Corrente Elétrica e os Circuitos CC

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DESCRIÇÃO
Construção dos conceitos da corrente elétrica, da Lei de Ohm, da resistência elétrica, da potência
elétrica, das regras de Kirchhoff e suas aplicações como fundamento à análise e ao projeto dos
circuitos elétricos CC.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos de corrente elétrica, lei de Ohm, resistência elétrica, potência elétrica e as
aplicações das regras de Kirchhoff que, somado aos conceitos prévios de campo, potencial elétrico e
capacitância, além de contribuir para o avanço na compreensão da eletrodinâmica clássica, agora para
sistemas elétricos com corrente elétrica, é fundamental para a análise e projeto dos circuitos elétricos
de corrente contínua, C.C.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar a corrente elétrica, a Lei de Ohm, a resistência e a potência elétrica
MÓDULO 2
Aplicar as regras de Kirchhoff aos circuitos CC resistivos
 
Fonte: ShutterStock
INTRODUÇÃO
Os circuitos elétricos com corrente contínua (CC), que são sistemas elétricos com fluxo uniforme de
cargas, constituem a base conceitual e fundamental de toda a tecnologia de distribuição elétrica e dos
circuitos elétricos, desde os sistemas simples até os modernos sistemas elétricos.
Para a análise e o projeto desses circuitos, necessitamos das conceituações aplicadas da corrente
elétrica, da Lei de Ohm, da resistência elétrica, da potência elétrica e das regras de Kirchhoff — essas
regras são aplicações práticas dos princípios de conservação da carga e da energia.
Vamos avançar no estudo da Eletrodinâmica Clássica e definir os circuitos CC resistivos, de forma a
compreender seus fundamentos e as soluções para projetá-los.
Assista no vídeo a uma introdução para este tema.
MÓDULO 1
 Identificar a corrente elétrica, a Lei de Ohm, a resistência e a potência elétrica
CORRENTE ELÉTRICA
A corrente elétrica é uma grandeza completamente distinta da diferença de potencial elétrico, a
conhecida tensão elétrica. Pode ser definida como uma quantidade de cargas elétricas em movimento
em determinado intervalo de tempo, geralmente em um condutor elétrico, como um filamento elétrico.
 
Fonte: Chones/Shutterstock.com
CORRENTE ELÉTRICA
A corrente elétrica é conceituada como o número de cargas elétricas em circulação, em um intervalo
de tempo, com unidade Ampere (A) no sistema internacional de unidades (SI).
POTENCIAL ELÉTRICO
Por outro lado, para efeito de comparação, o potencial elétrico é conceituado como a energia, por
unidade de carga, que cada carga elétrica possui, nesse condutor ou rede elétrica.
DITO DE OUTRA FORMA: NUMA REDE ELÉTRICA, OU CIRCUITO
ELÉTRICO, CADA PORTADOR DE CARGAS (NOME GENÉRICO DOS
ELEMENTOS QUE TRANSPORTAM CARGAS ELÉTRICAS.) POSSUI
UMA ENERGIA ESTABELECIDA PELA REDE ELÉTRICA, OU
CIRCUITO ELÉTRICO, E O NÚMERO DE PORTADORES
CARREGADOS EM MOVIMENTO EM UM INTERVALO DE TEMPO,
CARACTERIZA A CORRENTE ELÉTRICA NESSA REDE, OU
CIRCUITO.
 ATENÇÃO
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javascript:void(0)
Para que se tenha uma corrente elétrica, em uma rede ou circuito elétrico, é necessário que haja uma
diferença de potencial elétrico, que fará os portadores de cargas se moverem, estabelecendo a
corrente elétrica.
É possível haver correntes elétricas em quaisquer meios materiais, mesmo no vácuo, não somente
em circuitos condutivos. Para isso, basta que a não condutividade desse meio, a sua resistência à
condução elétrica, seja rompida.
A esse fenômeno chamamos de rompimento da rigidez dielétrica, que é a transformação de um
meio isolante, portanto não condutivo, em um meio condutor elétrico.
 
Fonte: Tami Story Photography/Shutterstock.com
Isso é o que visualizamos em uma tempestade elétrica, quando a diferença de potencial nuvem-terra,
ou nuvem-nuvem, atinge um valor tão alto que a rigidez dielétrica do ar atmosférico é rompida,
produzindo as descargas elétricas atmosféricas
 
Fonte: John D Sirlin/Shutterstock.com
O fenômeno das descargas atmosféricas é bem mais complexo do que os fenômenos de Maxwell,
adentrando outros fenômenos físicos, como a emissão de radiação de altas energias e fenômenos da
Física dos Plasmas, tamanha a escala de energias. Entretanto, é útil como ilustração de correntes
elétricas naturais.
APROVEITANDO AS IMAGENS, VOCÊ SABE POR
QUE AS DESCARGAS ELÉTRICAS ATINGEM
CERTOS LUGARES, COMO PARA-RAIOS, ÁRVORES
OU PESSOAS EM CAMPO ABERTO?
RESPOSTA
A corrente elétrica segue o caminho de menor custo energético.
Vamos entender melhor. As cargas elétricas com suficiente energia se movimentam no sentido de
encontrar o menor valor do potencial elétrico. Na presença de um campo elétrico e uma diferença de
potencial elétrico, as cargas se movem do maior potencial para o menor valor do potencial elétrico, pois
a força elétrica age sobre elas. Se, nesse intervalo de espaço, um eventual ponto de menor magnitude
do potencial elétrico, que esteja aterrado, estiver mais elevado do que o solo, esse ponto será o alvo
das descargas elétricas, uma vez que, sendo a distância menor entre os potenciais, o custo energético
será menor. Logo, o trabalho para mover as cargas será menor.
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Fonte: Aita/Shutterstock.com
Pode ser um para-raios, uma árvore ou um indivíduo. Infelizmente, áreas descampadas e até praias
são perigosas em dias de tempestade elétrica.
 
Fonte: Zuhairi Ahmad/Shutterstock.com
Pode ser um para-raios, uma árvore ou um indivíduo. Infelizmente, áreas descampadas e até praias
são perigosas em dias de tempestade elétrica.
COMO É POSSÍVEL A UM OPERÁRIO DE MANUTENÇÃO DE
GRANDES LINHAS DE TRANSMISSÃO ELÉTRICA REALIZAR SEU
TRABALHO EM CIMA DESSAS LINHAS, COM CENTENAS DE
MILHARES DE VOLTS DE POTENCIAL ELÉTRICO?
A resposta à questão está na diferença de potencial elétrico e no princípio das superfícies
equipotenciais. Cargas elétricas somente serão movimentadas se houver uma diferença de potencial
elétrico. No entanto, ao longo de uma superfície equipotencial, não há diferença de potencial e,
portanto, as cargas podem se mover, nessa superfície de mesmo potencial, sem custo energético
algum, sem trabalho. Assim, quando um operário de manutenção equilibra (ajusta) seu potencial
elétrico ao da linha de alta tensão, não sofre as consequências de uma corrente elétrica atravessar seu
corpo, pois não haverá diferenças de potencial elétrico que possam produzir correntes elétricas.
De outra forma, se colocarmos nossa mão em uma fase elétrica — um polo da tomada elétrica
doméstica — necessariamente com os pés isolados da terra, não permitindo a condução elétrica para
a terra, como não haverá diferença de potencial elétrico, também não haverá corrente elétrica
circulando em nosso corpo e nenhum risco à saúde.
Entretanto, se colocarmos a outra mão em contato com o outro polo da tomada elétrica doméstica, que
chamamos de neutro (fase neutra), teremos uma diferença de potencial estabelecida, e uma corrente
elétrica atravessará nosso corpo com grande risco à saúde.
 
