LÓGICO E FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Prévia do material em texto

1 
/;.////L,/ 
LÓGICO E FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
2 
 
NOSSA HISTÓRIA 
 
 
A nossa história inicia com a realização do sonho de um grupo de empre-
sários, em atender à crescente demanda de alunos para cursos de Graduação 
e Pós-Graduação. Com isso foi criado a nossa instituição, como entidade ofere-
cendo serviços educacionais em nível superior. 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a 
participação no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua for-
mação contínua. Além de promover a divulgação de conhecimentos culturais, 
científicos e técnicos que constituem patrimônio da humanidade e comunicar o 
saber através do ensino, de publicação ou outras normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma 
confiável e eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base 
profissional e ética. Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições 
modelo no país na oferta de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, 
excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
LÓGICO E FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA ............................................... 1 
NOSSA HISTÓRIA ............................................................................................. 2 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................ 4 
1. COMO SURGIU A MATEMÁTICA .............................................................. 5 
2. FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA ........................................................ 11 
3. TIPOS DE CONHECIMENTO NA TEORIA PIAGETIANA ........................ 13 
3.1 CONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁTICO ....................................... 14 
3.2 A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO .............................. 15 
3.3 CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁTICO NA 
EDUCAÇÃO INFANTIL. ................................................................................ 16 
3.4 O PAPEL DO PROFESSOR NO CONHECIMENTO LÓGICO-
MATEMÁTICO .............................................................................................. 17 
4. LÓGICA MATEMÁTICA ............................................................................ 18 
REFERÊNCIA .................................................................................................. 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
file:///C:/Users/b_bic/OneDrive/Área%20de%20Trabalho/LOGICOS%20E%20FUNDAAMENTOS%20DA%20MATEMATICA.docx%23_Toc68961715
 
 
 
4 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
A Matemática, como a conhecemos hoje, surgiu no Antigo Egito e no Im-
pério Babilônico, por volta de 3500 a.C. 
Porém, na pré-história, os seres humanos já usavam os conceitos de con-
tar e medir. 
Por isso, a matemática não teve nenhum inventor, mas foi criada a partir 
da necessidade das pessoas em medir e contar objetos. 
 Matemática é uma ciência que relaciona a lógica com situações práticas 
habituais. Ela desenvolve uma constante busca pela veracidade dos fatos por 
meio de técnicas precisas e exatas. Ao longo da história, a Matemática foi sendo 
construída e aperfeiçoada, prosseguindo em constante evolução, investigando 
novas situações e estabelecendo relações com os acontecimentos cotidia-
nos. 
O conhecimento lógico-matemático está fundamentado à luz da teoria de 
Jean Piaget. Tendo como objetivo de estudo o conhecimento, Piaget procurou 
explicar o processo de construção de conhecimento a partir da organização de 
estruturas internas na mente da criança, isto é, a ação que ocorre de dentro para 
fora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
1. COMO SURGIU A MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
A matemática surge a partir da relação do ser humano com a natureza. 
Na pré-história, o homem primitivo necessitava medir a distância entre 
fontes de água ou para saber se seria capaz de capturar um animal, etc. 
Posteriormente, a partir do momento em que se tornou sedentário, preci-
sou saber a quantidade de alimentos que necessitaria para comer. Também de-
veria entender como e quando ocorriam as estações do ano, pois isso significava 
saber em que época deveriam plantar e colher. 
Desta forma percebemos que a matemática nasce com a própria humani-
dade. 
 
 
 
Origem da Matemática 
 
 
 
6 
No mundo ocidental, a Matemática tem sua origem no Antigo Egito e no 
Império Babilônico, por volta de 3500 a.C. 
Ambos os impérios desenvolveram um sistema de contagem e medição a 
fim de poder cobrar impostos dos seus súditos, organizar o plantio e a colheita, 
construir edificações, entre outras funções. 
Outros povos americanos, como os incas e astecas, também criaram um 
sistema de contagem sofisticado com os mesmos objetivos. 
 
