2 - Texto - derivada

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO GRANDE DO SUL
INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA
Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica I - A
(Notas de aula - Derivada 1)
1Agradecimentos: Texto adaptado do Prof. Jairo Kra´s Mengue, Copyright c© 2015
1 Derivada
1.1 Taxa de variac¸a˜o me´dia
Se f esta´ definida em [a, b], dizemos que
∆f
∆x
=
f(b)− f(a)
b− a
e´ a taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [a, b].
Exemplo 1 Se f(x) = 3x+ 5,
A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [1, 6] e´ dada por
f(6)−f(1)
6−1 =
23−8
5 =
15
5 = 3
A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [2, 4] e´ dada por
f(4)−f(2)
4−2 =
17−11
2 =
6
2 = 3
Observac¸a˜o: A taxa de variac¸a˜o me´dia de uma func¸a˜o afim f(x) = mx + b e´ igual ao coeficiente angular
m (inclinac¸a˜o da reta).
Exemplo 2 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = x2 em intervalos de comprimento
1.
no intervalo [0, 1] a taxa e´ dada por
f(1)−f(0)
1−0 =
1−0
1−0 = 1
no intervalo [1, 2] a taxa e´ dada por
f(2)−f(1)
2−1 =
4−1
2−1 = 3
no intervalo [2, 3] a taxa e´ dada por
f(3)−f(2)
3−2 =
9−4
3−2 = 5
no intervalo [3, 4] a taxa e´ dada por
f(4)−f(3)
4−3 =
16−9
4−3 = 7
Note que aparentemente cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade para a direita, o
valor da taxa de variac¸a˜o me´dia e´ aumentado em duas unidades.
Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 1] temos a taxa
∆f
∆x
=
f(a+ 1)− f(a)
(a+ 1)− a =
(a+ 1)2 − a2
1
=
a2 + 2a+ 1− a2
1
= 2a+ 1
Observe a tabela
valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8
intervalo [a, a+ 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4] [4, 5] [5, 6] [6, 7] [7, 8] [8, 9]
variac¸a˜o me´dia (2a+ 1) 3 5 7 9 11 13 15 17
2
Exemplo 3 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = x2 em intervalos de comprimento
2.
no intervalo [0, 2] a taxa e´ dada por
f(2)−f(0)
2−0 =
4−0
2 = 2
no intervalo [1, 3] a taxa e´ dada por
f(3)−f(1)
3−1 =
9−1
2 = 4
no intervalo [2, 4] a taxa e´ dada por
f(4)−f(2)
4−2 =
16−4
2 = 6
no intervalo [3, 5] a taxa e´ dada por
f(5)−f(3)
5−3 =
25−9
2 = 8
Novamente, cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade para a direita, o valor da taxa
de variac¸a˜o me´dia e´ aumentado em duas unidades.
Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 2] temos a taxa
∆f
∆x
=
f(a+ 2)− f(a)
(a+ 2)− a =
(a+ 2)2 − a2
2
=
a2 + 4a+ 4− a2
2
= 2a+ 2
Observe a tabela
valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8
intervalo [a, a+ 2] [1, 3] [2, 4] [3, 5] [4, 6] [5, 7] [6, 8] [7, 9] [8, 10]
variac¸a˜o me´dia (2a+ 2) 4 6 8 10 12 14 16 18
Exemplo 4 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o me´dia de f(x) = 2x em intervalos de comprimento
1.
no intervalo [0, 1] a taxa e´ dada por
f(1)−f(0)
1−0 =
2−1
1−0 = 1
no intervalo [1, 2] a taxa e´ dada por
f(2)−f(1)
2−1 =
4−2
1 = 2
no intervalo [2, 3] a taxa e´ dada por
f(3)−f(2)
3−2 =
8−4
1 = 4
no intervalo [3, 4] a taxa e´ dada por
f(4)−f(3)
4−3 =
16−8
1 = 8
Aparentemente cada vez que deslocamos o intervalo analisado em uma unidade para a direita, o valor da
taxa de variac¸a˜o me´dia e´ multiplicado por 2.
