6 apostila matemática tj

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Conjuntos Numéricos 
Números Naturais (ℕ) 
 
Definição: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
 
Subconjuntos 
 
ℕ* = {1, 2, 3, 4,...} naturais não nulos. 
 
Números Inteiros (ℤ) 
 
Definição: ℤ = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4,...} 
 
Subconjuntos 
 
ℤ* = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 1, 2, 3, 4,...} inteiros não nulos. 
ℤ + = {0, 1, 2, 3, 4,...} inteiros não negativos (naturais). 
ℤ*+ = {1, 2, 3, 4,...} inteiros positivos. 
ℤ- = {..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0} inteiros não positivos. 
ℤ*- = {..., – 4, – 3, – 2, – 1} inteiros negativos. 
 
O módulo de um número inteiro, ou valor absoluto, é a distância da origem a esse ponto 
representado na reta numerada. Assim, módulo de – 4 é 4 e o módulo de 4 é também 4. 
 
|– 4| = |4| = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação de dízima periódica em fração geratriz 
 
São quatro passos 
 
1. Escrever tudo na ordem, sem vírgula e sem repetir. 
 
2. Subtrair o que não se repete, na ordem e sem vírgula. 
 
3. No denominador: 
 
a) Para cada item “periódico”, colocar um algarismo “9”; 
b) Para cada intruso, se houver, colocar um algarismo “0”. 
 
Exemplos 
 
a) 0,333... Seguindo os passos descritos acima: (03 – 0) = 3/9 = 1/3 
 9 
b) 1,444... Seguindo os passos descritos acima: 14 – 1 = 13/9 
 9 
c) 1,232323... Seguindo os passos descritos acima: 123 – 1 = 122/99 
 99 
d) 2,1343434... Seguindo os passos descritos acima: 2134 – 21 = 2113/990 
 990 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 4-) A 5-) B 6-) C 7-) D 8-) B 9-) E 
 
Teoria dos Conjuntos (Linguagem dos Conjuntos) 
 
Conjunto é um conceito primitivo, isto é, sem definição, que indica agrupamento de objetos, 
elementos, pessoas etc. Para nomear os conjuntos, usualmente são utilizadas letras maiúsculas 
do nosso alfabeto. 
 
Representações: 
 
Os conjuntos podem ser representados de três formas distintas: 
 
I – Por enumeração (ou extensão): Nessa representação, o conjunto é apresentado pela citação 
de seus elementos entre chaves e separados por vírgula. Assim temos: 
 
•• O conjunto “A” das vogais –> A = {a, e, i, o, u}. 
•• O conjunto “B” dos números naturais menores que 5 –> B = {0, 1, 2, 3, 4}. 
•• O conjunto “C” dos estados da região Sul do Brasil –> C = {RS, SC, PR} 
 
II – Por propriedade (ou compreensão): Nesta representação, o conjunto é apresentado por uma 
lei de formação que caracteriza todos os seus elementos. Assim, o conjunto “A” das vogais é dado 
por A = {x / x é vogal do alfabeto} –> (Lê-se: A é o conjunto dos elementos x, tal que x é uma 
vogal) 
 
Outros exemplos: 
 
•• B = {x/x é número natural menor que 5} 
•• C = {x/x é estado da região Sul do Brasil} 
 
III – Por Diagrama de Venn: Nessa representação, o conjunto é apresentado por meio de uma 
linha fechada de tal forma que todos os seus elementos estejam no seu interior. Assim, o conjunto 
“A” das vogais é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: a-) Pertence b-) Não pertence c-) não pertence d-) pertence e-) pertence 
 f-) pertence g-) não pertence 
 
 
Relação de Inclusão 
 
É uma relação que estabelecemos entre dois conjuntos. Para essa relação fazemos uso dos 
símbolos ⊂, ⊄, ⊃ e ⊅. 
 
Exemplos: 
 
Fazendo uso dos símbolos de inclusão, estabeleça a relação entre os conjuntos: 
 
a) ℕ _____ ℤ 
b) ℚ _____ ℕ 
c) ℝ _____ I 
d) I _____ ℚ 
 
Gabarito: a-) Contido b-) Não está contido c-) contém d-) não contém 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
•• Dizemos que um conjunto “B” é um subconjunto ou parte do conjunto “A” se, e somente se, B 
⊂ A. 
•• Dois conjuntos “A” e “B” são iguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A. 
•• Dados os conjuntos “A”, “B” e “C”, temos que: se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C. 
 
União, Intersecção e Diferença entre Conjuntos 
 
 
 
Exemplos: 
 
Dados os conjuntos A = {1, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 4} e C = {4, 5, 10}. Determine: 
 
a) A ⋂ B c) A – B e) A ⋂ B ⋂ C 
 
 
b) A ⋃ B d) B – A f) A ⋃ B ⋃ C 
 
Gabarito: a-) {3,4} b-) {1, 2, 3, 4} c-) {1,5} d-) {2} e-) {4} f-) {1,2,3,4,5 e 10} 
 
 
 
 
 
 
3. Uma pesquisa sobre a inscrição em cursos de esportes tinha as seguintes opções: 
A (Natação), B (Alongamento) e C (Voleibol) e assim foi montada a tabela seguinte: 
 
 
Analise as afirmativas seguintes com base nos dados apresentados na tabela. 
 
1. 33 pessoas se inscreveram em pelo menos dois cursos. 
2. 52 pessoas não se inscreveram no curso A. 
3. 48 pessoas se inscreveram no curso B. 
4. O total de inscritos nos cursos foi de 88 pessoas. 
 
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é: 
 
a) 1 e 2 c) 3 e 4 e) 2, 3 e 4 
b) 1 e 3 d) 1, 2 e 3 
 
 
 
 
 
Gabarito: 1. E 2. C 3. B 
 
 
Operações Matemáticas 
 
Observe que cada operação tem nomes especiais: 
 
•• Adição: 3 + 4 = 7, onde os números 3 e 4 são as parcelas e o número 7 é a soma ou total. 
 
•• Subtração: 8 – 5 = 3, onde o número 8 é o minuendo, o número 5 é o subtraendo e o número 
3 é a diferença. 
 
•• Multiplicação: 6 × 5 = 30, onde os números 6 e 5 são os fatores e o número 30 é o produto. 
 
•• Divisão: 10 ÷ 5 = 2, onde 10 é o dividendo, 5 é o divisor e 2 é o quociente, neste caso o resto 
da divisão é ZERO. 
 
Regra de sinais da adição e subtração de números inteiros 
 
•• A soma de dois números positivos é um número positivo. 
(+ 3) + (+ 4) = + 7, na prática eliminamos os parênteses. + 3 + 4 = + 7 
 
•• A soma de dois números negativos é um número negativo. 
(-3) + (-4) = – 7, na prática eliminamos os parênteses. – 3 – 4 = – 7 
 
•• Se adicionarmos dois números de sinais diferentes, subtraímos seus valores absolutos e 
damos o sinal do número que tiver o maior valor absoluto. 
(– 4) + (+ 5) = + 1, na prática eliminamos os parênteses. – 4 + 5 = 1 assim, 6 – 8 = – 2. 
 