 
 
 
Matemática no Antigo Egito 
 
 
 
7 
A história do Egito está intimamente ligada com o rio Nilo, pois o povo 
egípcio precisava aproveitar as vantagens das suas cheias. 
Assim, é ali que se desenvolveram modelos para determinar o tamanho 
das terras. Para isso, eles usaram partes do corpo humano para estabelecer 
medidas como os pés, o antebraço e o braço. 
Igualmente, elaboraram uma escrita onde cada símbolo correspondia 10 
ou a múltiplos de 10. Importante lembrar que este sistema corresponde aos dez 
dedos que temos nas mãos. 
Observe abaixo o sistema de numeração egípcia: 
 
 
 
 
8 
Os egípcios empregaram a matemática para observar os astros e criar o 
calendário que usamos no mundo ocidental. 
A partir do movimento do Sol e da Terra, eles distribuíram os dias em doze 
meses ou 365 dias. Igualmente, estabeleceram que um dia tem duração aproxi-
mada de vinte e quatro horas. 
 
Matemática no Império Babilônico 
A formação da matemática na Babilônia está ligada à necessidade con-
trolar os impostos arrecadados. 
Os babilônicos não utilizaram o sistema decimal, pois não usavam apenas 
os dedos das mãos para contar. Eles se serviam das falanges da mão direita e 
continuavam a contagem na mão esquerda, e assim contabilizavam até 60. 
Este sistema é chamado sexagenal e é a origem da divisão das horas e 
dos minutos em 60 partes. Até hoje, dividimos um minuto por 60 segundos e uma 
hora, por 60 minutos. 
Por sua vez, os babilônicos criaram um sistema de numeração cuneiforme 
e o escreviam os símbolos em tábuas de argila. 
Veja a tabela abaixo com números babilônicos: 
 
 
 
 
 
 
9 
Matemática na Grécia Antiga 
A matemática na Grécia Antiga engloba o período do séc. VI a.C. até o 
séc. V d.C. 
Os gregos usaram a matemática tanto para fins práticos como para fins 
filosóficos. Aliás, um dos requisitos do estudo da filosofia era o conhecimento da 
matemática, especialmente da geometria. 
Eles teorizaram a respeito da natureza dos números, classificando-os em 
pares e ímpares, primos e compostos, números amigos e números figurados. 
Desta maneira, os gregos conseguiram fazer da matemática uma ciência 
com teoria e princípios. Vários matemáticos gregos criaram conceitos que são 
ensinados até hoje como o Teorema de Pitágoras ou o Teorema de Tales. 
 
Matemática na Roma Antiga 
Os romanos continuaram a aplicar todas as descobertas dos gregos em 
suas construções, como os aquedutos, na enorme rede de estradas ou no sis-
tema de cobrança de impostos. 
Os números romanos eram simbolizados por letras e seu método de mul-
tiplicação facilitou o cálculo de cabeça. Atualmente, os números romanos estão 
presentes nos capítulos de livros e para indicar os séculos. 
Veja abaixo os algarismos e sua equivalência escrita em números roma-
nos: 
 
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-pitagoras/
 
 
 
10 
Matemática na Idade Média 
Durante o período conhecido como Alta Idade Média, a matemática foi 
confundida com superstição e não era um campo do saber valorizado pelos es-
tudiosos. 
No entanto, isso se modifica a partir do séc. XI. Porisso, longe de ser uma 
"idade as trevas", neste período os seres humanos continuaram a produzir co-
nhecimento. 
Um dos mais destacados matemáticos foi o uzbeque Al-Khowârizmî, que 
traduziu as obras de matemática dos hindus para a Casa da Sabedoria, em 
Bagdá. Suas obras popularizaram entre os árabes os números como os escre-
vemos hoje. 
Acredita-se que os comerciantes árabes os apresentaram aos europeus 
através de suas transações comerciais. 
 
