Resolução Lista de Exercício EX3 Probabilidade

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA 
CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DO ALTO VALE DO ITAJAÍ 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
PES - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
RESOLUÇÃO EXERCÍCIO EX3 E LISTA L7 
Exercício 01 
Probabilidade é um ramo da matemática em que são calculadas as chances de 
ocorrência de experimentos. É por meio do estudo de uma probabilidade que é 
encontrada as chances de ocorrência de um resultado, que são obtidas pela razão 
entre casos favoráveis e possíveis casos. 
Um experimento aleatório é qualquer experiência envolvendo algum tipo de 
incerteza ou variabilidade, ou seja, cujo resultado não seja conhecido. 
O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é chamado de 
espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω. Dessa forma, mesmo que o 
resultado de um experimento aleatório não seja previsível, sempre pode ser 
encontrado dentro do espaço amostral referente a ele. 
Usando como exemplo de experimento aleatório o lançamento de um dado e 
observação da face voltada para cima, seu espaço amostral é: 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Um espaço amostral é dito discreto quando for finito ou infinito enumerável 
(formado por um número infinito de resultados, os quais podem ser listado) e é dito 
continuo quando for infinito, formado por intervalos de números reais. 
Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral. Um evento 
pode conter desde zero a todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, 
ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio espaço amostral. No 
primeiro caso, ele é chamado de evento impossível. No segundo, é chamado de 
evento certo. Como exemplos de eventos do lançamento de um dado, temos: 
A = número par do dado = {2, 4, 6}; 
B = número maior que 2 do dado = {3, 4, 5, 6}; 
C = número 6 = {6}. 
São ditos eventos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem 
ocorrer simultaneamente (é um ou o outro), ou seja a ocorrência de um exclui a 
ocorrência do outro. 
Eventos independentes são aqueles que podem ocorrer ao mesmo tempo, 
acontece um e acontece o outro simultaneamente (um e o outro), a ocorrência de um 
não depende da ocorrência do outro. 
Exercício 02 
Se todos os eventos (e𝑖) de um espaço amostral de um experimento, que tenha 
um número finito de elementos, tem a mesma probabilidade de ocorrer, dizemos que 
são equiprováveis. 
P(e𝑖) =
1
𝑛
 
Se um experimento aleatório tem 𝑛 resultados equiprováveis, e 𝑛𝐴 desses 
resultados pertencem a certo evento A, então a probabilidade de ocorrência do evento 
A será: 
P(A) =
𝑛𝐴
𝑛
 
Ainda utilizando como exemplo o lançamento de um dado, os elementos do 
espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} são equiprováveis, pois cada elemento do espaço 
amostral tem a mesma chance de ocorrer, ou seja, a chance de sair 1 é a mesma de 
sair 2, que é a mesma de sair 3, e assim por diante. Portanto: 
P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =
1
6
 
Com isso, considerando o evento A da solução do exercício anterior, A = 
número par do dado = {2, 4, 6}, então: 
P(A) = P(2,4,6) =
1
6
+
1
6
+
1
6
=
3
6
 
Exercício 03 
A regra da soma da probabilidade é descrita como a soma de dois eventos 
quaisquer (A e B) subtraído a intersecção destes, para que os pontos do conjunto não 
sejam contados duas vezes. Logo: 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 
Utilizando como exemplo os eventos A e B do lançamento de um dado: 
A = número par do dado = {2, 4, 6}; 
B = número maior que 2 do dado = {3, 4, 5, 6} 
Temos: 
P(A) = P(2,4,6) =
1
6
+
1
6
+
1
6
=
3
6
 
P(B) = P(3,4,5,6) =
1
6
+
1
6
+
1
6
+
1
6
=
4
6
 
P(A ∩ B) = P(4,6) =
1
6
+
1
6
=
2
6
 
P(A ∪ B) =
3
6
+
4
6
−
2
6
=
5
6
 
Quando se tem dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que 
ocorreu B é denotada por P(A | B) e definida por: 
P(𝐴|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
 