Fonte Mike Mareen/Shutterstock.com
VAMOS, AGORA, DEFINIR A CORRENTE ELÉTRICA
MATEMATICAMENTE.
Essencialmente, corrente elétrica é a quantidade de cargas elétricas que atravessam um ponto num
intervalo de tempo.
I =
DQ
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pense em um fio condutor, se o alimentarmos com uma diferença de potencial elétrico, entre suas
extremidades, então cargas elétricas serão movimentadas nesse fio e teremos uma corrente elétrica.
Desse modo, para que haja corrente elétrica, I , é necessário que tenhamos uma diferença de potencial
elétrico no meio (material) em que surge a corrente.
Na presença dessa diferença de potencial elétrico, cargas são aceleradas, como na mecânica clássica,
pois ao adquirirem energia potencial, a transformam em energia cinética.
Clique abaixo e aprenda nossas primeiras grandes lições:
LEIA 
ATENTAMENTE
Potencial elétrico e corrente elétrica são grandezas totalmente diferentes.
Potencialelétrico tem unidade Volt (V) e corrente elétrica tem unidade Ampere (A), no S.I., em
que 1A = 1C/s.
Para que haja corrente elétrica, será preciso haver uma diferença de potencial elétrico.
É a diferença de potencial elétrico que pode produzir um deslocamento de cargas, uma corrente
elétrica.
CORRENTE ELÉTRICA COMO FLUXO DE
CARGAS
Vamos fazer uma analogia com as correntes aéreas. O que chamamos de vento é provocado pela
circulação de porções de ar atmosférico que se movimentam impulsionadas por diferenças de pressão
atmosférica local.
 EXEMPLO
Em um dia de vento atmosférico, se permitirmos que correntes de ar circulem em nossas casas,
certamente será porque deixamos abertos, para essa circulação, ao menos dois pontos de passagem
do ar. Como há uma diferença de pressão entre esses dois pontos, surgem correntes de ar. Se
fecharmos uma dessas passagens de ar, as correntes de ar cessarão, pois teremos equilibrado as
pressões. Então, o vento é fluxo aéreo.
Assim, a corrente elétrica é fluxo de cargas. Para que tenhamos corrente elétrica, precisamos de uma
diferença de potencial elétrico. Se interrompermos a condução elétrica, não teremos corrente elétrica,
pois teremos equilibrado os potenciais elétricos.
Não será possível haver corrente elétrica em uma superfície equipotencial, porque não há diferença
de potencial que permita a formação de corrente, nesse caso.
NÃO É POSSÍVEL ACUMULAR, DE FORMA ALGUMA, CORRENTES
ELÉTRICAS, JÁ QUE TRATA-SE DE FLUXO DE CARGAS. PODEMOS
ACUMULAR CARGAS ELÉTRICAS OU POTENCIAL ELÉTRICO
(ENERGIA POR CARGA) EM CAPACITORES E BATERIAS, POR
EXEMPLO, MAS NÃO PODEMOS ACUMULAR CORRENTE
ELÉTRICA, POIS É FLUXO.
 ATENÇÃO
Uma ou algumas cargas elétricas individualizadas em movimento não constituem formação de corrente
elétrica. Para definirmos corrente elétrica, precisamos de um fluxo de cargas.
Correntes elétricas em meios condutores são as clássicas correntes em circuitos elétricos. Correntes
elétricas em meios fluídicos são formadas por portadores de cargas. Correntes elétricas no vácuo são
descargas elétricas na ausência de meio material para circulação, por exemplo, descargas elétricas no
espaço ou em feixes de partículas em laboratórios, por meio de aceleradores de partículas, onde fez-
se vácuo.
PORTADORES DE CARGAS
Íons moleculares que circulam em fluidos formando correntes.
 ATENÇÃO
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Podemos ter corrente elétrica independentemente do meio de circulação de cargas, que poderá ser um
condutor elétrico (material sólido), um meio fluídico (líquidos ou gases) ou o vácuo.
Aprendemos a definir fluxo com a Lei de Gauss. Então, vamos definir a corrente elétrica, I, que é uma
grandeza escalar, como o fluxo da densidade de corrente elétrica, 
→
J , que é uma grandeza vetorial.
Assim:
I =
 
∫
C
→
J .
ˆ
N DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que 
ˆ
n é o vetor unitário direcional normal ao plano de área A.
Cada carga elétrica, q, ou portador de carga, possui uma velocidade média de deslocamento no meio
de condução, 
→
v , que chamaremos de velocidade de migração dos portadores de carga.
Se tivermos n portadores de cargas por unidade de volume, que é uma densidade volumétrica do
número de portadores de cargas, então uma porção de cargas, ∆Q, transportadas em um fio condutor
de área de seção reta, A, em um trecho retilíneo de comprimento ∆ e em um intervalo de tempo
Δt será:
 
Fonte: O autor
 Portadores de cargas em condutores
∆Q=N Q ∆VOLUME → ∆Q=N Q A ∆X → ∆Q=N Q A |V→| ∆T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente elétrica, I, definida anteriormente, é o limite quando ∆t → 0, ou seja:
I= DQDT= LIM∆T→0 ∆Q∆T= N Q A |V→|
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, desse exemplo do fio retilíneo condutor, temos a definição do vetor densidade de corrente
elétrica, também chamado de densidade de fluxo elétrico.
J→= N Q V→ ONDE J→=I/A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LEI DE OHM E A RESISTÊNCIA ELÉTRICA
A Lei de Ohm, na forma mais conhecida, foi proposta originalmente como uma lei fenomenológica e,
depois, verificada como um subproduto das equações que definem a teoria eletrodinâmica clássica,
chamadas de equações de Maxwell, quando em interação com a matéria condutora.
 
Fonte: O autor
 Relação Tensão x Corrente em um circuito resistivo
Relaciona o potencial elétrico, V, com a corrente elétrica, I, em materiais consumidores de energia
elétrica que apresentam comportamento funcional linear, chamados de materiais ôhmicos. A
constante de proporcionalidade dessa equação é o que chamamos de resistência elétrica, R, e sua
unidade S.I. é o ohm, 1 Ω = 1V/A.
 
Fonte: O autor
O gráfico anterior apresenta esse comportamento linear, em que R é o coeficiente angular gráfico da
função V = RI
Os materiais não ôhmicos, ao contrário, não satisfazem a expressão linear da Lei de Ohm e
apresentam outros comportamentos mais complexos.
O circuito ao lado é um esquema de montagem de um circuito elétrico composto de uma fonte (CC)
de corrente e tensão contínua, que fornece uma diferença de potencial elétrico, V, a um componente
elétrico de resistência, R, em um circuito fechado de uma malha, isto é, uma única circulação fechada
de corrente constante, I.
 
Fonte: O autor
No mesmo circuito elétrico, usamos a convenção de Benjamin Franklin e consideramos que a corrente
elétrica, I, é composta por cargas de atributo positivas, que circulam do potencial elétrico mais alto, no
polo positivo, para o potencial elétrico mais baixo, no polo negativo.
Na realidade, sabemos que as cargas elétricas disponíveis capazes de compor correntes elétricas
são de atributo negativas, que também foi convencionado. Assim, o padrão adotado para a orientação
da corrente elétrica é, na verdade, contrário à realidade. Entretanto, isso não é capaz de interferir na
análise de circuitos, como veremos. A definição dos polos elétricos segue essa convenção de B.
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Franklin e deve ser interpretada como operacional, quando o que importa é que existe uma diferença
de potencial elétrico.
CARGAS ELÉTRICAS
1. Cargas elétricas ocorrem em dois atributos
Cargas elétricas são acúmulos ou deficit de cargas eletrônicas fundamentais. Assim, um material
carregado positivamente possui um deficit de cargas fundamentais eletrônicas. E um material
carregado negativamente possui um superavit de cargas fundamentais eletrônicas.
Para os fenômenos da teoria eletrodinâmica, esse mecanismo, de motivação histórica, de
atribuição de sinais às cargas, não faz diferença desde que possamos identificar os dois atributos
fenomenologicamente diferentes do superavit ou deficit de cargas fundamentais eletrônicas, que
foram historicamente chamadas de cargas negativas e positivas, respectivamente, e mantidas
por razões operatoriais e de convenção.
O fato é que cargas elétricas ocorrem em dois atributos, e essas nomenclaturas de cargas
positivas e negativas são, atualmente, apenas convencionais, usadas somente para identificar os
dois atributos de cargas, não possuindo maior fundamentação física.
2. Cargas elétricas são conservadas
A totalidade de cargas elétricas no universo é constante. Se retirarmos cargas negativas ou
positivas de um corpo, essas cargas irão para outro corpo. Dizemos que as cargas se conservam
global e localmente.
3. A carga elétrica é quantizada
Todo material carregado eletricamente o será em múltiplos inteiros da carga fundamental
eletrônica. Esse fato de origem quântica não tem explicação na teoria eletrodinâmica de Maxwell.
Essa questão habita o universo das teorias quânticas.
4. Cargas elétricas são a fonte (causa) dos campos e das forças elétricas estáticas
Ao “gerarem” campos eletrostáticos, as cargas elétricas estáticas informam o universo vizinho de
sua existência. Do ponto de vista quântico, são partículas de luz (fótons)que constituem os
campos, bem como percorrem o espaço disponível até excitarem outras cargas e induzirem
forças elétricas de Coulomb a distância.
RESISTORES ELÉTRICOS
Resistores elétricos, de resistência R, são componentes elétricos/eletrônicos que dificultam a
condução elétrica ao reduzir o potencial elétrico disponibilizado, V, convertendo parte da energia
elétrica em energia térmica, por meio do efeito Joule, e dispersando essa energia térmica no ambiente.
Ou seja, os resistores se aquecem quando alimentados com corrente elétrica e dispersam essa
energia térmica para o meio externo ao circuito. 
Todos os materiais apresentam certa resistência à condução elétrica, sendo menor a resistência
elétrica nos bons condutores e maior a resistência nos maus condutores elétricos.
A resistência elétrica, R, é uma função da geometria e da condutividade do material.
 