Idade Moderna 
Na Idade Moderna, foram estabelecidos os sinais de adição e subtração, 
expostos no livro "Aritmética Comercial" de João Widman d'Eger, em 1489. 
Antes, as somas eram indicadas pela letra "p", da palavra latina "plus". 
Por outro lado, a subtração era sinalizada pela palavra "minus" e mais tarde, sua 
abreviação "mus" com um traço em cima. 
A matemática acompanhou as mudanças que as ciências passaram no 
período conhecido como Revolução Científica. 
Um dos grandes inventos será a calculadora, realizada pelo fran-
cês Blaise Pascal. Além disso, ele escreveu sobre geometria no seu "Tratado do 
Triângulo Aritmético" e sobre fenômenos físicos teorizados no "Princípio de Pas-
cal", sobre a lei das pressões num líquido. 
Igualmente, o francês René Descartes contribuiu para o aprofundamento 
da geometria e do método científico. Suas reflexões ficaram expostas no livro 
"Discurso do Método", onde defendia o uso da razão e da comprovação mate-
mática para chegar à conclusões sobre a causa dos fenômenos naturais. 
https://www.todamateria.com.br/blaise-pascal/
https://www.todamateria.com.br/descartes/
 
 
 
11 
Por sua parte, o inglês Isaac Newton descreveu a lei da gravidade através 
dos números e da geometria. Suas ideias consagraram o modelo heliocêntrico e 
até hoje são estudadas como as Leis de Newton. 
 
Matemática da Idade Contemporânea 
Com a Revolução Industrial, a matemática se desenvolveu de forma ex-
traordinária. 
As indústrias e as universidades se tornaram um vasto campo para o es-
tudo de novos teoremas e invenções de todo tipo. 
Na álgebra, os matemáticos se debruçaram no desenvolvimento de reso-
lução de equações, quatérnios, grupos de permutações e grupo abstrato. 
Já no século XX, as teorias de Albert Einstein reformularam o que se en-
tendia como Física. Deste modo, os matemáticos viram-se diante de novos de-
safios para expressar em número as ideias do genial cientista. 
A teoria da relatividade supôs uma nova perspectiva sobre a compreen-
são do espaço, do tempo e mesmo do ser humano. 
 
 
2. FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 
 
 
https://www.todamateria.com.br/albert-einstein/
 
 
 
12 
 
Denomina-se fundamentos da matemática a uma área de estudo que 
abrange tanto problemas da filosofia da matemática, como da lógica e 
da matemática. Ela teve a sua origem nas últimas décadas do século XIX e 
desenvolveu-se durante as primeiras décadas do século XX, como uma resposta 
à crise dos fundamentos gerada pelos paradoxos. Do ponto de vista lógico, tem 
como questão fundamental as relações entre a lógica e a matemática. Do ponto 
de vista matemático abrange pesquisas nas áreas de lógica matemática, teoria 
de conjuntos, teoria dos tipos, teoria de modelos, teoria da prova, teoria da 
recursão e topologia. 
Como ramo de estudo, está intimamente ligado com educação 
matemática que tenta descobrir quais são os axiomas e as definições mais 
elementares da matemática, e que regras de inferência são aceitáveis ao se 
trabalhar com tais axiomas. Suas principais vertentes são o Intuicionismo, 
o Formalismo e o Logicismo. 
Fundamentos da matemática é uma expressão cujo significado consiste 
no estudo de conceitos básicos da matemática, como números, figuras 
geométricas, conjuntos, funções, e como eles formam hierarquias de conceitos 
e estruturas mais complexas, especialmente estruturas importantes 
da linguagem matemática (teorias como a dos modelos, propondo um 
significado para fórmulas, definições, provas, algoritmos). Também 
chamado conceitos da metamatemática, com um olhar para os aspectos 
filosóficos e da unidade matemática. A pesquisa por fundamentos da matemática 
é uma questão central da filosofia da matemática; a abstração da natureza dos 
objetos da matemática presenteia especialmente desafios filosóficos. 
Os fundamentos da matemática são como um todo que não contém os 
fundamentos de todos os tópicos matemáticos. Geralmente, os fundamentos de 
um campo de estudo se debruça mais ou menos em analisar sistematicamente 
os mais básicos ou conceitos fundamentais, essa concepção unitária e a sua 
ordem natural de hierarquia de conceitos, que pode ajudar a juntar com o resto 
do conhecimento humano. O desenvolvimento, aparição e esclarecimento de 
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Filosofia_da_matem%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XIX
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9culo_XX
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Paradoxo
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_conjuntos
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_conjuntos
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_tipos
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_modelos
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Teoria_da_prova
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Recursividade
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Recursividade
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Topologia_(matem%C3%A1tica)
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Educa%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Educa%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Axiomas
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Regras_de_infer%C3%AAncia
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Intuicionismo
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Formalismo
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Logicismo
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Figura_geom%C3%A9trica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Conjunto
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)
https://pt.m.wikipedia.org/w/index.php?title=Linguagem_matem%C3%A1tica&action=edit&redlink=1
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_modelos
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_matem%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Defini%C3%A7%C3%A3o
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Prova_matem%C3%A1tica
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Algoritmo
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Metamatem%C3%A1tica
 