•• Se subtrairmos dois números inteiros, adicionamos ao 1º o oposto do 2º número. 
(+ 5) – (+ 2) = (+ 5) + (– 2) = + 3, na prática eliminamos os parênteses escrevendo o oposto 
do segundo número, então: + 5 – 2 = + 3 (o oposto de +2 é – 2) 
(– 9) – (- 3) = – 9 + 3 = – 6 
(– 8) – (+ 5) = – 8 – 5 = – 13 
 
 
 
Gabarito: a-) 2 b-) 22 c-) 33 d-) 57 e-) -9 f-) 3 g-) -4 h-) 9 i-) 4 j-) 1 k-) -12 l-) -4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Calcule os produtos e os quocientes: 
 
a) (– 9) × (– 3) = b) 4 ÷ (– 2) = c) – 6 × 9 = 
 
d) (– 4) ÷ (– 4) = e) 12 ÷ (– 6) = f) – 1 × (– 14) = 
 
g) (+ 7) × (+ 2) = h) (– 8) ÷ (– 4) = i) - 5 x (- 4) ÷ 2 = 
 
 
3. Efetue os cálculos a seguir: 
 
a) 2085 - 1463 = b) 700 + 285 = c) 435 x 75 = 
 
d) 4862 ÷ 36 = e) 3,45 - 2,4 = f) 223,4 + 1,42 = 
 
g) 28,8 ÷ 4 = h) 86,2 x 3 = 
 
 
Gabarito: 
2-) a-) 27 b-)-2 c-)-54 d-) 1 e-) -2 f-) 14 g-) 14 h-) 2 i-) 10 
3-) a-) 622 b-) 985 c-) 32.625 d-) 135,055 e-) 1,05 f-)224,82 g-) 7,2 h-) 258,60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: a-) 9 b-) 9 c-) -9 d-) 125 e-) 36 f-) 64 g-) 1 h-)16 i-) 1 j-) 49 k-) 4,41 l-) -1,331 m-) 64 n-) -64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso tenha sinais de associação: 
 
1º resolvemos os parênteses ( ) 
2º resolvemos os colchetes [ ] 
3º resolvemos as chaves { } 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
5-) a-) 6 b-) 92 c-) 3 d-) 145 e-) 22 f-) 60 
6-) a-) -3/2 b-) -4/7 c-) -18 d-)-2/3 
 
 
 
 
 
Adição e subtração de frações 
 
 
 
Com denominadores diferentes 
 
•• Sendo os denominadores diferentes é preciso encontrar as frações equivalentes às frações 
dadas de modo que os denominadores sejam iguais, uma maneira prática é encontrar o MMC dos 
denominadores, veja: 
 
 
Gabarito: a-) 74/20 b-) 11/3Gabarito: 
8-) a-) 10/7 b-) 1/4 c-) 32/3 d-) -48/35 
9-) a-) -1 b-) 1 c-) -6 d-) -2 
 
 
 
 
 
 
 
Múltiplos e Divisores 
 
Múltiplos e divisores de um número 
 
•• Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero. 
•• O número 10 é múltiplo de 2, pois 10 dividido por 2 é igual a 5 e resta zero. 
•• O número 12 é múltiplo de 3, pois 12 dividido por 3 é igual a 4 e resta zero. 
•• O número 15 também é múltiplo de 3, pois 15 dividido por 3 é igual a 5 e resta zero. 
•• O número 9 não é múltiplo de 2, pois 9 dividido por 2 é igual a 4 e resta 1. 
•• O número 15 não é múltiplo de 4, pois 15 dividido por 4 é igual a 3 e resta 3. 
•• Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M (2), e dos múltiplos de 5, 
isto é, M (5): 
•• M (2) = {0, 2, 4, 6, 8, ...}, M (5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...} 
 
 
Principais Critérios de Divisibilidade 
 
Divisibilidade por 2 
 
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, 
quando ele é par. 
 
Exemplos: 5.040 é divisível por 2, pois termina em 0. 
237 não é divisível por 2, pois não é um número par. 
 
Divisibilidade por 3 
 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for 
divisível por 3. 
 
Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2 + 3 + 4 = 9, e como 9 é 
divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 
 
Divisibilidade por 4 
 
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois 
últimos algarismos da direita for divisível por 4. 
 
Exemplos: 1.800 é divisível por 4, pois termina em 00. 
 4.116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 
 1.324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 
 3.850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O mínimo múltiplo comum dos números 2, 3, 6 é igual a 6. 
 
De 6 em 6 horas os três remédios serão ingeridos juntos. Portanto, o próximo horário será às 14 
horas. 
 
 
Exemplo 5 
 
Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A 
área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 
pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que 
todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de 
funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de 
cada equipe e o número possível de equipes. 
 
Encontrar o MDC entre outros números 48, 36 e 30. 
 
 
Decomposição em fatores primos 
 
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 
36 = 2 x 2 x 3 x 3 
30 = 2 x 3 x 5 
Assim o MDC (30, 36, 48) = 2 x 3 = 6 
Determinado o número total de equipes 
 
O número de equipes será igual a 19, com 6 participantes cada uma. 
 
 
Exemplos 
 
Se x é um número natural em que MMC (14, x) = 154 e MDC (14, x) = 2, podemos dizer que x 
vale: 
 
a) 22 
b) -22 
c) +22 ou -22 
d) 27 
e) -27 
 
 
 
 
 
 
Grandezas diretamente proporcionais 
 
A definição de grandeza está associada a tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Como 
exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço, idade e etc. 
 
As grandezas diretamente proporcionais estão ligadas de modo que à medida que uma grandeza 
aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional. 
 
Grandezas diretamente proporcionais, explicando de uma forma mais informal, são grandezas que 
crescem juntas e diminuem juntas. Podemos dizer também que nas grandezas diretamente 
proporcionais uma delas varia na mesma razão da outra. Isto é, duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra 
também triplica... E assim por diante. 
 
Exemplo: 
Um automóvel percorre 300 km com 25 litros de combustível. Caso o proprietário desse automóvel 
queira percorrer 120 km, quantos litros de combustível serão gastos? 
 
300 km  25 litros 
120 km  x litros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Diga se é diretamente ou inversamente proporcional: 
 
a) Número de cabelos brancos do professor e sua idade. 
b) Número de erros em uma prova e a nota obtida. 
c) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa. 
d) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago. 
e) O número de regras matemática ensinadas e a quantidade de aulas assistidas. 
 
6. Se um avião, voando a 500 Km/h, faz o percurso entre duas cidades em 3h, quanto 
tempo levará se viajar a 750 Km/h? 
a) 1,5h. 
b) 2h. 
c) 2,25h. 
d) 2,5h. 
e) 2,75h. 
 
 
 
 
 
 
 
Questões 
 
1. Diga se é diretamente ou inversamente proporcional: 
a) Número de cabelos brancos do professor e sua idade. 
b) Número de erros em uma prova e a nota obtida. 
c) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa. 
d) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago. 
e) O número de regras matemática ensinadas e a quantidade de aulas assistidas. 
 
2. Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y 
é: 
a) 20 
b) 22 
c) 24 
d) 28 
e) 32 
 
3. Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de – açúcar. Determine quantos 
litros de álcool são produzidos com 15 000 kg de cana. 
a) 1000 litros. 
b) 1050 litros. 
c) 1100 litros. 
d) 1200 litros. 
e) 1250 litros. 
 
4. Um muro de 12 metros foi construído utilizando 2 160 tijolos. Caso queira construir um muro de 
30 metros nas mesmas condições do anterior, quantos tijolos serão necessários? 
 
a) 5000 tijolos. 
b) 5100 tijolos. 
c) 5200 tijolos. 
d) 5300 tijolos. 
e) 5400 tijolos. 
 
 
 
 
 
 
 
9. A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles 
resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será a duração 
dos alimentos? 
 
a) 12 dias. 
b) 14 dias. 
c) 16 dias. 
d) 18 dias. 
e) 20 dias. 
 
10. Uma viagem foi feita em 12 dias percorrendo-se 150km por dia. Quantos dias seriam 
empregados para fazer a mesma viagem, percorrendo-se 200km por dia? 
 
a) 5 dias. 
b) 6 dias. 
c) 8 dias. 
d) 9 dias. 
e) 10 dias. 
 
11. Para realizar certo serviço de manutenção são necessários 5 técnicos trabalhando durante 6 
dias, todos com o mesmo rendimento e o mesmo número de horas. Se apenas 3 técnicos 
estiverem disponíveis, pode-se concluir que o número de dias a mais que serão necessários para 
realizar o mesmo serviço será 
 
a) 2 dias. 
b) 3 dias. 
c) 4 dias. 
d) 5 dias. 
e) 6 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra de três simples 
 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores 
dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já 
conhecidos. 
 