Fonte: Sergiy Kuzmin/Shutterstock.com
 Resistores elétricos
RESISTIVIDADE E CONDUTIVIDADE ELÉTRICA
Os condutores ôhmicos, são classificados por sua condutividade elétrica, σ, também definida como o
inverso da resistividade elétrica, ρ, que tem unidade Ω.m (ohm. metro), no S.I.
Σ=1/Ρ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma representação menos conhecida da Lei de Ohm relaciona o vetor densidade de corrente
elétrica, J→, com o campo elétrico, E→, interno aos materiais condutores.
J→=ΣE→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VOCÊ DEVE ESTAR SE PERGUNTANDO COMO PODE A DENSIDADE
DE CORRENTE ELÉTRICA ESTAR RELACIONADA AO CAMPO
ELÉTRICO EM CONDUTORES ELÉTRICOS, SE SEU CAMPO
ELÉTRICO INTERNO É ZERO?
Na verdade, o campo elétrico interno será zero em condutores ideais, perfeitos, em equilíbrio
eletrostático. Para esses condutores ideais, a condutividade elétrica, σ, seria infinita. Para os demais
condutores, o campo elétrico necessário para deslocar cargas é quase desprezível e sua
condutividade elétrica, σ, muito grande.
Vamos, agora, obter a dependência da resistência elétrica, R, de materiais condutores retilíneos com
sua geometria. Para isso, acompanhe o fluxo abaixo:
Consideremos um fio condutor retilíneo e cilíndrico de comprimento L, com área de seção reta A.

Se alimentarmos esse material retilíneo com uma diferença de potencial elétrico, V, o módulo do
campo elétrico interno, E→, será constante, pois a mesma diferença de potencial será verificada em
cada trecho. Logo, usando a definição do potencial elétrico, V=-∫abE→. dl→, temos:
V=E→L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal


Para a corrente elétrica invariante I (consequência dos circuitos CC), temos da definição de densidade
de corrente para o fio com área de seção A:
I=J→ A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Substituindo na equação ao lado, J→=σE→, em módulo, aplicando V=R I, e também σ=1/ρ, temos:
R=Ρ LA OU R= LΣ A 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a dependência da resistência elétrica de materiais condutores com a resistividade elétrica,
ρ, ou a condutividade, σ, é proporcional ao comprimento retilíneo do fio, L, e inversamente
proporcional à área de seção reta, A.
A RESISTIVIDADE DOS MATERIAIS, USUALMENTE OS METAIS, É
FUNÇÃO DE SUA TEMPERATURA E DE UM COEFICIENTE DE
TEMPERATURA, Ρ = Ρ20 [1 + Α(T - 20°C)], EM QUE Α É O
COEFICIENTE DE TEMPERATURA DO MATERIAL E A MEDIDA É
PADRONIZADA EM 20° C
POTÊNCIA ELÉTRICA
No modelo clássico da condução elétrica, quando um condutor elétrico é percorrido por uma corrente
elétrica, seus portadores de cargas submetidos a uma diferença de potencial, na presença de um
campo elétrico, adquirem energia elétrica, aumentando sua energia cinética, que é continuamente
convertida em energia térmica, devido aos choques entre esses portadores de cargas e os íons da
rede cristalina do material condutor.
Apesar de os portadores de cargas adquirirem continuamente energia cinética do campo elétrico, em
um condutor elétrico, esta é continuamente convertida em energia térmica, e tal conversão em energia
térmica é dependente da classe dos materiais, quanto à sua condutividade.
Maus condutores elétricos e resistores elétricos são mais eficientes na conversão em energia térmica.

Bons condutores elétricos convertem menor energia térmica, comparativamente aos maus condutores.
A ESSE FENÔMENO, DE CONVERSÃO DE ENERGIA EM ENERGIA
TÉRMICA, DAMOS O NOME DE EFEITO JOULE.
DEMONSTRAÇÃO
Vamos, agora, demonstrar a construção do conceito de perda de potência elétrica por efeito Joule,
em um condutor elétrico, submetido a uma diferença de potencial, V, quando uma corrente elétrica
constante, I, o atravessa.
Considerando a relação entre energia elétrica e potencial elétrico, V=Wq, a perda de energia elétrica (–
W) em um intervalo de tempo será a taxa de variação temporal dessa energia elétrica convertida em
energia térmica.
W=Q V
 
D(W)DT=D(QV)DT=V DQDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pois a diferença de potencial, V, considerada, será constante.
Então, da definição de corrente elétrica, I=dqdt, podemos definir a perda de potência elétrica, P,
relembrando da definição de potência da mecânica clássica, P=dWdt.
Dessa forma:
P= D(W)DT=V DQDT
 
P=VI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E suas outras representações, por meio da Lei de Ohm, V = R I,
P=RI2 E P=V2R
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. EM UMA EXPERIÊNCIA ELETROQUÍMICA, 2,0 × 109 ELÉTRONS PERCORREM
A SOLUÇÃO, ENTRE DOIS ELETRODOS, EM UM INTERVALO DE TEMPO DE 100
MS. CALCULE A CORRENTE ELÉTRICA NESSA REAÇÃO QUÍMICA,
CONSIDERANDO QUE POSSA SER MANTIDA CONSTANTE. LEMBRE-SE DE
QUE O VALOR ABSOLUTO DA CARGA FUNDAMENTAL DO ELÉTRON É DE,
APROXIMADAMENTE, QE = 1,6 × 10-19C.
A) I = 3,2 A
B) I = 0,032 A
C) I = 32 A
D) I = 0,32 A
E) I = 320 A
2. UM CABO DE TRANSMISSÃO ELÉTRICA TRANSPORTA O EQUIVALENTE A N
= 2,5 × 1018 ELÉTRONS LIVRES AO LONGO DE SUA EXTENSÃO, A CADA
SEGUNDO. SE ESSE CABO TIVER 3,0 CM DE DIÂMETRO, OBTENHA A
MAGNITUDE DA DENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA QUE É CAPAZ DE
CONDUZIR, A CADA SEGUNDO, CONSIDERANDO QUE SUA CORRENTE
ELÉTRICA SEJA HOMOGÊNEA E CONSTANTE.
A) 565,88Am2
B) 0,40 A
C) 3,5 ×1021Am2
D) 0,40 Am2
E) 1,777,76 Am2
3. EM UMA PRÁTICA LABORATORIAL, UM ESTUDANTE MONTOU UM CIRCUITO
DE UMA FONTE DE TENSÃO ∆V E UM RESISTOR ÔHMICO R. VARIANDO A
TENSÃO NESSA FONTE, ANOTOU DADOS DE VALORES DA TENSÃO DE
ALIMENTAÇÃO DO RESISTOR E DA CORRENTE ELÉTRICA NO CIRCUITO.
DUAS DAS TOMADAS DE DADOS DOS VALORES NOMINAIS DE TENSÃO E
CORRENTE ELÉTRICA ESTÃO REPRESENTADAS NA TABELA: 
V (VOLT) I (AMPERE)
7,3 0,002
12,5 0,004
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
 
