Lista 2 gabarito

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Colégio Militar de Curitiba 
Matemática 2º Ano do Ensino Médio 
Exercícios de Revisão – Análise Combinatória – Lista 2 
Professores: Eder e Paulo Cesar Gabarito comentado 
 
 
 
1. (EsPCEx Mod) Num determinado setor de um hospital, trabalham 3 médicos e 10 
enfermeiras. Calcule o número de equipes distintas, constituídas cada uma de 1 
médico e 4 enfermeiras, que podem ser formadas nesse setor. 
Observe que temos duas escolhas a fazer, que não importa a ordem: Escolher o médico e 
escolher as enfermeiras. 
✓ Escolher o médico: Temos três possibilidades, que pode ser representado por C3,1. 
✓ Escolher as enfermeiras: Observe que temos 10 enfermeiras e dessas serão 
escolhidas 3. Como não tem cargos específicos, a ordem das escolhidas não 
interessa. Nesse caso, temos 𝐶10.3 =
10!
(10−3)!.3!
=
10.9.8.7!
7!.3.2.1
= 120 
Assim, o número total de equipes distintas que pode ser formado é dado por: 
𝐶3,1 × 𝐶10,3 = 3 × 120 = 360 
 
 
2. (EsPCEx Mod) Sete livros didáticos, cada um de uma disciplina diferente, devem ser 
posicionados lado a lado em uma estante, de forma que os livros de Física, de 
Química e de Matemática estejam sempre juntos, nesta ordem. Calcule o número de 
maneiras diferentes em que esses livros podem ser posicionados. 
Observe que, como os livros de FÍSICA, QUIMICA e MATEMÁTICA devem estar 
juntos, e nessa ordem, podemos considerar como sendo apenas um só. 
FQM L1 L2 L3 L4 
Assim, basta fazer a permutação desse “5 livros” (consideramos o pacote FQM como 
sendo um só). Assim: 
𝑃5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
 
3. (EsPCEx Mod) Para se ter acesso a um arquivo de computador, é necessário que o 
usuário digite uma senha de 5 caracteres, na qual os três primeiros são algarismos 
distintos, escolhidos de 1 a 9, e os dois últimos caracteres são duas letras, distintas 
ou não, escolhidas dentre as 26 do alfabeto. Assim, calcule o número de senhas 
diferentes, possíveis de serem obtidas por esse processo. 
Observe que a senha deve ter 5 caracteres, sendo 3 algarismos numéricos distintos, 
entre 1 e 9, e duas letras escolhidas entre as 26 do alfabeto. 
N N N L L 
✓ 1º caractere: 9 possibilidades (1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9); 
✓ 2º caractere: 8 possibilidades, pois excluímos a que foi usada anteriormente; 
✓ 3º caractere: 7 possibilidades, pois excluímos as duas usadas anteriormente; 
✓ 4º caractere: 26 possibilidades, das 26 letras 
✓ 5º caractere: 26 possibilidades, pois as letras podem ser distintas ou não. 
Assim, temos 9.8.7.26.26= 340704 senhas possíveis 
 
 
 
Colégio Militar de Curitiba Análise Combinatória 
Professores: Eder e Paulo Cesar Gabarito comentado 
 
 
4. Uma equipe de remo composta de oito pessoas deve ser formada 
para a disputa de uma competição. O barco é composto de oito 
lugares, sendo quatro à direita e quatro à esquerda. Sabe-se que 
dois dos remadores só podem ficar do lado direito e que um outro 
remador só pode ficar do lado esquerdo. De quantos modos pode 
ser escalada a tripulação deste barco? 
Lembrando que sempre devemos observar as restrições inicialmente. Observe: “dois dos 
remadores só podem ficar do lado direito e que um outro remador só pode ficar do lado 
esquerdo.” 
✓ O primeiro remador que só pode ficar do lado direito terá 4 possibilidades. 
Escolhido um dos lugares restam 3 lugares do lado direito e os 4 do lado esquerdo. 
✓ O segundo remador que só pode ficar do lado direito terá 3 possibilidades. 
Escolhido um dos lugares restam 2 lugares do lado direito e os 4 do lado esquerdo. 
✓ O primeiro remador que só pode ficar do lado esquerdo terá 4 possibilidades. 
Escolhido um dos lugares restam 3 lugares do lado esquerdo e os 2 restantes do 
lado direito. 
✓ Temos agora 5 remadores sem restrição que podem escolher os 5 lugares restantes. 
Isso pode ser feito de 5! maneiras diferentes. 
Assim, o total de possibilidades que pode ser escalada a tripulação desse barco é dada 
por: 
4 × 3 × 4 × 5! = 4 × 3 × 4 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5760 
 
5. (ENEM Mod) Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o 
itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o 
voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as 
poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as 
mostradas em branco. 
 
