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Instituto de Física – UFRJ 
Relatório de Física Experimental I – Remoto 2021.1 
Turma: 15007 
Aluna A: Ana Carolina Barbosa de Barros DRE: 121100133 
Aluna B: Isadora de Oliveira Silva Campolina DRE: 121099544 
 
Experimento 2 -Medição do volume de uma moeda: Medidas 
diretas e indiretas 
Parte I: preparação para a experiência: 
Questão I 
Utilizando diferentes métodos iremos determinar o volume de uma ou mais moedas, a fim de 
observar as diferenças na produção de incertezas em acordo cada metodologia. 
 
Questão II 
 
I. Determinação do volume de um cilindro partindo da medição do diâmetro e da 
espessura: 
𝑉 = 
𝜋d2ℎ
4
 ; 
Sendo: 
 
V = a variável do volume da moeda que se deseja obter 
𝜋 = 3,14 
d = diâmetro da moeda (medida obtida no experimento) 
h = espessura da moeda (medida obtida no experimento) 
 
II. Partindo da densidade volumétrica do aço: 
𝑉 = 
𝑚
𝐷
 ; 
Sendo: 
 
V = a variável do volume da moeda que se deseja obter 
m = massa (referencial estabelecido pelo Banco Central do Brasil: 7,55g) 
D = densidade volumétrica (referencial da densidade volumétrica do aço: 7,8 ± 0,1 
g/cm3) 
 
III. Propagação da incerteza: 
(𝛿𝐹)2 = (
𝜕𝐹
𝜕𝑥1 
)
2
× (𝛿𝑥1)
2 + (
𝜕𝐹
𝜕𝑥2 
)
2
× (𝛿𝑥2)
2 + ⋯ + (
𝜕𝐹
𝜕𝑥𝑛 
)
2
× (𝛿𝑥𝑛)
2 ; 
Sendo: 
 
(𝛿𝐹)2 = Propagação da incerteza 
𝐹 = medida indireta 
𝑥𝑛 = medidas diretas 
 
IV. Incerteza relativa, exprime-se em porcentagem (%): 
Δ𝑥𝑟 = 
Δ𝑥
�̅�
 × 100 ; 
 
Sendo: 
Δ𝑥𝑟 = incerteza relativa 
∆𝑥 = incerteza absoluta 
�̅� = valor mais provável da grandeza medida 
 
V. Discrepância relativa: 
𝐷 =
|𝑥1 − 𝑥2|
𝑥2
 
Sendo: 
D = discrepância relativa 
𝑥1 = valor da experiencia 
𝑥2 = valor de referência 
 
VI. Compatibilidade de medidas: 
𝐶 =
|𝑥1 − 𝑥2|
√(𝛿𝑥1)
2 + (𝛿𝑥2)
2
< 3 
 
Sendo: 
C = compatibilidade de medidas 
𝑥1 = valor da experiencia 
𝑥2 = valor de referência 
 
Questão III 
 
1º Método: Partindo dos valores de espessura e diâmetro da moeda: 
Neste método foi medido o diâmetro da base de uma moeda e a sua espessura utilizando uma 
régua com precisão de 0,1 cm, e após a obtenção de seus devidos valores, foi aplicada a 
fórmula matemática apropriada, sendo ela a primeira formula citada na Questão II da Parte I. 
 
2º Método: Densidade volumétrica do aço: 
 
Neste método podemos utilizar uma balança para verificar a massa da moeda, no entanto, 
com a falta da mesma, foram utilizados os dados fornecidos no site do Banco Central do Brasil, 
como sugerido em aula. E após a obtenção de seus devidos valores, foi aplicada a fórmula 
matemática apropriada, sendo ela a segunda fórmula citada na Questão II da Parte I. 
 
3º Método: Deslocamento do volume de água: 
 
Já neste método foram utilizadas duas metodologias para posterior comparação de dados. Em 
ambas as metodologias foram utilizados copos nos quais foram assumidos como cilindros 
perfeitos, réguas de precisão de 0,1 cm e moedas de R$ 0,25. Na metodologia utilizada pela 
aluna A (Ana Carolina), além dos materiais citados, foi utilizado também uma seringa com 
precisão de 0,2 cm3 com o propósito de medir o volume de água que foi deslocado após o 
acréscimo das moedas ao copo. 
 