3
Em geral, para um intervalo da forma [a, a+ 1] temos a taxa
∆f
∆x
=
f(a+ 1)− f(a)
(a+ 1)− a =
2a+1 − 2a
1
=
2 · 2a − 2a
1
= 2a
Observe a tabela
valor de a 1 2 3 4 5 6 7 8
intervalo [a, a+ 1] [1, 2] [2, 3] [3, 4] [4, 5] [5, 6] [6, 7] [7, 8] [8, 9]
variac¸a˜o me´dia (2a) 2 4 8 16 32 64 128 256
Interpretac¸a˜o geome´trica: A taxa de variac¸a˜o me´dia de f em [a, b] e´ a inclinac¸a˜o da reta secante ao
gra´fico de f pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
Exemplo 5 A partir do gra´fico abaixo podemos dizer que a taxa de variac¸a˜o me´dia de f no intervalo [4, 8]
e´ dada por
f(8)− f(4)
8− 4 =
4− 6
8− 4 =
−2
4
= −1
2
.
4
2 taxa de variac¸a˜o instantaˆnea e derivada
A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em a e´ dada por
lim
b→a
f(b)− f(a)
b− a
se o limite existir.
Notac¸o˜es: f ′(a) ou dfdx
∣∣∣
x=a
Observac¸a˜o: Escrevendo h = b− a (e portanto b = a+ h) temos
df
dx
∣∣∣∣
x=a
= lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
Exemplo 6 Vamos tentar entender a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f(x) = x2 em diferentes valores.
f ′(1) = lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0
(1 + h)2 − 12
h
= lim
h→0
(1 + 2h+ h2)− 1
h
= lim
h→0
2h+ h2
h
= lim
h→0
2 + h = 2.
f ′(2) = lim
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= lim
h→0
(2 + h)2 − 22
h
= lim
h→0
(4 + 4h+ h2)− 4
h
= lim
h→0
4h+ h2
h
= lim
h→0
4 + h = 4.
f ′(3) = lim
h→0
f(3 + h)− f(3)
h
= lim
h→0
(3 + h)2 − 32
h
= lim
h→0
(9 + 6h+ h2)− 9
h
= lim
h→0
6h+ h2
h
= lim
h→0
6 + h = 6.
Em geral, se queremos a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea em um nu´mero x qualquer calculamos
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(3)
h
= lim
h→0
(x+ h)2 − 32
h
= lim
h→0
(x2 + 2xh+ h2)− x2
h
= lim
h→0
2xh+ h2
h
= lim
h→0
2x+ h = 2x.
Definic¸a˜o 7 (Derivada) - Fixada uma func¸a˜o f , consideramos a partir desta uma nova func¸a˜o f ′ dada
por
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Chamamos a func¸a˜o f ′ de derivada da func¸a˜o f . O domı´nio da func¸a˜o f ′ e´ formado pelos pontos no
domı´nio de f onde existe o limite acima. Dizemos que f e´ diferencia´vel nestes pontos.
5
Exemplo 8 -
Se f(x) = k, onde k e´ uma contante temos que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
k − k
h
= lim
h→0
0 = 0.
Se f(x) = mx+ b e´ uma func¸a˜o afim temos que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(m(x+ h) + b)− (mx+ b)
h
= lim
h→0
(mx+mh+ b)− (mx+ b)
h
= lim
h→0
mh
h
= m.
Reta tangente: A reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e´ a reta que conte´m este ponto
(x0, y0) = (a, f(a)) e possui inclinac¸a˜o m = f
′(a).
Exemplo 9 Reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 no ponto (3, 9):
inclinac¸a˜o: m = f ′(3) = 2 · 3 = 6
ponto: (x0, y0) = (3, 9)
equac¸a˜o:
y − y0 = m(x− x0) −→ y − 9 = 6(x− 3) −→ y = 6x− 18 + 9 −→ y = 6x− 9
Note na figura acima que, pro´ximo do ponto (3, 9), e´ dif´ıcil perceber a diferenc¸a entre a reta y = 6x− 9 e o
gra´fico de f .
Localmente, em torno do ponto (a, f(a)), a reta tangente e´ a reta que melhor se ajusta ao
gra´fico de f .
6
Exemplo 10 Derivada de f(x) = x3:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
= lim
h→0
(x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3)− x3
h
= lim
h→0
3x2 + 3xh+ h2 = 3x2.
Proposic¸a˜o 11 Para n = 1, 2, 3, 4, ...
d
dx
xn = nxn−1
Exemplo 12 -
d
dx
x = 1,
d
dx
x2 = 2x,
d
dx
x3 = 3x2,
d
dx
x4 = 4x3,
d
dx
x5 = 5x4
3 Derivada da soma, diferenc¸a, produto por constante
Proposic¸a˜o 13 -
d
dx
(f(x) + g(x)) =
d
dx
f(x) +
d
dx
g(x)
d
dx
(f(x)− g(x)) = d
dx
f(x)− d
dx
g(x)
d
dx
((cte) · f(x)) = (cte) · d
dx
f(x)
As fo´rmulas podem ser aplicadas nos pontos onde f e g sa˜o diferencia´veis.
