Aula teórica ficha 4

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III. Introdução 
No capítulo anterior (cinemática), estudamos o movimento dos corpos sem se interessar com as 
suas causas. Neste capítulo (dinâmica), é importante avaliar as tais causas, é por via disso que, 
entende-se por dinâmica, o ramo da física que se dedica ao estudo do movimento dos corpos e 
das suas acusas. 
Pela experiência diária vários exemplos podem ser citados, pois sabemos que o movimento de 
um corpo é resultado directo da sua interação com outros corpos que o cercam, por exemplo, 
quando um jogador chuta uma bola. 
Agora podemos ver que a compreensão destas causas (interações) ajudam-nos a ter um 
conhecimento básico da natureza. As interações são convenientemente descritas por um conceito 
matemático, chamado força, por isso o estudo da dinâmica é basicamente a análise da relação de 
forças, e é governada pelas leis de Newton. 
 
III.1 Leis de Newton 
 
Newton estudou e desenvolveu as ideias de Galileu sobre o movimento e estabeleceu três leis 
que têm hoje o seu nome. 
 
III.1.1 Primeira lei (lei da inércia) 
Uma partícula livre (isenta a interação) sempre se move com velocidade constante, isto é, com 
aceleração nula. Por via disso, uma partícula livre ou se move em linha recta com velocidade 
constante ou está em repouso (com velocidade nula). Ainda pela 1
a
 lei podemos concluir que: 
 
Universidade Zambeze 
Faculdade de Ciência e Tecnologia 
Disciplina: Física I 
Lição n
0
 4: Dinâmica de uma 
Partícula 
Cursos: Eng
rias
, Civil, Mecatrónica e Eléctrica Data: 16/03/2019 - I Semestre 
 Aula Teórica 
 
 Introdução á Dinâmica  Força de Atrito 
 Leis de Newton  Movimento Curvilíneo e Circular 
 Quantidade de Movimento  Momentos Angular e de Força 
 Representação de Forças  Forças Centrais 
 
 
 
Subtemas: 
Mecânica como ciência 
 
 
 
Docente Responsável: Msc. Enfraime Jaime Valoi (valoi.enfraime@gmail.com) 
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 Quando um corpo está em repouso, não actua nenhuma força, ou actua um sistema de 
forças cuja resultante é nula; 
 Quando um corpo tiver movimento rectilíneo uniforme não actua nele nenhuma força ou 
actua um sistema de forças cuja resultante é nula. 
 
É importante salientar que na verdade não existe uma partícula livre, porque toda partícula está 
sujeita a interações com o resto das partículas do universo. 
De lembrar que o movimento é um conceito relativo, portanto, quando enunciamos a lei da 
inércia devemos indicar a quem ou do que o movimento da partícula é referido. Por exemplo, se 
admitirmos que o movimento da partícula é relativo a um observador que seja ele próprio uma 
partícula ou sistema livre e, é chamado observador inercial, então o refencial por ele usado será 
denominado referncial inercial. 
 
III.1.2 Quantidade de movimento (momento cinético). 
A quantidade de movimento é uma grandeza vectorial e tem a mesma direção que a da 
velocidade. 
 ⃗ 
A quantidade do movimento é uma grandeza dinâmica mais informativa do que a velocidade 
sozinha. Por exemplo, é mais difícil parar ou acelerar um camião carregado do que um camião 
vazio, mesmo que a velocidade seja a mesma para os dois casos, isto porque, a quantidade de 
movimento do primeiro é maior do que o segundo . Contudo, outra definição à lei de 
inércia pode ser dada, a saber, 
 
 
III.1.2.1 Princípio de conservação de momento. 
Levando em consideração duas partículas com massas m1 e m2 em interações mútuas. 
 
 
 
 Uma partícula livre move-se sempre com quantidade de movimento constante. 
𝑡:𝑃 𝑃 + 𝑃 𝑚 𝑣 +𝑚 𝑣 2 
𝑡′: 𝑃′ 𝑃′ + 𝑃
′
 𝑚 𝑣
′
 +𝑚 𝑣
′
 
O momento total será dado por, 
Figura 3.1 Interação de duas partículas 
𝑣 
𝑣 
𝑣 
𝑣′ 
𝑣′ 
𝐴 
𝐵 
𝐴′ 
𝐵′ 
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Considerando massas que não dependem do estado, então, a quantidade de movimento total de 
um sistema composto por duas partículas sujeitas somente às suas interações mútuas permanece 
constante. 
 + ′ + ′ 
Para n partículas em interações mútuas, o momento total será: 
 ∑ 
 
