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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. Exercı´cios Resolvidos de Teoria Eletromagne´tica Jason Alfredo Carlson Gallas Professor Titular de Fı´sica Teo´rica Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Fı´sica Mate´ria para a SEGUNDA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro “Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Conteu´do 29 Circuitos Ele´tricos 2 29.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 29.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2 29.2.1 Trabalho, energia e FEM . . . . 2 29.2.2 Diferenc¸as de potencial . . . . . 2 29.2.3 Circuitos de malhas mu´ltiplas . 4 29.2.4 Instrumentos de medidas ele´tricas 7 29.2.5 Circuitos RC . . . . . . . . . . 9 Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (lista2.tex) http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. 29 Circuitos Ele´tricos 29.1 Questo˜es Q 29-1. � Na˜o. O sentido convencional da fem e´ sempre do terminal negativo para o terminal positivo da bateria, in- dependentemente do sentido da corrente que atravessa a bateria. Q 29-4. � Para medir a fem use um voltı´metro com uma re- sisteˆncia elevada e ligue os terminais do aparelho aos terminais da bateria sem nenhum outro circuito conec- tado a` bateria. Para medir a resisteˆncia interna da bate- ria, utilize uma pequena resisteˆncia em se´rie juntamente com um amperı´metro (tambe´m em se´rie). A seguir mec¸a a ddp � atrave´s dos terminais da bateria e a corrente � , que passa no circuito se´rie considerado. Calcule a re- sisteˆncia interna da bateria mediante a seguinte relac¸a˜o: ����� �� ��� 29.2 Problemas e Exercı´cios 29.2.1 Trabalho, energia e FEM E 29-2. Uma corrente de � A e´ mantida num circuito por uma bateria recarrega´vel cuja fem e´ de � V, durante � minu- tos. De que quantidade diminui a energia quı´mica da bateria? � A energia quı´mica da bateria e´ reduzida de uma quan- tidade ��������� , onde � e´ a carga que passa atrave´s dela num tempo ������� minutos e � e´ a fem da bateria. Se � for a corrente, enta˜o �ff���fi��� e �������fl�ffi����� !�#"%$& '�ffi��$( !� min $*) �,+ seg min - � ., /.102.3+54167 Note que foi necessa´rio converter o tempo de minutos para segundos para as unidades ficarem corretas. P 29-4. Uma determinada bateria de automo´vel cuja fem e´ de .�8 V tem uma carga inicial de .�85+ A 9 h. Supondo que a diferenc¸a de potencial entre seus terminais permanec¸a constante ate´ que a bateria esteja completamente descar- regada, por quantas horas ela podera´ fornecer energia na taxa de .:+;+ W? � Se < e´ a taxa com a qual a bateria entrega energia e ��� e´ o tempo, enta˜o ���=�><?��� e´ a energia entregue num tempo ��� . Se � e´ a carga que passa atrave´s da bate- ria no tempo ��� e � e´ a fem da bateria, enta˜o �����@��� . Igualando-se as duas expresso˜es para � e resolvendo-se para ��� , temos ���A� ��� < � B.38,+ A 9 h $( B.38 V $ .3+,+ W ��.&CD C horas 29.2.2 Diferenc¸as de potencial P 29-5. Na Figura 29-18, �DE#�F.38 V e �HGI�KJ V. Qual e´ o sen- tido da corrente no resistor? Que fem esta´ realizando trabalho positivo? Que ponto, " ou L , apresenta o mais alto potencial? � O sentido da corrente e´ anti-hora´rio, determinado pe- lo sentido da fonte “resultante” de fem: � res ���DEM���HGN� .�8%��Jffi��C V. A fonte que realiza trabalho positivo e´ a que tem o mes- mo sentido da fonte “resultante”; neste caso e´ a fonte � E . Se tivessemos mais fontes no circuito, todas as que tivessem o mesmo sentido da fonte “resultante” e´ que fariam trabalho positivo. Chamando de �DO e �DP o potencial no ponto " e L , res- pectivamente, temos, pela “regra da fem”, ao ir do ponto " ao ponto L passando atrave´s das fontes � ORQ .38#�SJI�@� PNT ou seja � O �?� P �K�UCWVX+ T o que implica ser �MP�Y��DO . E 29-8. Suponha que as baterias na Fig. 29-19 ao lado tenham resisteˆncias internas desprezı´veis. Determine: (a) a cor- rente no circuito; (b) a poteˆncia dissipada em cada re- sistor e (c) a poteˆncia de cada bateria e se a energia e´ fornecida ou absorvida por ela. