Exercícios Aula 04 Cálculo de Probabilidades

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Aula 4: Cálculo de Probabilidades 
 
01) Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas, 
sem reposição. Calcular a probabilidade de: 
a. Todas serem pretas; 
b. Exatamente uma ser branca; 
c. Ao menos uma ser preta. 
 
Resposta 
O experimento aleatório é a retirada de 3 bolas, sem reposição. 
a) Probabilidade de todas serem pretas 
P(P1∩P2∩P3)=6/11×5/10×4/9=120/990=12,12% 
 
b) Probabilidade de exatamente uma ser branca 
P(B1∩P2∩P3)+P(P1∩B2∩P3)+P(P1∩P2∩B3) 
5/11×6/10×5/9+6/11×5/10×5/9+6/11×5/10×5/9= 
150/990+150/990+150/990=450/990=45,45% 
 
c) Ao menos uma ser preta 
Aqui, vamos calcular a probabilidade pedida usando o evento complementar. 
O complementar de ao menos uma ser preta é nenhuma ser preta. Portanto: 
P(ao menos uma ser preta)=1−P(nenhuma ser preta) 
P(ao menos uma ser preta)=1−P(todas serem brancas) 
P(ao menos uma ser preta)=1−(5/11×4/10×3/9)=1−60/990=930/990=0,9394 
 
02) É dada a distribuição de 300 estudantes segundo o sexo e a área de 
concentração: 
 Biologia Exatas Humanas 
Masculino 52 40 58 
Feminino 38 32 80 
 
a. Qual é a probabilidade de que ela seja do sexo feminino e da área de 
humanas? 
b. Qual é a probabilidade de que ele seja do sexo masculino ou seja da 
área de biológicas? 
c. Dado que foi sorteado um estudante da área de humanas, qual é a 
probabilidade de que ele seja do sexo feminino? 
d. Qual a probabilidade de que o estudante seja do sexo feminino, 
sabendo que foi sorteado um estudante da área de humanas? 
 
Resposta: 
a. P(feminino∩humanas)=80/300=26,67% 
Para dados tabelados, a intersecção está sempre dentro da tabela, no 
cruzamento dos eventos de interesse. 
b. P(masculino∩biológicas)=150/300+90/300−52/300=188/300=62,67% 
Aqui, usamos o teorema da soma: 
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) 
Identificamos a aplicação desse teorema pelo uso da conjunção ou na 
pergunta. 
c. P(feminino|humanas)=80/138=57,97% 
d. P(feminino|humanas)=80/138=57,97% 
O intuito dos itens “c” e “d” foi mostrar que o evento que sabemos que 
aconteceu pode estar no início da pergunta ou no final, mas o modo de resolução é o 
mesmo. 
 
03) Uma indústria emprega três planos analíticos para criar e desenvolver 
certo produto. Devido aos custos, os três planos são usados em momentos 
variados. Na verdade, os planos 1, 2 e 3 são usados para 30%, 20% e 50% dos 
produtos, respectivamente. O “índice de defeitos” é diferente para os três 
procedimentos: 
P(D|P1)=0,01 
P(D|P2)=0,03 
P(D|P3)=0,02 
Se selecionarmos um produto aleatoriamente e observarmos que ele 
apresenta defeitos, qual foi provavelmente o plano usado e, em consequência, 
responsável pelo defeito? 
 
Resposta: 
Podemos resolver usando a fórmula do teorema de Bayes ou por meio da 
construção da tabela. Vamos construir a tabela, para treinar. 
Qualidade da peça 
Planos 
1 2 3 Total 
Perfeita (P) 0,3−0,003=0,297 0,20−0,006=0,194 0,50−0,01=0,49 0,981 
Defeituosa (D) 0,01∙0,3=0,003 0,03∙0,20=0,006 0,02∙0,50=0,01 0,019 
Total 0,3 0,20 0,50 1 
 
Sabemos que a peça é defeituosa. Vamos encontrar a probabilidade de ela ter 
vindo de cada um dos planos. 
P(P1|D)=0,003/0,019=0,1579 
P(P2|D)=0,006/0,019=0,3158 
P(P3|D)=0,01/0,019=0,5263 
A maior probabilidade condicional foi obtida pelo plano 3, portanto, um produto 
com defeito é, mais provavelmente, resultado do uso do plano 3.