OBTENHA O VALOR DA RESISTÊNCIA ELÉTRICA R DESSE CIRCUITO,
CONSIDERANDO OS DADOS TABELADOS.
A) 3125 Ω
B) 3750 Ω
C) 3438 Ω
D) 2600 Ω
E) 0 Ω
4. CONSIDERE UM CABO CONDUTOR DE COBRE, COM RESISTIVIDADE Ρ = 1,7
× 10-8 Ω.M, CONDUZINDO UMA CORRENTE ELÉTRICA CONSTANTE I = 5,0
AMPERES. O CABO TEM COMPRIMENTO LINEAR DE 30 M E DIÂMETRO DE D =
0,13 CM. CALCULE A QUEDA DE POTENCIAL ELÉTRICO NESSE CABO.
A) ΔV = 1,92 V
B) ΔV = 0,384 Ω
C) ΔV = 0,384 V
D) ΔV = 0 V
E) ΔV = 0,48 V
5. EM ALGUMAS REGIÕES DO PAÍS, O CUSTO DA ENERGIA ELÉTRICA
CORRESPONDE A R$ 0,95 POR KWH (103 WATT. HORA). SE UM CHUVEIRO
ELÉTRICO TIVER POTÊNCIA DE CONSUMO DE 5500 W, SUPONHA UMA
UTILIZAÇÃO DE 30 DIAS NO MÊS, COM 1 HORA DIÁRIA DE USO MÉDIO PARA
UMA FAMÍLIA COM 4 PESSOAS. QUAL SERÁ O CUSTO EM REAIS DA
UTILIZAÇÃO DESSE CHUVEIRO ELÉTRICO?
A) R$ 174,17
B) R$ 7,18
C) R$ 192,98
D) R$ 183,33
E) R$ 156,75
6. CALCULE A POTÊNCIA DISSIPADA POR UM RESISTOR DE 10 Ω, SE A
DIFERENÇA DE POTENCIAL A QUE FOI SUBMETIDO FOR DE 220 V. CALCULE
TAMBÉM A CORRENTE ELÉTRICA QUE O PERCORRE.
A) P = 10 W I = 22 A
B) P= 22 W I = 4840 A
C) P = 4840 W I = 22 A
D) P = 22 W I = 10 A
E) P = 484 W I = 2 A
GABARITO
1. Em uma experiência eletroquímica, 2,0 × 109 elétrons percorrem a solução, entre dois
eletrodos, em um intervalo de tempo de 100 ms. Calcule a corrente elétrica nessa reação
química, considerando que possa ser mantida constante. Lembre-se de que o valor absoluto da
carga fundamental do elétron é de, aproximadamente, qe = 1,6 × 10-19C.
A alternativa "D " está correta.
Se a corrente elétrica, na reação química, pode ser mantida constante, então I = ∆Q/∆t.
Assim, ∆Q = N × qe, em que N é o número de elétrons conduzidos no intervalo de tempo considerado.
Devemos converter o intervalo de tempo para segundos.
Logo:
I=(2,0 ×1017 × 1,6×10-19C)100×10-3s= 0,32 A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um cabo de transmissão elétrica transporta o equivalente a N = 2,5 × 1018 elétrons livres ao
longo de sua extensão, a cada segundo. Se esse cabo tiver 3,0 cm de diâmetro, obtenha a
magnitude da densidade de corrente elétrica que é capaz de conduzir, a cada segundo,
considerando que sua corrente elétrica seja homogênea e constante.
A alternativa "A " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
3. Em uma prática laboratorial, um estudante montou um circuito de uma fonte de tensão ∆V e
um resistor ôhmico R. Variando a tensão nessa fonte, anotou dados de valores da tensão de
alimentação do resistor e da corrente elétrica no circuito. Duas das tomadas de dados dos
valores nominais de tensão e corrente elétrica estão representadas na tabela: 
V (Volt) I (Ampere)
7,3 0,002
12,5 0,004
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 
Obtenha o valor da resistência elétrica R desse circuito, considerando os dados tabelados.
A alternativa "D " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
4. Considere um cabo condutor de cobre, com resistividade ρ = 1,7 × 10-8 Ω.m, conduzindo uma
corrente elétrica constante I = 5,0 Amperes. O cabo tem comprimento linear de 30 m e diâmetro
de d = 0,13 cm. Calcule a queda de potencial elétrico nesse cabo.
A alternativa "A " está correta.
Vamos calcular a resistência elétrica e, em seguida, calcular a queda de potencial elétrico. A área de
seção reta do fio é um disco de área A = π (d/2)2. O diâmetro, de centímetros, deve ser convertido
para o metro.
Então:
R=ρ LA ⟹ R=1,7 × 10-8 Ω.m × 30 mπ0,13×10-222m2=0,384 Ω
 
∆V=RI ⟹ ∆V=0,384 Ω × 5 Ampere
 
∆V=1,92 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, ΔV = 1,92 V, que serão consumidos em 30 metros de cabo.
5. Em algumas regiões do País, o custo da energia elétrica corresponde a R$ 0,95 por KWh (103
Watt. hora). Se um chuveiro elétrico tiver potência de consumo de 5500 W, suponha uma
utilização de 30 dias no mês, com 1 hora diária de uso médio para uma família com 4 pessoas.
Qual será o custo em reais da utilização desse chuveiro elétrico?
A alternativa "E " está correta.
P = 5500 W = 5.5 kW ⟹ t = 1 h × 30 dias = 30 h
E = 5.5 kW × 30 h = 165 kWh
Custo = 165 kWh × 0,95 R$/kWh
Custo = R$ 156,75
6. Calcule a potência dissipada por um resistor de 10 Ω, se a diferença de potencial a que foi
submetido for de 220 V. Calcule também a corrente elétrica que o percorre.
A alternativa "C " está correta.
P=V2R=(220)210=4840 WP=VI ⇒ 4840 W=220 II=22 A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Considere um condutor elétrico real, retilíneo e de comprimento L, com área de seção reta A,
atravessado por uma corrente elétrica constante, I, quando submetido a uma diferença de potencial
elétrico V. Demonstre a obtenção da forma mais conhecida da Lei de Ohm, V = R I, a partir da segunda
forma da lei, J→=σE→, considerando que resistência elétrica é uma função da resistividade elétrica,
R=ρ LA.
RESOLUÇÃO
Vamos lembrar que σ=1ρ . Assim, J→=1ρE→. Além disso, V(r)= -∫arE→. dl→ e como, nesse
condutor elétrico, o potencial elétrico é constante, teremos V=E→L, pois o campo elétrico será
constante no condutor. Assim:
 J→ =1Ρ E→ ⟹ J→ =1Ρ VL 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entretanto, J→=I/A. Logo, como R=ρ LA:
IA=1Ρ VL ⇒ V=I Ρ LA ⇒ V=R I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja a seguir a solução desta questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UM CILINDRO, DE COMPRIMENTO Z, CONSTITUÍDO DE
MATERIAL CONDUTOR COM RESISTIVIDADE HOMOGÊNEA Ρ CONSTANTE,
OCO E COM UMA ESPESSURA TAL QUE O RAIO INTERNO CILÍNDRICO SEJA A
E O RAIO EXTERNO CILÍNDRICO SEJA B. SE UMA DIFERENÇA DE POTENCIAL
ELÉTRICO FOR ESTABELECIDA ENTRE OS RAIOS INTERNO E EXTERNO
DESSE CILINDRO RESISTOR, UMA CORRENTE ELÉTRICA FLUIRÁ
RADIALMENTE. CALCULE SUA RESISTÊNCIA ELÉTRICA, COMO FUNÇÃO DE
SUA GEOMETRIA.
A) R=ρ ZA 
B) R= ρ2π Z ln r
C) R= ρ2π r Z 
D) R= ρ2π r ln Z 
E) R= ρ2π Z lnba
2. UM CIRCUITO ELÉTRICO RESISTIVO COM UM RESISTOR R= 4 Ω É
ALIMENTADO POR UMA FONTE DE TENSÃO CONSTANTE ∆V=12 VOLTS. NO
ENTANTO, SABEMOS QUE TODA FONTE DE TENSÃO POSSUI UMA
RESISTÊNCIA INTERNA, NOTADAMENTE PORQUE SE AQUECE. UM
AMPERÍMETRO, USADO PARA MEDIR A CORRENTE ELÉTRICA NESSE
CIRCUITO, INDICA UMA CORRENTE I=2 A. CALCULE A POTÊNCIA ELÉTRICA
CONSUMIDA, PR, PELA RESISTÊNCIA INTERNA NA FONTE DE TENSÃO.
A) Pr = 24 W
B) Pr = 16 W
C) Pr = 8 W
D) Pr = 12 W
E) Pr = 4 W
GABARITO
1. Considere um cilindro, de comprimento Z, constituído de material condutor com resistividade
homogênea ρ constante, oco e com uma espessura tal que o raio interno cilíndrico seja a e o
raio externo cilíndrico seja b. Se uma diferença de potencial elétrico for estabelecida entre os
raios interno e externo desse cilindro resistor, uma corrente elétrica fluirá radialmente. Calcule
sua resistência elétrica, como função de sua geometria.
A alternativa "E " está correta.
 