 
 
Parte II: procedimento experimental (Aluna A: Ana Carolina) 
 
Questão I 
Os resultados apresentados foram obtidos pelas medições feitas com auxílio de uma régua 
com precisão de 0,1 cm e uma seringa com precisão de 0,2 cm3. O copo utilizado no 
experimento foi escolhido a partir do seu formato, onde assumisse que ele é um cilíndrico 
perfeito. A medida encontrada no diâmetro do copo foi de 6,4 ± 0,1 cm. 
 
A água no copo tinha altura inicial de 10,00 ±0,1 cm. Ao colocar a primeira moeda, não foi 
possível observar a olho nu uma mudança no deslocamento de água, sendo assim, também 
imperceptível aos instrumentos utilizados. Ao adicionar a terceira moeda, foi observada um 
deslocamento de 0,1 cm no volume de água, em relação a altura inicial. Em seguida foram 
adicionadas mais 7 moedas (somando 10 moedas ao total), sendo possível observar a olho nu 
o deslocamento de água de 0,1 cm a cada 3 moedas adicionadas, totalizando um 
deslocamento de 0,3 ± 0,1 cm no volume de água. Após essa observação e obtenção de 
valores, foi utilizada uma seringa para verificação da variação da altura do volume de água em 
relação a sua altura inicial e foram coletados 9 ± 0,2 cm3para as 10 moedas utilizadas. 
 
Foi então aplicado a equação de volume a partir da medição do diâmetro e da espessura 
deslocada, e o volume calculado para as 10 moedas foi de 9,6 ± 0,4 cm3, e ao dividir esse valor 
para as 10 moedas, obtivemos o deslocamento de 0,96 ± 0,4 cm3para cada moeda. 
 
As fórmulas utilizadas para a obtenção dos dados do volume e da incerteza foram 
respectivamente: 
𝑉 = 
𝜋d2ℎ
4
=
3,14 ×6,42×0,3
4
= 9,6 ; 
 
(𝛿𝑉)2 = (
𝜕𝑉
𝜕𝑑 
)
2
× (𝛿𝑑)2 + (
𝜕𝑉
𝜕ℎ 
)
2
× (𝛿ℎ)2 = 
 
(𝛿𝑉) = √(
3,14 × 0,3 × 6,4
2 × 10
)
2
× (0,1)2 + (
3,14 × (6,4)2
4 × 10 
)
2
× (0,1)2 = 0,4 cm3 
 
Questão II 
 
O diâmetro da moeda foi medido com o auxílio de uma régua, a qual possui precisão de 0,1 
cm. Foi medida a espessura e o diâmetro de uma única moeda, onde foram encontrados os 
valores de 0,2 ± 0,1 cm e 2,5 ± 0,1 cm respectivamente. 
Questão III 
 
Para determinar o volume de uma moeda foram utilizadas as fórmulas do volume do cilindro e 
da propagação da incerteza: 
 
𝑉 = 
𝜋d2ℎ
4
=
3,14 ×2,52×0,2
4
= 0,98 cm3 , e 
(𝛿𝑉)2 = (
𝜕𝑉
𝜕𝑑 
)
2
× (𝛿𝑑)2 + (
𝜕𝑉
𝜕ℎ 
)
2
× (𝛿ℎ)2 = 
 
(𝛿𝑉) = √(
3,14×0,2×2,5
2 
)
2
× (0,1)2 + (
3,14×(2,5)2
4 
)
2
× (0,1)2 = 0,5 cm3. 
 
 
Parte III: resultados obtidos (Aluna A: Ana Carolina) 
Tabela 1 (Aluna A: Ana Carolina): 
Grandeza Resultado experimental Incerteza relativa 
Volume deslocado do copo (9,6 ± 0,4) cm3 0,04 (4%) 
Volume deslocado da seringa (9,0 ± 0,2) cm3 0,02 (2%) 
Espessura moeda (0,2 ± 0,1) cm 0,5 (50%) 
Diâmetro moeda (2,5 ± 0,1) cm 0,04 (4%) 
Diâmetro do copo (6,4 ± 0,1) cm 0,02 (2%) 
 