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. � (a) Seja � a corrente no circuito e suponhamos que ela seja positiva quando passamos da direita para a es- querda de ZffE . Usando a lei de Kirchhoff das malhas: �DE[���flZ#G\���flZffE[���HG]��+ . Ou seja �^� �DE_�2�HG Z EAQ Z G � .�8 V ��� V C_` Q Ja` ��+D � A O fato de termos obtido um valor positivo para a cor- rente indica que o sentido arbitrado inicialmente foi o sentido correto da corrente. (b) A poteˆncia dissipada pelo resistor Z1E e´ < E �� !+7 b� A $ G cC_`U$��d. W T enquanto que a dissipada pelo resistor Z#G e´ < G �� !+7 b� A $ G 'Ja`U$��@8 W (c) Se � representar a corrente que passa atrave´s de uma bateria com � de fem, enta˜o a bateria fornece energia a uma taxa <F�K�fl� desde que a corrente e a fem estejam na mesma direc¸a˜o. A bateria absorve energia a uma ta- xa <>�K�fl� se a corrente e a fem estiverem em direc¸o˜es opostas. Para �7E a poteˆncia e´ < E �� '+D � A $& fi.�8 V $���� W e para �HG ela e´ <eG%�� '+D � A $& '� V $a��f W Na bateria . a corrente esta´ na mesma direc¸a˜o que a fem de modo que esta bateria fornece energia para o circuito. A bateria esta´ descarregando-se. A corrente na bateria 8 flui na direc¸a˜o contra´ria da fem, de modo que a bateria absorve energia. Portanto, ela esta´ carregando-se. E 29-9. Uma bateria de automo´vel com uma fem de 12 V e uma resisteˆncia interna de +D +;+5CN` esta´ sendo carregada com uma corrente de �5+ A. (a) Qual a diferenc¸a de potencial entre seus terminais? (b) A que taxa a energia esta´ sendo dissipada como calor na bateria? (c) A que taxa a ener- gia ele´trica esta´ sendo convertida em energia quı´mica? (d) Quais sa˜o as respostas dos itens (a), (b), (c) quan- do a bateria e´ usada para suprir �5+ A para o motor de arranque? � (a) �W� � � ���fl � .�8#�X g�5+*$( '+D +,C*$A�K.3+ Volts (b) < � � G � g�5+*$ G !+7 +5Ch$^��.:+;+ Watts (c) < � �i� � fi.38;$( g�5+;$A�@�,+;+ Watts (d) Parecem-se ser as mesmas. Mas acho que na˜o en- tendi a questa˜o... Na˜o parece fazer sentido perguntar-se isto. Pensar... E 29-10. Na Figura 29-20 o potencial no ponto < e´ de .:+;+ V. Qual e´ o potencial no ponto j ? � Precisamos determinar primeiramente o sentido e o valor da corrente no circuito, para enta˜o poder deter- minar a queda de potencial devida a cada uma das re- sisteˆncias. O sentido da corrente e´ aquele imposto pela bateria mais forte: a de .3�5+ V: sentido anti-hora´rio. O valor da corrente e´ obtido usando a lei das malhas, de Kirchhoff. Partindo do ponto j e seguindo no sentido anti-hora´rio temos: .��5+a�k8l�h�k�5+a�Wf,�M��+ T ou seja �A�@8,+ A Tendo este valor, partimos novamente do ponto j no sentido anti-hora´rio, descobrindo facilmente que �Dm Q .3�,+#�S8�0 85+I�n�DoqpK.3+,+ V Portanto � m �d�ff.3+ V Sugesta˜o: refac¸a o problema indo de j para < , pore´m aplicando a lei de Kirchhoff das malhas no sentido hora´rio. Sera´ que suas respostas finais podera˜o depen- der do sentido escolhido? E 29-11. Na Fig. 29-21, o trecho de circuito "]L absorve �,+ W de poteˆncia quando e´ percorrido por uma corrente �^�d. A no sentido indicado. (a) Qual a diferenc¸a de poten- cial entre " e L ? (b) O elemento r na˜o tem resisteˆncia interna. Qual e´ a sua fem? (c) Qual e´ a sua polaridade? � (a) Como <K���fi�DOsP, temos: � OsP � < � � �,+ W . A �n�5+ Volts http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. (b) Chamando-se de t um ponto qualquer que fique en- tre o resistor Z e o elemento r , temos �MOsu��@�DO2�?�Du����flZv�d. A 0 8ff`X�@8 Volts Portanto a fem do elemento r sera´ �w�@�MOsP?�?�DOsu����,+1�S8ff��C;J Volts (c) Subtraia e some � u ao valor de � O �?� P obtendo �MOw�?�MP x y{z | }~ �@�MOw�?�Mu x y{z | G Q �MuX�S�MP x y(z | 4 Portanto �MuYF�DP , ou seja, o terminal L e´ o terminal negativo. P 29-15. (a) Na Fig. 29-23, que valor deve ter Z para que a cor- rente no circuito seja de . mA? Considere �DE�8 V, �HG%�nf V e lE]�� :G#�nf#` . (b) Com que taxa a energia te´rmica aparece em Z ? � (a) Supondo que uma corrente � circula no circuito no sentido anti-hora´rio e aplicando a lei das malhas no sen- tido hora´rio, a partir de um ponto “a” localizado entre os dois terminais positivos das fontes de fem, obtemos � %�2�HG Q �fl :G Q �Z Q �g lE Q �7E� � �fl 3G Q �fl lE Q �Z � �HG\�2�DE B.:+HŁ:$& 'f Q f;$ Q .:+HŁ&Z � f1�?81��. .:+ Ł Z � +7 ,,C Z � ,,C%`# (b) <]��� G Zn�� B.:+ Ł $ G !,5Ch$A��D ,C�0�.:+ M4 Watts P 29-20. � (a) Sendo � a corrente no circuito, a ddp na bateria . e´ � E ��q���fl E e para que seja nula e´ preciso que � E ��^� E . A lei de Kirchhoff das malhas diz-nos que 8l�?