Considere um corte de seção reta do cilindro, com raio a ≤ r ≤ b, como indicado abaixo:
 Corte em seção reta do resistor cilíndrico oco
A resistência R como função da resistividade ρ: R=ρ LA terá de ser adaptada para esse problema
cilíndrico. Se, antes, L era o comprimento de um fio, agora, terá de ser a distância radial cilíndrica r,
pois a corrente aqui flui radialmente no cilindro. Vamos calcular para um elemento de resistência dR
em uma casca cilíndrica e integrar de a até b.
R=∫abdR
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a área da casca cilíndrica de comprimento Z e espessura r será:
A=2π r Z 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para calcular dR, usaremos o elemento de distância radial dr:
dR= ρ drA ⟹ dR= ρ dr2π r Z
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, integrando de a até b, temos:
R = ∫abdR = ρ2π Z∫abdrr ⟹ R= ρ2π Z ln ba 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, a resistência elétrica é função da geometria do componente.
2. Um circuito elétrico resistivo com um resistor R= 4 Ω é alimentado por uma fonte de tensão
constante ∆V=12 Volts. No entanto, sabemos que toda fonte de tensão possui uma resistência
interna, notadamente porque se aquece. Um amperímetro, usado para medir a corrente elétrica
nesse circuito, indica uma corrente I=2 A. Calcule a potência elétrica consumida, Pr, pela
resistência interna na fonte de tensão.
A alternativa "C " está correta.
 
A potência elétrica fornecida pela fonte de tensão é consumida, no circuito, como consequência do
princípio de conservação da energia. Então, vamos calcular as contribuições de potências elétricas
geradas e consumidas. A potência elétrica que a fonte de tensão seria capaz de fornecer, caso fosse
ideal e não se aquecesse, é:
P∆V=V I=12 volts × 2 A=24 W
 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência consumida pelo resistor R é:
PR=R I2= 4 Ω × (2A)2=16 W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Claramente, há uma discrepância entre a potência que a fonte seria capaz de gerar com a potência
consumida pelo resistor. Como deve haver o equilíbrio, visto que de outra forma a corrente elétrica teria
valor diferente, significa que a fonte elétrica possui uma resistência interna e se aquecerá, consumindo
energia, por efeito Joule. O valor de potência discrepante é exatamente a potência consumida pela
resistência interna da fonte. Então:
P∆V- PR=24 W-16 W=8 W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Aplicar as regras de Kirchhoff aos circuitos CC resistivos
CIRCUITOS CC
Um circuito de corrente contínua (CC) é um arranjo elétrico ou eletrônico que envolve uma ou mais
fontes de tensão elétrica contínua e componentes consumidores elétricos, em uma circulação fechada
de corrente elétrica.
Essa fonte de tensão foi chamada de f.e.m. – força eletromotriz. Entretanto, do ponto de vista
dimensional da grandeza física, sabemos que de força não tem nada. O nome remete à compreensão
histórica, dos primórdios da investigação dos fenômenos elétricos, da fonte elétrica de origem
mecânica ou química capaz de produzir uma diferença de potencial elétrico e mover máquinas ou
produzir esforços mecânicos.
 COMENTÁRIO
Tal nomenclatura continua largamente utilizada ainda hoje. Também se costuma chamar de f.e.m. as
fontes de tensão alternadas, que deixaremos para mais tarde.
Os circuitos CC podem ser montados ou projetados em malhas, que são sessões ou partes, do circuito
todo, sempre com circulação fechada de corrente elétrica. As figuras ilustram circuitos elétricos CC
com mais de uma malha:
 
Fonte: Thepalerider12/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
Na figura a temos um circuito CC com uma fonte de tensão contínua (f.e.m.) em três malhas, que
correspondem às três sessões no mesmo circuito, conectados nos pontos indicados.
 
Fonte: Thepalerider12/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
Na figura b, temos um circuito CC com três fontes elétricas em duas malhas.
Além disso, chamamos de nó cada ponto de um circuito que corresponde a uma divisão de corrente
elétrica. Nas figuras anteriores, ilustrativas de circuitos CC, todo ponto indicado que conecta três ou
mais linhas condutoras é chamado nó.
 
Fonte: Thepalerider12/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
Na figura a temos, em princípio, quatro nós, nos pontos A, B, C e D.
 
Fonte: Thepalerider12/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
Na figura b, temos dois nós, nos pontos B e C.
TODOS OS DEMAIS PONTOS DAS LINHAS CONDUTORAS DOS
DOIS CIRCUITOS, INDICADOS OU NÃO, NÃO CONSTITUEM NÓS,
POIS AS CORRENTES ELÉTRICAS NÃO SERÃO DIVIDIDAS NESSES
PONTOS, MAS APENAS CONDUZIDAS.
Ambos os circuitos das figuras envolvem fontes CC e resistores elétricos, que são consumidores de
energia elétrica, ou seja, convertem energia elétrica em energia térmica por efeito Joule. Vamos
chamá-los de circuitos CC resistivos.
 ATENÇÃO
Uma fonte de tensão somente poderá disponibilizar energia elétrica por meio de uma diferença de
potencial elétrico. Ainda que, às vezes, sejam referidas como fontes de correntes, não o são. Essa
falha conceitual, de creditar a uma f.e.m. como a fonte da corrente elétrica, levaria a outros conceitos
incorretos. Não podemos chamá-las de fontes de corrente elétrica.
Não é possível acumular nem ceder corrente elétrica, pois corrente é fluxo. As correntes elétricas
surgem como consequência de diferenças de potencial elétrico. Somente energia elétrica e cargas
elétricas podem ser acumuladas e, então, cedidas. As fontes de potencial elétrico, quando conectadas
em circuitos elétricos, estabelecem desequilíbrios elétricos de energia e cargas elétricas. A natureza,
ao buscar o equilíbrio dos sistemas físicos, com distribuição de cargas e equipartição de energias,
propicia o surgimento de correntes, por meio da movimentação de cargas elétricas.
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Neste módulo, vamos abordar os circuitos CC resistivos, que são circuitos com fontes de tensão e
resistores elétricos. Antes, porém, vamos analisar como trabalhar com associações ou arranjos de
resistores em série e em paralelo.
Nesse sentido, resistores elétricos podem ser conectados em associações de resistores em série e em
paralelo. Sempre que conectarmos resistores, com arranjos em série e em paralelo, o resultado será o
de uma resistência equivalente.
Se precisarmos de um resistor elétrico de determinado valor de resistência, podemos associar outros
resistores de forma a obter a resistência equivalente desejada.
NÃO CONFUNDA RESISTORES (COMPONENTES) COM
RESISTÊNCIA (FENÔMENO).
ARRANJO 
EM SÉRIE
Vamos considerar o arranjo de N resistores em série, como ilustrado na figura a seguir:
 