Exemplo 14
d
dx
(3x2 + 5x+ 10) =
d
dx
(3x2) +
d
dx
(5x) +
d
dx
(10)
= 3 · d
dx
(x2) + 5 · d
dx
(x) +
d
dx
(10) = 3 · (2x) + 5 · (1) + 0 = 6x+ 5
d
dx
(5x7 + 4x4 + 8x2 + x) =
d
dx
(5x7) +
d
dx
(4x4) +
d
dx
(8x2) +
d
dx
x
= 5 · d
dx
(x7) + 4 · d
dx
(x4) + 8 · d
dx
(x2) +
d
dx
x
= 5 · (7x6) + 4 · (4x3) + 8 · (2x) + 1 = 35x6 + 16x3 + 16x+ 1.
d
dx
(8x6 + 3x5 + 2x3 + 7) =
d
dx
(8x6) +
d
dx
(3x5) +
d
dx
(2x3) +
d
dx
7
= 8 · d
dx
(x6) + 3 · d
dx
(x5) + 2 · d
dx
(x3) +
d
dx
7
= 8 · (6x5) + 3 · (5x4) + 2 · (3x2) + 0 = 48x5 + 15x4 + 6x2.
7
4 Derivadas das func¸o˜es seno e cosseno
Teorema 15
d
dx
sen(x) = cos(x) e
d
dx
cos(x) = −sen(x)
Exemplo 16 -A reta tangente ao gra´fico de y = sen(x) no ponto de abscissa x = pi/2 tem inclinac¸a˜o m = 0 (pois
cos(pi/2) = 0).
A reta tangente ao gra´fico de y = sen(x) no ponto de abscissa x = pi tem inclinac¸a˜o m = −1 ( pois
cos(pi) = −1).
A reta tangente ao gra´fico de y = cos(x) no ponto de abscissa x = pi tem inclinac¸a˜o m = 0 (pois sen(pi) = 0).
Exemplo 17 Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = cos(x) + 2x no ponto (0, 1).
Obtenha a equac¸a˜o desta reta:
Soluc¸a˜o: dydx =
d
dxcos(x) +
d
dx2x = −sen(x) + 2. Enta˜o
dy
dx
∣∣∣∣
x=0
= −sen(0) + 2 = 2.
Inclinac¸a˜o da reta tangente: m = 2
Ponto:(x0, y0) = (0, 1)
Equac¸a˜o:
y − y0 = m(x− x0) −→ y − 1 = 2(x− 0) −→ y = 2x+ 1.
Equac¸a˜o da reta tangente: y = 2x+ 1.
8
5 Regra do Produto
Teorema 18 Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em um nu´mero x enta˜o f · g e´ diferencia´vel em x. Ale´m
disso
(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
Em notac¸a˜o compacta escrevemos
(f · g)′ = f ′ · g + f · g′
Outra notac¸a˜o:
d
dx
(f(x) · g(x)) =
(
d
dx
f(x)
)
g(x) + f(x)
(
d
dx
g(x)
)
.
Exemplo 19 -
(x3 · x2)′ = (x3)′(x2) + (x3)(x2)′ = (3x2)(x2) + (x3)(2x) = 3x4 + 2x4 = 5x4.
O resultado e´ coerente ja´ que a func¸a˜o que derivamos era y = x3 · x2 = x5.
Note tambe´m que (x3 · x2)′ 6= (x3)′(x2)′ pois
(x3)′(x2)′ = (3x2)(2x) = 6x3.
Geralmente: (f · g)′ 6= f ′ · g′
Exemplo 20 -
d
dx(sen(x) · x4) =
(
d
dxsen(x)
)
x4 + sen(x)
(
d
dxx
4
)
= cos(x) · x4 + sen(x) · 4x3
(sen(x)·cos(x))′ = (sen(x))′(cos(x))+(sen(x))(cos(x))′ = (cos(x))(cos(x))+(sen(x))(−sen(x)) = cos2(x)−
sen2(x).
9
(sen2(x))′ = (sen(x) · sen(x))′ = (sen(x))′(sen(x)) + (sen(x))(sen(x))′ = 2sen(x)cos(x).
