T2_de_TMEC073

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Departamento de Engenharia Mecânica
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
Trabalho Prático 2
Professor responsável: Adriano Scremin - Bloco IV, Sala: 7-21
Prazo
O trabalho deve ser entregue impreterivelmente até 7 de agosto de 2021.
Conteúdo do trabalho
1. Apresentação da forma fraca para o domı́nio do problema contendo as condições de contorno.
2. Implementação do problema por meio do pacote FEniCS. Rode o FEniCS e obtenha a evolução temporal da
solução até o regime permanente no(s) ponto(s) indicado(s) no problema para intervalos incrementais ∆t, ∆t2 ,
∆t
4 e
∆t
8 e para a famı́lia de malhas de elementos lineares: de 2, 4, 8 e 16 elementos. Nos problemas parabólicos,
utilize α = 0 e α = 12 , e, nos hiperbólicos, utilize α =
1
2 e γ =
1
3 e α =
1
2 e γ =
1
2 .
3. Apresentação dos resultados do item anterior em gráficos.
4. Comentário dos resultados obtidos.
Problemas sorteados
Problema 1: A seguinte equação diferencial aparece na modelagem matemática do problema de condução de calor
em regime transiente numa barra termicamente isolada:
ρ c
∂
∂t
T − ∂
∂x
(
k
∂
∂x
T
)
= q, 0 < x < L
T (0) = T0,
[
k
∂
∂x
T + β(T − T∞)
]∣∣∣∣
x=L
= 0
onde T é a temperatura, k é a condutividade térmica e q é a geração de calor. Considere que q = 5000 W.m-3,
L = 0, 1 m, k = 46,6 W·m-1.◦C-1, β = 25 W·m-2·◦C-1, ρ = 7850 kg·m−3, c = 472 J· kg−1·◦ C-1, T0 = 50 ◦C e
T∞ = 5
◦C. Obtenha a evolução temporal da temperatura na extremidade direita da barra se a temperatura inicial
dela é uniforme e a igual 50 ◦C.
Problema 2: Considere a condução de calor em regime transiente num fio elétrico de seção circular que dissipa
energia por efeito joule. Seja R0 o raio da seção do fio, Ke a sua condutividade elétrica e I a corrente elétrica por
unidade de área que ele conduz. A taxa de geração de calor por unidade de volume é dada por qe = I
2/Ke. Despreze
qualquer variação da condutividade térmica e elétrica do fio. Obtenha a evolução temporal da temperatura no centro
do fio a partir do instante inicial em que ele está à temperatura uniforme de 25 ◦C. A equação governante do problema
e condições de contorno são:
ρ c
∂
∂t
T − 1
r
∂
∂r
(
k r
∂
∂r
T
)
= qe, 0 < r < R0
(
k r
∂
∂r
T
)∣∣∣∣
r=0
= 0, T (R0) = T0
Dados para o fio: R0 = 5, 0 mm, k = 391 W.m
-1.◦C-1, ρ = 8940 kg·m−3, c = 380 J· kg−1·◦C-1, Ke = 0, 00133 Ω-1.m-1
e I = 26000 A.m-2. Considere T0 = 60
◦C.
Problema 3: Determine a evolução da temperatura na extremidade esquerda da aleta mostrada na Figura . Considere
que a largura da aleta é w = 500 mm, a temperatura na raiz da aleta é T0 = 250
◦C constante, a condutividade térmica é
k = 46,6 W.m-1.◦C-1, o coeficiente de convecção térmica é β = 26 W.m-2.◦C-1, a massa espećıfica é ρ = 7850 kg·m−3,
1
o calor espećıfico é c = 425 J· kg−1·◦ C-1, a temperatura ambiente é T∞ = 25 ◦C e a temperatura inicial da aleta é de
25 ◦C. A equação que rege o campo de temperatura em regime transiente na aleta é:
ρ cA
∂
∂t
T − ∂
∂x
(
k A
∂
∂x
T
)
+ β P T = β P T∞, 0 < x < L
onde A e P são respectivamente a área e o peŕımetro da seção transversal. A extremidade esquerda da aleta troca
calor com o meio por convecção natural, ou seja, tem-se áı a condição de Robin:(
−k ∂
∂x
T + β (T − T∞)
)∣∣∣∣
x=0
= 0
Problema 4: Considere um elemento de combust́ıvel nuclear esférico, consistindo de uma esfera de material f́ıssil
envolto por uma casca esférica de alumı́nio como mostrado na Figura . A fissão nuclear é uma fonte de energia térmica
que varia não uniformemente do centro para a periferia. Deseja-se determinar a evolução temporal da temperatura no
centro do elemento de combust́ıvel nuclear a partir do instante inicial em que ambos os materiais estão à temperatura
de 200 ◦C.