�X�fl E �X�fl G �X�Z�+ . Substituindo-se ���=�l E nesta expressa˜o nos fornece Zv�� E �� G . (b) Como Z tem que ser positivo, precisamos ter �EY :G . A ddp atrave´s da bateria com a maior resisteˆncia interna pode ser anulada atrave´s de uma escolha apro- priada de Z . A ddp atrave´s da bateria com a menor re- sisteˆncia interna na˜o pode ser anulada. P 29-22. (a) Na Fig. 29-5a, mostre que a taxa na qual a energia e´ dissipada em Z como energia te´rmica e´ um ma´ximo quando Z�= . (b) Mostre que esta poteˆncia ma´xima vale <K��� G H cC; 5$ . � (a) A corrente no circuito e´ dada pela relac¸a˜o �A� � Q Z Com ela vemos que a expressa˜o < !Z1$ que da´ a energia te´rmica liberada em func¸a˜o de Z e´: < 'Zff$���� G Zn� � G Z c Q Zff$ G Para encontrar o valor procurado de Z vamos procu- rar o ponto maximo da curva < 'Zff$ . O ponto de in- flexa˜o de < !Zff$ e´ obtido como raiz da primeira derivada: <] Zv��+ . Ou seja, da equac¸a˜o < Z � � G c Q Zff$ G � 8l� G Z ' Q Zff$ Ł � � G c Q Zff$ Ł Q Z��?85Z%��+D Desta equac¸a˜o veˆ-se facilmente que a raiz procurada e´ ZF�� . NOTA: para garantir que a poteˆncia seja real- mente ma´xima e´ preciso ainda investigar-se a segunda derivada de < 'Zff$ ! Fac¸a isto. (b) A poteˆncia ma´xima liberada e´: < 'Zv�� 5$a��� G ff� � G c Q 5$ G � � G C; 29.2.3 Circuitos de malhas mu´ltiplas E 29-29. Na Fig. 29-24 determine a corrente em cada resistor e a diferenc¸a de potencial entre e . Considere �DE%�v� V, � G �@� V, � Ł ��C V, Z E �K.3+,+]` e Z G �@�,+%` . � Aplicando a Lei das Malhas, no sentido anti-hora´rio, nas duas malhas indicadas obtemos: �DE[���HG\�2� Ł ���G&Z#G� + T �U�BEZffE Q �HG� + T http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. que fornecem �BE� �HG Z E � � .3+,+ ��+D +*� A �G� �1�?�#�2C �5+ ���N+7 +,� A Note que � G tem sentido contra´rio ao que foi arbitra- do inicialmente no problema. Para encontrarmos a diferenc¸a de potencial entre os pontos e computa- mos as quedas de tensa˜o desde ate´ : �M Q C Q �ff�n� De onde descobrimos que: �M %�?� �� Volts. E 29-33. Duas laˆmpadas, uma de resisteˆncia Z E e a outra de re- sisteˆncia Z G , Z E Y�Z G esta˜o ligadas a uma bateria (a) em paralelo e (b) em se´rie. Que laˆmpada brilha mais (dissipa mais energia) em cada caso? � (a) Seja � a fem da bateria. Quando as laˆmpadas sa˜o conectadas em paralelo a diferenc¸a de potencial atreve´s delas e a mesma e e´ a mesma que a fem da bateria. A poteˆncia dissipada pela laˆmpada . e´ <^ER�� G 5Z1E e a poteˆncia dissipada pela laˆmpada 8 e´ MGW��� G lZ#G . Co- mo Z1E e´ maior que Z%G , a laˆmpada 8 dissipa energia a uma taxa maior do que a laˆmpada . , sendo portanto a mais brilhante das duas. (b) Quando as laˆmpadas sa˜o conectadas em se´rie a corrente nelas e´ a mesma. A poteˆncia dissipada pela laˆmpada . e´ agora < E �� G Z E e a poteˆncia dissipada pela laˆmpada 8 e´ < G �@� G Z G . Como Z E e´ maior do que Z G , mais poteˆncia e´ dissipada pela laˆmpada . do que pe- la laˆmpada 8 sendo agora a laˆmpada . a mais brilhante das duas. E 29-35. Nove fios de cobre de comprimento e diaˆmetro esta˜o ligados em paralelo formando um u´nico condutor com- posto de resisteˆncia Z . Qual devera´ ser o diaˆmetro t de um u´nico fio de cobre de comprimento , para que ele tenha a mesma resisteˆncia? � De acoˆrdo com a Eq. 15 do Cap. 28, a resisteˆncia dos 9 fios juntos e´ ZK�¡ ," � 5¢ G lC T onde " e´ a a´rea de cada fio individual. A resisteˆncia de um fio u´nico equivalente, com mesmo comprimento e´ Z#£U� ¢it G lC Para que tenhamos Z��Z £ vemos que e´ preciso ter-se t��f , que e´ a resposta procurada. P 29-39. Dispo˜e-se de um certo nu´mero de resistores de .:+¤` , cada um deles capaz de dissipar