Observac¸a˜o: A regra do produto pode ser deduzida a partir dos ca´lculos abaixo:
(f · g)′(x) = lim
h→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)
h
= lim
h→0
f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x+ h) + f(x)g(x+ h)− f(x)g(x)
h
= lim
h→0
[f(x+ h)− f(x)]g(x+ h) + f(x)[g(x+ h)− g(x)]
h
= lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
g(x+ h) + lim
h→0
f(x)
g(x+ h)− g(x)
h
= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
6 Regra do quociente
Teorema 21 Se f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em x e g(x) 6= 0 enta˜o fg e´ diferencia´vel em x. Ale´m disso(
f(x)
g(x)
)′
=
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
(g(x))2
.
Exemplo 22 Para x 6= 0:
d
dx
(
x5
x2
)
=
(
d
dxx
5
)
(x2)− (x5) ( ddxx2)
(x2)2
=
(
5x4
)
(x2)− (x5) (2x)
(x2)2
=
5x6 − 2x6
x4
= 3x2
O resultado e´ coerente, pois y =
(
x5
x2
)
= x3 para x 6= 0.
Note que
(
x5
x2
)′ 6= (x5)′
(x2)′ pois
(x5)′
(x2)′ =
5x4
2x =
5
2x
3.
Geralmente:
(
f
g
)′
6= f
′
g′
Exemplo 23 (
3x2 + 4x− 1
x+ 1
)′
=
(3x2 + 4x− 1)′(x+ 1)− (3x2 + 4x− 1)(x+ 1)′
(x+ 1)2
=
(6x+ 4)(x+ 1)− (3x2 + 4x− 1)(1)
(x+ 1)2
=
(6x2 + 10x+ 4)− (3x2 + 4x− 1)
(x+ 1)2
=
3x2 + 6x+ 5
(x+ 1)2
(
sen(x)
x
)′
=
(sen(x))′ (x)− (sen(x)) (x)′
x2
=
(cos(x)) (x)− (sen(x)) (1)
x2
=
xcos(x)− sen(x)
x2
10
7 Regra da cadeia
Teorema 24 Se g e´ diferencia´vel em x e f e´ diferencia´vel em g(x) enta˜o f ◦ g e´ diferencia´vel em x e
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x).
Outra notac¸a˜o: Escrevendo u = g(x) e y = f(u) = f(g(x))
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
.
Exemplo 25 ddx(sen(x
2)) =?
escrevemos u = x2 e y = sen(u) (assim y = sen(x2)).
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
sen(u)
)(
d
dx
x2
)
= (cos(u)) (2x) = cos(x2) · 2x.
Exemplo 26 ddx(sen(x))
3 =?
escrevemos u = sen(x) e y = u3 (assim y = (sen(x))3).
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
u3
)(
d
dx
sen(x)
)
=
(
3u2
)
(cos(x)) = 3(sen(x))2 · cos(x).
Exemplo 27 ddx(cos(3x
2 + 5)) =?
escrevemos u = 3x2 + 5 e y = cos(u) (assim y = cos(3x2 + 5)).
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
cos(u)
)(
d
dx
(3x2 + 5)
)
= (−sen(u)) (6x) = −(sen(3x2 + 5)) · 6x.
8 Derivadas das func¸o˜es exponencial e logaritmo
Toda func¸a˜o exponencial f(x) = bx, b > 0 conte´m o ponto (0, 1) em seu gra´fico. Temos interesse na reta
que conte´m este ponto e possui inclinac¸a˜o m = 1. Neste caso a reta possui equac¸a˜o
y − y0 = m(x− x0) −→ y − 1 = 1(x− 0) −→ y = x+ 1.
A escolha da base b = e ≈ 2, 71828 esta´ relacionada com esta reta. Mais precisamente, se quisermos que a
reta y = x + 1 seja tangente ao gra´fico da func¸a˜o exponencial y = bx no ponto de abscissa x = 0 devemos
considerar a base b = e.
Abaixo apresentamos em um mesmo sistema de eixos os gra´ficos de y = 2x, y = 3x e da reta y = x+ 1.
Ao fazermos uma ampliac¸a˜o para ana´lise em torno do ponto (0, 1) vemos que os gra´ficos de y = 2x e y = 3x
localmente parecem retas com inclinac¸o˜es respectivamente menor e maior que 1.
11
Abaixo apresentamos o gra´fico de y = ex e da reta y = x+ 1 em um mesmo sistema de eixos.
