Simulado_ Atividades de Aprendizagem I

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QUESTÃO 1
Encontre o valor médio de f(x,y,z) = xyz sobre o cubo no primeiro octante
limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 2, y = 2 e z = 2.
A) 8
B) -8
C) 1
D) -1
Resposta
Valor médio da função:
𝐹 = ∭𝑄 𝐹 𝑥,𝑦,𝑧( ) 𝑑𝑉𝑉
• O volume do cubo do 1º octante é dado por
𝑉 = 2 × 2 × 2
𝑉 = 8 𝑢. 𝑣.
• Calculando a integral tripla da função sobre o cubo:
∭𝑄 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧( ) 𝑑𝑉
= ∭𝑄 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑉
=
0
2
∫
0
2
∫
0
2
∫ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
0
2
∫
0
2
∫ 𝑥𝑦 × 𝑧
2
2 |0
2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
0
2
∫
0
2
∫ 𝑥𝑦 × 2
2
2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
0
2
∫
0
2
∫ 𝑥𝑦 × 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
0
2
∫
0
2
∫ 𝑥 × 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
=
0
2
∫ 𝑥 × 𝑦2|
0
2 𝑑𝑥
O valor médio da função sobre o cubo é
𝐹 = ∭𝑄 𝐹 𝑥,𝑦,𝑧( ) 𝑑𝑉𝑉
𝐹 = 88
𝐹 = 1
QUESTÃO 2
Qual o volume sob a curva f(x,y) = x + y delimitada pelo retângulo [0,1] × [0,2]?
A) 5
B) 1
C) 3
D) 7
RESPOSTA
QUESTÃO 3
Calcular o valor da integral dupla ∫∫R (x − 3y2) dA, onde, R = {(x,y)/0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y
≤ 2}:
A) −8
B) 12
C) 10
D) −12
Resposta
QUESTÃO 4
As integrais duplas são usadas para calcular o volume abaixo de uma
superfície, e podem ser calculadas pelo processo das somas de Riemann ou
utilizando o Teorema de Fubini.
Sabendo disso, determine o volume do sólido que se encontra abaixo do
plano 3x + 2y + z = 12 e acima do retângulo R = {(x,y)/0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 3}:
A) 952
B) 50
C) 922
D) 895
RESPOSTA
QUESTÃO 5
Chamado de Teorema da Divergência, estabelece uma relação entre uma
integral tripla sobre um sólido W com uma integral de superfície em sua
fronteira. Esse teorema é um dispositivo de cálculo para modelos físicos tais
como o fluxo de fluidos, fluxos de campos elétricos ou magnéticos e calor.
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta esse teorema:
A) Teorema de Newton.
B) Teorema de Gauss.
C) Teorema da Conexão.
D) Teorema da Iteração.
RESPOSTA
QUESTÃO 6
Assinale a alternativa correta quanto ao cálculo de integrais duplas:
A) A resolução de uma integral dupla ocorre pelo Teorema de Newton
B) A ordem em que a integral dupla é calculada não modifica o resultado
alcançado
C) A integral dupla não possui as mesmas propriedades da integral
simples
D) O cálculo da área da integral dupla ocorre através do Teorema de
Newton
QUESTÃO 7
Por integração dupla, a área da região limitada por y = x2 e y = √x, em unidades
de área é igual a:
A) 7/6.
B) 5/6.
C) 1/3.
D) 2/3.
QUESTÃO 8
Uma curva é o lugar geométrico de uma função vetorial, em que essa função
vetorial representa o vetor posição. Suponha que dois carros estão se
movendo segundo os vetores posição:
Sabendo o vetor posição em relação ao tempo dos dois carros, determine se
é possível os dois carros se chocarem.
A) Sim, quando t = 1000.
B) Não.
C) Sim, quando t = 127.
D) Sim, quando t = 10.
QUESTÃO 9
A função vetor tangente a uma curva trata-se de um conjunto de vetores que
indicam os sentidos que a curva toma ao longo de seu percurso. A imagem a
seguir lida com esta definição, fazendo uma associação com o vetor
velocidade.
É de conhecimento também que a norma do vetor tangente “mede” a
intensidade (comprimento) do vetor tangente. Desta forma, dada a
parametrização (sen(t), cos(t), t), assinale a opção que apresenta corretamente
o comprimento de seu vetor tangente.
A) 1.
B) 2.
C) √2.
D) 1/2.
QUESTÃO 10
No cálculo vetorial, o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o
sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado,
obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da
qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Em
particular, pode-se descrever um campo de temperaturas, conforme o
GRADIENTE DE TEMPERATURAS.
Assim, dado o campo escalar T(x,y,z) = x2 y + y3 z, analise as sentenças e
assinale a opção CORRETA:
I. O gradiente de temperatura, aponta para a direção de maior taxa de
variação da temperatura.
II. O gradiente de temperatura é a função
III. O gradiente aplicado no ponto P(1,2,1) é o vetor (4,3,2).
IV. O gradiente aplicado no ponto P(1,2,1) é o vetor (4,13,8).
A) Apenas II e III estão corretas.
B) Apenas I, II e IV estão corretas
C) Apenas I e II estão corretas.
D) Apenas III e IV estão corretas.