 Passos utilizados numa regra de três simples: 
 
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e 
mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 Exemplos: 
 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a 
energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 
1,5m2, qual será a energia produzida? 
 Solução: montando a tabela: 
 
Área (m2) Energia (Wh) 
1,2 400 
1,5 x 
 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido 
(para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
 
 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado 
percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada 
fosse de 480km/h? 
 Solução: montando a tabela: 
 
Velocidade (Km/h) Tempo (h) 
400 3 
480 x 
 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. 
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário 
(para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 
 
 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 
camisetas do mesmo tipo e preço? 
 Solução: montando a tabela: 
 
Camisetas Preço (R$) 
3 120 
5 x 
 
 Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as 
grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos: 
 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 
 
 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 
dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o 
mesmo trabalho? 
 Solução: montando a tabela: 
 
Horas por dia Prazo para término (dias) 
8 20 
5 x 
 
 Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para 
término aumenta. 
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas 
são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
 
Regra de três composta 
 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou 
inversamente proporcionais. Para não vacilar, temos que montar um esquema com base na 
análise das colunas completas em relação à coluna do “x”. 
 
Vejamos os exemplos abaixo. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Inicialmente organizaremos as colunas nas mesmas unidades de medida, portanto, usaremos o 
tempo em segundos lembrando que 2,5 minutos = 2,5 x 60 segundos , logo 150 segundos. 
 
Assim: 
 
 
 
Agora temos que fazer as perguntas para a coluna do x: 
 
Se 30 linhas precisam de 150 segundos para serem digitadas, 120 linhas gastarão MAIS ou 
MENOS tempo? RESPOSTA: MAIS tempo. 
 
Se 5 erros são cometidos em 150 segundos de digitação, 4 erros seriam cometidos em MAIS ou 
MENOS tempo? RESPOSTA: MENOS tempo. 
 
Se com velocidade de 100% a digitação é feita em 150 segundos, com velocidade reduzida em 
20%gastaríamos MAIS ou MENOS tempo? RESPOSTA: MAIS tempo. 
 
Agora colocamos os sinais nas colunas e montamos a equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem 
vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade, os cavalos restantes poderão ser 
alimentados durante: 
 
a) 3 meses. 
b) 4 meses. 
c) 45 dias. 
d) 2 meses. 
e) 30 dias. 
 
5. Uma ponte foi construída em 48 dias por 25 homens, trabalhando -se 6 horas por dia. Se o 
número de homens fosse aumentado em 20% e a carga horária de trabalho em 2 horas por dia, 
esta ponte seria construída em: 
 
a) 24 dias. 
b) 30 dias. 
c) 36 dias. 
d) 40 dias. 
e) 45 dias 
 
6. Usando um ferro elétrico 20 minutos por dia, durante 10 dias, o consumo de energia será de 5 
kWh. O consumo do mesmo ferro elétrico se ele for usado 70 minutos por dia, durante 15 dias será 
de. 
 
a) 25 kWh. 
b) 25,5 kWh. 
c) 26 kWh. 
d) 26,25 kWh. 
e) 26,5 kWh. 
 
 
 
 
 
 
 
11. Em uma fábrica de cerveja, uma máquina encheu 2 000 garrafas em 8 dias, funcionando 8 
horas por dia. Se o dono da fábrica necessitasse que ela triplicasse sua produção dobrando ainda 
as suas horas diárias de funcionamento, então o tempo, em dias, que ela levaria para essa nova 
produção seria: 
 
a) 16 
b) 12 
c) 10 
d) 8 
e) 4 
 
12. Em uma fábrica de tecidos, 7 operários produziram, em 10 dias, 4 060 decímetros de tecido. 
Em 13 dias, 5 operários, trabalhando nas mesmas condições, produzem um total em metros de 
tecidos igual a 
 
a) 203 
b) 377 
c) 393 
d) 487 
e) 505 
 
13. Para cavar um túnel, 30 homens demoraram 12 dias. Vinte homens, para cavar dois túneis do 
mesmo tamanho e nas mesmas condições do primeiro túnel, irão levar: 
 
a) 36 dias. 
b) 38 dias. 
c) 40 dias. 
d) 42 dias. 
e) 44 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porcentagem 
 
DEFINIÇÃO: A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando “por cento”, “a 
cada centena”) é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma 
proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma 
fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem). 
 
Taxa Unitária 
 
Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, encontramos a taxa 
unitária. 
A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática 
financeira. 
Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por uma 
fração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100. 
 
 
Dica: 
A porcentagem vem sempre associada a um elemento, portanto, sempre multiplicado a ele. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fator de Descapitalização 
 
Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual novo 
valor deste produto? 
Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas 
podemos fazer a afirmação abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Acréscimo e Desconto Sucessivos 
 
Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isso 
acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão desse 
tipo. O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo 
que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização. 
 
Exemplo: 
Os bancos vêm aumentando significativamente as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos 
mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20% no 
2° semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas 
tarifas aumentadas em: 
 
a) 50% 
b) 30% 
c) 150% 
d) 56% 
e) 20% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto) 
Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos: 1 – 0,84 = 0,16 
Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. 
Alternativa E 
 
Faça você 
 
Uma mercadoria que custava US$ 2.400 sofreu um aumento, passando a custar US$ 2.880. A 
taxa de aumento foi de: 
a) 30%. 
b) 50%. 
c) 10%. 
d) 20%. 
e) 15%. 
 
Uma certa mercadoria que custava R$ 10,50 teve um aumento, passando a custar R$ 11,34. 
O percentual de aumento da mercadoria foi de: 
a) 1,0%. 
b) 10,0%. 
c) 10,8%. 
d) 8,0%. 
e) 0,84%. 
 
A expressão (10%)2 é igual a 
a) 100%. 
b) 1%. 
c) 0,1%. 
d) 10%. 
e) 0,01%. 
 
Um trabalhador recebeu dois aumentos sucessivos,de 20% e de 30%, sobre o seu salário. 
Desse modo, o percentual de aumento total sobre o salário inicial desse trabalhador foi de 
a) 30%. 
b) 36%. 
c) 50%. 
d) 56%. 
e) 66% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 1-) D 2-) D 3-) B 4-) D 5-) C 6-) D 7-) A 8-) D 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
 O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor 
principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou 
simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. 
Transformando em fórmula temos: 
 
J = P . i . n 
 
Onde: 
J = juros 
P = principal (capital) 
i = taxa de juros 
n = número de 
períodos 
 
 Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo 
regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
 Montante = Principal + Juros 
 Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) 
 
M = P . ( 1 + ( i . n ) ) 
 
 Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. 
durante 145 dias. 
 SOLUÇÃO: 
 M = P . ( 1 + (i.n) ) 
 M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 
 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. 
Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial 
possui 360 dias. 
 
 
 Exercícios sobre juros simples: 
 
 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 
 0.13 / 6 = 0.02167 
 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 
 j = 1200 x 0.195 = 234 
 
 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., 
durante 125 dias. 
 Temos: J = P.i.n 
 A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. 
 Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, 
poderemos calcular diretamente: 
 J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 
 
 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 
75 dias? 
 Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) 
 Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou 
seja, meses. Logo, 
 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem: 
 P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 
 
 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para 
dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 
 
 Objetivo: M = 2.P 
 Dados: i = 150/100 = 1,5 
 Fórmula: M = P (1 + i.n) 
 Desenvolvimento: 
2P = P (1 + 1,5 n) 
2 = 1 + 1,5 n 
n = 2/3 ano = 8 meses 
Sistema Métrico Decimal 
 
Definição: O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é parte integrante do Sistema de Medidas. É 
adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro. O Sistema de Medidas é 
um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de 
medição. 
 
Unidades de medida ou sistemas de medida é um tema bastante presente em concursos 
públicos e por isto é mais um dos assuntos tratados nesse livro. 
 
Para podermos comparar um valor com outro, utilizamos uma grandeza predefinida como 
referência, grandeza esta chamada de unidade padrão. 
 
As unidades de medida padrão que nós brasileiros utilizamos com maior frequência são o grama, 
o litro e o metro, assim como o metro quadrado e o metro cúbico. 
Além destas também fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por exemplo a 
medição de tempo, de temperatura ou de ângulo. 
 
Dependendo da unidade de medida que estamos utilizando, a unidade em si ou é muito grande ou 
muito pequena, neste caso então utilizamos os seus múltiplos ou submúltiplos. O grama 
geralmente é uma unidade muito pequena para o uso cotidiano, por isto em geral utilizamos o 
quilograma, assim como em geral utilizamos o mililitro ao invés da própria unidade litro, quando 
o assunto é bebidas por exemplo. 
 