Para f(x) = ex temos que f ′(0) = 1 (inclinac¸a˜o da reta tangente no ponto de abscissa x = 0). Lembrando
que
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
obtemos que (para x = 0)
1 = lim
h→0
e0+h − e0
h
= lim
h→0
eh − 1
h
. (∗)
Teorema 28 ddxe
x = ex.
justificativa:
d
dx
ex = lim
h→0
ex+h − ex
h
= lim
h→0
ex
(
eh − 1
h
)
= ex lim
h→0
eh − 1
h
(∗)
= ex
Teorema 29 ddx ln(x) =
1
x
justificativa: Escrevendo u(x) = ln(x) temos eu(x) = x. Derivando ambos os lados em relac¸a˜o a x:
d
dx
eu(x) =
d
dx
(x) = 1. (1)
12
O lado esquerdo da equac¸a˜o pode ser derivado pela regra da cadeia escrevendo y = eu = eu(x) temos
d
dx
eu(x) =
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
= eu · du
dx
(2)
Por (1) e (2) obtemos
eu · du
dx
= 1
Assim
du
dx
=
1
eu
=
1
x
.
Exemplo 30 Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = ln(x) no ponto (1, 0).
Soluc¸a˜o:
dy
dx =
d
dx ln(x) =
1
x .
Inclinac¸a˜o da reta: m = dydx
∣∣∣
x=1
= 1.
Ponto: (1,0)
Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − 0 = 1(x− 1) −→ y = x− 1.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = ex no ponto (2, e2).
Soluc¸a˜o:
dy
dx =
d
dxe
x = ex.
Inclinac¸a˜o da reta: m = dydx
∣∣∣
x=2
= e2 ≈ 7, 389.
Ponto: (2, e2)
Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − e2 = e2(x− 2) −→ y = e2x− e2.
13
Exemplo 31 Calcule ddx(e
2x+1) :
Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = 2x+ 1 e y = eu = e2x+1.
d
dx
(e2x+1) =
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
eu
)(
d
dx
(2x+ 1)
)
= (eu)(2) = e2x+1 · 2
Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = e2x+1 no ponto de abscissa x = 0:
Soluc¸a˜o:
Inclinac¸a˜o: m = dydx
∣∣∣
x=0
= 2e2·0+1 = 2e.
Ponto: (0, e2·0+1) = (0, e).
Equac¸a˜o: y − y0 = m(x− x0) −→ y − e = 2e(x− 0) −→ y = 2ex+ e.
Exemplo 32 Calcule ddx(cos(e
x)):
14
Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = ex e y = cos(u).
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
cos(u)
)(
d
dx
ex
)
= (−sen(u))(ex) = −sen(ex)ex.
Calcule ddx(cos(x)e
x):
Soluc¸a˜o: (Regra do produto)
(cos(x)ex)′ = (cos(x))′(ex) + (cos(x))(ex)′
= (−sen(x))(ex) + (cos(x))(ex) = ex(cos(x)− sen(x)).
Calcule ddx
x3
ex :
Soluc¸a˜o: (Regra do quociente)(
x3
ex
)′
=
(x3)′(ex)− (x3)(ex)′
(ex)2
=
(3x2)(ex)− (x3)(ex)
(ex)2
=
(3x2 − x3)(ex)
(ex)2
=
−x3 + 3x2
ex
Exemplo 33 Calcule ddx(ln(x
3 + x2)):
Soluc¸a˜o: (Regra da cadeia) escrevemos u = x3 + x2 e y = ln(u)
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
ln(u)
)(
d
dx
(x3 + x2)
)
=
1
u
(3x2 + 2x) =
3x2 + 2x
x3 + x2
Esta u´ltima expressa˜o pode ser reescrita como
3x+ 2
x(x+ 1)
.
Calcule ddx(cos(x) ln(x)):
Soluc¸a˜o: (Regra do produto)
(cos(x) ln(x))′ = (cos(x))′(ln(x)) + (cos(x))(ln(x))′= (−sen(x))(ln(x)) + (cos(x))(1/x)
Derivada da func¸a˜o exponencial em outra base
Fixada uma base b > 0 diferente de e existe um nu´mero k (que depende de b) tal que bx = ekx. O valor de
k e´ dado por k = ln(b). De fato,
b = eln(b) ⇒ bx =
(
eln(b)
)x
= eln(b)·x.