 
 
13 
fundamentos pode aparecer depois em um campo da história, e pode ser visto 
por qualquer um que esteja muito interessado nessa parte. 
A procura sistemática dos fundamentos da matemática começou no fim 
do século XIX e formou uma nova disciplina da matemática chamada lógica 
matemática, que tem fortes ligações com a teoria da computação. Ela trouxe 
uma crise de pensamentos sobre resultados paradoxos, até as descobertas 
serem estabilizadas durante o século XX como uma grande e coerente vertente 
do conhecimento matemático com aspectos rígidos ou componentes (teoria dos 
conjuntos, teoria dos modelos, teoria da prova...), que detalharam propriedades 
e possíveis variantes sendo ainda um ativo campo de pesquisa. Seu alto nível 
de técnicas sofisticadas inspirou muitos filósofos a supor que ela pode servir 
como um modelo ou exemplo de fundamentos de outras ciências. 
 
 
 
3. TIPOS DE CONHECIMENTO NA TEORIA PIAGE-
TIANA 
Piaget caracteriza três tipos de conhecimento: o conhecimento físico, o 
conhecimento social e o conhecimento lógico-matemático. 
 
CONHECIMENTO FÍSICO 
Adquirimos o conhecimento físico através da observação dos objetos, é 
quando identificamos a cor, o tamanho ou até mesmo quando percebemos que 
se soltarmos o objeto ele cairá no chão. 
 
CONHECIMENTO SOCIAL 
É o conhecimento adquirido com a interação com outras pessoas, saber 
a diferença entre um cachorro e um cavalo, ou saber que as cadeiras servempara sentar são conhecimentos adquiridos por transmissão de pessoa para pes-
soa. 
https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Teoria_da_computa%C3%A7%C3%A3o
 
 
 
14 
As interferências de outras pessoas são necessárias para que a criança 
adquira conhecimento físico e social, mas, além disso, é necessário que a cri-
ança tenha “uma estrutura lógico-matemática para sua assimilação e organiza-
ção”. 
 
3.1 CONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁTICO 
 
 
 
 
 
Segundo Piaget, o conhecimento lógico-matemático consiste em coorde-
nar relações, para ele ao comparar objetos à criança cria mentalmente relações 
de diferença e de igualdade. Por exemplo, se entregarmos para uma criança 
uma bola vermelha e uma azul ao identificar a cor temos conhecimento físico, 
ao identificar o nome bola temos o conhecimento social e ao estabelecer rela-
ções entre a bola vermelha e a azul verificando suas semelhanças e a sua dife-
rença de cor a criança constrói o pensamento lógico-matemático. A relação de 
igualdade ou diferença é criada mentalmente ao relacionar os dois objetos. 
O avanço do conhecimento lógico-matemático ocorre na medida em que 
a criança ao juntar duas bolas de cores diferentes percebe que ela terá mais que 
cores diferentes ela terá duas bolas. 
 
 
 
15 
 
Sobre a natureza da construção de conhecimento, Piaget reconhecia duas fon-
tes: a fonte externa que seria o conhecimento físico e o conhecimento social e a 
fonte interna que seria o conhecimento lógico-matemático. 
A respeito dos dois tipos de abstração das propriedades, a partir dos ob-
jetos, ao construir o conhecimento físico e o lógico-matemático, Piaget utilizou 
dois termos: abstração empírica que é quando a criança, ao observar um objeto, 
abstrai uma propriedade e ignora a outra, e a abstração reflexiva que implica a 
construção de relações entre os objetos e não é observável. A abstração refle-
xiva se dá por construções feitas pela mente da criança. 
 