As medidas mais precisas obtidas foram as do volume deslocado com a seringa e a do 
diâmetro do copo, ambas com o valor de 0,02 (2%) de incerteza relativa, sendo que quanto 
menor é esse valor, mais precisa é a medição. 
Tabela 2 * (Aluna A: Ana Carolina): 
Método Resultado experimental Incerteza relativa 
Volume de água deslocado do copo (0,96 ± 0,4) cm3 0,4 (40%) 
Volume deslocado da seringa (0,90 ± 0,2) cm3 0,2 (20%) 
Densidade volumétrica (0,97 ± 0,1) cm 0,1 (10%) 
Espessura e área (0,98 ± 0,5) cm 0,5 (50%) 
*Os valores da Tabela 2 são referentes a 1 moeda 
A medida de volume mais precisa encontrada foi a da densidade volumétrica, uma vez que 
analisado os valores de incerteza relativa ela possui o menor valor, sendo ele de 0,1 (10%). 
As incertezas relativas foram calculadas a partir da fórmula IV indicada na Questão II da Parte I, 
segue o exemplo de cálculo do volume baseado na densidade volumétrica: 
Δ𝑥𝑟 = 
Δ𝑥
�̅�
=
0,1
0,97
= 0,1 e para encontramos a porcentagem, basta multiplicar o resultado 
por 100, assim obtemos o valor de 10% de incerteza relativa. 
 
Parte IV: discussão dos resultados (Aluna A: Ana Carolina) 
Questão I 
As moedas escolhidas foram de 25 centavos do ano de 2013. Foram utilizadas 10 moedas para 
o método que envolve medidas diretas, sendo possível observar o deslocamento a partir do 
volume de água a partir da adição da terceira moeda no copo de água. 
 
Nos métodos de volume dados pela densidade volumétrica e do volume do cilindro, foram 
utilizadas como referencial apenas uma moeda, a qual suas medidas foram obtidas a partir de 
medições realizadas com uma régua milimetrada e o valor da massa dado pelo site do Banco 
Central do Brasil. 
 
O uso de uma ou mais moedas não interfere nos resultados obtidos nos métodos, uma vez que 
a incerteza é instrumental e se mantem o mesmo valor. 
 
Questão II 
Partindo dos resultados obtidos nos métodos estudados,e suas devidas incertezas expostas na 
Tabela 2, constatasse que o cálculo do volume pela densidade do material e massa é o mais 
preciso, uma vez que possui menor incerteza relativa. 
 
Questão III 
Para verificação de qual método foi mais preciso, usaremos a fórmula da discrepância relativa 
na qual foram calculados o volume da moeda e incerteza de acordo com os dados do Banco 
Central do Brasil para valores de referência. 
 
𝑉𝑟𝑒𝑓 = 
𝜋d2ℎ
4
=
3,14 ×2,52×0,225
4
= 1,10390625 ≅ 1,1; 
 
(𝛿𝑉)2 = (
𝜕𝑉
𝜕𝑑 
)
2
× (𝛿𝑑)2 + (
𝜕𝑉
𝜕ℎ 
)
2
× (𝛿ℎ)2 = 
 
(𝛿𝑉𝑟𝑒𝑓) = √(
3,14×0,225×2,5
2 
)
2
× (0,1)2 + (
3,14×(2,5)2
4 
)
2
× (0,1)2 = 0,2 cm3 ; 
 
E calculando a discrepância relativa com os dados obtidos na Tabela 2 e o valor referencial, 
observasse que o método com valor mais exato foi o de espessura e área, com discrepância de 
0,1, como exemplificado a seguir. 
 
 𝐷 =
|𝑥1−𝑥2|
𝑥2
=
|0,98−1,1|
1,1
= 0,10 ≅ 0,1 
 
Sendo assim, a ordem de menor para maior discrepância de dados é: espessura e área, 
densidade volumétrica, volume deslocado no copo e volume deslocado na seringa. 
 
Questão IV 
Os valores de referência dados no site do Banco Central do Brasil estipulam as medidas para 
diâmetro de 25,00mm (2,5 ± 0,1 cm) e espessura de 2,25 mm (0,225 ± 0,1 cm). Considerando 
isso, utilizamos a propagação de incerteza desses dados e o cálculo de volume do mesmo para 
a partir da fórmula de compatibilidade verificarmos com os dados obtidos no experimento, 
como no exemplo a seguir usando os dados do método de espessura e área: 
 
𝐶 =
|𝑥1−𝑥2|
√(𝛿𝑥1)2+(𝛿𝑥2)2
< 3 𝐶 =
|0,98−1,10|
√(0,5)2+(0,2)2
< 3 𝐶 = 0,19 = 1,9 < 3 
 
 
 
Após a verificação dos dados, observou-se que apenas dois métodos (espessura e área e o de 
volume deslocado no copo) se mostraram compatíveis com os valores de 0,19 =1,9 para 
espessura e área, e de 0,29 = 2,9 para o de volume deslocado no copo. Sendo assim, é admite-
se que houve erros sistemáticos no experimento. 
 