somente . W. Que nu´mero mı´nimo de tais resistores precisamos dispor nu- ma combinac¸a˜o se´rie-paralelo, a fim de obtermos um resistor de .3+%` capaz de dissipar pelo menos � W? � Divida os resistores em ¥ grupos em paralelo, sendo cada um destes grupos formado por um arranjo em se´rie de ¦ resistores. Como todos os resistores sa˜o iguais, a resisteˆncia equivalente e´ . Z total � ¥ ¦iZ Como desejamos que Z total �KZ , precisamos escolher ¦��¥ . A corrente em cada resistor e´ a mesma e temos um total de ¦ G deles, de modo que a poteˆncia total dissipada e´ < total ��¦ G < , sendo < a poteˆncia dissipada por apenas um resistor. ´E pedido que < total Y§�,< , onde <¨�. W. Portanto, precisamos que ¦ G seja maior que � . O menor nu´mero inteiro satisfazendo esta condic¸a˜o e´ f , o que fornece o nu´mero mı´nimo de resistores necessa´rios: ¦ G �� , ou seja, treˆs ramos em paralelo, cada ramo con- tendo treˆs resistores em se´rie. P 29-40. � (a) Estando conectadas em paralelo, na˜o apenas a ddp sobre as duas baterias e´ a mesma como tambe´m a cor- rente � (positiva para a esquerda) que circula por elas e, portanto, 8l� a corrente que circula em Z . A regra das malhas nos fornece � �2�fl #�S85�flZv��+ , de modo que �A� � Q 8,Z A poteˆncia dissipada e´ <d��� G Zn� � G Z c Q 8,Z1$ G O valor ma´ximo e´ obtido colocando-se igual a zero a derivada de < em relac¸a˜o a Z : < Z � � G c Q 85Zff$ G � C;� G Z c Q 85Zff$ Ł � � G ' %�?85Zff$ c Q 8,Zff$ Ł http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. Desta u´ltima expressa˜o verificamos que < tem um va- lor extremo (que tanto pode ser um ma´ximo quanto um mı´nimo), para Zv�� ,58 . Para verificar que para ZK�� ,,8 o valor de < realmente e´ ma´ximo, voceˆ ainda precisa calcular G <] Z G e ve-rificar que tal derivada e´ negativa para Z�§ 5,8 . Na˜o deixe de conferir e, principalmente, perceber bem que nos problemas de ma´ximo e mı´nimo, e´ sempre impres- cindı´vel o ca´lculo da segunda derivada antes de se poder afirmar a natureza das soluc¸o˜es. (b) A taxa ma´xima de dissipac¸a˜o de energia e´ obtida substituindo-se Zv�� 5,8 na expressa˜o da poteˆncia: < max � � G ,,8 g8l 5$ G � � G J5 P 29-46. Na Fig. 29-33, �DEv��f V, �HGd�©. V, ZffEK����` , Z#GS�8` , Z Ł �Cª` e as duas baterias sa˜o ideiais. (a) Qual e´ a taxa de dissipac¸a˜o de energia em ZffE ? Em Z#G ? Em Z Ł ? (b) Qual e´ a poteˆncia da bateria . ? e da bateria 8 ? � (a) Usando a lei das malhas e a lei dos no´s obtemos o sistema de treˆs equac¸o˜es envolvendo as treˆs inco´gnitas � E , � G e � Ł : �7E_��� Ł Z Ł ���fiE(Z1E� + T �hG Q �G&Z#GU���fiE(Z1E� + T � Ł � � EAQ � G Resolvendo estas equac¸o˜es, encontramos: � E � �DE(Z%G Q �HG&Z Ł ZffE{Z#G Q Z1E(Z Ł Q Z#G&Z Ł � � .3 A T �G� � E Z E �2� G 'Z E�Q Z Ł $ ZffE{Z#G Q Z1E(Z Ł Q Z#G&Z Ł � f .3 A T � Ł � �DEl 'ZffE Q Z%G3$^���hG:Z1E Z E Z G_Q Z E Z Ł Q Z G Z Ł � J .3 A A poteˆncia dissipada em cada resistor e´ < E ��� G E Z E � +D f,C;� W T < G ��� G G Z G � +D +*�5+ W T < Ł ��� G Ł Z Ł � +D b«5+, W (b) As poteˆncias fornecidas sa˜o: <AE� Q � Ł �DEU�K.; 8,�,f W <G� �X�G(�HG]�K�N+D ¬.��5J W O resultado para a segunda fonte e´ negativo pois a cor- rente �G percorre-a no sentido contra´rio ao sentido de sua fem. Observe que .; 8,�,fff��+D f,C;� Q +7 +;�5+ Q +7 /.3�,J , como de- veria ser. P 29-50. � (a) O fio de cobre e a capa de alumı´nio esta˜o conec- tados em paralelo, de modo que a ddp sobre eles e´ a mesma e, portanto, ��Z#q���O^Z%O T onde o subı´ndice ‘C’ refere-se ao cobre e ‘A’ ao alumı´nio. Para cada um dos fios sabemos que Z®� h¯ (" , ou seja, Z �° ¯ ¢i G T Z O � O ¯ ¢� ! G �S G $ T que substituidas em ��Z#q���O^Z%O fornecem � G � �O O G �S G Resolvendo esta equac¸a˜o juntamente com a equac¸a˜o �^��� Q � O , onde � e´ a corrente total, obtem-se �fl � G �� ! G �S G $ wQ G O �O � g G �S G $ �� ! G �S G $ wQ G O Numericamente, encontramos para o denominador o va- lor de f7 /.:+�0�.:+ E } `q9:¥ Ł , e �fl?��., /.,. A T �OS��+D J;,f A (b) Considere o fio de cobre. Sendo �±�±.