15
Teorema 34 ddxb
x = ln(b) · bx
justificativa: Como bx = ekx temos ddxb
x = ddxe
kx. Para derivar o lado direito da equac¸a˜o usamos a regra
da cadeia com u = kx e y = eu. Assim
d
dx
bx =
d
dx
ekx =
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
=
(
d
du
eu
)(
d
dx
(kx)
)
= eu · k = kekx.
Por fim basta observar que k = ln(b) e ale´m disso ekx = bx.
Exemplo 35 -
d
dx
10x = ln(10) · 10x
d
dx
2x = ln(2) · 2x
d
dx
(x2 · 10x) = (x2)′(10x) + (x2)(10x)′
= 2x · 10x + x2 · ln(10) · 10x = (2x+ ln(10)x2)10x
Derivada da func¸a˜o logaritmo em outra base
Fixada uma base b > 0 diferente de e existe um nu´mero k (que depende de b) tal que logb(x) =
ln(x)
k . O
valor de k e´ dado por k = ln(b). De fato, como para x > 0
x = blogb(x) = eln(b)·logb(x)
aplicando-se ln em ambos os lados
ln(x) = ln(b) · logb(x) −→ logb(x) =
ln(x)
ln(b)
.
Teorema 36 ddx logb(x) =
1
ln(b)
1
x .
Exemplo 37
d
dx
log10(x) =
1
ln(10)
1
x
d
dx
log2(x) =
1
ln(2)
1
x
d
dx
(x2 · log10(x)) = (x2)′(log10(x)) + (x2)(log10(x))′
= 2x · log10(x) + x2 ·
1
ln(10)
1
x
= 2x · log10(x) +
x
ln(10)
16
9 Aplicac¸a˜o: crescimento e decrescimento
Dizemos que uma func¸a˜o f e´ crescente em um intervalo I se f(x1) < f(x2) para quaisquer x1 < x2 em I.
Dizemos que uma func¸a˜o f e´ decrescente em um intervalo I se f(x1) > f(x2) para quaisquer x1 < x2 em I.
Exemplo 38 A func¸a˜o f(x) = x2 e´ crescente em [0,+∞) e decrescente em (−∞, 0].
Teorema 39 Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em todos os pontos de (a, b) e cont´ınua em [a, b]
- Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) enta˜o f e´ crescente em [a, b]
- Se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) enta˜o f e´ decrescente em [a, b]
Exemplo 40 Determine os intervalos de [0, 2pi] onde f(x) = sen(x) e´ crescente ou decrescente.
Soluc¸a˜o: ddxsen(x) = cos(x).
17
Assim
f(x) = sen(x) e´ crescente nos intervalos [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi] (1◦ e 4◦ quadrantes)
f(x) = sen(x) e´ decrescente no intervalo [pi/2, 3pi/2] (2◦ e 3◦ quadrantes)
Exemplo 41 determine os intervalos onde f(x) = x3−3x e´ crescente e os intervalos onde f e´ decrescente.
Soluc¸a˜o: f ′(x) = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1). A func¸a˜o f ′(x) tem como gra´fico uma para´bola coˆncava para cima.
Para determinarmos os intervalos onde f ′ > 0 e´ u´til determinarmos os pontos onde f ′ e´ nula.
3(x2 − 1) = 0 −→ x2 − 1 = 0 −→ x = −1 ou x = 1.
Assim,
f ′(x) > 0 quando x ∈ (−∞,−1) ou x ∈ (1,+∞)
f ′(x) < 0 quando x ∈ (−1, 1). Portanto:
f e´ crescente nos intervalos (−∞,−1] e [1,+∞)
f e´ decrescente no intervalo [−1, 1]
18
Exemplo 42 Determine os intervalos onde f(x) = ex(x2 − 3x) e´ crescente.
Soluc¸a˜o: f ′(x) = (ex)′(x2 − 3x) + (ex)(x2 − 3x)′ = (ex)(x2 − 3x) + (ex)(2x − 3) = ex(x2 − x − 3). Para
determinarmos os intervalos onde f ′ e´ positiva, observamos que no produto ex(x2 − x− 3) o termo ex sera´
sempre positivo. Enta˜o f ′ > 0 nos intervalos onde x2−x−3 > 0. Como y = x2−x−3 tem como gra´fico uma
para´bola coˆncava para cima, devemos entender em quais pontos x2 − x− 3 = 0. Pela fo´rmula de Bhaskara
temos:
x1 =
1−√13
2
≈ −1, 30 e x2 = 1 +
√
13
2
≈ 2, 30.
