Problemas de Otimização - 2sem20

Prévia do material em texto

Problemas de Otimização
Cálculo - James Stewart
volume 1 − 8ª edição
pág. 290 a 300
www.fei.edu.brMAC 120 – CÁLCULO II
Conceitos do Cálculo I:
Definição 1: Chamamos ponto crítico de uma função f um ponto c no domínio da f no qual 𝒇′ 𝒄 = 𝟎
ou 𝑓′ 𝑐 não existe.
Como o ponto crítico é apenas um candidato a ponto de máximo local ou mínimo local, é necessário 
classificá-lo usando o Teste da 1ª Derivada ou o Teste da 2ª Derivada.
1. Teste Crescente/ Decrescente
(a) Se 𝑓′(𝑥) > 0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo.
(b) Se 𝑓′(𝑥) < 0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo.
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 2
2. Teste da Primeira Derivada
Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua f.
(a) Se o sinal de 𝑓′ mudar de positivo para negativo em c, então f tem um valor máximo local em c.
(b) Se o sinal de 𝑓′ mudar de negativo para positivo em c, então f tem um valor mínimo local em c.
(c) Se 𝑓′ tem mesmo sinal à esquerda e à direita de c, então f não tem máximo ou mínimo locais em c.
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 3
Definição 2: Se o gráfico de f estiver acima de todas as suas tangentes no intervalo I, então f é
chamada côncava para cima nesse intervalo. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as
suas tangentes em I, então f é chamada côncava para baixo nesse intervalo.
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 4
2. Teste da Concavidade
(a) Se 𝑓′′(𝑥) > 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para cima em I.
(b) Se 𝑓′′(𝑥) < 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para baixo em I.
Definição 3: Um ponto P na curva y = f(x) é chamado ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a
curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em P.
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 5
TESTE DA SEGUNDA DERIVADA
Suponha que 𝑓″ seja contínua na proximidade de c.
(a) Se 𝑓′ 𝑐 = 0 e 𝑓′′(𝑐) > 0, então f tem um mínimo local em c.
(b) Se 𝑓′ 𝑐 = 0 e 𝑓′′(𝑐) < 0, então f tem um máximo local em c.
Exemplo: Determine os pontos críticos da função f(x) = 3𝑥4 − 4𝑥3 − 12𝑥2 + 5 e utilize o Teste da 2ª
derivada para classificá-los em ponto de máximo local ou mínimo local.
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 6
a) Determinar os pontos críticos da função:
𝑓′ 𝑥 = 0
12𝑥3 − 12𝑥2 − 24𝑥 = 0 colocando 12x em evidência
12𝑥. 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
𝑥 =
1± 9
2
𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 2
Os pontos críticos de f são −1, 0 e 2.
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 7
b) Teste da 2ª derivada para classificar os pontos críticos:
𝑓′ 𝑥 = 12𝑥3 − 12𝑥2 − 24𝑥
𝑓″ 𝑥 = 36𝑥2 − 24𝑥 − 24
𝑓″ 𝑥 = 12. ( 3𝑥2 − 2𝑥 − 2 )
𝑓″ −1 = 12. ( 3 + 2 − 2 ) = +36 > 0 → x = −1 é abscissa do ponto de mínimo local
𝑓″ 0 = 12. ( 0 − 0 − 2 ) = −24 < 0 → x = 0 é abscissa do ponto de máximo local
𝑓″ 2 = 12. ( 12 − 4 − 2 ) = +72 > 0 → x = 2 é abscissa do ponto de mínimo local
OBS: outra maneira de classificar os pontos críticos em máximo ou mínimo local é pelo Teste da 1ª
derivada, como se faz no Cálculo I.
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 8
Teste da 1ª derivada:
𝑓′ 𝑥 = 12𝑥3 − 12𝑥2 − 24𝑥
𝑓′ 𝑥 = 12𝑥. ( 𝑥2 − 𝑥 − 2 )
x = −1 e x = 2 são as abscissas dos pontos de mínimo local
x = 0 é a abscissa do ponto de máximo local
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 9
sinal de x 
0 2−1
Estratégias de Resolução de Problemas de Otimização
1. Fazer uma figura ilustrando a situação apresentada no problema;
2. Nomear as variáveis envolvidas;
3. Escrever uma fórmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada;
4. Escrever, se necessário, outras equações que relacionem as variáveis envolvidas (restrições);
5. Usar essas equações para escrever a quantidade a ser maximizada ou minimizada como uma
função de uma única variável;
6. Identificar o domínio de consideração para a função;
7. Determinar os pontos críticos da função e classificá-los em ponto de máximo ou mínimo local
estudando o sinal da 1ª derivada ou aplicando o Teste da 2ª derivada.
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 10
Exercício 7 – Lista 1
Um fazendeiro quer cercar uma área de 216 𝑚2 em um campo retangular e então dividi-lo ao meio 
com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Quais são as dimensões do retângulo externo 
que exigirão a menor quantidade total de cerca?
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 11
x
y
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 12
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 13
Exercício 8 – Lista 1
Uma caixa com uma base quadrada e sem tampa tem volume de 32 000 𝑐𝑚3. Encontre as dimensões 
da caixa que minimizam a quantidade de material usado.
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 14
x
y
x
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 15
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 16
Exercício 9 – Lista 1
Você está preparando um pôster retangular que deverá conter 50 𝑝𝑜𝑙2 de material impresso, com 
margens superior e inferior de 4 polegadas cada uma e margens à esquerda e à direita de 2 pol. 
cada uma. Que dimensões do pôster minimizarão a quantidade de papel a ser utilizada?
MAC 120 – Cálculo II www.fei.edu.br | 17
2 2
4
4
y
4
4
2 x 2