�8 Volts a ddp, usamos a expressa˜o �����AZ%q� � ¯ ¢i G T de onde obtemos ¯ � ¢i G � � Z �d.38,� metros P 29-51. � Primeiro, devemos obter uma func¸a˜o Z1E, c²$ que fornec¸a o valor da resisteˆncia do pedac¸o de Z ~ que esta´ em paralelo com Z , bem como Z#G, c²$ , que fornec¸a a http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. resisteˆncia do pedac¸o restante de Z ~ , de modo que te- nhamos sempre Z ~ p³ZffEl '²$ Q Z#G, c²$ , qualquer que seja o valor de ² . O enunciado do problema informa que a resisteˆncia Z ~ e´ uniforme, isto e´, varia linearmente de + a Z ~ . Portanto, ZffEl c²$´� ² ¯ Z ~ T Z#G, c²$´� Z ~ �SZ1E, c²$a�§);.U� ² ¯ - Z ~ T onde ² deve ser medido na mesma unidade que ¯ , por exemplo, em centı´metros. Chamando-se de ZNµ o paralelo de Z com Z E temos ZNµ�¶Z#Z E 7 'Z Q Z E $ e, consequentemente, a re- sisteˆncia equivalente total Z]· do circuito e´ Z · ��Z µ Q Z#G]��Z µ Q�¸ .U� ² ¯ffi¹ Z ~ Como a corrente fornecida pela bateria e´ a mesma cor- rente que passa tanto atrave´s de Z#G quanto do paralelo Z µ , vemos facilmente que a diferenc¸a de potencial �Mº sobre Z (que obviamente coincide com �E sobre ZffE ) pode ser obtida da relac¸a˜o �� � Z · � � º Z µ fl� � E Z µ $ T ou seja, � º � Z µ Z · �� A poteˆncia pedida e´ enta˜o: <eº � � G º Z � . ZK» �eZ#ZffE&7 'Z Q ZffE($ fi.U��² ¯ $BZ ~ Q Z1Z1E:H !Z Q Z1E&$�¼ G T que, simplificada, fornece o resultado final < º � .3+,+;Z� '�i²5Z ~ $ G B.:+;+,ZIlZ ~ Q .3+5²��² G $ G T onde ² deve ser medido em centı´metros. P 29-52. A Fig. 29-11a (pg. 143) mostra .38 resistores, cada um de resisteˆncia Z , formando um cubo. (a) Determine Z1E Ł , a resisteˆncia equivalente entre as extremidades da dia- gonal de uma face. (b) Determine Z1EB½ , a resisteˆncia equivalente entre as extremidades da diagonal do cubo. (Veja o Exemplo 29-4, pg. 143.) � (a) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos . e f , o ‘truque’ e´ perceber que temos os pontos 8 e C no mes- mo potencial, bem como os pontos � e J esta˜o no mesmo potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de mo- do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorc¸a˜o altere as correntes. ..... Longos ca´lculos....: Z E Ł ��f,ZI�C . (b) Ao aplicar-se uma ddp entre os pontos . e « , o ‘tru- que’ e´ perceber que temos os pontos C e � no mesmo potencial, bem como os pontos f e � esta˜o no mesmo potencial. Portanto o circuito pode ser distorcido de mo- do a fazer tais pontos coincidirem, sem que tal distorc¸a˜o altere as correntes. ..... Longos ca´lculos....: Z Efi½ �@�5ZIl� . 29.2.4 Instrumentos de medidas ele´tricas P 29-56. Qual e´ a corrente, em termos de � e Z , indicada pe- lo amperı´metro " na Fig. 29-41? Suponha que a re- sisteˆncia do amperı´metro seja nula e a bateria seja ideal. � Chamemos de a o terminal positivo da bateria, de b o terminal negativo, de c o terminal do amperı´metro que esta´ ligado entre 85Z e Z e, finalmente, de d o terminal do amperı´metro que esta´ ligado entre Z e Z . Chamemos de �fiE a corrente que flui atrave´s de 8,Z de a para c. Analogamente, de �flG a corrente fluindo de a para d. Finalmente, chamemos de �O a corrente que flui atrave´s do amperı´metro, indo de d para c. Assim, a cor- rente de c para b sera´ �BE Q �O , enquanto que a corrente de d para b sera´ �G%�q�O . Estas informac¸o˜es devem ser colocadas sobre a Figura do problema, para simplificar o uso da lei das malhas. Verifique que a corrente que sai e que entra nos termi- nais da bateria tem o mesmo valor, � EUQ � G , como na˜o poderia deixar de ser. Da lei das malhas, aplicada aos circuitos bacb e badb obtemos duas equac¸o˜es independentes: � ��� � 8,Z%�BE Q Z� '�BE Q �OA$ � Z#�G Q ZW '�flG\���OA${ Ale´m disto, temos que �M (¾©� 8,Z#�fiE �M (¿À� Z#�G5 Pore´m, como a resisteˆncia do amperı´metro (suposto ideal aqui) e´ nula, sabemos que �DO¨pÁ�¾¿��Â+ , ou seja, que �M (¾[p@� (¿; http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. Estas treˆs u´ltimas equac¸o˜es implicam termos �flGN�n8l�BE que, substituido na expressa˜o acima para �M nos permi- te determinar que � E �n8l�7 g«5Z1$ e que, finalmente, �O2� � «5Z P 29-58. � A corrente em Z G e´ � . Seja � E a corrente em Z E e suponha-a para baixo. De acordo com a lei dos no´s, a corrente no voltı´metro e´ �s�w� E , para baixo. Aplicando a lei das malhas no lac¸o da esquerdaobtemos � ���Z%G\���BE{ZffE[���g ff��+D Aplicando a mesma lei no lac¸o da direita temos �BE(Z1E[�� c�e�2�BE&$fiZffÃq��+D Resolvendo estas equac¸o˜es encontramos �� ZffE Q Z1à Z1à � ElT que quando substituida na primeira das equac¸o˜es acima fornece-nos � � !Z EaQ Z à $& 'Z G_Q l$ Z1à �fiE Q ZffE[�BEU��+ T ou seja � E � �ÄZffà 'Z E�Q Z à $( 'Z G_Q 5$ Q Z E Z à A leitura no voltı´metro sera´, portanto, �fiE(Z1E , que e´ dada por 'f7 + V $& !