Assim,
f ′(x) = ex(x2 − x− 3) e´ positiva quando x ∈ (−∞, 1−
√
13
2 ) ou x ∈ (1+
√
13
2 ,+∞)
portanto f e´ crescente nos intervalos (−∞, 1−
√
13
2 ] e [
1+
√
13
2 ,+∞).
10 Exerc´ıcios
Q1 - Calcule
df
dx
:
a) f(x) = 5x3 + 2x2 − 3x+ 1
b) f(x) = 3x5 − 2x3 + 8
19
c) f(x) = 15x4 + 8x3 − 12x+ 2
d) f(x) = 5x12 − 12x2 + 4x− 3
Q2 - Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em x = a, onde:
a) f(x) = x2 + 3x− 2, a = 3
b) f(x) = 2x3 + 5x2 − 8, a = −2
c) f(x) = x4 − 3x2 + 12, a = 1
d) f(x) = x5 − 8x2 + x− 5, a = 0
e) f(x) = −4x9 + 7x4 − 2x2 + 8x− 1, a = 0
f) f(x) = 8x4 + 7x3 − 2x, a = −1
Q3 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + 3x− 1 no ponto de abscissa 3.
Q4 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = 2x3 + 7x−1 no ponto de coordenadas
(2, f(2)).
Q5 - Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa a onde:
a) f(x) = x2 + 8 e a = 2
b)f(x) = 3x2 + 7x e a = 1
c)f(x) = x3 + 3x− 1 e a = −1
d)f(x) = 2x+ 3 e a = 4
e)f(x) = 7x− 8 e a = pi
f)f(x) = 2x3 − 3 e a = 0
Q6 - Determine dydx :
a) y = (3x2 + 1)(6x2 + x)
b) y = (5x3 + x)(2x4 − 3x2)
c) y = (−3x4 + 2x)(5x− 2)
d) y = (2 + 7)(x2 − x)
e) y = 2x+1x
f) y = x
2−x
x−1
g) y = 1
x2+2x
Q7 - Determine a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de f em x = a, onde:
a) f(x) = x sen(x), e a = 0
b) f(x) = sen(x)cos(x), e a = pi/2
c) f(x) = x2cos(x) e a = pi
d) f(x) = sen(x)x e a = pi/4
e) f(x) = x
2−3x+1
x e a = −2
f) f(x) = 1sen(x) e a = pi/2
20
Q8 - Determine a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = sen(x) no ponto de coordenadas
(pi2 , 1).
Q9 - Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f no ponto de abscissa a onde:
a)f(x) = sen(x) e a = 3pi2
b)f(x) = xcos(x) e a = 0
c)f(x) = x2sen(x) e a = pi
d)f(x) = (cos(x))2 e a = pi/2.
Q10 - Calcule dfdt onde:
a) f(t) = t sen(t) + t cos(t)
b) f(t) = (sen(t))2
c) f(t) = t
2
sen(t)
d) f(t) = 1cos(t)
e) f(t) = (t3 + 2)(t2 − 3t+ 1)
f) f(t) = 1
tk
, k ∈ {1, 2, 3, ...}
Q11 - Calcule f ′(x) onde:
a) f(x) = sen(x3)
b) f(x) = cos(x2 + 3x+ 1)
c) f(x) = cos2(x)
d) f(x) = (x3 + 4x2 − 2x+ 1)4
e) f(x) = (sen(x))3 + 3(sen(x))2 + 5
f) f(x) = sen(cos(x))
g) f(x) = sen( 1
x3
)
h) f(x) = sen(x2) + (cos(x))3
i) f(x) = (3x+ 2)5 + (2x− 8)4
j) f(x) = sen(x2)cos(x2)
k) f(x) = (sen(x))2 + (cos(x))2
l) f(x) = (sen(x))5 + (cos(x))4 + sen(x)x − 2
Q12 - Calcule f ′(x) onde
a) f(x) = x2ex
b) f(x) = (x+ 1)ex
c) f(x) = x.ln(x)
d) f(x) = exln(x)
e) f(x) = sen(x)ex
f) f(x) = ln(x).sen(x)
21
g) f(x) = xex
h) f(x) = ln(x)x
i) f(x) = e
x
ln(x)
Q13 - Calcule f ′(x) onde
a) f(x) = e5x
b) f(x) = ln(5x)
c) f(x) = ln(3)ex
d) f(x) = ln(2)
e) f(x) = sen(ex)
f) f(x) = ln(ex)
g) f(x) = cos(ln(x))
h) f(x) = esen(x)
i) f(x) = ln(x3)
Q14 - Determine os intervalos onde f e´ crescente e os intervalos onde f e´ decrescente, sendo:
a) f(x) = x3 − 27x+ 2 b) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x− 1
c) f(x) = −2x3 + 15x2 − 36x+ 1 d) f(x) = (sen(x))2 para x ∈ [0, 2pi]
e) f(x) = (sen(x))3 para x ∈ [0, 2pi]
f) f(x) = (x2 + x)ex
g) f(x) = x ln(x), x > 0
Respostas:
Q1) - a)15x2 + 4x− 3 b)15x4 − 6x2 c)60x3 + 24x2 − 12 d)60x11 − 24x+ 4
Q2) - a)9 b)4 c)− 2 d)1 e)8 f)− 13
Q3) 9
Q4) 31
Q5) -a) y = 4x+ 4 b) y = 13x− 3 c) y = 6x+ 1 d) y = 2x+ 3 e) y = 7x− 8 f)y = −3.