 + + + + 
 
III.1.3 Segunda e Terceira Lei 
 
Em muitos casos, observamos o movimento de uma só partícula, ignorando as outras que com 
ela podem estar a interagir e, nesses casos torna-se difícil utilizar o princípio de conservação da 
quantidade de movimento, daí que, introduz-se o conceito de força. 
Dividindo os membros da relação (3.6) pela variação do tempo, resulta, 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
Segundo (3.8), as quantidades das variações (vectoriais) médias de momento das partículas no 
intervalo de tempo são iguais em módulos e sentidos opostos. 
Calculando limite da relação (3.8), quando , temos, 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
De relação (3.10), uma nova definição para força pode ser enunciada, a saber, 
 
 
Pela definição da quantidade de movimento (3.1), podemos reescrever a equação (3.10) na forma 
 
 
 
 
Se a massa for constante , então, 
 ⃗ 
 
 2 
De refirir que a relação (3.13), nos leva a definição da segunda lei de Newton, isto é, 
 
 
 
 Força é igual a variação temporal de quantidade de movimento de uma dada partícula. 
 A força é igual ao producto da massa pela aceleração, e, tem a mesma direção da 
aceleração. 
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Para além disso, utilizando o conceito de força podemos reescrever a equação (3.9) na forma, 
 
De relação (3.14) chegamos ao enunciado da terceira lei de Newton, isto é, 
 
 
 
Neste caso pode-se concluir que para uma força constante, temos uma aceleração também 
constante, movimento uniformemente acelerado. Este fenômeno pode ser assistido nos corpos 
em queda livre, pois são acelerados com a mesma aceleração g, e, assim o peso (força de atração 
gravitacional da Terra), será dado pela expressão, 
 
III.2 Representação de Forças 
 
 
 
 
 
Antes de mais, é preciso recordar que uma força representa a acção de um corpo sobre outro e é 
representada pela sua intensidade, ponto de aplicação, direcção e sentido. A força é representada 
por um segmento de recta orientada (denominado vector) e, o módulo do vector representa a 
intensidade da força. No sistema internacional (SI) a unidade de força é o Newton (N). 
 
Para que seja possível realizar o cálculo nas situações apresentadas nas figuras 2 e 3 devemos 
estabelecer algumas relações, isto é, 
 Definir o plano cartesiano com o eixo x formando um ângulo igual ao do plano, e o eixo 
y, perpendicular ao eixo x; 
 A força normal (N) será igual à decomposição da força Peso no eixo y; 
 
𝐹 
Figura 3.2 Corpo Subindo o Plano Inclinado Figura 3.3 Corpo Descendo o Plano Inclinado 
 𝑃 
𝑃 
𝑚 
Figura 3.4 Corpos ligados 
𝑚 
𝑇 𝑇 
 Quando duas partículas interagem, a força sobre uma partícula é igual em módulo e de 
sentido contrário, á força sobre a segunda. 
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 O ângulo formado entre a força Peso e a sua decomposição no eixo y será igual ao ângulo 
formado entre o plano e a horizontal; 
 Se houver força de atrito, esta se oporá ao movimento, neste caso, apontará para cima, se 
o corpo estiver a descer o plano e, para baixo em situação contrária. 
Tomando como referencia a figura 3.2, temos: 
{
 : 
 : 
 {
 : 
 : 
 
 
 
 2 
 
O módulo de pode variar dependo do sentido, bem como da direção de aplicação. Se o corpo 
em vez de subir, estivesse a descer o plano (figura 3.3), a decomposição da força Peso no eixo x 
 será a responsávelpelo deslocamento do bloco, dai, , e reescrevemos (3.20) na forma, 
 
 
 
 2 
 
Para além das equações anteriores, uma outra pode ser encontrada se, em vez de uma caixa 
tivermos um carro subindo o plano com movimento uniforme , então na relação 
(3.16) fica, 
 22 
Para analisar as forças na figura (3.4), devemos levar em consideração que o fio é inextensível de 
modo que, as massas se movam com a mesma aceleração e ignorar a massa da polia de modo 
que as forças tensoras no fio sejam iguais. 
+{
 : 2 
2: 2 
 + 
 
 
 2 
Onde, Força de tensão exercida pelo fio e Pesos dos corpos 1 e 2 respectivamente 
Outras Situações Possíveis 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃 
𝐹 
𝑚 
𝑚 
𝐹 𝐹 
𝐹 
Figura 3.5 Corpos em Contacto 
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Nota: Apesar de termos definido as expressões anteriores em ordem a aceleração, elas também 
são válidas para calcular qualquer uma das grandezas envolvidas na equação. 
 
Exercício de Aplicação 
 
Uma partícula de 10kg de massa, sujeita á força 2 + , move-se em linha recta. Num instante 
 . Achar a velocidade e a posição em qualquer instante. 
 