�7 +W0�.:+ Ł $( g8,�,+;$ !f,+,+ Q .:+;+;$& !8,�,+ Q �H +�02.3+ Ł $ Q g8,�5+*$( g�H +�0�.:+ Ł $ expressa˜o esta que nos fornece o valor �BE{ZffE� ., /.38 Volts A corrente na auseˆncia do voltı´metro pode ser obtida da expressa˜o de �BE{ZffE no limite ZffÃ?ÅÇÆ : �BE{ZffEU� �ÄZ E ZffE Q Z%G Q � 'fD + V $( !8;�5+#`U$ 8,�,+%` Q f;+,+]` Q .:+;+]` � ., /.3� Volts O erro fracional e´ Erro � ., /.3�%�X., /.38 ., /.3� ��+D +;f,+ T ou seja, f1È . P 29-63. A ponte de Wheatstone. Na Fig. 29-44 ajustamos o valor de Z1É ate´ que os pontos e fiquem exatamente com o mesmo potencial. (Verificamos esta condic¸a˜o ligan- do momentaneamente um amperı´metro sensı´vel entre e ; se estes pontos estiverem no mesmo potencial, o amperı´metro na˜o defletira´.) Mostre que, apo´s essa ajus- tagem, a seguinte relac¸a˜o e´ va´lida: Z#Êffi�@Z É Z G ZffE � Chamando de �Ë a corrente que passa de Z E para Z G e de � ¿ a corrente que passa de Z É para Z%Ê , temos, su- pondo � �@�M : �flË*Z E ��� ¿ Z É e �Ë*Z G ��� ¿ Z#Ê7 Portanto, da raza˜o entre estas duas expresso˜es encontra- mos o resultado pedido. � Procedimento sugerido por um aluno: Seja �BE a cor- rente em ZffE e Z%G e considere-a positiva quando apontar na direc¸a˜o do ponto “a” ao passar por ZffE . Seja �G a cor- rente em Z1É e Z Ê , considerando-a positiva quando ela apontar na direc¸a˜o do ponto “b” ao passar por Z#É . Com esta convenc¸a˜o a regra da malhas fornece 'ZffE Q Z%G3$�BE_�X !Z Ê Q Z1É($�G]��+7 gÌ,$ Como os pontos “a” e “b” esta˜o no mesmo potencial, temos �BE{ZffE�Í�flG:Z#É . Esta u´ltima equac¸a˜o nos da´ �G�>�BE{ZffE3lZ1É , que quando substituida na equac¸a˜o (*) acima produz 'ZffE Q Z%G3$h�BEN�d !Z Ê Q Z1É{$ Z E Z%G �fiEl donde tiramos facilmente Z Ê ��Z1ÉZ%GllZffE . P 29-64. Se os pontos e na Fig. 29-44 forem ligados por um fio de resisteˆncia , mostre que a corrente no fio sera´ �A� �a 'Z1É_��Z Ê $ !Z Q 8l 5$( !Z É�Q Z%Ê*$ Q 8,Z É Z#Ê T onde � e´ a fem da bateria ideal. Suponha que Z1E�� Z#G#�nZ e que Z ~ �v+ . Esta fo´rmula e´ consistente com o resultado do Problema 63? e do 56? � http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 8 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. 29.2.5 Circuitos RC E 29-66. Quantas constantes de tempo devem decorrer ate´ que um capacitor em um circuito Zffr esteja carregado com me- nos de . % de sua carga de equilı´brio? � A equac¸a˜o que rege a carga de um capacitor e´ �1�nr#�a B.N��Î]Ï,Ð Ñ*Ò $��nr#�a B.U��ÎeÏ,Ð Ó $ onde Ô e´ a constante de tempo. A carga de equilı´brio e´ atingida para ���vÆ , valendo enta˜o �ff��r#� . Portanto .3+,+#�Õ. .:+,+ r#�2�nr#�a B.U��ÎeÏ,Ð Ó $ T ou seja, Ö/× .U��+D ;lM�d�UCM �;+;�1�K�U�lÔ , fornecendo ����CM �;+;�^Ô7 E 29-68. � (a) Basta igualar-se as duas expresso˜es para a carga num capacitor: �À� rff� � r#� ) .U��Î ·'ØÙ - T de onde tiramos que � �?� � ��Î; ·'ØÙ T ou seja � � Ô � ln ) .�8#�S� .38Ú- � ln « .38 Û �N+D �,f,D Desta expressa˜o, para �A��., fI0 .3+ Ü segundos, encon- tramos Ô� ., f�02.3+ Ü +7 b�5f; Û 8H CD.�8\Ý s (b) rd� Ô Z � 87 CM.38ffi02.3+ Ü .��ffi0�.:+ Ł �@+7 /.:�D.%0S.3+ Þ F P 29-69. Um capacitor com uma diferenc¸a de potencial de .:+;+ V e´ descarregado atrave´s de um resistor quando uma cha- ve entre eles e´ fechada no instante �ffi�+ . No instante ���.3+ s a diferenc¸a de potencial atrave´s do capacitor e´ . V. (a) Qual e´ a constante de tempo do circuito? (b) Qual e´ a diferenc¸a de potencial atrave´s do capacitor no instante ���K.l« s? � (a) A diferenc¸a de potencial � atrave´s das placas do capacitor esta´ relacionada a` carga � na placa positiva pe- la relac¸a˜o ����,,r , onde r e´ a capacitaˆncia. Como a carga em um capacitor que se descarrega e´ controlada por ��d� ~ Î ·'Ø�Ù , onde � ~ e´ a carga no instante �U��+ e Ô e´ a constante de tempo, isto significa que � '�B$a��� ~ �* ·'Ø�Ù T onde � ~ p�� ~ 5r e´ a diferenc¸a de potencial existente no instante inicial. Portanto Ô�d� � ln !