roteiro-densidade

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Universidade de Braśılia
Instituto de F́ısica
Roteiros de Experimentos p/ F́ısica
Experimental p/ Ciências Agrárias
Braśılia
18 de janeiro de 2021
Conteúdo
1 Elaboração e Interpretação de Gráficos 2
1.1 Regras que devem ser seguidas na construção de gráficos . . . . . . . . 2
1.2 Obtenção de informações a partir de um gráfico . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Gráficos bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Prinćıpio de Arquimedes 9
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Densidade Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Densidade Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Empuxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.4 Leitura dos volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Materiais Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Procedimentos Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 Determinando as massas das moedas . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2 Construindo a proveta de bebedouro de pássaros . . . . . . . . . 14
2.4.3 Medidas do volume associado à massa de uma sequência de moedas 15
2.5 Resultados Experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.1 Análise dos Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
A Transformação de Unidades 19
Caṕıtulo 1
Elaboração e Interpretação de
Gráficos
Uma lei da f́ısica é uma relação de causa e efeito entre dois eventos. Se os eventos
são mensuráveis, a lei da f́ısica resultante expressará relações entre grandezas f́ısicas que
podem ser representadas através de uma equação. Uma das formas de obter a relação
matemática entre grandezas f́ısicas é a análise das relações de dependência através da
construção de gráficos.
1.1 Regras que devem ser seguidas na construção
de gráficos
1. Uma tabela de dados deve conter os valores da variável independente (aquela que
se está variando no experimento e portanto, adquire valores pré-determinados)
e da variável dependente correspondente (aquela que depende ou se mede em
função do parâmetro que está sendo variado no experimento).
Exemplo:
Tabela 1.1: Coleta de dados experimentais: Representação da posição de um corpo em
função do tempo.
t (s) 1,0 ± 0,1 2,0 ± 0,1 ,30 ± 0,1 4,0 ± 0,1 5,0 ± 0,1
S (cm) 6,7 ± 0,2 9,3 ± 0,2 12,3 ± 0,2 14, ± 0,2 17,8 ± 0,2
2
3
2. O gráfico deve ocupar a maior parte da folha de papel. Mas primeiramente, deve
refletir a acuidade dos valores experimentais, como mostra a figura 1.1 (a).
(a) Posição na folha. (b) Definindo a escala.
Figura 1.1: Primeiros passos para construir um gráfico.
3. Os valores da variável independente devem ser lançados ao longo da escala das
abcissas (eixo x); Os valores da variável dependente ao longo da escala das orde-
nadas (eixo y).
4. Os eixos devem ser traçados com linhas visualmente destacadas, as grandezas e
unidades indicadas ao longo dos eixos (figura 1.2 (a)).
5. As escalas devem ser definidas ao longo dos eixos, ou seja, as divisões da escala
devem ser destacadas de modo a facilitar visualmente as subdivisões. Para faci-
litar as leituras, busque usar múltiplos e submúltiplos de 10. Veja a figura 1.2
(a).
6. Nunca escrever os valores dos dados nos eixos coordenados (figura 1.2 (b)). Ex-
ceto se estes coincidirem com os valores que definem a escala.
(a) Exemplo de marcação correta. (b) Exemplo de marcação errada.
Figura 1.2: Como fazer as marcações das escalas nos eixos.
4
7. Cada ponto, ou seja, o par de ordenadas deve ser marcado com o intervalo de
incerteza correspondente a cada uma das grandezas, como mostra a figura 1.3. As
barras de erro que demarcam os intervalos de incerteza devem ser representadas
quando estas forem maiores do que a menor divisão da escala do gráfico.
Figura 1.3: Exemplo de marcação correta dos pontos e suas barras de erro.
8. Uma curva suave deve ser traçada de forma a passar dentro do intervalo estabe-
lecido pelas barras de erro. A curva não precisa passar por todos os pontos, mas
deve ser traçada levando em conta a tendência dos pontos.
Figura 1.4: Traçando a curva.
5
9. Todo gráfico deve ter um t́ıtulo, conter uma legenda quando necessário, deve ser
numerado e comentado no texto.