Utilização das Unidades de Medida 
 
Quando estamos interessados em saber a quantidade de líquido que cabe em um recipiente, na 
verdade estamos interessados em saber a sua capacidade. O volume interno de um recipiente é 
chamado de capacidade. A unidade de medida utilizada na medição de capacidades é o litro. 
 
Se estivéssemos interessados em saber o volume do recipiente em si, a unidade de medida 
utilizada nesta medição seria o metro cúbico. 
 
Para ladrilharmos um cômodo de uma casa, é necessário que saibamos a área deste cômodo. 
Áreas são medidas em metros quadrados. 
 
Para sabermos o comprimento de uma corda, é necessário que a meçamos. Nesta medição a 
unidade de medida utilizada será o metro ou metro linear. 
 
Se você for fazer uma saborosa torta de chocolate, precisará comprar cacau e o mesmo será 
pesado para medirmos a massa desejada. A unidade de medida de massa é o grama. 
 
Veja a tabela a seguir na qual agrupamos estas principais unidades de medida, seus múltiplos e 
submúltiplos do Sistema Métrico Decimal, segundo o Sistema Internacional de Unidades – SI: 
 
 
 
 
 
 
 
Veja outros exemplos de leitura: 
 
8,05 km = Lê-se assim: “Oito quilômetros e cinco decâmetros” 
72,207 dam = Lê-se assim: “Setenta e dois decâmetros e duzentos e sete centímetros” 
0,004 m = Lê-se assim: “quatro milímetros” 
 
Observe a tabela a seguir: 
 
 
 
 
Outros Exemplos de Conversão entre Unidades de Medida 
 
Converta 2,5 metros em centímetros 
 
Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na tabela metro está 
à esquerda de centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de metros para 
centímetros saltamos dois níveis à direita. 
 
Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros para centímetros: 
2,5m.10.10 = 250cm 
 
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita. 
 
Portanto:2,5 m é igual a 250 cm 
 
 
Passe 5.200 gramas para quilogramas 
 
Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na tabela grama está 
à direita de quilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para 
quilogramas saltamos três níveis à esquerda. 
 
Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e 
finalmente de hectograma para quilograma: 
5200g:10:10:10 = 5,2 kg 
 
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda. 
 
Portanto:5.200 g é igual a 5,2 kg 
 
 
Quantos centilitros equivalem a 15 hl? 
Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita. Multiplicaremos 
então 15 por 10 quatro vezes: 
15hl.10.10.10.10 = 150000 cl 
 
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita. 
 
Portanto:150.000 cl equivalem a 15 hl. 
 
 
 
 
 
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à 
esquerda. 
 
Dividiremos então por 10 duas vezes: 
0,348 ml:10:10 = 0,00348 dl 
 
Logo: 348 mm3 equivalem a 0,00348 dl. 
 
Dúvidas Frequentes 
 
•• Um metro cúbico equivale a quantos metros quadrados? 
•• Converter medidas em decilitros para gramas. 
•• Quantos litros cabem em um metro quadrado? 
•• Como passar litros para milímetros? 
•• Quantos centímetros lineares há em um metro quadrado? 
•• Conversão de litros para gramas. 
•• Um centímetro corresponde a quantos litros? 
•• Como passar de centímetros quadrados para mililitros? 
•• Quantos mililitros tem um centímetro? 
•• Transformar m3 em metro linear. 
•• Quanto vale um centímetro cúbico em gramas? 
 
Você consegue notar algum problema nestas pesquisas? 
 
O problema é que elas buscam a conversão entre unidades de medidas incompatíveis, como por 
exemplo, a conversão de metro cúbico para metro quadrado. A primeira é uma unidade de medida 
de volume e a segunda é uma unidade de medida de área, por isto são incompatíveis e não existe 
conversão de uma unidade para a outra. 
 
Então todas asconversões acima não são possíveis de se realizar, a não que se tenha outras 
informações, como a densidade do material na última questão, mas isto já uma outra disciplina. 
 
Acredito que a razão destas dúvidas é o fato de o estudante não conseguir discernir claramente o 
que são comprimento, área, volume e capacidade, por isto vou procurar esclarecer tais conceitos 
com maiores detalhes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo 
 
Quadro de unidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
Além das unidades vistas anteriormente, podemos também relacionar algumas outras: 
 
 
 
 
 O mês comercial utilizado em cálculos financeiros possui por convenção 30 dias. 
 
 
 
 
•• Quantos segundos há em um dia? 
 
Nos exemplos anteriores nos referimos a unidades vizinhas, convertemos de minutos para 
segundos e vice-versa. 
 
Como a unidade de tempo dia é maior que a unidade segundo, iremos solucionar o problema 
recorrendo a uma série de multiplicações. 
 
Pela tabela de conversão acima para convertermos de dias para horas devemos multiplicar por 24, 
para convertermos de horas para minutos devemos multiplicar por 60 e finalmente para 
convertermos de minutos para segundos também devemos multiplicar por 60. Temos então o 
seguinte cálculo: 
 
1 x 24 x 60 x 60 = 864.000 
 
•• 10.080 minutos são quantos dias? 
 
Semelhante ao exemplo anterior, só que neste caso precisamos converter de uma unidade menor 
para uma unidade maior. Como as unidades não são vizinhas, vamos então precisar de uma série 
de divisões. 
De minutos para horas precisamos dividir por 60 e de horas para dias temos que dividir por 24. 
O cálculo será então: 
 
10.080 ÷ 60 ÷ 24 = 7 
 
Assim 10.080 minutos correspondem 7 dias. 
 
 
Gabarito: 1.C 
 
NOÇÕES DE GEOMETRIA 
 
ÂNGULOS 
 
Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que possuem uma 
origem em comum, chamada vértice do ângulo. 
 
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de medidas, é o 
grau, representado pelo símbolo º, e seus submúltiplos são o minuto ’ e o segundo ”. 
 
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos). 
 
Ângulo é um dos conceitos fundamentais da matemática, ocupando lugar de destaque na 
Geometria euclidiana, ao lado de ponto, reta, plano, triângulo, quadrilátero, polígono e perímetro. 
 
Tipos de ângulo 
 
•• Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 
igual a 90º. Neste caso, cada um é o complemento do outro. 
 
Na ilustração temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dadas duas ou mais retas paralelas, cada reta transversal a essas retas formam ângulos opostos 
pelo vértice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulos de um Polígono 
 
A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada 
a seguinte expressão para o cálculo: 
 
 
 
 
 
 
Polígono regular e irregular 
 
Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais. Alguns exemplos de 
polígonos regulares. 
 
Polígonos regulares 
 
Um polígono irregular é aquele que não possui os ângulos com medidas iguais e os lados não 
possuem o mesmo tamanho. 
 
Polígonos irregulares 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Dada a figura: 
 
 
 
Sobre as sentenças 
 
I – O triângulo CDE é isósceles. 
II – O triângulo ABE é equilátero. 
III – AE é bissetriz do ângulo BÂD. 
 
é verdade que 
 
a) somente a I é falsa. 
b) somente a II é falsa. 
c) somente a III é falsa. 
d) são todas falsas. 
e) são todas verdadeiras. 
- 61 - 
 
Teorema de Pitágoras 
 
 
DEFINIÇÃO 
 
 
O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer 
triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que: 
 
“Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos comprimentos dos catetos.” 
 
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o 
formam. O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser 
enunciado como uma relação entre áreas: 
 
 
“Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das 
áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.” 
 
 
 
 
 
Para ambos os enunciados, pode-se equacionar:? 
 
 a2 = b2 + c2 
 
Exemplo: Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir. 
 
- 62 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 63 - 
 
 
Questões 
 
1. Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um alambrado 
de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em ângulo reto) e fechar essa 
área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra. Se ele utilizou 6 metros de um muro, do 
outro muro ele irá utilizar, em metros? 
 
a) 7. 
b) 5. 
c) 8. 
d) 6. 
e) 9. 
 