Questão V 
O volume obtido a partir da densidade e da massa da moeda, no qual foi utilizado o valor de 
7,8 g/cm3, dado que o resultado alcançado a partir deste valor é compatível como de 
referência, segundo a fórmula de compatibilidade. Este método possui como dificuldade ligada 
a liga metálica e pureza da densidade material utilizada no aço, sendo assim, existe uma 
dificuldade para encontrarmos o menor valor de incerteza para parte de densidade neste 
cálculo. 
 
Parte IV: discussão dos resultados 
Questão I 
Ao comparar os resultados obtidos pelas alunas A (Ana Carolina) e B (Isadora), observou se 
que em ambos os experimentos obtiveram os valores mais precisos para o volume pela 
densidade, visto que ambos têm a seu valor em 10% de incerteza relativa, sendo o menor valor 
encontrado. 
Questão II 
O método mais exato foi o de espessura e área em ambos os experimentos. No estudo da 
aluna A (Ana Carolina) o valor de discrepância relativa encontrado foi de 0,1 nessa 
metodologia em comparação ao volume de referência. Já no estudo da aluna B (Isadora), o 
valor encontrado foi nulo em comparação ao volume de referência. 
 Questão III 
Utilizando a fórmula de compatibilidade na análise dos métodos propostos neste experimento 
concluiu-se que a aluna A (Ana Carolina) obteve compatibilidade com o valor de referência nas 
metodologias de espessura e área, com o valor de 1,9 de compatibilidade, e na de volume 
deslocado no copo, com 2,9 de compatibilidade. A aluna B (Isadora) obteve compatibilidade 
apenas na metodologia de espessura e área, pois o seu valor foi nulo. 
Questão IV 
Ambas as alunas tiveram dificuldade em encontrar um copo cilíndrico. No caso da aluna A (Ana 
Carolina) relatou-se também uma dificuldade para conseguir medir o deslocamento com a 
régua, uma vez que sua precisão é muito pequena para se observar a olho nu, o que pode ter 
ocasionado erros sistemáticos durante o experimento. Já a aluna B (Isadora) relatou 
dificuldade para encontrar 5 moedas na casa e não possuía seringa. 
 
Questão V 
No método partindo dos valores de espessura e diâmetro da moeda, por ser uma medida 
direta, é passível erros sistemáticos como erros humanos, e a incerteza instrumental devido a 
medidas que possuam erro, como per exemplo a qualidade de fabricação de uma régua. Sendo 
assim, o uso de um parquímetro diminuiria a incerteza de sua espessura, uma vez que este é o 
parâmetro mais associado a incerteza e em sua propagação de incerteza. 
 
No método partindo da densidade volumétrica, qual é associado a medições indiretas, um dos 
principais fatores de influência é a densidade, onde a sua variação provém da liga que 
compõem o material, sendo assim, uma forma de minimizar a incerteza seria fazer um estudo 
sobre a liga que a compõem e observar um maior número de casas decimais para melhor 
exatidão de sua densidade e massa. 
 
O terceiro, e último método proposto nesta experiencia é a partir do volume deslocado de 
água. Este método, assim como de espessura e área, é passível de erros sistemáticos por se 
tratar de medidas diretas e também de incertezas instrumentais. Posto isto, uma forma de 
diminuir a incerteza do experimento seria a utilização de instrumentos mais precisos, como 
uma proveta graduada para observação do volume deslocado e uma pipeta graduada para a 
retirada do volume em questão, ao em vez da utilização de uma seringa. 
 
 
 
Registros fotográficos do experimento da aluna A (Ana Carolina) 
 
 
Bibliografia 
http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20022/Jeferson/Densidade-1.htm 
 
https://www.youtube.com/watch?v=8zdjisEbkE4 
 
https://www.bcb.gov.br/dinheirobrasileiro/segunda-familia-moedas.html 
 
https://www.if.ufrj.br/~poly/pdf/Modulo5.pdf 
 
 
http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20022/Jeferson/Densidade-1.htm
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https://www.bcb.gov.br/dinheirobrasileiro/segunda-familia-moedas.html
https://www.if.ufrj.br/~poly/pdf/Modulo5.pdf