�[5� ~ $ ��� .3+ ln .lh.:+;+l Û 87 ¬.l« s (b) Para ���d.l« s, ��Ô�d.l«,,8H /.�« Û «h J,f e obtemos ���n� ~ Î ·'Ø�Ù �� B.:+;+;$HÎ ½&ß �Ł Û f7 ,�W0�.:+ G V P 29-71. Um capacitor de .]Ý F com uma energia inicial armaze- nada de +7 b� J e´ descarregado atrave´s de um resistor de . M ` . (a) Qual a carga inicial no capacitor? (b) Qual o valor da corrente atrave´s do resistor no momento em que a descarga inicia? (c) Determine �M , a voltagem atrave´s do capacitor, e �Mº , a voltagem atrave´s do resis- tor, em func¸a˜o do tempo. (d) Expresse a taxa de gerac¸a˜o de energia te´rmica no resistor em func¸a˜o do tempo. � (a) A energia armazenada num capacitor e´ àA³� � G ~ H g8,rff$ , onde r e´ a capacitaˆncia e � ~ e´ a carga inicial na placa. Portanto � ~ ��á 8;rIà � á 87 B.ff02.3+ Ü F $& '+7 b� J $ � .ff0�.:+ Ł C � . mC (b) A carga em func¸a˜o do tempo e´ �ff��� ~ Î ·'Ø�Ù , onde Ô e´ a constante de tempo. A corrente e´ a derivada da carga em relac¸a˜o ao tempo: ��d� � � � � ~ Ô Î; ·'Ø�Ù [O sinal negativo e´ necessa´rio pois a corrente de descar- ga flui no sentido oposto ao sentido da corrente que fluiu durante o processo de carga.] http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 9 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. A corrente inicial e´ dada pela expressa˜o acima no ins- tante �A��+ : � ~ �@� ~ �Ô . A constante de tempo e´ Ôk�@Zffrv�� fi.I0�.:+ Ü F $( fi.ff0�.:+ Ü `U$��d. s Portanto � ~ � .ff0�.:+ Ł C . s ��. mA (c) Substitua �1�@� ~ Î ·cÙ em �Mq���,,r obtendo enta˜o �D] c�B$a� � ~ r Î; ·'ØÙ � .ff02.3+ Ł C .ff02.3+ Ü F Î, ·'Ø&â E s ã � fi.ff0�.:+;Ł:$^Î; · V T onde � e´ medido em segundos. Substitua �^�� '� ~ lÔD$HÎ ·'Ø�Ù em � º ���Z , obtendo �DºU '�B$´� � ~ Z Ô Î; ·'Ø�Ù � B.I0�.:+ Ł C $& fi.ff0�.:+ Ü `U$ B. s $ Î ·'Ø&â E s ã � B.I0�.:+ Ł $HÎ · V T com � medido em segundos. (d) Substitua �A�� !� ~ �ÔD$HÎ ·'Ø�Ù em <d��� G Z , obtendo < c�B$´� � G ~ Z Ô G Î, G ·'Ø�Ù � fi.ff0�.:+ Ł C $ G B.ff02.3+ Ü `U$ B. s $ G Î G ·'Ø&â E s ã � fi.3$7Î G · W T novamente com � medido em segundos. P 29-72. Um resistor de f M ` e um capacitor de .UÝ F esta˜o liga- dos em um circuito de uma u´nica malha com uma fonte de fem com ���@C V. Apo´s . s de feita a ligac¸a˜o, quais sa˜o as taxas nas quais: (a) a carga do capacitor esta´ au- mentando; (b) a energia esta´ sendo armazenada no ca- pacitor; (c) a energia te´rmica esta´ aparecendo no resistor e (d) a energiaesta´ sendo fornecida pela fonte de fem? � (a) A carga na placa positiva do capacitor e´ dada por �ff��r#� » .U�SÎ ·'Ø�Ù ¼ T onde � e´ a fem da bateria, r e´ a capacitaˆncia, e Ô e´ a constante de tempo capacitiva. O valor de Ô e´ Ô�@Zffrv�� 'fW0�.:+ Ü `U$( fi.ffi02.3+ Ü F $��@f s Para �A�d. s temos � Ô � . s f s Û +D f;f,f e a taxa com a qual a carga esta´ aumentando e´ � � � r#� Ô Î; ·'Ø�Ù � B.ff02.3+ Ü F $& cC V $ f s Î; ~ ß ŁŁ�Ł Û D �;��02.3+H ½ C/s Observe que ‘Coulombs/segundo’ e´ a definic¸a˜o de Ampe`re, a unidade de corrente. (b) A energia armazenada no capacitor e´ dada por àA?� � G H g8,rff$ e sua taxa de carga e´ à � � � r � � Para �A�d. s temos �¶� r#� » .U�SÎ ·'Ø�Ù ¼ � fi.ffi02.3+ Ü F $( 'C V $ » .U��Î ~ ß Ł�ŁŁ ¼ Û ., /.:f�0�.:+ Ü C T de modo que à� � � ) ., /.:f�0�.:+ Ü C .ff0�.:+ Ü F - 'D �;��02.3+H ½ C/s $ Û ., +,J�0�.:+7Ü W (c) A taxa com a qual a energia esta´ sendo dissipa- da no resistor e´ dada por <�´� G Z . A corrente e´ D �;��02.3+ ½ A, de modo que <K�� 'D �;�ffi0�.:+ ½ A $ G 'fW0�.:+ Ü `U$ Û 8H ä«�CW0�.:+ Ü W (d) A taxa com a qual a energia e´ fornecida pela bateria e´ �fl�w�d !7 b�,��0�.:+7 ½ A $& cC V $ Û fD J*8ffi0�.:+7Ü W A energia fornecida pela bateria e´ ou armazenada no capacitor ou dissipada no resistor. O princı´pio da conservac¸a˜o da energia requer que �g�w� à�_ � Q � G Z� http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 10 