2. Num triângulo ABC, retângulo em B, os catetos medem 5 cm e 12 cm. A altura relativa ao 
vértice B desse triângulo, em cm, é aproximadamente igual a: 
 
a) 4,6. 
b) 1,3. 
c) 3,7. 
d) 5,2. 
e) 6,3 
 
 
 
 
- 64 - 
 
 
 
Triângulo 
 
Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não 
passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos. 
 
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os 
lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º. 
 
Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos: 
 
 
 
Tipos de Triângulo 
 
O triângulo pode ser classificado segundo: 
 
A medida do seu lado. 
 
Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse 
caso dizemos que os três lados são congruentes. 
 
 
- 65 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo retângulo: é todo triângulo que apresenta um ângulo interno reto, ou seja, que 
possui um ângulo medindo 90º. 
 
 
- 66 - 
 
 
 
Triângulos Retângulos PITAGÓRICOS 
 
Existem alguns tipos especiais de triângulos retângulos cujos lados são proporcionais a: 
 
 
 
Exemplo: 
Determine x no triângulo abaixo 
 
 
- 67 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 68 - 
 
Questões 
 
1. Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23 metros e a altura 
12 metros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 69 - 
 
QUADRILÁTEROS 
 
 
Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Em geral, um quadrilátero será uma figura 
geométrica limitada por quatro lados, todos diferentes e que formam entre si quatro ângulos 
internos também diferentes. 
 
Em qualquer caso, a soma dos valores dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360°. 
 
Algumas Propriedades dos quadriláteros: 
 
1. A soma dos seus ângulos internos é 360º. 
2. A soma dos seus ângulos externos é 360º. 
 
 
 
 
3. Todos os quadriláteros apresentam 2 diagonais. 
 
 
 
Exemplo: Determine a medida dos ângulos indicados: 
 
 
 
- 70 - 
 
 
 
 
Exemplo: Observe os paralelogramos e, considerando as propriedades estudadas, determine: 
 
a) MN e NP 
b) x e y 
 
 
 
Exemplo: Encontre os valores de x e de y: 
a) ABCD é um losango 
b) ABCD é um retângulo 
 
 
- 71 - 
 
 
Trapézios 
 
Quadrilátero que tem dois e só dois lados opostos paralelos. 
 
Exemplos: 
 
Trapézio Escaleno: tem todos os lados de medidas distintas. 
 
Trapézio Retângulo – Trapézio que tem dois ângulos retos. 
 
Trapézio Isósceles – Trapézio que tem os lados não paralelos com a mesma medida. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
- 72 - 
 
 
 
 
 
 
Características: 
 
Lados paralelos congruentes, ângulos opostos congruentes. 
 
3. Losango 
 
Características: Lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida, ângulos 
opostos congruentes, diagonais cortam-se nos seus pontos médios e são proporcionais entre si. 
 
 
- 73 - 
 
3. Retângulo 
 
Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, diagonais de 
mesma medida e que secortam nos seus pontos médios. 
 
4. Quadrado 
 
 
Características: Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, todos os 
lados de mesma medida, diagonais de mesma medida, perpendiculares entre si e que se cortam 
nos seus pontos médios. 
 
 
 
- 74 - 
 
 
 
Gabarito: 1.D 2.D 
 
 
FIGURAS CIRCULARES 
 
 
 
Questões 
 
1. Na figura abaixo, o comprimento da circunferência é 36 e α = 25º. O comprimento do arco l é: 
 
a) 1. 
b) 1,5. 
c) 2,5. 
d) 3. 
e) 3,5. 
 
- 75 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 1.C 2.D 3.D 
 
 
Comprimento ou Perímetro 
 
 
Um exemplo claro do uso do conhecimento matemático nessas simples situações é quando 
precisamos saber o tamanho de certas coisas, logo sabemos que essas medidas que procuramos 
correspondem também ao uso das unidades de medida correspondentes. Um terreno por 
exemplo, além da área que possui, também possui medidas laterais independente da natureza que 
é formado esse terreno - quadrado, retângulo, trapézio, etc . 
 
Se tratarmos de um terreno retangular com dimensões laterais de 12m e 25m, sabemos que sua 
área é 300m2. Isso significa que se quisermos calçar o terreno devemos comprar o material 
necessário para 300m², mas por outro lado se falarmos por exemplo, em cercar esse mesmo local, 
falaremos em perímetro. 
 
- 76 - 
 
O perímetro de um determinado lugar é a soma das medidas de seus lados. Pegando as 
dimensões do terreno citado acima temos: 12 m e 25m. Somando a medida de seus lados temos 
que o perímetro do terreno é igual a 74m (12m + 25m + 12m + 25m). 
 
Se necessitarmos obter o perímetro de uma figura geométrica qualquer por exemplo, devemos 
observar primeiro a natureza da figura, ou seja, quantos lados possui: pentágono 5 lados, 
eneágono 9 lados, triângulo 3 lados, e depois realizar a soma das medidas de todos os lados para 
achar o perímetro. 
 
Sendo assim, o perímetro é a medida do contorno de um objeto bidimensional, ou seja, a soma de 
todos os lados de uma figura geométrica. 
 
Imagine a seguinte situação: Um fazendeiro quer descobrir quantos metros de arame serão gastos 
para cercar um terreno de pastagem com formato retangular. Como ele deveria proceder para 
chegar a uma conclusão? De maneira bem intuitiva, concluímos que ele precisa determinar as 
medidas de cada lado do terreno e então, somá-las, obtendo o quanto seria gasto. A esse 
procedimento damos o nome de perímetro. 
 
O perímetro de uma figura é representado por 2p apenas por convenção. 
 
Exemplo: Um fazendeiro pretende cercar um terreno retangular de 120 m de comprimento por 90 
m de largura. Sabe-se que a cerca terá 5 fios de arame. Quantos metros de arame serão 
necessários para fazer a cerca? Se o metro de arame custa R$ 15,00, qual será o valor total gasto 
pelo fazendeiro? 
 
 
- 77 - 
 
 
 
 
2. Triângulo Equilátero 
 
 
 
Exemplo: Calcule o perímetro da figura abaixo: 
 
 
 
 
3. Quadrado 
 
Exemplo: Calcule o perímetro da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
- 78 - 
 
 
4. Retângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 79 - 
 
6. Círculo 
 
 
 
Exemplo: Calcule o perímetro da figura abaixo: 
 
 
 
Questões 
 
 
1. Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um alambrado 
de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em ângulo reto) e fechar essa 
área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra. Se ele utilizou 6 metros de um muro, do 
outro muro ele irá utilizar, em metros, 
 
a) 7. 
b) 5. 
c) 8. 
d) 6. 
e) 9. 
 
 
 
- 80 - 
 
 
 
 
 
Gabarito: 1.E 2.D 3.C 4.B 
 
Área 
Definição 
 
O cálculo de área é uma atividade cotidiana na vida de todos nós. Sempre nos vemos envolvidos 
em alguma situação em que há a necessidade de se calcular a área de uma forma geométrica 
plana. Seja na aquisição de um terreno, na reforma de um imóvel ou na busca de reduzir custos 
com embalagens, o uso do conhecimento de cálculo de áreas se faz presente. É uma atividade 
muito simples, mas às vezes deixamos algumas questões passarem despercebidas. 
 
Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, 
ou seja, de superfície. 
 
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m2) e os 
seus múltiplos e submúltiplos. 
 
Para não haver erro, lembre-se: “Área é o que eu posso pintar”. 
 
- 81 - 
 
 
Fórmulas mais importantes 
 
1. Triangulo Qualquer 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 82 - 
 
 
 
 
 
4. Quadrado 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
5. Retângulo 
 
 
 
- 83 - 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 84 - 
 
 
 
 
 
9. Círculo 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
- 85 - 
 
 
 
 
Questões 
 
 
1. Uma praça ocupa uma área retangular com 60 m de comprimento e 36,5 m de largura. Nessa 
praça, há 4 canteiros iguais, e cada um ocupa 128,3 m². 
 
Qual é a área, em m², da praça não ocupada pelos canteiros? 
 
a) 1.676,8. 
b) 1.683,2. 
c) 1.933,4. 
d) 2.061,7. 
e) 2.483,2. 
 