Figura 1.5: Posição de um corpo em função do tempo conforme tabela 1.1, em escala
linear.
1.2 Obtenção de informações a partir de um gráfico
Uma das vantagens do uso de um gráfico é a simplicidade com que novas in-
formações podem ser obtidas através da observação de suas formas.
1.2.1 Gráficos bilineares
Se o gráfico, como no exemplo anterior, resulta numa reta, espera-se que as gran-
dezas representadas sejam relacionadas por uma equação que tem a forma da equação
genérica de uma reta
y = a+ bx (1.1)
onde a é o parâmetro linear e b é o parâmetro angular.
O parâmetro angular deve ser calculado como a inclinação f́ısica da reta, dada
6
por:
b =
y2 − y1
x2 − x1
. (1.2)
Utilizando o gráfico 1.5 como exemplo, temos
b =
S2 − S1
t2 − t1
(1.3)
onde (t1, S1) e (t2, S2) são dois pontos quaisquer que pertencem à reta traçada, não
são pontos da tabela de dados experimentais. O parâmetro linear a é o ponto
onde a reta corta o eixo y. Em t = 0 o valor de S corresponde ao valor de a.
No presente exemplo, foram escolhidos no gráfico 1.5 os pontos
P1 = (1, 6; 8, 3) e P2 = (3, 6; 13, 8).
Então, o parâmetro angular b é determinado
b =
13, 8− 8, 3
3, 6− 1, 6
=
5, 5
2, 0
= 2, 75 (1.4)
e escreve-se b = 2, 75 cm/s. E quando
t = 0 → S = 3, 9
que, segundo a equação 1.5, nós dá a = 3, 9 cm. A unidade de a é a mesma da grandeza
S.
Para determinar o número correto de algarismos significativos de a e b deve-se
estimar o erro destes parâmetros a partir do gráfico.
Quando num gráfico os pontos são representados por uma barra de erro, que indica
a margem de credibilidade dos pontos, existe mais de uma reta que passa por todas as
barras de erro.
7
Para estimar a incerteza na determinação da inclinação e do ponto de corte
procede-se da seguinte maneira:
� Traça-se uma reta com inclinação máxima (bmax) e em seguida, traça-se uma reta
com inclinação mı́nima (bmin), como mostra a figura 1.6
Figura 1.6: Representação das retas de máxima (verde) e mı́nima (azul) inclinação.
� Escolha dois pontos aleatórios sobre cada reta de inclinação, em destaque nas
figuras 1.7a e 1.7b
(a) Reta de inclinação máxima (verde). (b) Reta de inclinação mı́nima (azul).
Figura 1.7: Determinação das inclinações máxima e mı́nima das retas de máxima e
mı́nima inclinação.
� Calcula-se as inclinações máxima e mı́nima usando a expressão 1.2
bmax = 2, 9 e bmin = 2, 6
8
� Para determinar a incerteza associada a inclinação ∆b, usa-se os valores encon-
trados no item anterior:
∆b =
(bmax − bmin)
2
=
(2, 9− 2, 6)
2
= 0, 15 ∼= 0, 2
� Faca a leitura estimada, na figura 1.6, dos pontos de corte das retas de inclinação
máxima (amax = 3, 5) e mı́nima (amin = 4, 2);
� Determine a incerteza associada ao ponto de corte ∆a, usando-se os valores en-
contrados no item anterior:
∆a =
|(amax − amin)|
2
=
|(3, 5− 4, 2)|
2
= 0, 35 ∼= 0, 4
Assim, os valores encontrados para os parâmetros linear e angular foram: a = (3, 9 ±
0, 4) e b = (2, 8 ± 0, 2), respectivamente. Portanto, a equação que rege o fenômeno
pode ser escrita como
S(t) = [(3, 9± 0, 4)cm] + [(2, 8± 0, 2)cm/s]× t (1.5)
onde a posição inicial do corpo é 3,9 cm e 2,8 é a sua velocidade, como mostra a figura
1.8.
Figura 1.8: Posição de um corpo em função do tempo conforme tabela 1.1, em escala
linear.