3.2 A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE NÚMERO 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 Desde muito cedo os números participam da vida da criança seja em brin-
quedos, em mostrar os dedinhos para representar quantos números tem. Toda 
criança gosta de mostrar que sabe contar. De acordo com a teoria de Piaget o 
princípio básico de conservação do número é o princípio da conservação que é 
a habilidade da criança, por meio de seu pensamento, saber que o número de 
um conjunto de objetos independe de seu arranjo espacial. A criança constrói o 
número por meio da abstração reflexiva, na medida em que ela coloca todos os 
objetos, eventos e ações em todos os tipos de relações. 
Para Piaget a construção do número é uma síntese de dois tipos de rela-
ções: a ordem que é criada mentalmente pela criança, para assegurar que não 
deixará de contar nenhum objetou que não contará o mesmo objeto, duas, três, 
quatro vezes e a inclusão hierárquica que é quando a criança inclui mentalmente 
o “um” em “dois”, o “dois” e “três”, o “três” em “quatro” e assim por diante. 
Concluindo a construção do número se dá por meio da organização es-
trutural interna, o pensamento da criança, e, portanto, não é observável. 
 
3.3 CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO LÓGICO-MATEMÁ-
TICO NA EDUCAÇÃO INFANTIL. 
 
 
 
 
 
17 
O conhecimento matemático não se constitui num conjunto de fatos a se-
rem memorizados. Aprender números é mais que contar, muito embora a conta-
gem seja importante para a compreensão do conceito de número. As ideias ma-
temáticas que as crianças constroem na educação infantil serão de grande im-
portância em toda a sua vida escolar e cotidiana. 
Uma proposta de trabalho com a matemática deve encorajar a exploração 
de uma grande variedade de ideias matemáticas, não apenas numéricas, mas 
também aquelas relativas à geometria, as medidas e as noções de estatística, 
de forma que as crianças desenvolvam e conservem com prazer uma curiosi-
dade acerca da matemática adquirindo diferentes formas de perceber a reali-
dade. 
No ensino de matemática, o mais importante é o desenvolvimento do pen-
samento lógico-matemático e da autonomia da criança. O pensamento lógico-
matemático é fruto de construções internas que se dão na mente de cada um, e 
não tem como serem treinadas ou transmitidas. 
 
3.4 O PAPEL DO PROFESSOR NO CONHECIMENTO LÓGICO-
MATEMÁTICO 
 
 
 
 
 
18 
Geralmente as crianças já sabem contar quando chegam à escola, e a 
grande maioria dos professores apenas realiza exercícios de escrita dos nume-
rais e de correspondência entre eles e conjuntos. No entanto, contar de memória 
é diferente de contar com o significado, o que exige uma estrutura lógico-mate-
mática construída pela criança. 
O papel do professor é planejar boas atividades de aprendizagem. Por 
exemplo, ao trabalhar com situações problemas os alunos estarão envolvidos 
com a essência da atividade matemática e estarão utilizando diversas habilida-
des para resolvê-las, como formulação de resultados, argumentação de pontos 
de vista, desta forma, acaba por construir um conhecimento contextualizado. 
Contextualizar o aprendizado da criança e fazer com que ele se amplie é 
um grande desafio do professor, é uma das funções sociais da escola fazer com 
que o conhecimento cotidiano fique melhor. As brincadeiras infantis possibilitam 
explorar ideias referentes a numero de um modo diferente do convencional, pois 
brincar é mais do que uma atividade lúdica é um modo de obter informações, 
além de aquisição de hábitos e atitudes importantes. 
 
 
4. LÓGICA MATEMÁTICA 
 
A lógica matemática analisa determinada proposição buscando identifi-
car se representa uma afirmação verdadeira ou falsa. 
A princípio, a lógica era ligada à filosofia, tendo sido iniciada por Aristóte-
les (384-322 a.C.) que se baseava na teoria do silogismo, ou seja, em argumen-
tações válidas. 
A lógica só passou a ser uma área da Matemática a partir dos trabalhos 
de George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-1871), quando eles 
apresentaram os fundamentos da lógica algébrica. 
Essa mudança de paradigma tornou a lógica matemática uma importante 
ferramenta para a programação de computadores. 
 