 
 
 
 
 
- 86 - 
 
2. A área do quadrado sombreado: 
 
 
 
a) 36. 
b) 40. 
c) 48. 
d) 50. 
e) 60. 
 
 
3. No quadrilátero RAMP, o ângulo R é reto, e os lados PR e RA medem, respectivamente, 6 cm e 
16 cm. 
 
 
 
Se a área de RAMP é 105 cm2 , qual é, em cm2 , a área do triângulo PAM? 
 
a) 47. 
b) 53. 
c) 57. 
d) 63. 
e) 67. 
 
 
 
 
- 87 - 
 
 
 
 
 
 
6. Sabendo-se que todos os ângulos dos vértices do terreno ilustrado na figura acima medem 90o e que o 
metro quadrado do terreno custa R$ 120,00, é correto afirmar que o preço desse terreno é 
 
 
 
 
 
- 88 - 
 
a) superior a R$ 9.900,00 e inferior a R$ 10.100,00. 
b) superior a R$ 10.100,00. 
c) inferior a R$ 9.500,00. 
d) superior a R$ 9.500,00 e inferior a R$ 9.700,00. 
e) superior a R$ 9.700,00 e inferior a R$ 9.900,00. 
e) 67 
 
7. Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado, conforme mostra a figura a 
seguir. Se cada lado do quadrado está dividido pelos pontos assinalados em segmentos 
congruentes entre si, então a área do octógono, em centímetros quadrados, é: 
 
 
 
a) 98. 
b) 102. 
c) 108. 
d) 112. 
e) 120. 
 
 
 
 
 
 Matemática 
- - 89 - - 
VOLUME 
 
DEFINIÇÃO 
 
As medidas de volume possuem grande importância nas situações envolvendo capacidades de 
sólidos. Podemos definir volume como o espaço ocupado por um corpo ou a capacidade que ele 
tem de comportar alguma substância. Da mesma forma que trabalhamos com o metro linear 
(comprimento) e com o metro quadrado (comprimento x largura), associamos o metro cúbico a três 
dimensões: altura x comprimento x largura. 
 
O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. Volume tem unidades 
de tamanho cúbicos (por exemplo, cm³, m³, dm³, etc.). 
 
Observe a tabela e os métodos de transformação de unidades de volume: 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
Transformar 12km3 em m3 = 12 x 1000 x 1000 x 1000 = 12 000 000 000 m3 
 
Transformar 2m3 em cm3 = 2 x 1000 x 1000 = 2 000 000 cm3 
 
Transformar 1000cm3 em m3 = 1000: 1000 : 1000 = 0,001 m3 
 
Transformar 5000dm3 em m3 = 5000 : 1000 = 5 m3 
 
Ainda devemos lembrar que : 
 
1m3 ----- 1000 litros 
1 m3 ----- 1 litro 
1 m3 ----- 1 ml 
 
 Matemática 
- - 90 - - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Paralelepípedo 
 
 
Volume = AB. H = ab.c = abc 
 
Exemplo: Calcule o volume de um paralelepípedo de medidas 2, 3 e 4 m. 
 
3. Prisma qualquer 
 
Um prisma é um poliedro que possui uma base inferior e uma base superior. Essas bases são 
paralelas e congruentes, isto é, possuem as mesmas formas e dimensões, e não se interceptam.Matemática 
- - 91 - - 
 
 
Usaremos a mesma ideia: 
 
Vol = Ab. H , mas o cálculo da área da base será feita separadamente, dependendo da base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática 
- - 92 - - 
Exemplo: 
Calcule o volume do cilindro cuja base tem diâmetro 12m e altura de 4m. 
 
 
 
Casos Especiais 
 
Há casos em que teremos que usar a mesma ideia de volume porem deveremos dividir o resultado 
por “3” . 
 
Esses casos ocorrem nas pirâmides e cones. 
 
5. Cone 
 
 
 
 
 
 
 
6. Pirâmides 
 
 
 
Usaremos a mesma estratégia do cone mas com atenção especial ao cálculo da área da base, 
pois assim como nos prismas, dependerá da figura plana que serve de base desse sólido. 
 
Assim: 
 
Vol = 
 
 Matemática 
- - 93 - - 
Medidas de tendência central 
 
Média Aritmética 
 
A média aritmética é uma das formas de obter um valor intermediário entre vários valores. É 
considerada uma medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano. 
 
Para calculá-la basta somar todos os elementos e dividi-los pelo total de elementos 
 
 
Exemplo Resolvido 1: 
 
Calcule a média anual de Carlos na disciplina de Matemática com base nas seguintes notas 
bimestrais: 
 
1ºB = 6,0 2ºB = 9,0 3ºB = 7,0 4ºB = 5,0 
 
Logo: Ma = (6,0 + 9,0 + 7,0 + 5,0) / 4 
 
Ma = 27/4 
Ma = 6,75 
 
Exemplo Resolvido 2: 
 
O dólar é considerado uma moeda de troca internacional, por isso o seu valor diário possui 
variações. Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma semana verificou-
se as variações de acordo com a tabela informativa: 
 
 
 
Determine o valor médio do preço do dólar nesta semana. 
 
Ma = (2,3 + 2,1 + 2,6 + 2,2 + 2) / 5 
 
Ma = 11,2 / 5 
 
Ma = 2,24 
 
O valor médio do dólar na semana apresentada foi de R$ 2,24. 
 
 Matemática 
- - 94 - - 
 
 
 
 
 
Moda (Mo) 
 
A moda de um conjunto de números é o valor que ocorre com maior freqüência. A moda pode não 
existir e também não ser única. 
 
 Matemática 
- - 95 - - 
Exemplos: 
 
1. O conjunto de números: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 9 tem moda 6. 
2. O conjunto de números: 7, 6, 6, 8, 8, 9 tem modas 6 e 8. É, portanto, dito bimodal. 
3. Seja o rol de dados: 1, 3, 7, 9, 10. Como todos os dados têm a mesma frequência, dizemos que 
não existe moda. 
 
Exemplo Resolvido 5: 
 
População com N° de Elementos Ímpar: 
 
Para a seguinte população: {1, 3, 5, 7, 9} 
A mediana será o 3º elemento que é 5 (nesse caso, igual à média). 
 
População com N° de Elementos Par: 
 
Na seguinte população: {1, 2, 4, 8, 9, 10} 
Não há um valor central, portanto a mediana é calculada tirando-se a média dos dois valores 
centrais (no caso, o 3° e 4° elemento). 
Logo, a posição da mediana é = (4+8)/2 = 6 (e a média é 5,666). 
 
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
A variância deve ser calculada através da soma dos quadrados entre a diferença de um valor 
observado e o valor médio. A diferença serve para mostrar quanto um valor observado se distancia 
do valor médio. 
 
 (x1 – xm)
2 + (x2 – xm)
2 + ... + (xn – xm)
2 
VA = ________________________________________________ 
 n 
 
O desvio padrão é calculado extraindo a raiz quadrada da variância. 
 
 
 
Calcule a variância e o desvio padrão entre: 
 
a) 2, 6 e 7 b) 4, 5 e 6 
 
 Matemática 
- - 96 - - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes 
consecutivas,e anotar o número obtido em cada jogada, construí-se a seguinte tabela de distribuição 
de frequências. A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são respectivamente: 
 
 
 Matemática 
- - 97 - - 
a) 3, 2 e 1. 
b) 3, 3 e 1. 
c) 3, 4 e 2. 
d) 5, 4 e 2. 
e) 6, 2 e 4. 
 
6. O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna 
da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o 
time marcou aquele número de gols. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então 
 
a) X = Y < Z. 
b) Z < X = Y. 
c) Y < Z < X. 
d) Z < X < Y. 
e) Z < Y < X. 
 
 
 
 
 Matemática 
- - 98 - - 
 
 
9. As 10 medidas colhidas por um cientista num determinado experimento, todas na mesma 
unidade, foram as seguintes: 1,2 ; 1,2 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,5 ; 2,0 ; 2,0 ; 2,0 ; 2,0 ; 2,2 
Ao trabalhar na análise estatística dos dados, o cientista esqueceu-se, por descuido, de considerar 
uma dessas medidas. Dessa forma, comparando os resultados obtidos pelo cientista em sua 
análise estatística com os resultados corretos para esta amostra, podemos afirmar que 
 
a) a moda e a média foram afetadas. 
b) a moda não foi afetada, mas a média foi. 
c) a moda foi afetada, mas a média não foi. 
d) a moda e a medi não foram afetadas. 
e) n.d.a. 
 