Fonte: Omegatron/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
 Resistores em série
Perceba que uma diferença de potencial elétrico total ∆V será a soma das quedas de potenciais em
cada resistor em série. Assim:
∆V=∑i=1NVi
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse arranjo em série, cada resistor conduzirá a mesma corrente elétrica, I. Então, a resistência
elétrica equivalente em série Reqsérie com a aplicação da Lei de Ohm, será:
V=R I
 
∆Vtotal=V1+V2+⋯+VN
 
Req .I=I (R1+R2+⋯+RN)
 
Reqsérie=∑i=1NRi
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ARRANJO 
EM PARALELO
Vamos, agora, considerar o arranjo de N resistores em paralelo, como ilustrado na figura a seguir:
 
Fonte: Omegatron/Wikimedia Commons/CC-BY-SA-3.0
 Resistores em paralelo
Perceba que a corrente elétrica total que percorre o sistema de resistores em paralelo será a soma das
correntes elétricas que percorrem cada resistor em paralelo Ri, em que i = 1, 2, 3, ..., N. Ou seja:
Itotal=∑i=1NIi
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, como cada resistor será alimentado pelo mesmo potencial elétrico, ΔV, pois estão
associados em paralelo, a resistência elétrica equivalente em paralelo, Reqparalelo com a aplicação
da Lei de Ohm, será:
V=R I
 
Itotal=I1+I2+⋯+IN
 
ΔVReq=ΔVR1+ΔVR2+⋯+ΔVRN
 
1Reqparalelo=∑i=1N1Ri
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Como a expressão anterior lida com quantidades inversas, é preciso ter cuidado com o cálculo
operacional da resistência equivalente em paralelo.
Agora, vamos analisar como projetar e solucionar circuitos CC resistivos em uma ou mais malhas. Nem
sempre poderemos usar as associações de resistores, assim como de outros componentes, para
solucionar simplificadamente os circuitos.
REGRAS DE KIRCHHOFF
Para a análise e solução dos circuitos elétricos, de uma ou mais malhas e com diversos componentes
elétricos possíveis (como veremos adiante), usamos duas regras que são consequência de dois
princípios físicos gerais e fundamentais aplicados ao problema:
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA
O princípio de conservação da carga elétrica estabelece que a totalidade das cargas elétricas em um
sistema físico deve ser conservada. No contexto da eletrodinâmica clássica, cargas elétricas não
podem ser criadas nem destruídas.
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
O princípio de conservação da energia estabelece que a totalidade da energia de um sistema físico
isolado não pode ser alterada, mas somente transformada.
Como consequência desses dois princípios físicos, para a análise e solução dos circuitos elétricos,
temos as regras de Kirchhoff:
REGRA DOS NÓS
javascript:void(0)
A soma de todas as correntes elétricas que chegam a um nó de um circuito elétrico deve ser igual à
soma de todas as correntes elétricas que saem desse mesmo nó. Ou seja, a totalidade das correntes
elétricas em um nó deve ser igual a zero.
∑iIi=0
 Atenção! Paravisualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
REGRA DAS MALHAS
A soma de todos os acréscimos de potencial elétrico ao longo de uma malha de um circuito elétrico
deve ser igual à soma dos decréscimos de potencial na mesma malha. Ou seja, a totalidade dos
aumentos e das diminuições de potencial elétrico em uma malha deve ser igual a zero.
∑iVi=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com as duas regras de Kirchhoff, podemos construir sistemas algébricos de equações lineares
acopladas típicas da álgebra linear, para a análise e solução de circuitos elétricos
DEMONSTRAÇÃO
Consideremos o circuito CC, a seguir, com quatro resistores e três fontes de tensão ideais. Vamos
calcular as soluções das correntes elétricas I, I1 e I2, conhecendo os dados das fontes de tensão E1,E2
e E3 e dos resistores R1,R2,R3 e R4, de acordo com a tabela e a figura a seguir. Ao final, vamos
calcular as potências fornecidas pelas fontes de tensão e as potências consumidas pelos resistores.
Considere as orientações das correntes indicadas.
 
Fonte: O autor
 Circuito CC resistivo de duas malhas
javascript:void(0)
E (fontes de tensão) R (resistores)
E1 = 8 V R1 = 1 Ω
E2 = 4 V R2 = 2 Ω
E3 = 8 V R3 = 2 Ω
R4 = 6 Ω
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Este é um circuito CC ideal de duas malhas e um único nó independente de divisão de corrente
elétrica, pois os nós identificados nos pontos A e B são equivalentes — ambos lidam com as mesmas
correntes nas mesmas orientações de fluxo.
Agora, vamos aplicar as regras de Kirchhoff, dos nós e das malhas ao circuito.

Primeiro, é preciso escolher as orientações das correntes, como a figura exemplifica com as setas em
vermelho
Depois, devemos identificar os nós independentes, como o ponto A, e obter a equação correspondente
da regra dos nós.


Nos pontos A e B desse circuito, a regra dos nós resultará na mesma equação.
Após, para cada uma das duas malhas, aplicando a regra das malhas, obteremos uma equação
algébrica independente.


A solução do sistema de três equações lineares acopladas nos dará as soluções das correntes
elétricas buscadas.
O uso de sinais para os aumentos ou diminuições dos potenciais respeitará a seguinte convenção: à
esquerda da igualdade, são relacionados os aumentos de potenciais e, à direita da igualdade, são
relacionadas as quedas de potenciais. A fonte de tensão E3 está com orientação dos polos de
potenciais no sentido contrário ao fluxo da corrente I1, assim será considerada um consumidor de
energia, como uma bateria sendo carregada, por exemplo.