Caṕıtulo 2
Prinćıpio de Arquimedes
2.1 Introdução
2.1.1 DensidadeAbsoluta
A densidade absoluta ou massa volumétrica, ρ, é a razão entre a massa de um
corpo e seu volume. A densidade absoluta é representada matematicamente pela for-
mula:
ρ =
m
V
(2.1)
e sua unidade no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o quilograma por metro
cúbico (kg/m3). A unidade cgs, grama por cent́ımetro cúbico (g/cm3), também é
muito empregada.
O fator de conversão entre ambas é 1 g/cm³=1000 kg/m³.
A densidade absoluta é também uma propriedade espećıfica, isto é, cada substância
pura tem uma densidade própria, que a identifica e a diferencia das outras substâncias.
Um material pode ter um grande volume e apresentar pouca massa, como é o caso dos
isolantes térmicos. Já há substâncias que em um pequeno volume concentram elevada
massa, estas têm então uma densidade elevada. A Tabela 2.1 traz a densidade absoluta
de algumas substâncias.
Intuitivamente é esperado que o aumento na temperatura de uma determinada
quantidade de matéria leve ao aumento do seu volume, em função da dilatação oca-
sionada pela maior separação dos átomos e moléculas. Ao contrário, ao se diminuir
a temperatura espera-se uma contração desse volume. Um contra exemplo de uma
substância bastante comum no nosso cotidiano é a água.
A densidade da água à pressão normal (1 atm) e à temperatura de 25 ◦C, é de
1.00 g/cm3. A densidade máxima da água (1.03 g/cm3) ocorre aos 4 ◦C. Já para a água
no estado sólido, em temperaturas abaixo de 0 ◦C, sua massa volumétrica é inferior
9
10
Tabela 2.1: Densidade absoluta aproximada de algumas substâncias.
Densidade Densidade
Material (g/cm3) Material (g/cm3)
ar (1 atm, 20◦C) 1.20 ×103 platina 21.5
água 1.00 chumbo 11.3
água do mar 1.03 cobre 8.9
gelo 0.92 latão 8.6
óleo 0.80 ferro, aço 7.80
álcool et́ılico 0.79 madeira (ipê) 0.79
àquela apresentada pela água no estado ĺıquido (0.92 g/cm3). Esse fenômeno se explica
pelas diferentes estruturas formadas pelas moléculas da água no estado sólido, como
consequência do aumento médio das distâncias intermoleculares em comparação ao
estado ĺıquido. Consequentemente, a mesma massa de água ĺıquida no estado sólido
(gelo) ocupará um volume maior - a água solidificada se expande.
2.1.2 Densidade Relativa
A densidade relativa, d, de um material é a relação entre a sua densidade absoluta
e a densidade absoluta de uma substância estabelecida como padrão. No cálculo da
densidade relativa (que é adimensional) de sólidos e ĺıquidos, o padrão usualmente
escolhido é a densidade absoluta da água que é igual a 1000 kg/m3 a 4◦C,
d =
ρ
ρ0
, ρ0 = ρH2O (2.2)
No caso de gases, a densidade relativa é determinada em relação à densidade absoluta
do ar ou do hidrogênio.
11
2.1.3 Empuxo
Neste experimento os alunos deverão determinar a densidade de sólidos através
de medidas apenas do peso do objeto dentro e fora da água. Para isso, deverão fazer
uso do prinćıpio de Arquimedes.
O prinćıpio de Arquimedes, lei f́ısica da flutuabilidade, foi descoberta pelo ma-
temático grego antigo e inventor Arquimedes, que afirma que
”qualquer corpo completa ou parcialmente submerso em um fluido (gás ou ĺıquido)
em repouso é influenciado por uma força ascendente, chamada Empuxo (E), cuja
magnitude é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo”(Figura 2.1).
Figura 2.1: Prinćıpio de Arquimedes - representação das forças que agem em um objeto
submerso em um fluido.
