
tan x dx = tan x tan x dx = sec x - 1 tan x dx = tan x sec x dx - tan x dx∫ 3( ) ∫ 2( ) ( ) ∫ 2( ) ( ) ∫ ( ) 2( ) ∫ ( )
 
Resolvendo as integrais resultantes separadamente, temos;
1)
tan x sec x dx; u = tan x du = sec x dx∫ ( ) 2( ) ( ) → 2( )
 
Assim : tan x sec x dx = udu = =∫ ( ) 2( ) ∫ u
2
2
tan x
2
2( )
2)
 
tan x dx = dx; t = cos x dt = -sen x dx -dt = sen x dx∫ ( ) ∫sen x
cos x
( )
( )
( ) → ( ) → ( )
 
com isso : -dt = - dt = - ln t = - ln cos x = ln cos x = ln = ln sec x∫1
t
( ) ∫1
t
( ) ( ( )) -1( )
1
cos x( )
( ( ))
 
Substituindo os resultados encontrados no desmembramento da integral primeira, fica;
 
tan x dx = - ln sec x = + ln sec x = + ln∫ 3( ) tan x
2
2( )
( ( ))
tan x
2
2( )
-1( )
tan x
2
2( ) 1
sec x( )
 
 
 
tan x dx = + ln = + ln ⋅∫ 3( ) tan x
2
2( ) 1
1
cos x( )
tan x
2
2( ) 1
1
cos x
1
( )
 
tan x dx = + ln cos x + c∫ 3( ) tan x
2
2( )
( ( ))
 
 
d dx)∫ sec x
tan x
2( )
5( )
 
Resolução:
 
A solução da equação se começa pela substituição: ; com isso:u = tan x du = sec x dx( ) → 2( )
 
dx = = = u du = + c = + c = - + c∫ sec x
tan x
2( )
5( )
∫sec x dx
tan x
2( )
5( )
∫du
u
5
∫ -5 u
-5 + 1
-5+1( ) u
-4
-4 1
4u4
 
dx = - + c = - + c ∫ sec x
tan x
2( )
5( )
1
4tan x4( )
cotg x
4
4( )
 
 
(Resposta - c)
(Resposta - b)