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. Os valores nume´ricos acima satisfazem o princı´pio de conservac¸a˜o, como se pode verificar facilmente. P 29-78. No circuito da figura abaixo, �2�K.; 8 kV; rd���7 b�%Ý F; ZffE�Z#Gª�§Z Ł �+D b«5f M ` . Com r completamente descarregado, a chave å e´ subitamente fechada ( �a�n+ ). (a) Determine as correntes atrave´s de cada resistor para ����+ e ���nÆ . (b) Trace um gra´fico que descreva quali- tativamente a queda do potencial � G atrave´s de Z G desde �%��+ a �]�FÆ . (c) Quais sa˜o os valores nume´ricos de � G em �ffi�=+ e ���æÆ . (d) Deˆ o significado fı´sico de ���nÆ no presente problema. � (a) Em ����+ o capacitor esta´ completamente des- carregado e a corrente no ramo do capacitor e´ a que terı´amos se o capacitor fosse substituido for um fio con- dutor. Seja � E a corrente em Z E ; tome-a positiva quando aponta para a direita. Seja � G a corrente em Z G , positiva quando apontar para baixo. Seja � Ł a corrente em Z Ł , positiva quando apontar para baixo. Usando a lei dos no´s e a lei das malhas obtemos Lei dos no´s ç �fiEU���G Q � Ł T Malha esquerda ç � �2�BE{ZffE[���G(Z%G#��+ T Malha direita ç �flG:Z%GN�2� Ł Z Ł �@+7 Como todas as resisteˆncias sa˜o iguais, podemos des- prezar os subı´ndices, escrevendo apenas Z , onde Zp ZffEN��Z#G%��Z Ł . A u´ltima das treˆs equac¸o˜es acima nos diz que � Ł �§�flG resultado que, substituido na primeira das equac¸o˜es aci- ma, nos da � G ��� E ,8 . Com isto tudo, na˜o e´ difı´cil agora usar-se a equac¸a˜o do meio para obter-se que �BE[� 85� f,Z � 87 fi.; 8�0�.:+ Ł V $ fM '+7 ä«lf�0�.:+ Ü `U$ Û ., /.ff0�.:+ Ł A e, consequentemente, que � G ��� Ł � � f;Z � ., b8ffi0�.:+ Ł V fD '+D b«5fffi0�.:+ Ü `U$ Û �7 ��0�.:+ M4 A Em ���nÆ o capacitor estara´ completamente carrega- do sendo portanto zero a corrente no ramo que conte´m o capacitor. Enta˜o �fiEU���G e a lei das malhas fornece � ���fiE{Z1E[���G&Z#G]��+ T o que nos fornece a soluc¸a˜o �BEU���GN� � 85Z � ., b8�02.3+ Ł V 87 !+7 ä«lf�02.3+ Ü `U$ Û J7 b8�02.3+HM4 A (b) Considere a placa superior do capacitor como sen- do positiva. Isto e´ consistente com a corrente que flui em direc¸a˜o a esta placa. As leis dos no´s e das malhas sa˜o �BEd���flG Q � Ł , �n�d�BE{Z�d�BE{Zè�´+ , e �I !�,5rff$]��� Ł Z Q �G(Z¡�Ç+ . Use a primeira equac¸a˜o para substituir �BE na segunda e obter �ª�28l�G(Z��w� Ł Zn� + . Portanto �flG§� c�K�� Ł Zff$H g85Zff$ . Substitua es- ta expressa˜o na terceira equac¸a˜o acima obtendo enta˜o �I !�,5rff$\�d '� Ł Zff$ Q c�,8,$\�d '� Ł ZI58,$�¨+ . Substitua agora � Ł por �, � obtendo � Ł � � �Äé f,Z 8 � � Q � r � � 8 Como na˜o e´ difı´cil de reconhecer, esta e´ a equac¸a˜o de um circuito Zffr em se´rie, exceto que a constante de tem- po e´ Ô?�>f,Zffr158 e a diferenc¸a de potencial aplicada e´ �^58 . A soluc¸a˜o e´, portanto, �H '�B$�� r#� 8 » .U�SÎ G ·'Ø&â Ł ºs ã ¼ A corrente no ramo que conte´m o capacitor e´ � Ł '�B$a� � � � � f,Z Î; G ·'Ø(â Ł ºs ã A corrente no ramo do centro e´ �G, c�B$�� � 85Z � � Ł 8 � � 85Z � � �,Z Î; G ·'Ø(â Ł ºs ã � � �,Z » f1�SÎ G ·'Ø(â Ł ºs ã ¼ enquanto que a diferenc¸a de potencial ao atravessar-se Z#G e´ � G c�B$a��� G Zv� � ��» f1��Î G ·'Ø&â Ł ºs ã ¼ Gra´fico de �MG; '�B$ : fac¸a-o voceˆ mesmo, usando a equac¸a˜o acima!! ´E uma curva que parte do valor ê5G%���lf , cres- cendo assimpto´ticamente para o valor �,8 . (c) Para ���n+ , o fator exponencial Î G ·'Ø&â Ł ºs ã e´ igual a . e � G � � f � .; 8�0�.:+ Ł V f ��C;+;+ V http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 11 de 12 LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:21 a.m. Para ���vÆ , o fator exponencial Î G Ø&â Ł ºs ã e´ zero e � G � � 8 � ., b8�02.3+ Ł V 8 �@�,+;+ V (d) O significado fı´sico de “tempo infinito” e´ um certo intervalo de tempo suficientemente grande para que se possa considerar como sendo zero o valor da corrente que circula no ramo contendo o capacitor. Tal intervalo de tempo devera´ ser muitas vezes maior que a constante de tempo caracterı´stica do circuito em questa˜o. http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 12 de 12
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