O volume de fluido deslocado é equivalente ao volume do objeto totalmente imerso
no fluido ou a essa fração do volume abaixo da superf́ıcie para um objeto parcialmente
submerso (Figura 2.2). Um esquema das forças presentes sobre um corpo em equiĺıbrio
quando imerso em água pode ser verificado abaixo:
Figura 2.2: Prinćıpio de Arquimedes - representação das forças que agem em um objeto
submerso em um fluido
A densidade de um sólido pode ser determinada pesando-o cuidadosamente e em
seguida determinando seu volume. Se o sólido apresentar uma forma irregular (o que
12
torna imposśıvel medir suas dimensões), o volume poderá ser determinado utilizando
um método de deslocamento.
2.1.4 Leitura dos volumes
(a) Representação do menisco. (b) Leitura de volumes em frascos graduados.
Figura 2.3: Instruções para leitura de volumes em frascos graduados.
Basicamente, determina-se a massa de uma amostra do sólido e então transfere-se
quantitativamente essa massa para um instrumento volumétrico graduado apropriado
(ex: proveta ou bureta), parcialmente cheio com água (ou em algum ĺıquido no qual
o sólido não flutue). O sólido deslocará um volume de ĺıquido igual ao seu volume.
Assim, ao anotar a posição do menisco (Figura 2.2) antes e depois da adição do sólido,
o volume poderá ser deduzido.
2.2 Objetivos
Verificar a validade do prinćıpio de Arquimedes. Determinar a densidade do
material que é empregado na fabricação de moedas de Real, através da análise gráfica,
e a partir dos resultados, discutir alguns conceitos como a densidade e o Empuxo.
2.3 Materiais Utilizados
Os materiais necessários para a realização desse experimento são:
� moedas de 5, 10 ou 50 centavos de Real;
� bebedouro para pássaros de plástico transparente com graduação de 1 mL, com
abertura suficiente para entrada de moedas;
13
Figura 2.4: Materiais empregados
� caneta para marcar plástico;
� copo ciĺındrico de acŕılico transparente ou cilindro graduado;
� fita adesiva
� seringa de plástico com graduação de 0.2 em 0.2 mL;
� pedaço de trena e papel milimetrado.
14
2.4 Procedimentos Experimentais
2.4.1 Determinando as massas das moedas
Para a comparação do erro entre o valor exato da densidade das moedas e o valor
obtido no experimento proposto por nós, foram determinadas as massas das moedas de
0.05, 0.10, 0.25 e 0.50 centavos de Real, todas da segunda famı́lia de moedas brasileiras,
com uma balança digital com precisão de 0.01 g. Os valores obtidos foram registrados
na Tabela 2.2
Tabela 2.2: Medidas das massas das moedas de Real.
Número Massas das moedas (g)
de medidas R$ 0.05 R$ 0.10 R$ 0.25 R$ 0.50
1 4.05 4.82 7.46 7.80
2 4.06 4.79 7.52 7.80
3 4.01 4.82 7.60 7.88
4 4.02 4.86 7.51 7.75
5 4.07 4.80 7.61 7.70
6 4.02 4.78 7.65 7.76
7 4.01 4.86 7.66 7.81
8 4.04 4.86 7.56 7.92
9 4.05 4.86 7.56 7.75
10 4.07 4.78 7.65 7.81
m
∆minst
∆male
m±∆m
Os resultados das medidas de cada massa deve ser escrito segundo a teoria de
erros como m = (m±∆m) u onde, m é o valor médio, ∆m é o erro experimental e u
é a unidade da medida. Com essas medidas, utilize as regras de propagação de erros
para determinar o erro experimental (∆m). Utilize os valores determinados na Tabela
2.2, de acordo com o tipo de moeda escolhida, para a realização do experimento.
2.4.2 Construindo a proveta de bebedouro de pássaros
1. Retire a tampa do bebedouro.
2. Vire-o de cabeça para baixo e prenda o fundo na tampa do bebedouro, de modo
que não se mova.
3. Adicione água no bebedouro até aproximadamente a metade de sua capacidade
total.
15
4. Se o bebedouro adquirido não for graduado, com o aux́ılio da seringa, adicione
1.0 mL de água no bebedouro (já com o referencial definido), marcando a altura
obtida com uma caneta.