 
 
 
 
19 
 
 
Proposições 
As proposições são palavras ou símbolos que expressam um pensamento 
com um sentido completo e indicam afirmações de fatos ou de ideias. 
Essas afirmações assumem valores lógicos que podem ser verdadeiros 
ou falsos e para representar uma proposição usualmente utilizamos as le-
tras p e q. 
São exemplos as proposições: 
 O Brasil está localizado na América do Sul. (proposição verdadeira). 
 A Terra é um dos planetas do sistema solar. (proposição verdadeira). 
 .(proposição verdadeira). 
 A Terra é plana. (proposição falsa). 
 . (proposição falsa) 
Considerando a lógica matemática, uma proposição não pode ser ao 
mesmo tempo verdadeira e falsa. Além disso, não existe a possibilidade de uma 
terceira situação diferente de verdadeiro ou falso. 
 
 
 
20 
As proposições podem ser simples, quando apresentam apenas uma sen-
tença, e compostas quando são formadas pela combinação de duas ou mais 
proposições simples. 
"O céu é azul" é um exemplo de proposição simples, já a sentença "O céu 
é azul e as nuvens são brancas" é um exemplo de proposição composta. 
 
Conectivos 
As proposições simples que formam uma proposição composta são liga-
das por elementos que são chamados de conectivos. Além disso, também po-
demos utilizar conectivos para modificar uma proposição. 
Na proposição "O céu é azul e as nuvens são brancas" o elemento e é um 
conectivo que une duas proposições, já na proposição "O céu não é azul" o co-
nectivo não modifica a proposição. 
 
Tabela Verdade 
Quando temos proposições compostas, os valores lógicos resultantes de-
pendem única e exclusivamente dos valores de cada proposição simples. 
Diante disso, utilizamos um dispositivo chamado tabela verdade ou tabela 
de verdade, onde são colocados os valores decada proposição e de acordo com 
os conectivos presentes chegamos ao valor lógico final. 
Em uma tabela verdade, o número de linhas e de colunas dependerá da 
quantidade de proposições simples que formam a proposição composta, sendo 
que em cada coluna é colocada uma proposição. 
Abaixo apresentamos a tabela verdade para duas, três e quatro proposi-
ções: 
https://www.todamateria.com.br/tabela-verdade/
 
 
 
21 
 
 
Operações Lógicas 
As operações feitas a partir de proposições são chamadas de operações 
lógicas. Este tipo de operação segue as regras do chamado cálculo proposicio-
nal. 
As operações lógicas fundamentais são: negação, conjunção, disjunção, 
condicional e bicondicional. 
 
Negação 
Esta operação representa o valor lógico oposto de uma dada proposição. 
Desta forma, quando uma proposição é verdadeira, a não proposição será falsa. 
Com o objetivo de indicar a negação de uma proposição colocamos o 
símbolo ~ na frente da letra que representa a proposição, assim, ~p significa a 
negação de p. 
Exemplo 
 
 
 
22 
p: Minha filha estuda muito. 
~p: Minha filha não estuda muito. 
Como o valor lógico da não proposição é o inverso da proposição, teremos 
a seguinte tabela verdade: 
 
 
Conjunção 
A conjunção é utilizada quando entre as proposições existe o conec-
tivo e. Esta operação será verdadeira quando todas as proposições forem ver-
dadeiras. 
O símbolo utilizado para representar essa operação é o ^, colocado entre 
as proposições. Desta forma, quando temos p ^ q, significa "p e q". 
Desta forma, a tabela verdade desse operador lógico será: 
 
Exemplo: 
Sendo p: 3 + 4 = 7 e q: 2 + 12 = 10 qual o valor lógico de p ^ q? 
 
Solução 
A primeira proposição é verdadeira, mas a segunda é falsa. Portanto, o 
valor lógico de p e q será falso, pois esse operador só será verdadeiro quando 
ambas as sentenças forem verdadeiras. 
 