Resolução 
 
Levando em consideração a relação (3.12), por via de integração podemos encontrar a 
velocidade, isto é, 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 +
 
 
∫ 2 + 
 
 
 
 +
 
 
 + + + ⌈ ⌉ 
Ainda por via de integração do resultado anterior (da velocidade), podemos determinar a posição 
 
 
 
 + + ∫ 
 
 
 ∫ + + 
 
 
 
 + 
 + 2 + + 2 + + ⌈ ⌉ 
 
III.3 Força de atrito 
 
Quando empurramos um livro ao longo da mesa, comunicamos-lhe assim uma velocidade, mais, 
depois que o largamos, ele diminui de velocidade até parar. Essa perda de quantidade de 
movimento indica que uma força opõe-se ao movimento, força essa chamada, atrito de 
escorregamento. É importante sublinhar que o atrito pode ser estático e cinético. 
𝐹 𝑘𝑥 𝑒 𝑃 𝑚𝑔 
𝑎 
𝑘𝑥 𝑚𝑔
𝑚
 ∗ 
Análise da Fig. 3.5: 𝐹 𝑃 𝑚𝑎 + {
 : 𝐹 𝑚 𝑎 
2: 𝐹 𝐹 𝑚 𝑎
 
𝑎 𝑚 +𝑚 𝐹 
𝑎 
𝐹
 𝑚 +𝑚 
 ∗∗ 
Figura 3.5 Corpo Preso a uma Mola 
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Atrito Estático ( ⃗⃗ ) - Quando não existe movimento relativo entre as duas superfícies em 
contacto. A força de atrito estático pode ser nula, ou pode estar orientada em qualquer direcção 
tangente às superfícies em contacto. 
Atrito Cinético ( ⃗⃗ ) - Quando as duas superfícies em contacto deslizam entre si. A força de 
atrito cinético é sempre oposta ao movimento e tem módulo constante que depende da reacção 
normal (N) 
A interação entre os corpos as vezes é chamada de coesão ou adesão, dependendo dos corpos 
serem ou não do mesmo material. 
 
 
 
Onde, Coeficientes dos atritos estático e cinético, respectivamente. 
Os valores dos coeficientes de atrito dependem dos materiais das duas superfícies que tendem a 
deslizar entre si. A tabela 1 fornece valores dos coeficientes de atrito para alguns materiais. 
 
 Tabela1 Coeficientes de atrito para alguns materiais 
Materiais 
Cobre e ferro 1,1 0,3 
Aço e Aço 0,7 0,5 
Aço e Madeira 0,4 0,2 
Aço e Teflon 0,04 0,04 
 
III.3.1 Força de atrito em fluidos 
 
Quando um corpo se move através de um fluido com velocidade relativamente baixa, a força de 
atrito é aproximadamente proporcional á velocidade, actuando no sentido contrário, isto é, 
 2 2 
 é o coeficiente que depende da forma do corpo, para uma esfera por exemplo, 
 é o coeficiente de viscosidade e é a velocidade. 
Linha de Actuação 
Figura 3.6 Forças que actuam em corpo em contacto com uma superfície 
𝐹𝑎 
𝑁 
𝐹 
(�⃗⃗� 𝒂𝒆) 𝜇𝑒𝑁 𝑎 
(�⃗⃗� 𝒂𝒄) {
𝑜 𝑠𝑒 𝑣 
 𝜇𝒄𝑁 𝑠𝑒 𝑣 ≠ 
 2 𝑏 
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Definido a força de atrito, se consideramos um corpo que se move através de um fluído visco sob 
acção de uma força , então, a força resultante será, , e a equação de movimento dada 
na forma, 
 2 
 
III.4 Movimento Curvilíneo. 
III.4.1 Componentes de Força. 
No capítulo 2 (cinemática), deduzimos as equação para as acelerações normal (2.26) e tangencial 
(2.27), dai que, se levarmos em conta a definição da segunda lei de Newton, podemos chegar 
também as componentes das forças normal e tangencial, respectivamente: 
 
 
 
 2 
 
 
 
Quanto ao sentido físico temos, 
 Força responsável pela variação do módulo da velocidade. 
 Força responsável pela variação da direção. 
Uma análise simples nos faz concluir que, se , então e o movimento é uniforme, 
enquanto que, se , , então o movimento é rectilíneo. 
 
III.5 Movimento Circular 
 
No caso particular do movimento circular, é o raio R da circunferência e , de modo que 
a força normal (3.30), também denominada força centrípeta, pode ser escrita na forma, 
 
 
Se o movimento circular é uniforme, então, e pela segunda lei de 
Newton, resulta, 
 2 
No caso do movimento no plano, a equação da segunda lei de Newton, pode ser decomposta em, 
 
 
 
 
 
 
 
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 Fica como tarefa para o estudante, encontrar por via de integração das relações (3.33) e 
(3.34), as equações de velocidade e de posição num instante qualquer. 
 