5. Repita este procedimento sucessivas vezes até o volume final de água adicionada
de 20.0 mL.
6. Assim, o bebedouro ficou parecido com uma “proveta de laboratório” (Figura
2.5).
(a) (b)
Figura 2.5: Provetas de baixo custo: (a) bebedouro de pássaros e (b) copo de acŕılico.
2.4.3 Medidas do volume associado à massa de uma sequência
de moedas
1. Utilize a massa média de cada moeda de Real calculada anteriormente usando os
dados da tabela 2.2.
2. Registre qual é a moeda e sua respectiva massa média com o devido erro na
tabela 2.3.
3. Preencha a proveta com água. Ajuste o menisco e zerar (colocar em um volume
definido), anotando em seguida a leituradeste volume inicial com o devido erro
na tabela 2.3.
4. Introduza uma moeda de um dos valores estudados (com sua massa média pre-
viamente obtida) na proveta (sugestão: incline a proveta num ângulo de aproxi-
madamente 30º ao introduzir a amostra, para evitar o impacto entre a amostra
e o fundo da proveta e para impedir que parte da água espirre para fora)
16
5. Anote o novo volume deslocado, com relação ao volume inicial, na tabela 2.3.
(sugestão: anote o novo volume após bater levemente na lateral da proveta algu-
mas vezes para eliminar bolhas de ar que eventualmente tenham ficado retidas
na superf́ıcie da amostra).
6. Repita esse passo para um número total de 10 medidas com moedas de um mesmo
valor, sempre com adições consecutivas.
Tabela 2.3: Sugestão de registro das medidas do volume deslocado pelas moedas de
Real.
Moeda m = m±∆m Vi(mL) = Vi ±∆Vi
R$ 0.25 m = Vi =
Número Quantidade Massa total (g) de Volume deslocado
de medidas de moedas moedas adicionadas (mL)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ρ±∆ρ
Este procedimento, de medição do volume deslocado por uma série de moedas ao
invés da medida do volume de cada moeda individualmente, diminui o erro das
medidas, aproximando a determinação da densidade do seu valor real.
17
7. Repita os passos de 1 a 6, descritos acima, para uma outra moeda de Real de
material diferente, como por exemplo a moeda de R$ 0.50 centavos.
Tabela 2.4: Sugestão de registro das medidas do volume deslocado pelas moedas de
Real.
Moeda m = m±∆m Vi(mL) = Vi ±∆Vi
R$ 0.50 m = Vi =
Número Quantidade Massa total (g) de Volume deslocado
de medidas de moedas moedas adicionadas (mL)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ρ±∆ρ
2.5 Resultados Experimental
1. Para cada tipo de moeda, construa o gráfico da massa em função do volume
deslocado em papel milimetrado, conforme as instruções do Caṕıtulo 1.
2. Por meio da medida da inclinação da reta do gráfico (α), determine a densidade
da moeda, ρ, pela relação:
ρ = tgα =
∆x
∆y
=
∆m
∆V
(2.3)
2.5.1 Análise dos Resultados
Através a análise dos gráficos:
1. O gráfico é uma reta?
2. Qual é a forma geral que equaciona as variáveis m e V ?
3. Determine os valores e as unidades do parâmetro linear e do parâmetro angular.
18
4. Qual é o significado f́ısico de cada parâmetro?
5. Qual foi a equação obtida experimentalmente para representar a relação entre m
e V ?
6. Com os valores determinados pelo gráfico estime o valor da densidade das moedas.
7. Compare a densidade calculada para a moeda escolhida com as densidades dis-
pońıveis na Tabela 2.1.
8. Infira de que material é feita a moeda utilizada no seu experimento.
Apêndice A
Transformação de Unidades
Tabela A.1: Transformação de unidades utilizadas nesse experimento.
Massa Volume
1000 g = 1 kg 1 m3 = 1000 dm3 = 1000 L
1 dm3 = 1 L = 1000 cm3
1 cm3 = 1 mL
19
Bibliografia
[1] https://www.anpm.org.br/conheca-os-tipos-de-madeiras-utilizadas-na-producao-
dos-pisos-de-madeira-macica/
20