A partir deste tem-se a regra do produto, dada por: 
P(A ∩ B) = P(𝐴|B) ∗ P(B) 
O produto para dois eventos independentes é descrito por: 
P(𝐴 ∩ B) = P(A) ∗ P(B) 
 
 
 
Exercícios do Capítulo 4 
Exercício 01 
a) Ω = {cara, coroa} 
b) Ω = {0, 1, 2, 3, ...} 
c) Ω = {0, 1, 2, 3, ...} 
d) Ω = {v, tal que v ≥ 0} 
e) Ω = {t, tal que -2 ≥ t ≥ 42} (baseado na temperatura máxima e mínima 
recorde da cidade de Florianópolis) 
 
Exercício 05 
a) Soma de todos os funcionários das empresas: 
Empresa A Empresa B Empresa C Empresa D Empresa E 
20 15 7 5 3 
Total: 50 
 
Empresa A: P(𝐴) =
20
50
=
2
5
 
Empresa B: P(𝐵) =
15
50
 
Empresa C: P(𝐶) =
7
50
 
Empresa D: P(𝐷) =
5
50
=
1
10
 
Empresa E: P(𝐸) =
3
50
 
 
b) Soma dos funcionários menos quantidade de funcionários da empresa A: 
P(𝐴̅) = 50 − 20 = 30 
P(𝐴̅) =
30
50
=
3
5
 
 
 
Exercício 09 
P(𝐷) =
6.500
6.850
 
P(𝐵) =
530
6.850
 
P(𝐷 ∩ B) =
500
6.850
 
P(𝐷|B) =
P(𝐷 ∩ B)
P(B)
=
500
6.850⁄
530
6.850⁄
=
500
530
 
P(B|𝐷) =
P(𝐵 ∩ D)
P(D)
=
500
6.850⁄
6.500
6.850⁄
=
500
6.500
 
 
Exercício 10 
a) Quantidade de cartões: 
Verdes Amarelos Azuis Vermelhos 
3 4 5 3 
Total: 15 
Espaço amostral dos eventos: 
x Verdes (𝑨𝒊) Amarelos (𝑩𝒊) Azuis (𝑪𝒊) Vermelhos (𝑫𝒊) 
Verdes (𝑨𝒊) (𝑨𝟏, 𝑨𝟐) (𝑨𝟏, 𝑩𝟐) (𝑨𝟏, 𝑪𝟐) (𝑨𝟏, 𝑫𝟐) 
Amarelos (𝑩𝒊) (𝑩𝟏, 𝑨𝟐) (𝑩𝟏, 𝑩𝟐) (𝑩𝟏, 𝑪𝟐) (𝑩𝟏, 𝑫𝟐) 
Azuis (𝑪𝒊) (𝑪𝟏, 𝑨𝟐) (𝑪𝟏, 𝑩𝟐) (𝑪𝟏, 𝑪𝟐) (𝑪𝟏, 𝑫𝟐) 
Vermelhos (𝑫𝒊) (𝑫𝟏, 𝑨𝟐) (𝑫𝟏, 𝑩𝟐) (𝑫𝟏, 𝑪𝟐) (𝑫𝟏, 𝑫𝟐) 
Probabilidade de cada cor: 
Possibilidade da primeira carta ser retirada multiplicado pela segunda 
possibilidade de a carta da mesma cor seja retirada. 
 
 
Cor 1ª vez 2ª vez Total 
Verdes (𝑨𝒊) 3
15
 
2
14
 
6
210
 
Amarelos (𝑩𝒊) 4
15
 
3
14
 
12
210
 
Azuis (𝑪𝒊) 5
15
 
4
14
 
20
210
 
Vermelhos (𝑫𝒊) 3
15
 
2
14
 
6
210
 
Total: 
𝟒𝟒
𝟐𝟏𝟎
≅ 𝟎, 𝟐𝟎𝟗𝟓 
 
b) Considerando os dois eventos: 
Evento A: os dois cartões sejam verdes; 
Evento B: são da mesma cor. 
P(𝑨|𝑩) =
P(𝐴 ∩ B)
P(B)
=
6
210⁄
44
210⁄
=
𝟔
𝟒𝟒
≅ 𝟎, 𝟏𝟑𝟔𝟒 
Exercício 15 
Eventos: 
x Vivo Morto 
José 0,6 0,4 
Manuel 0,9 0,1 
 