Exercício de Aplicação 
(*) Determine o ângulo que a corda faz com a vertical de um péndulo cômico, ver a figura ao lado. 
 
 
 
 
III.6 Momento Angular. 
Em física, momento é uma grandeza que representa a magnitude da força aplicada a um sistema 
rotacional a uma determinada distância de um eixo de rotação. 
O momento angular também é denominado momento orbital ou momento de quantidade de 
movimento. É a quantidade de movimento associado a um objeto que executa um movimento de 
rotação em torno de um ponto fixo. 
 
 
 
 
 
Definindo analiticamente o momento angular temos, ⃗ ⃗ , e, se levarmos em 
consideração a definição da quantidade de movimento, resulta, ⃗ 
O momento angular é um vector perpendicular ao plano e varia de módulo e direção durante 
o movimento. 
𝑐𝑜𝑠𝛼 
𝑔
𝜔 𝐿
 𝛼 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠 
𝑔
𝜔 𝐿
 
Pela figura temos, 𝑠𝑒𝑛𝛼 
𝐹𝑁
𝑇
 𝑐𝑜𝑠𝛼 
𝑃
𝑇
 2 𝑒 𝑅 𝐿𝑠𝑒𝑛𝛼 
Substituindo (3) em (3.31), tem-se, 𝐹𝑁 𝑚𝜔
 𝐿𝑠𝑒𝑛𝛼 (4), 
𝑡𝑔𝛼 
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
 
𝐹𝑁
𝑃
 
𝑚𝜔 𝐿𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑃
 
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
 
𝑚𝜔 𝐿𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑚𝑔
 
 
𝑃 
Figura 3.7 Pêndulo Cónico 
𝛼 
𝛼 
𝑣 
𝑇 
𝐹𝑁 
𝐿 
�⃗� 
𝐹 𝑣 𝑟 
𝑚 
Figura 3.8 Movimento Curvilíneo 
�⃗� 
𝑚 
𝑟 
𝑂 𝑣 
Figura 3.9 Movimento Circular 
𝑣𝑟 
𝑂 
𝑥 
�⃗� 
𝑣𝜃 
𝑣 𝑟 
Figura 3.10 Componentes da 
Velocidadde 
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Analisando o movimento circular (figura 3.9), visto que são perpendiculares, então, 
| | | | , e , logo, de relação (3.36), tem-se, 
Quando o movimento plano, é curvilíneo, mas não é circular (3.10), então decompõe-se a 
velociddae em componentes radial e transversal, respectivamente, + 
Se levarmos em consideração esta relação, então, reescrevemos a equação do momento na forma, 
 
 + + 
O primeiro aditivo da expressão anterior é igual a zero, isto porque, tem a mesma direcção de 
 (paralelos),e, o produto vectorial é nulo , então, ⃗ 
O módulo do momento angular pode ser escrito da seguinte maneira, , onde, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∗∗ 
 ⃗ ⃗ |
 ⃗ 
 
 
| |
 
 
| |
 
 
| + ⃗ |
 
 
| 
 ( ) + ⃗ ( ) + + ⃗ 
 2 
No caso do movimento no plano (por exemplo xy), , logo, , e, apenas 
 ≠ , então, o momento angular neste é perpendicular ao plano xy (pode-se ver nas figuras 3.7 
e 3.9). 
III.7 Momento de força (Torque) 
 
Para definir o momento de força, vamos derivar a relação (3.35) em função ao tempo, isto é, 
 ⃗ 
 
 
 
 
 ⃗ + 
 ⃗ 
 
 
 
 
 ⃗ ⃗ 
 ⃗ 
 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
Dada a relação (3.46), podemos definir o momento de força como, 
 
 
 A variação temporal do momento angular de uma partícula é igual ao momento da 
força aplicada na partícula. 
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III.8 Forças Centrais 
 
Quando o momento de força é nulo, o momento angular da partícula é constante ( 
 ⃗ 
 
 ) 
e, essa condição é satisfeita no caso de (partícula livre). 
Para além disso, a condição é satisfeita quando , são paralelos, isto é, se a direcção 
de F passa pelo centro. E desta forma podemos definir a força central como sendo aquela cuja 
direcção passa sempre por um ponto fixo. 
 
Quando a força é central, o momento angular relativo ao centro de força é uma constante de 
movimento. Como exemplo podemos citar a Terra que se move em torno do sol sob influência 
de uma força central cuja direção passa sempre pelo centro do sol. Assim, o momento angular da 
Terra relativo ao sol é constante.