 
 
23 
Disjunção 
Nesta operação, o resultado será verdadeiro quando pelo menos uma das 
proposições é verdadeira. Sendo assim, será falso apenas quando todas as pro-
posições forem falsas. 
A disjunção é usada quando entre as proposições existe o conectivo ou e 
para representar esta operação é usado o símbolo v entre as proposições, as-
sim, p v q significa "p ou q". 
Levando em consideração que se uma das proposições for verdadeira o 
resultado será verdadeiro, temos a seguinte tabela verdade: 
 
 
Condicional 
A condicional é a operação realizada quando na proposição utiliza-se o 
conectivo se... então.... Para representar esse operador usamos o símbolo →. 
Assim, p → q significa "se p, então q". 
O resultado desta operação só será falso quando a primeira proposição 
for verdadeira e a consequente for falsa. 
É importante ressaltar que uma operação condicional não significa que 
uma proposição é a consequência da outra, o que estamos tratando é apenas 
de relações entre valores lógicos. 
Exemplo 
Qual o resultado da proposição "Se um dia tem 20 horas, então um ano 
tem 365 dias"? 
Solução 
 
 
 
24 
Sabemos que um dia não tem 20 horas, logo essa proposição é falsa, 
também sabemos que um ano tem 365 dias, logo essa proposição é verdadeira. 
Desta forma, o resultado será verdadeiro, pois o operador condicional só 
será falso quando a primeira for verdadeira e a segunda falsa, que não é o caso. 
A tabela verdade para esse operador será: 
 
 
Bicondicional 
O operador bicondicional é representado pelo símbolo e indica uma 
proposição do tipo ...se e somente se.... Portanto, significa "p se e so-
mente se q", ou seja, p é condição necessária e suficiente para q. 
Ao usar esse operador, a sentença será verdadeira quando as proposi-
ções forem ambas verdadeiras ou ambas falsas. 
Os possíveis resultados que podemos encontrar ao usar esse operador 
estão na tabela abaixo: 
 
Exemplo 
Qual o resultado da proposição "30 = 2 se somente se 2 + 5 = 3"? 
 
 
 
25 
Solução 
A primeira igualdade é falsa, pois 30 = 1 e a segunda também é falsa (2 + 
5 = 7), desta maneira, como ambas são falsas, então, o valor lógico da proposi-
ção é verdadeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
REFERÊNCIA 
 
BERNARDO, M. V. C. RE – VENDO A FORMAÇÃO DO PROFESSOR SECUNDÁRIO 
NAS UNIVERSIDADES DO ESTADO DE SÃO PAULO. TESE (DOUTORADO EM PSICOLO-
GIA DA EDUCAÇÃO) PUC, SÃO PAULO, 1986. 
 
BICUDO, M. A. V. & ESPÓSITO, V. H.C. PESQUISA QUALITATIVA EM EDUCA-
ÇÃO. SÃO PAULO: ED. UNIMEP, 1994, 233P. 
 
BICUDO, M. A. V. A CONTRIBUIÇÃO DA FENOMENOLOGIA PARA Á EDUCAÇÃO. IN: 
 
BICUDO, M. A. V (ORG). FENOMENOLOGIA UMA VISÃO ABRANGENTE DA EDUCA-
ÇÃO. SÃO PAULO: OLHO D’ÁGUA, 1999. P. 11-51. 
 
BICUDO, M. A. V. FENOMENOLOGIA: CONFRONTOS E AVANÇOS. SÃO PAULO: 
CORTEZ, 2000. 167 167 P. 
 
BOYER, C.B. HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. TRADUÇÃO ELZA F. GOMIDE. 2A ED. 
SÃO PAULO: EDGAR BHICHER LTDA. 1996, 496P. 
 
DANYLUK, O. ALFABETIZAÇÃO MATEMÁTICA: AS PRIMEIRAS MANIFESTAÇÕES DA 
ESCRITA INFANTIL. 2ª ED. PORTO ALEGRE: EDIUPF, 1998. 239 P. 
 
DAVIS, P.J. & HERSH, R. A EXPERIÊNCIA MATEMÁTICA. RIO DE JANEIRO. ED. 
FRANCISCO ALVES, 1985. P. 359-386. 
 
 
 
27 
EVES, H. INTRODUÇÃO A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA. TRADUÇÃO DE HYGINO H. 
DOMINGUES CAMPINAS: ED. UNICAMP, 1995. 843P.. 
 