 
10. O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo 
desde a Copa de 1930 até a de 2006. 
 
Quantidades de Gols dos Artilheiros das Copas do Mundo 
 
 
 
 
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos 
artilheiros das Copas do Mundo? 
a) 6 gols. 
b) 6,5 gols. 
c) 7 gols. 
d) 7,3 gols. 
e) 8,5 gols. 
 Matemática 
- - 99 - - 
 
 
 
 
 
13. No concurso para o Tribunal de Alçada, os candidatos fizeram provas de Português, 
Conhecimentos Gerais e Direito, respectivamente com pesos 2, 4 e 6. Sabendo-se que cada prova 
teve o valor de 100 pontos, o candidato que obteve 68 em Português, 80 em Conhecimentos 
Gerais e 50 em Direito, teve média: 
a) 53. 
b) 56. 
c) 63. 
d) 66. 
e) 72. 
 
 Matemática 
- - 100 - - 
14. Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas: 
 
Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 
 
1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as 
que se apresentaram mais heterogêneas. 
2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente. 
3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média. 
 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. 
b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. 
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. 
d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. 
e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática 
- - 101 - - 
Equações de primeiro grau 
(com uma variável) 
 Introdução 
 
 Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra 
equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
 
Não são equações: 
 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x - 5 < 3 (Não é igualdade)(não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
A equação geral do primeiro grau: ax+b = 0 
onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo 
b dos dois lados, obtemos: ax = -b 
dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 
 
 
 Considera a equação 2x - 8 = 3x -10 
 
 A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida". 
 Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 
1º membro, e o que sucede, 2º membro. 
 
 
 
 Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. 
 
 
Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na 
forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. 
 
 Matemática 
- - 102 - - 
Exercícios de Equações de 1º Grau 
1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são 
esses? 
 
2) Resolva as equações a seguir: 
a)18x - 43 = 65 
b) 23x - 16 = 14 - 17x 
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20 
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12 
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4 
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 
 
 
3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 
sejam iguais. 
 
 
 
 
 
 
CORREÇÃO:
 
1-) 
x + (x + 1) + (x + 2) = 393 
3x + 3 = 393 
3x = 390 
x = 130 
Então, os números procurados são: 130, 131 e 
132. 
2-) Resposta a: 
18x = 65 + 43 
18x = 108 
x = 108/18 
x = 6 
Resposta b: 
23x = 14 - 17x + 16 
23x + 17x = 30 
40x = 30 
x = 30/40 = 3/4 
Resposta c: 
10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20 
5y - 6y = -26 + 5 
-y = -21 
y = 21 
 
 
Resposta d: 
x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12 
2x² + 6x = 2x² + 12 
Diminuindo 2x² em ambos os lados: 
6x = 12 
x = 12/6 = 2 
Resposta e: 
[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 20 
2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x 
-6x - 6 = 15 - 5x 
-6x + 5x = 15 + 6 
-x = 21 
x = -21 
Resposta f: 
4x² + 24x - x² = 5x² 
4x² - x² - 5x² = -24x 
-2x² = -24x 
Dividindo por x em ambos os lados: 
-2x = - 24 
x = 24/2 = 12 
3-) 
(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6 
6 (3a + 6) = 8 (2a + 10) 
18a + 36 = 16a + 80 
2a = 44 
a = 44/2 = 22 
 
 
 Matemática 
- - 103 - - 
Equações de 2º grau 
Definições 
 
 Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: 
 
ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e 
 
 Exemplo: 
 
 x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 
 6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 
 7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. 
 x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36. 
 
 Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma 
equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. 
 
 a é sempre o coeficiente de x²; 
 b é sempre o coeficiente de x, 
 c é o coeficiente ou termo independente. 
 
Equação completas e Incompletas 
 
 Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: 
 
x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas. 
 
 Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos 
são iguais a zero. Exemplos: 
 
 x² - 36 = 0 
(b = 0) 
 x² - 10x = 0 
(c = 0) 
 4x² = 0 
(b = c = 0) 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
 
 Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes. 
 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, 
transforma-a numa sentença verdadeira. 
 
 O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto 
solução. Exemplos: 
 Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação 
x² - x - 2 = 0 ? 
 Solução 
 Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e 
verificamos quais as sentenças verdadeiras. 
 Matemática 
- - 104 - - 
Para x = -1 
(-1)² - (-1) - 2 = 0 
1 + 1 - 2 = 0 
0 = 0 
(V) 
Para x = 0 
0² - 0 - 2 = 0 
0 - 0 -2 = 0 
-2 = 0 
(F) 
Para x = 1 
1² - 1 - 2 = 0 
1 - 1 - 2 = 0 
-2 = 0 
(F) 
Para x = 2 
2² - 2 - 2 = 0 
4 - 2 - 2 = 0 
0 = 0 
(V) 
 
Logo, -1 e 2 são raízes da equação. 
 Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0. 
 
Solução 
Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p. 
 
 Logo, o valor de p é . 
 
Resolução de equações incompletas 
 
 Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. 
 
 Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas 
importantes propriedades dos números reais: 
 
 1ª Propriedade: 
 2ª Propriedade: 
 
 1º Caso: Equação do tipo . 
 Exemplo: 
 Determine as raízes da equação , sendo . 
 
 
 Matemática 
- - 105 - - 
 Solução 
Inicialmente, colocamos x em evidência: 
 
 Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim: 
 
 Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade: 
 
 De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e . 
 2º Caso: Equação do tipo 
 Exemplos: 
 Determine as raízes da equação , sendo U = IR. 
 Solução 
 
 
 De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número 
positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo. 
 
Resolução de equações completas 
 
 Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara. 
 
 A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo a 
passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva). 
 
1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a. 
 
 
2º passo: passar 4ac par o 2º membro. 
 
 
3º passo: adicionar aos dois membros. 
 
 
 Matemática 
- - 106 - - 
4º passo: fatorar o 1º elemento. 
 
 
5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros. 
 
 
6º passo: passar b para o 2º membro. 
 
 
7º passo: dividir os dois membros por . 
 
 
Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau: 
 
 
 
 Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim: 
 
 
 
 Exemplos: resolução a equação: 
 
Temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática 
- - 107 - - 
Discriminante 
 
 Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega 
 (delta). 
 
 
 
 Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara: 
 
 
 
 De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar: 
 
1º Caso: O discriminante é positivo . 
 
 O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim 
representadas: 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais? 
 
Solução 
 
Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter 
 
 
 
 Logo, os valores de k devem ser menores que 3.Matemática 
- - 108 - - 
2º Caso: O discriminante é nulo 
 O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim 
representadas: 
 
 Exemplo: 
 
 Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes 
iguais. 
Solução 
 
Para que a equação admita raízes iguais é necessário que . 
 
 Logo, o valor de p é 3. 
 
Exercícios de Equações de 2º Grau 
 
1) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não: 
a) 5x2 - 3x - 2 = 0 
b) 3x2 + 55 = 0 
c) x2 - 6x = 0 
d) x2 - 10x + 25 = 0 
 
2) Achar as raízes das equações: 
a) x2 - x - 20 = 0 
b) x2 - 3x -4 = 0 
c) x2 - 8x + 7 = 0 
 
3) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x2-2x-8= 0? 
 
4) O número -3 é a raiz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do 
coeficiente c: 
 
5) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai 
obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número? 
 