Q6) a) dydx = (6x)(6x
2 + x) + (3x2 + 1)(12x+ 1)
b) dydx = (15x
2 + 1)(2x4 − 3x2) + (5x3 + x)(8x3 − 6x)
c) dydx = (−12x3 + 2)(5x− 2) + (−3x4 + 2x)(5) d) dydx = 9(2x− 1)
e) dydx =
−1
x2
f) dydx = 1 se x 6= 1 g) dydx = − 2x+2(x2+2x)2
Q7 - a) 0 b) − 1 c) − 2pi d) (
√
2/2)(pi/4)−√2/2
(pi/4)2
= 2
√
2(pi−4)
pi2
e) 3/4 f) 0
Q8 - 0
Q9 - a) y = −1 b) y = x c) y = −pi2x+ pi3 d) y = 0
Q10 - a) sen(t) + cos(t) + t(cos(t)− sen(t)) b) 2sen(t)cos(t) c) 2tsen(t)−t2cos(t)
(sen(t))2
d) sen(t)
cos2(t)
e)5t4 − 12t3 + 3t2 + 4t− 6 f) −k
tk+1
Q11 - a) cos(x3)3x2 b) − sen(x2 + 3x+ 1)(2x+ 3) c) − 2sen(x)cos(x)
22
d) 4(x3 + 4x2 − 2x+ 1)3(3x2 + 8x− 2) e) 3sen2(x)cos(x) + 6sen(x)cos(x)
f) − cos(cos(x))sen(x) g) − 3cos(x−3)x−4 h) cos(x2)2x− 3cos2(x)sen(x)
i)15(3x+ 2)4 + 8(2x− 8)3 j) 2x(cos2(x2)− sen2(x2)) k) 0
l) 5(sen(x))4cos(x)− 4(cos(x))3sen(x) + cos(x)x−sen(x)
x2
Q12 -a)f ′(x) = (x2 + 2x)ex b) f ′(x) = (x+ 2)ex c) f ′(x) = ln(x) + 1
d) f ′(x) = (ln(x) + 1/x)ex e) f ′(x) = (sen(x) + cos(x))ex
f) f ′(x) = sen(x)x + ln(x)cos(x) g) f
′(x) = 1−xex h) f
′(x) = 1−ln(x)
x2
i) f ′(x) = e
x(ln(x)−1/x)
(ln(x))2
Q13 - a) f ′(x) = 5e5x b) f ′(x) = 1/x c) f ′(x) = ln(3)ex d) f ′(x) = 0 e) f ′(x) = cos(ex)ex f)
f ′(x) = 1 g) f ′(x) = − sen(ln(x))x h) f ′(x) = esen(x)cos(x) i) f ′(x) = 3/x.
Q14 - a) cres: (−∞,−3] e [3,+∞) dec: [−3, 3] b) cres: (−∞,−2] e [1,+∞) dec: [−2, 1] c) cres: [2, 3]
dec: (−∞, 2] e [3,+∞) d) cres: [0, pi/2] e [pi, 3pi/2] dec: [pi/2, pi] e [3pi/2, 2pi] e) cres: [0, pi/2] e [3pi/2, 2pi]
dec: [pi/2, 3pi/2]
f) cres: (−∞, −3−
√
5
2 ] e [
−3+√5
2 ,+∞) dec: [−3−
√
5
2 ,
−3+√5
2 ]
g) cres: (1e ,+∞) dec: (0, 1e ).
23