FIORENTINI, D.; MIORIM, A. M.& MIGUEL, A. CONTRIBUIÇÕES PARA UM 
REPENSAR.A EDUCAÇÃO ALGÉBRICA ELEMENTAR. PRO-POSIÇÕES, CAMPINAS, V.4, 
N.1, P.78-91, MAR.1993. 
 
HEIDEGGER, M. SER E TEMPO. 15ª ED. PETRÓPOLIS: ED. VOZES. 2005. 325 P. 
KLUTH, V. S. ESTRUTURAS DA ÁLGEBRA – INVESTIGAÇÃO FENOMENOLÓGICA SO-
BRE A CONSTRUÇÃO DO SEU CONHECIMENTO. TESE (DOUTORADO EM EDUCAÇÃO 
MATEMÁTICA) – INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E CIÊNCIAS EXATAS, UNESP, RIO 
CLARO, 2005. 
 
MACHADO, N. J. MATEMÁTICA E LÍNGUA MATERNA: ANÁLISE DE UMA 
IMPREGNAÇÃO MÚTUA. 2. ED. SÃO PAULO: CORTEZ, 1990. 115 P. 
 
MACHADO, N. J. MATEMÁTICA E REALIDADE. 3 ED. SÃO PAULO: CORTEZ, 1991. 
103 P. 
 
MARTINS, J. & BICUDO, M. A. V. PESQUISA QUALITATIVA EM PSICOLOGIA: 
FUNDAMENTOS E RECURSOS BÁSICOS. SOCIEDADE DE ESTUDOS E PESQUISAS 
QUALITATIVOS. SÃO PAULO: ED. MORAES, 1989.110P. 
 
 
 
 
28 
MIGUEL, A., FIORENTINI, D. & MIORIM, A. M. ÁLGEBRA OU GEOMETRIA: PARA 
ONDE PENDE O PÊNDULO? PRÓ-POSIÇÕES, CAMPINAS, VOL. 3, P. 15-35, N° 1, 
1992. 
 
MILIES, F. C. P., HISTÓRIA DA ÁLGEBRA. DISPONÍVEL EM: WWW.BIE-
NASBM.UFBA.BR:/M18.PDF+MILIES+HIST%C3%B3RIA+DA+%C3%81LGEBRA 
&HL=PTR&CT=CLNK&CD=2&GL=BR&LR=LANG_PT. ACESSADO EM 04 DE MAI. 
2008. 
 
MOREIRA, P. C. E DAVID, M. M. M. S., A FORMAÇÃO MATEMÁTICA DO 
PROFESSOR. LICENCIATURA E PRÁTICA DOCENTE ESCOLAR. BELO HORIZONTE: ED. 
AUTÊNTICA, 2005. 114 P 
 
OLIVEIRA, V. C. A. SOBRE A PRODUÇÃO DE SIGNIFICADO PARA A NOÇÃO DE 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR EM ÁLGEBRA LINEAR. DISSERTAÇÃO (MESTRADO EM 
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA) – INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E CIÊNCIAS EXATAS, 
UNESP, RIO CLARO, 2002. 
 
SILVA, J. J., FILOSOFIAS DA MATEMÁTICA. SÃO PAULO: ED. DA UNESP, 2007. 
 239 P. 
 
SNAPPER, E. AS TRÊS CRISES DA MATEMÁTICA: O LOGICISMO, O INTUICIONISMO 
E O FORMALISMO. REVISTA HUMANIDADES, VOLUME II, N. 8, P. 85-93, JUL-SET. 
1984. 
 
 
 
29 
UFRGS, UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL. VAN DER WAERDEN. 
DÍSPONÍVEL EM: HTTP://WWW.MAT.UFRGS.BR/~PORTOSIL/VANDERW.HTML). ACES-
SADO EM 04 DE ABRIL DE 2008. 
 
ULBRICHT, V. R. CAMINHANDO NO TEMPO COM A GEOMETRIA. DISPONÍVEL EM: 
<EPARTAMENTOS.UNICAN.ES/DIGTEG/INGEGRAF/CD/PONENCIAS/48.PDF>. ACESSO 
EM 12 DE JUN . 2006.