Calcule o número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo 
Observe que temos 7 pessoas para ocupar 9 lugares, ou seja, dos 9 lugares vagos devemos 
usar 7 lugares. Por outro lado, sentar-se em lugares distintos muda a disposição na escolha 
formada (sentar-se na janela é diferente de sentar-se no corredor). Assim temos um caso 
de arranjo de 9 elementos tomados 7 a 7. 
𝐴9,7 =
9!
(9 − 7)!
=
9.8.7.6.5.4.3.2!
2!
= 181440 
 
6. Dispondo dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, determine: 
a. a quantidade de números três algarismos que podemos formar. 
Observe que nesse caso não temos a necessidade de ser distintos. Assim, temos: 
✓ Algarismo das centenas, 6 possibilidades (1, 2, 3, 4, 5, 6) 
✓ Algarismo das centenas, 7 possibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
✓ Algarismo das centenas, 7 possibilidades (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) 
Assim temos 6.7.7 = 294 possibilidades 
 
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b. a quantidade de números de três algarismos distintos que podemos formar. 
Observe que nesse caso temos a necessidade de ser distintos. Assim, temos: 
✓ Algarismo das centenas, 6 possibilidades (escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6). O 
algarismo escolhido não pode ser usado na sequência. 
✓ Algarismo das centenas, 6 possibilidades (escolhidos entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 – 
retirando o escolhido anteriormente). Os dois algarismos já escolhidos não podem 
ser usados na sequência. 
✓ Algarismo das centenas, 5 possibilidades (escolhidos entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 – 
retirando os dois escolhidos anteriormente) 
Assim temos 6.6.5 = 180 possibilidades 
 
c. a quantidade de números pares de três algarismos distintos que podemos 
formar. 
Nesse caso temos duas restrições a considerar: O algarismo das centenas não pode ser 
zero e o algarismo das unidades deve ser escolhidos entre 0, 2, 4 ou 6. Observe: 
• Algarismo das unidades pode ser 0 ou 2 ou 4 ou 6 
• Algarismo das centenas pode ser 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 
• No algarismo das dezenas não temos restrição (a não ser o fato de ser 
distinto), ou seja, pode ser 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. 
Devemos separar o problema em dois: os que possuem unidade igual zero ou os que 
possuem unidade 2 ou 4 ou 6. 
✓ Se a unidade for zero, temos: 
o 1 possibilidade para unidade, 6 possibilidades para a centena e 5 
possibilidades para a dezena. Ou seja 1.6.5=30 
✓ Se a unidade for 2 ou 4 ou 6, temos: 
o 3 possibilidades para a unidade, 5 possibilidades para a centena e 5 
possibilidades para a dezena. Ou seja 3.5.5=75 
Assim, o total será dado por 1.6.5 + 3.5.5 = 30 + 75 = 105 
 
7. (ENEM Mod) O governador de um estado propõe a ampliação de investimentos em 
segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de 
lei prevê que se tenha a presença de três agentes mulheres, distribuídas entre os 6 
vagões de uma composição, de forma que duas dessas agentes não estejam em vagões 
adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários. Calcule a quantidade de 
maneiras distintas das três agentes serem distribuídas nos vagões. 
Solução comentada: Observe que podemos escolher os vagões para distribuir as 
agentes nos vagões, respeitando a condição de que não podem ocupar vagões 
adjacentes das seguintes formas: 
SIM SIM SIM 
Vagão 1 Vagão 2 Vagão 3 Vagão 4 Vagão 5 Vagão 6 
 
SIM SIM SIM 
Vagão 1 Vagão 2 Vagão 3 Vagão 4 Vagão 5 Vagão 6 
 
SIM SIM SIM 
Vagão 1 Vagão 2 Vagão 3 Vagão 4 Vagão 5 Vagão 6 
 
 SIM SIM SIM 
Vagão 1 Vagão 2 Vagão 3 Vagão 4 Vagão 5 Vagão 6 
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Professores: Eder e Paulo Cesar Gabarito comentado 
 
 
Assim, temos 4 possibilidades de escolher a disposição dos agentes nos vagões. 
Para cada uma dessas disposições temos 3! Maneiras para escolher as agentes a serem 
dispostas nos vagões. Assim a resposta seja 4. 3! = 4.6 = 24 
 
 
8. Para ir de uma cidade A até uma cidade B, existem dois percursos, passando pela 
cidade C ou pela cidade D. Os caminhos possíveis estão indicados no esquema 
abaixo. Quantas são as possibilidades de sair da cidade A e chegar à cidade B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que temos duas escolhas independentes a fazer: 
✓ Saindo de A, passando por C até chegar em B. Isso pode ser feito de 3.5=15 
possibilidades 
✓ Saindo de A, passando por D até chegar em B. Isso pode ser feito de 5.2=10 
possibilidades. 
Assim, o total será dado por 3.5 + 5.2 = 15+10 = 25 possibilidades 
 A 
 C D 
 B