A aplicação da regra das malhas deve seguir uma circulação fechada de corrente, em uma orientação
de escolha. As correntes em contrário a essa orientação terão sinal negativo na equação.
Vamos aos cálculos:
I=I1+I2E1+E2=R1I+R2I+R3I1+E3E3=-R3I1+R4I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
I=I1+I28+4=1I+2I+2I1+44=-2I1+6I2 ⟹ I=I1+I28=3I+2I12=-I1+3I2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
8=3I1+I2+2I1I1=3I2-2 ⟹ 8=5I1+3I2I1=3I2-2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
8=53I2-2+3I28=15I2-10+3I218=18I2 ⟹ I2=1AI1=3I2-2=1AI=I1+I2=2A 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ENTÃO, AS CORRENTES ELÉTRICAS SÃO I1 = 1A ; I2 = 1A ; I=2A.
Ainda nos falta calcular as potências fornecidas pelas fontes de tensão e as potências consumidas
pelos resistores. Vejamos:
Potências fornecidas pelas fontes de tensão Potências consumidas pelos resistores
P=VI PR1=R1.I2=1⋅22=4W
PE1=E1⋅I=16W PR2=R2⋅I2=2⋅22=8W
PE2=E2⋅I=8W PR3=R3⋅I12=2⋅12=2W
PE3=E3⋅I1=4W PR4=R4⋅I22=6⋅12=6W
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Considerando tais resultados das potências, chama-nos a atenção que a soma das potências
fornecidas pelas fontes de tensão (P = 28 W) não seja igual à soma das potências consumidas pelos
resistores (PR = 20 W). Então, o que ocorreu? Na verdade, uma das fontes de tensão estava
consumindo energia, (PE3 = 4W). Assim, a potência fornecida pelas fontes que alimentam o circuito
resistivo é de Pfontes = 24W, e a potência consumida pelos resistores e pela fonte E3 é de Pconsumo =
24W, como esperávamos.
MÃO NA MASSA
1. NA ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES DA FIGURA, A SEGUIR, CALCULE A
RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DO SISTEMA. 
 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
A) Req = 3,17 Ω
B) Req = 10 Ω
C) Req = 8,67 Ω
D) Req = 6,67 Ω
E) Req = 6 Ω
2. CONSIDERE A ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES DA FIGURA, A SEGUIR, NA
QUAL IMPLEMENTAMOS UMA NOVA CONEXÃO, EM VERMELHO, NA
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES DO PROBLEMA ANTERIOR. REPARE QUE
ESSA MODIFICAÇÃO ALTERA FORTEMENTE O SISTEMA E SUA SOLUÇÃO.
CALCULE A RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DESSE SISTEMA. 
 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
A) Req = 3,17 Ω
B) Req = 2,99 Ω
C) Req = 1,94 Ω
D) Req = 1,05 Ω
E) Req = 9 Ω
3. CONSIDEREMOS O CIRCUITO CC, A SEGUIR, COM TRÊS RESISTORES E
DUAS FONTES DE TENSÃO IDEAIS. CALCULE AS SOLUÇÕES DAS
CORRENTES ELÉTRICAS I,I1 E I2, CONHECENDO OS DADOS DAS FONTES DE
TENSÃO E1,E2 E DOS RESISTORES R1,R2,R3, DE ACORDO COM A TABELA E A
FIGURA A SEGUIR. CONSIDERE AS ORIENTAÇÕES DAS CORRENTES
INDICADAS. 
 CIRCUITO CC RESISTIVO DE DUAS MALHAS
E (FONTES DE TENSÃO) R (RESISTORES)
E1 = 12 V R1 = 2 Ω
E2 = 2 V R2 = 2 Ω
R3 = 2 Ω
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) I1=1 A ; I2=1 A; I=2 A 
B) I1=2 A ; I2=2 A; I=1 A 
C) I1=11 A ; I2=7 A; I=2 A 
D) I1=73 A ; I2=43 A; I=11 A 
E) I1=43 A ; I2=73 A; I=113 A 
4. NO CIRCUITO TRABALHADO NO PROBLEMA ANTERIOR E COM OS
MESMOS DADOS, CALCULE A ENERGIA CONSUMIDA, POR EFEITO JOULE,
PELOS RESISTORES DO CIRCUITO E A CONSEQUENTE GERAÇÃO DE CALOR,
NO INTERVALO DE 60 SEGUNDOS.
A) 3729 J
B) 2.480 J
C) 1.240 J
D) 60 J
E) 2.640J
5. SEJA O CIRCUITO CC, ABAIXO, COM CINCO RESISTORES E TRÊS FONTES
DE TENSÃO IDEAIS. VAMOS CALCULAR AS SOLUÇÕES DAS CORRENTES
ELÉTRICAS I,I1 E I2, CONHECENDO OS DADOS DAS FONTES DE TENSÃO E1,E2
E E3 E DOS RESISTORES R1,R2,R3,R4,R5, DE ACORDO COM A TABELA E A
FIGURA A SEGUIR. CONSIDERE AS ORIENTAÇÕES DAS CORRENTES
INDICADAS. 
 CIRCUITO CC RESISTIVO DE DUAS MALHAS
 
E (FONTES DE TENSÃO) R (RESISTORES)
E1 = 2 V R1 = 1 Ω
E2 = 4 V R2 = 1 Ω
E3 = 2 V R3 = 1 Ω
R4 = 1 Ω
R5 = 4 Ω
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) I1=1 A ; I2=1 A; I=2 A 
B) I1=2 A ; I2=1 A; I=-1 A 
C) I1=5 A ; I2=7 A; I=2 A 
D) I1=25 A ; I2=15 A; I=-15 A
E) I1=43 A ; I2=73 A; I=113 A 
6. NO MESMO CIRCUITO DO PROBLEMA ANTERIOR, VAMOS NOMEAR OS NÓS
COMO PONTOS A E B. AGORA, CALCULE A DIFERENÇA DE POTENCIAL
ELÉTRICO ENTRE ESSES PONTOS A E B, OU SEJA VA - VB.
 CIRCUITO CC RESISTIVO DE DUAS MALHAS
A) VA-VB=125 V 
B) VA-VB=4 V
C) VA-VB=8 V
D) VA-VB=0 V
E) VA-VB=285 V
GABARITO
1. Na associação de resistores da figura, a seguir, calcule a resistência equivalente do sistema. 
 Associação de resistores
A alternativa "A " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
2. Considere a associação de resistores da figura, a seguir, na qual implementamos uma nova
conexão, em vermelho, na associação de resistores do problema anterior. Repare que essa
modificação altera fortemente o sistema e sua solução. Calcule a resistência equivalente desse
sistema. 
 Associação de resistores
A alternativa "B " está correta.
Neste problema, observe que a nova conexão, em vermelho, faz com que os três resistores à esquerda
da linha em vermelho estejam em paralelo (4 Ω, 5 Ω e 2 Ω). Os resistores à direita da linha em
vermelho estão, agora, todos em paralelo (10 Ω, 15 Ω, 10 Ω, 10 Ω, 20 Ω, 10 Ω). E esses dois blocos de
resistores, à esquerda e à direita da conexão em vermelho, estão em série. Então:
Req1=14+15+12-1≡1,0526 Ω
 
Req2=110+115+110+110+120+110-1=410+115+120-1=1,935 Ω
 
Req=1,0526Ω+1,935Ω⟹2,99 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Consideremos o circuito CC, a seguir, com três resistores e duas fontes de tensão ideais.
Calcule as soluções das correntes elétricas I,I1 e I2, conhecendo os dados das fontes de tensão
E1,E2 e dos resistores R1,R2,R3, de acordo com a tabela e a figura a seguir. Considere as
orientações das correntes indicadas. 
 Circuito CC resistivo de duas malhas
E (fontes de tensão) R (resistores)
E1 = 12 V R1 = 2 Ω
E2 = 2 V R2 = 2 Ω
R3 = 2 Ω
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Veja a resolução da questão no vídeo a seguir:
4. No circuito trabalhado no problema anterior e com os mesmos dados, calcule a energia
consumida, por efeito Joule, pelos resistores do circuito e a consequente geração de calor, no
intervalo de 60 segundos.
A alternativa "B " está correta.
P1=R1I2=2Ω113A2=2429wattP2=R2I22=2Ω73A2=989wattP3=R3I12=2Ω43A2=329watt ⟹ W=Ptotal.ΔtW=
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Seja o circuito CC, abaixo, com cinco resistores e três fontes de tensão ideais. Vamos
calcular as soluções das correntes elétricas I,I1 e I2, conhecendo os dados das fontes de tensão
E1,E2 e E3 e dos resistores R1,R2,R3,R4,R5, de acordo com a tabela e a figura a seguir. Considere
as orientações das correntes indicadas. 
 Circuito CC resistivo de duas malhas
 
E (fontes de tensão) R (resistores)
E1 = 2 V R1 = 1 Ω
E2 = 4 V R2 = 1 Ω
E3 = 2 V R3 = 1 Ω
R4 = 1 Ω
R5 = 4 Ω
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Vamos adotar uma escolha de orientação das correntes, como indicado nas setas em vermelho. Se, ao
final, alguma corrente tiver valor negativo, não será preciso alterar a solução, apenas deveremos
interpretar que essa corrente terá sentido contrário ao indicado. Entretanto, isso não altera os
fenômenos elétricos dos circuitos.
Devemos aplicar as regras de Kirchhoff.
Vamos escolher, para a regra dos nós, um dos dois nós indicados, que são equivalentes. Para a regra
das malhas, vamos adotar (1) a malha mais externa e (2) a malha à esquerda na figura. Como o
circuito possui duas malhas, podemos equacionar para quaisquer duas circulações fechadas de
corrente no circuito.
Assim:
A alternativa "D " está correta.
I+I1=I22=1I+1I2+2+1I2+1I 2=1I+4-4I1+1I ⟹ I+I1=I22=2I+2I2+22=2I+4-4I1
 
I+I1=I2I+I2=0I-2I1=-1 ⟹ I+I+I1=0I- 2I1=-1 ⟹ 2I+I1=0I=2I1-1 
 
22I1-1+I1=05I1-2=0 ⟹ I1=25AI=-15AI2=15A 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. No mesmo circuito do problema anterior, vamos nomear os nós como pontos A e B. Agora,
calcule a diferença de potencial elétrico entre esses pontos A e B, ou seja VA - VB.
 Circuito CC resistivo de duas malhas
A alternativa "A " está correta.
No trecho do circuito entre os pontos A e B, o resistor de 4 Ω consome energia fornecida pela f.e.m. de
4 V. Assim, como o ponto A está conectado ao polo positivo da f.e.m., terá o mesmo potencial deste
polo, pois será um trecho equipotencial. Assim, para a diferença de potencial entre os nós A e B,
devemos subtrair o potencial de queda do resistor de 4 Ω da diferença de potencial fornecida pela
f.e.m. Então, dos cálculos das correntes elétricas desse circuito no problema anterior, temos:
VA-VB= E2- 4I1 ⟹ I1=25AE2=4 V
 
VA-VB=4 - 4.25 V ⟹ VA-VB=125 V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
No circuito CC representado na figura, vamos obter as potências fornecidas pelas baterias do circuito,
individualmente. Para isso, precisamos calcular as correntes elétricas que circulam no circuito.
 