 
 
 
 
 Matemática 
- - 109 - - 
RESOLUÇÕES: 
1-) Resposta a: 
a = 5 ; b = -3 ; c = -2 
Equação completa 
Resposta b: 
a = 3 ; b = 0 ; c = 55 
Equação incompleta 
Resposta c: 
a = 1 ; b = -6 ; c = 0 
Equação incompleta 
Resposta d: 
a = 1 ; b = -10 ; c = 25 
Equação completa 
2-) Resposta a: 
 
(1 ) / 2= (1 9) / 2 
1+9 / 2 = 5 
1-9 / 2 = - 4 
x' = 5 e x'' = -4 
Resposta b: 
 
(3 ) / 2 = (3 5) / 2 
3 + 5 / 2 = 4 
3 - 5 / 2 = -1 
x' = 4 e x'' = -1 
 
Resposta c: 
 
(8 ) / 2 = (8 6) / 2 
8 + 6 / 2 = 7 
2 / 2 = 1 
x' = 7 e x'' = 1 
3-) Sabemos que são duas as raízes, agora basta 
testarmos. 
(-2)
2
 - 2*(-2) - 8 = 0 (-2)
2
 + 4 - 8 4 + 4 - 8 = 
0 (achamos uma das raízes) 
0
2
 - 2*0 - 8 = 0 0 - 0 - 8 0 
1
2
 - 2*1 - 8 = 0 1 - 2 - 8 0 
4
2
 - 2*4 - 8 = 0 16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra 
raiz) 
 
4-) (-3)² - 7*(-3) - 2c = 0 
9 +21 - 2c = 0 
30 = 2c 
c = 15 
 
5-) 
x²-14 = 5x 
x² - 5x -14 = 0 
 
(5 ) / 2 = (5 9) / 2 
5 + 9 / 2 = 14/2 = 7 
5 - 9 / 2 = -2 
x = 7 ou -2 
 Matemática 
- - 110 - - 
Sistemas de Equações 
 
 Considere o seguinte problema: 
 
 Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. 
Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? 
 
 Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: 
 
 x + y = 25 (total de arremessos certo) 
 2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos) 
 
 Essas equações contém um sistema de equações. 
 Costuma-se indicar o sistema usando chave. 
 
 
 O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do 
sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução. 
 
Resolução de Sistemas 
 
 A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um 
par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. 
 
 Estudaremos a seguir alguns métodos: 
 
Método de substituição 
 
 
 
 Solução 
 
 determinamos o valor de x na 1ª equação. x = 4 – y 
 
 Substituímos esse valor na 2ª equação. 2 . (4 - y) -3y = 3 
 Resolvemos a equação formada. 
8 - 2y -3y = 3 
8 - 2y -3y = 3 
 -5y = -5 => Multiplicamos por -1 
5y = 5 
 
y = 1 
 Matemática 
- - 111 - - 
 Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. 
x + 1 = 4 
x = 4 - 1 
x = 3 
 A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). 
 V = {(3, 1)} 
 
Método da adição 
 
 Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição. 
 
 Resolva o sistema abaixo: 
 
 
 
 Solução 
 
 Adicionamos membros a membros as equações: 
 
 
 2x = 16 
 
 x = 8 
 
 Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 
 
 8 + y = 10 
 y = 10 - 8 
 y = 2 
 
 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2) 
 
 V = {(8, 2)} 
 
 Matemática 
- - 112 - - 
Exercícios de Equações de 1º Grau 
 
 
 
Questão 1 
João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo perguntou-lhe quantos 
cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: “A soma do 
dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o 
número de cachorros e de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e 
descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui? 
 
Questão 2 
Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e carros. Ao abaixar-se, 
ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de motos e de carros estacionados na rua de 
André? 
 
Questão 3 
(Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, 
embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos 
de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no 
aroma limão, foi: 
a) 110 
b) 120 
c) 130 
d) 140 
e) 150 
 
Questão 4 
(Vunesp) Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto 
e se perde não marca nenhum ponto. Admita que, nesse campeonato, o time A tenha participado de 16 
jogos e perdido apenas dois jogos. Se o time A, nesses jogos, obteve 24 pontos, então a diferença 
entre o número de jogos que o time A venceu e o número de jogos que empatou, nessa ordem, é 
a) 8. 
b) 4. 
c) 0. 
d) – 4. 
e) – 8. 
 
Respostas 
 
Questão 1 
De início, vamos interpretar algebricamente o enigma de João. Para isso, identificaremos o número de gatos 
como g e o número de cachorros como c. Se “a soma do dobro do número de cachorros e do triplo do 
número de gatos é igual a 17”, chegamos a: 
2 · c + 3 · g = 17 
E se “a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”, podemos concluir que: 
c – g = 1 
Com as equações encontradas, podemos montar o seguinte sistema: 
 
 Matemática 
- - 113 - - 
Para resolver esse sistema pelo método da adição, multiplicaremos todos os termos da segunda equação 
por 3 e somaremos as equações: 
 
5 · c + 0 · g = 20 
5 · c = 20 
c = 20 
 5 
c = 4 
Substituindo c = 4 em c – g = 1, teremos: 
c – g = 1 
4 – g = 1 
– g = 1 – 4 
(– 1) · (– g) = (– 3) · (– 1) 
g = 3 
 
Podemos concluir que João possui três gatos e quatro cachorros. 
 
Resposta Questão 2 
 
Se identificarmos a quantidade de motos com a incógnita m e a quantidade de carros com a incógnita c, 
podemos afirmar que a equação m + c = 20 é válida. 
Sabendo que cada moto possui 2 rodas e cada carro, 4, podemos montar ainda outra equação: 
2 · m + 4 · c = 54. Organizando-as em um sistema de equações, teremos: 
 
 
 
Para resolver esse sistema através do método da substituição, isolaremos m na primeira equação, 
substituindo-o na segunda: 
m + c = 20 
m = 20 – c 
2 · m + 4 · c = 54 
2 · (20 – c) + 4 · c = 54 
40 – 2 · c + 4 · c = 54 
– 2 · c + 4 · c = 54– 40 
2 · c = 14 
c = 14 
 2 
c = 7 
 
Substituindo c = 7 em m = 20 – c, teremos: 
m = 20 – c 
m = 20 – 7 
m = 13 
 
Portanto, há treze motos e sete carros estacionados na rua de André. 
 
Resposta Questão 3 
 
De acordo com o enunciado, as caixas contêm detergentes no aroma limão e no aroma coco. 
Representaremos suas quantidades com as variáveis L e C, respectivamente. Nós sabemos que, somando 
as quantidades dos dois aromas em uma caixa, teremos um total de 24 detergentes, isto é, L + C = 24. 
Sabemos ainda que cada caixa contém dois detergentes de limão a mais do que de coco, logo, L = C + 2. 
Reorganizando essa equação, teremos: L – C = 2. 
 Matemática 
- - 114 - - 
Com as equações identificadas, podemos montar um sistema que resolveremos pelo método da adição: 
 
 
2 · L + 0 · C = 26 
2 · L = 26 
L = 26 
 2 
L = 13 
 
Cada caixa continha 13 frascos de detergente aroma limão. Mas como foram estregues 10 caixas com 
essa mesma quantidade (13 · 10 = 130), o supermercado adquiriu 130 frascos de detergente aroma 
limão. A resposta correta é a letra c. 
 
Resposta Questão 4 
 
De acordo com o enunciado, o time A participou de 16 jogos e perdeu em dois destes. Podemos afirmar, 
portanto, que, em 14 dos jogos, o time A pode ter vencido ou empatado. Representando pela letra v os 
jogos em que o time venceu e por e aqueles em que empatou, algebricamente temos v + e = 14 (o número 
de vitórias somado ao número de empates é igual a 14). Para determinar a pontuação de um time, 
multiplicamos as vitórias por 3 e os empates por 1 e somamos os resultados. No caso do time A, temos: 
 
3 · v + 1 · e = 24 
3 · v + e = 24 
 
Podemos montar o seguinte sistema de equações: 
 
 
Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição. Para isso, isolaremos a incógnita e na primeira 
equação, ficando com: e = 14 – v. Substituindo esse valor de e na segunda equação, teremos: 
 
3 · v + e = 24 
3 · v + 14 – v = 24 
3 · v – v = 24 – 14 
2 · v = 10 
v = 10 
 2 
v = 5 
 
Substituindo o valor encontrado de v em e = 14 – v, teremos: 
e = 14 – v 
e = 14 – 5 
e = 9 
 
O time A teve nove empates e cinco vitórias, mas o exercício pediu a diferença entre o número de jogos 
em que A venceu e o número de jogos em que empatou. Essa diferença é 5 – 9 = – 4. A alternativa correta 
é a letra d.