a) Ambos estarem vivos daqui a 20 anos: 
P(𝐴 ∩ B) = 0,6 ∗ 0,9 = 0,54 
 
b) Nenhum estar vivo daqui a 20 anos: 
P(𝐴 ∩ B) = 0,4 ∗ 0,1 = 0,04 
 
c) Um estar vivo e outro estar morto daqui a 20 anos: 
José vivo e Manuel Morto OU Manuel vivo e José Morto: 
P(𝐴1, B2) ∩ (𝐴2, B1) = 0,6 ∗ 0,1 + 0,9 ∗ 0,4 = 0,06 + 0,36 = 0,42 
 
Exercício 17 
Pisos Azulejos 
30 40 
Total: 70 
a) 
Piso: 
P(P) =
30
70
=
3
7
 
Azulejo: 
P(A) =
40
70
=
4
7
 
b) 
x Piso Azulejo 
Piso (𝑃, 𝑃) (𝑃, 𝐴) 
Azulejo (𝐴, 𝑃) (𝐴, 𝐴) 
 
P(PP) =
3
7
∗
3
7
=
9
49
 
P(PA) =
3
7
∗
4
7
=
12
49
 
P(AP) =
4
7
∗
3
7
=
12
49
 
P(𝐴𝐴) =
4
7
∗
4
7
=
16
49
 
 
c) 
P(PP) =
30
70
∗
29
69
=
870
4.830
=
29
161
 
P(PA) =
30
70
∗
40
69
=
1.200
4.830
=
40
161
 
P(AP) =
40
70
∗
30
69
=
1.200
4.830
=
40
161
 
P(𝐴𝐴) =
40
70
∗
39
69
=
1.560
4.830
=
52
161
 
 
d) Pisos com defeito: 0,7%; Azulejos com defeito: 1,5%. 
x Sem defeito Com defeito 
Piso 29,79 0,21 
Azulejo 39,4 0,6 
Total 69,19 0,81 
 
P(𝐷) =
0,81
70
= 0,01157 
 
e) Probabilidade de não conforme (defeituoso): 
P(𝐷) = 30 ∗ 0,21 + 40 ∗ 0,6 = 30,3 
Teorema de Bayes: 
P(𝑃|D) =
P(P) ∗ P(D|𝑃)
P(D)
=
30 ∗ 0,21
30,3
= 0,2079 
 
Exercício 19 
a) 
P(𝐴) =
700
1000
= 0,7 
 
b) 0,94 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ↔ P(A ∪ B) =
840
1000
+
800
1000
−
700
1000
= 0,94 
c) 
P(𝐴|𝐵) =
P(𝐴 ∩ B)
P(B)
=
700
1000⁄
840
1000⁄
= 0,833 
d) 
P(𝐴|𝐵) =
P(𝐴 ∩ B)
P(B)
=
700
1000⁄
800
1000⁄
=
7
8
= 0,875 
 
 
Exercício 21 
Quantidade de números do intervalo [-20,29]: 
Negativos Zero Positivos 
20 1 29 
Total: 50 
 
Eventos que resultam produtos positivos: 
A: Multiplicação entre números negativos (negativo x negativo); 
B: Multiplicação entre números positivos (positivo x positivo); 
Cor 1ª vez 2ª vez Total 
Negativos 
20
50
 
19
49
 
38
245
 
Positivos29
50
 
28
49
 
58
175
 
Total: 
𝟓𝟗𝟔
𝟏𝟐𝟐𝟓
≅ 𝟎, 𝟒𝟖𝟔𝟓 
 
P(𝐴1, 𝐴2) ∩ (𝐵1, B2) =
20
50
∗
19
49
+
29
50
∗
28
49
=
596
1225
≅ 0,4865