QUESTÕES DE MATEMÁTICA 02 -

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QUESTÕES DE MATEMÁTICA 02 
 02. (ESA) Em um triângulo equilátero ABC inscreve-se um quadrado MNOP de área 3 
 m². Sabe-se que o lado MN está contido em AC, o ponto P pertence a AB e o ponto O 
 pertence a BC. Nessas condições, a área, em m², do triângulo ABC mede: 
 a) 7 3 + 6 4 
 b) 7 3 + 6 2 
 c) 7 3 + 12 4 
 d) 21 3 + 18 2 
 e) 21 3 + 36 4 
 Resolução: 
 O triângulo ABC é equilátero, ou seja, todos os lados possuem a mesma 
 medida, assim como o valor dos ângulos internos são semelhantes 
 . α = 60° ( )
 A área do triângulo pode ser definida por : 𝑎 = ℎ × 𝑏 2 
 A área do quadrado MNOP é 3m² , 
 logo a medida do lado será: 𝑥 ( ) 3 = 𝑥 ² → 𝑥 = 3 
 Sabe-se que o lado MN está contido em AC, o ponto P pertence a AB e o ponto O 
 pertence a BC. 
 Observando a figura, notamos que: 
 ; 𝑅𝑂 = 𝑥 2 =
 3 
 2 
 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖 â 𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 = ℎ = 𝑥 + 𝑅𝐵 = 3 2 + 𝑅𝐵 
 ; 
 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖 â 𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐴𝐵𝐶 = 𝑏 
α = 60° → 𝑡𝑔 α( ) = 𝑡𝑔 60 ( ) = 3 
 , tal que 𝑡𝑔 α( ) = 𝑅𝐵 
 𝑅𝑂 
 𝑅𝑂 = 𝑃𝑂 2 =
 3 
 2 
 𝑡𝑔 α( ) = 𝑅𝐵 
 𝑅𝑂 
= 𝑅𝐵 
 3 
 2 
= 2 × 𝑅𝐵 
 3 
 e ⇒ 𝑡𝑔 α( ) = 𝑡𝑔 60 ( ) = 3 𝑡𝑔 α( ) = 2 × 𝑅𝐵 
 3 
⇒ 3 = 2 × 𝑅𝐵 
 3 
⇒ 3 ( ) ² = 2 × 𝑅𝐵 ⇒ 𝑅𝐵 = 3 2 
 Assim como: 𝑡𝑔 α( ) = ℎ 𝑏 
 2 
= 2 ℎ 𝑏 = 3 → 𝑏 =
 2 ℎ 
 3 
= 2 3 ℎ 3 
 Logo: ℎ = 𝑥 + 𝑅𝐵 = 3 + 3 2 → 𝑏 =
 2 3 ℎ 
 3 =
 2 3 
 3 × 3 +
 3 
 2 ( )
 A área do triângulo será 
 𝑎 = 𝑏 × ℎ 2 =
 2 3 
 3 × 3 +
 3 
 2 ( ) 3 + 3 2 ( )
 2 =
 2 3 3 + 3 3 + 9 4 ( )
 3 × 2 =
 3 3 + 3 3 + 9 4 ( )
 3 =
 3 3 + 3 × 3 + 9 3 4 
 3 
 𝑎 =
 12 3 + 36 + 9 3 
 4 
 3 =
 21 3 + 36 
 12 =
 7 3 + 12 
 4 
 Logo a área do triângulo será . 7 3 + 12 4