As equações governantes para as duas regiões são as mesmas, com exceção da ausência de fonte de calor no
revestimento aluminizado. As equações são:
ρ1 c1
∂
∂t
T1 −
1
r2
∂
∂r
(
r2k1
∂
∂r
T1
)
= q, 0 < r < RF
ρ2 c2
∂
∂t
T2 −
1
r2
∂
∂r
(
r2k2
∂
∂r
T2
)
= 0, RF < r < RC
onde os subscritos 1 e 2 referem-se ao elemento de combust́ıvel nuclear e o revestimento, respectivamente. A geração
de calor por unidade de volume na esfera de combust́ıvel é da forma:
q = q0
[
1 + c
(
r
RF
)2]
onde q0 e c são constantes dependentes do material nuclear. As condições de contorno são:(
k1r
2 ∂
∂r
T1
)∣∣∣∣
r=0
= 0
T1|r=RF = T2|r=RF , T2|r=RC = T0
2
Considere que T0 = 200
◦C, RC = 5, 0 mm, RF = 3, 0 mm, k1 = 26,8 W·m-1·◦ C-1, ρ1 = 19070 kg·m−3,
c1 = 115,6 J· kg−1·◦C−1, k2 = 250 W·m-1·◦C-1, ρ2 = 2700 kg·m−3, c2 = 880,6 J· kg−1·◦C−1 e q0 = 1, 91 · 108 W·m-3
Problema 8: A equação do movimento axial de uma barra sob a ação da força distribúıda axial f é:
ρA
∂2
∂t2
u− ∂
∂x
(
E A
∂
∂x
u
)
= f, 0 < x < L
onde ρ é a densidade, E é o módulo de elasticidade e A é a área da seção transversal. Determine a evolução temporal
do deslocamento axial do centro da barra, após f ser aplicada, quando a barra está indeformada (u(x, t0) = 0). A barra
é fixa à esquerda e à direita, e submetida a uma força uniformemente distribúıda f = 500 kN ·m-1 para a direita.
O comprimento da barra é L = 0, 700 m e a área da seção transversal A varia linearmente conforme a expressão
A0 +A1 x. Dados A0 = A1 = 4, 0 · 10−3 m2, ρ = 7980 kg·m−3 e E = 207 · 1011 Pa.
Problema 9: Determine a evolução temporal do deslocamento axial da extremidade direita da barra de seção não
uniforme e de materiais distintos fixamente apoiada à esquerda e submetida a uma mola de constante elástica k à
direita, conforme indicado na Figura , quando a força 2P = 900 kN e uma força linearmente distribúıda no primeiro
trecho à esquerda, f0x, são aplicadas no instante inicial a partir da deformação nula da barra (u(x, t0) = 0). Os dados,
exceto f0 = 3500 [kN·m-2], ρaço = 7980 kg·m−3 e ρAl = 2700 kg·m−3, encontram-se indicados na Figura . A equação
do movimento axial da barra é:
ρA
∂2
∂t2
u− ∂
∂x
(
E A
∂
∂x
u
)
= f, 0 < x < L
A condição de contorno à direita é:
EaçoAaço
∂
∂x
u+ ku = 0
Problema 10: Considere a barra de aço de seção variável fixa à esquerda e apoiada por uma mola à direita conforme
a Figura . Obtenha a evolução temporal do deslocamento axial da extremidade direita da barra. A barra é carregada
com uma força F na extremidade direita e a área da seção transversal varia segundo a expressão A = A0 e
−αx, onde
α é igual a ln 5L e L é o comprimento da barra. O módulo de elasticidade e a densidade do aço são respectivamente
E = 207 · 109 Pa e ρ = 7980 kg·m−3, a constante da mola é k = 4 · 109 N/m, A0 = 1 · 10−3 m2 e F = 200 · 103 N. Os
demais dados encontram-se na própria figura. A equação do movimento axial da barra é:
ρA
∂2
∂t2
u− ∂
∂x
(
E A
∂
∂x
u
)
= 0, 0 < x < L
e a condição de contorno à direita é:
E A
∂
∂x
u+ ku = F
3
Problema 11: Obtenha a evolução temporal da temperatura na extremidade esquerda da aleta mostrada na Figura a
partir do momento em que ela, estando à temperatura uniforme de 75 ◦C, é posta em contato com a superf́ıcie a 250 ◦C.
Considere que a largura da aleta é l = 500 mm, a temperatura na raiz da aleta T0 = 250
◦C, a condutividade térmica
k = 210 W.m-1.◦ C-1, o coeficiente de convecção térmica β = 26 W.m-2.◦ C-1, a massa espećıfica é ρ = 2700 kg·m−3,
o calor espećıfico é c = 900 J· kg−1·◦C-1 e a temperatura ambiente T∞ = 75 ◦C. A equação que rege o campo de
temperatura em regime transiente é:
ρ cA
∂
∂t
T − d
dx
(
kA
d
dx
T
)
+ PβT = PβT∞, 0 < x < L
onde A e P são respectivamente a área e o peŕımetro da seção transversal.
4