Fonte: O autor
 Circuito CC resistivo de duas malhas
RESOLUÇÃO
Vamos aplicar as regras de Kirchhoff de acordo com a orientação das correntes da figura. Usaremos o
nó identificado pelo ponto B. Logo
I2=I1+I312=4I1+6I212=3I3+6I2 ⟹ 12=4I1+6I1+I312=3I3+6I1+
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Subtraindo as equações à direita, obtemos uma relação entre I1 como função de I3.
Aplicando essa relação na primeira equação das malhas, obtemos I2 como função de I3:
 4I1-3I3=0 I1=34I3 I2=34I3+I3=74I3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, basta substituir essas relações em qualquer das equações das malhas e obter as correntes do
circuito:
12=434I3+674I312=3I3+424I3484=124I3+424I3 ⟹ I3=48
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, I3=89A; I1=23A; I2= 149A. No entanto, o problema solicita o cálculo das potências fornecidas
pelas baterias do circuito. Então:
P=VIPE1=E1⋅I1=12V⋅23A=8 WPE2=E2⋅I3=12V⋅89A=323 W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse resultado nos mostra que fontes de tensão iguais podem nos fornecer potências diferentes, a
depender da sua demanda. Entretanto, são projetadas para uma potência nominal útil máxima que não
devemos superar, com risco de danos aos equipamentos.
Veja a seguir a solução desta questão:
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CHAMAMOS DE CURTO-CIRCUITO CONTATOS OU CONEXÕES ELÉTRICAS
QUE PERMITEM QUE A CORRENTE ELÉTRICA SIGA UM PERCURSO ELÉTRICO
COM O MENOR DISPÊNDIO DE ENERGIA, PARA OS PORTADORES DE
CARGAS. ENTÃO, CONSIDERE A ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES DA FIGURA A
SEGUIR. OBSERVE QUE FOI CONECTADA UMA LINHA DE CURTO, INDICADA
EM VERMELHO. CALCULE A RESISTÊNCIA EQUIVALENTE DESSE SISTEMA. 
 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
A) Req = 3,17 Ω
B) Req = 2,99 Ω
C) Req = 1,94 Ω
D) Req = 1,05 Ω
E) Req = 9 Ω
2. NO CIRCUITO CC, A SEGUIR, CALCULE A POTÊNCIA TOTAL CONSUMIDA
PELOS TRÊS RESISTORES DO CIRCUITO. 
 CIRCUITO CC RESISTIVO DE DUAS MALHAS
A) Peq = 2,37 W
B) Peq = 14,52 W
C) Peq = 1,78 W
D) Peq = 18,67 W
E) Peq = 24 W
GABARITO
1. Chamamos de curto-circuito contatos ou conexões elétricas que permitem que a corrente
elétrica siga um percurso elétrico com o menor dispêndio de energia, para os portadores de
cargas. Então, considere a associação de resistores da figura a seguir. Observe que foi
conectada uma linha de curto, indicada em vermelho. Calcule a resistência equivalente desse
sistema. 
 Associação de resistores
A alternativa "C " está correta.
 
A linha de curto na associação de resistores da figura encurta o caminho que a corrente elétrica deve
seguir, desde o ponto onde o potencial elétrico é mais alto até o ponto onde o potencial elétrico é mais
baixo. Perceba que a linha de curto, em vermelho, permite a condução elétrica de tal maneira que os
três resistores à esquerda foram tornados irrelevantes. A corrente elétrica poderá seguir o caminho de
menor dispêndio energético sem a necessidade de ser conduzida por esses três resistores à esquerda.
Assim, a associação de resistores resulta nos resistores à direita da linha vermelha vertical, que estão
todos em paralelo.
Desse modo:
 Req=110+115+110+110+120+110-1=410+115+120-1=1,935 Ω ⟹ Req≃1,94 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. No circuito CC, a seguir, calcule a potência total consumida pelos três resistores do circuito. 
 Circuito CC resistivo de duas malhas
A alternativa "D " está correta.
 
Para o cálculo da potência elétrica de consumo dos resistores, precisamos previamente calcular as
correntes elétricas que circulam no circuito. Vamos aplicar as regras de Kirchhoff de acordo com a
orientação das correntes da figura. Usaremos o nó identificado pelo ponto B. (O cálculo das correntes
elétricas desse circuito já foi efetuado no Teoria na Prática, de forma que iremos recapitular e seguir
para a potência de consumo dos resistores). Assim:
I2=I1+I312=4I1+6I212=3I3+6I2⟹ 12=4I1+6I1+I312=3I3+6I1+I3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Subtraindo as equações à direita, obtemos uma relação entre I1 como função de I3. Aplicando essa
relação na primeira equação das malhas, obtemos I2 como função de I3:
 4I1-3I3=0 I1=34I3 I2=34I3+I3=74I3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, basta substituir essas relações em qualquer das equações das malhas e obter as correntes do
circuito:
12=434I3+674I312=3I3+424I3484=124I3+424I3 ⟹ I3=4854=2427= 89AI1=34⋅89=2436= 23AI2=7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, I3=89A; I1=23A; I2= 149A. Mas o problema solicita o cálculo da potência total de consumo dos
resistores do circuito. Então,
PR1=R1I12=4Ω⋅23A2≅1,78 W
PR2=R2I22=6Ω⋅149A2≅14,52 W
PR3=R3I32=3Ω⋅89A2≅2,37 W
 
PR=PR1+PR2+PR3PR=18,67 W
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Com o tema da corrente elétrica e os circuitos elétricos C.C., iniciamos os estudos sobre os princípios
dos fenômenos elétricos dinâmicos e suas aplicações tecnológicas. É fundamental que você perceba
que todos os itens de estudo da eletrodinâmica clássica, mesmo aqueles aparentemente mais teóricos,
têm aplicação tecnológica e fazem parte da nossa sociedade tecnológica moderna.
Neste tema, você estudou a corrente elétrica, a resistência, a resistividade e a condutividade elétrica, a
lei de Ohm e a análise dos circuitos C.C. resistivos, por meio das regras de Kirchhoff. Não deixe de
experimentar as indicações complementares em Explore +.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
TIPLER, Paul A. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III – Sears & Zemansky. Vol. 3. 14. ed. São Paulo:
Addison Wesley, 2015.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: eletromagnetismo. Vol.
3. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
GRIFFITHS, David J. Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.
NUSSENZVEIG, Herch Moysés. Curso de física básica: eletromagnetismo. 1 ed. São Paulo: Blucher,
2018.
BARROS, Luciane M. Física teórica experimental III. 1 ed. Rio de Janeiro: SESES, 2017. 
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Leia sobre o modelo clássico da condução elétrica e a correção ao modelo no livro Física para
cientistas e engenheiros, de Paul Tipler.
Leia sobre condutores, isolantes, semicondutores e transistores no livro Física para cientistas e
engenheiros, de Paul Tipler.
Leia sobre voltímetros, amperímetros, ohmímetros e potenciômetros em Sears & Zemansky ,
Física III: eletromagnetismo, 2015.
Busque o simulador de resistores e resistência elétrica, do Projeto Phet, da Universidade do
Colorado, Boulder.
CONTEUDISTA
Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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