AULA 7 - Derivadas - Pontos Críticos

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CÁLCULO I 
Derivadas – Pontos Críticos 
 
Máximos e Mínimos 
 
 
Todos os mínimos e máximos de uma função são pontos críticos. 
 
Ponto Crítico: Ponto crítico de uma função derivável (diferenciável) 𝒇 é 
um ponto 𝒙 = 𝒙𝟎, com 𝒙𝟎 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) (domínio de 𝒇) no qual 𝒇
′(𝒙𝟎) = 𝟎. Em 
uma função 𝒇 podem haver vários pontos críticos. Os pontos críticos 
também são chamados de extremos relativos de 𝒇. 
 
Exemplo 1 
Determine os pontos críticos (extremos relativos) de 𝒇(𝒙) =
𝒙𝟑
𝟑
−
𝒙𝟐
𝟐
− 𝟔𝒙. 
 Solução 
 → 𝒇′(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 
como os pontos críticos são os pontos em que 𝒇′(𝒙) = 𝟎, então precisamos 
resolver a equação: 
𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 → 𝒙′ = −𝟐 𝒆 𝒙′′ = 𝟑 , donde: 
$ 
 𝒇(−𝟐) =
(−𝟐)𝟑
𝟑
−
(−𝟐)𝟐
𝟐
− 𝟔(−𝟐) =
−𝟖
𝟑
−
𝟒
𝟐
+ 𝟏𝟐 =
−𝟏𝟔 − 𝟏𝟐 + 𝟕𝟐
𝟔
=
𝟒𝟒
𝟔
=
𝟐𝟐
𝟑
 
 
𝒇(𝟑) =
(𝟑)𝟑
𝟑
−
(𝟑)𝟐
𝟐
− 𝟔(𝟑) =
𝟐𝟕
𝟑
−
𝟗
𝟐
− 𝟏𝟖 =
𝟓𝟒 − 𝟐𝟕 − 𝟏𝟎𝟖
𝟔
=
−𝟖𝟏
𝟔
=
−𝟐𝟕
𝟐
 
 
 Logo, os pontos críticos da função são: (−𝟐,
𝟐𝟐
𝟑
) 𝒆 (𝟑,
−𝟐𝟕
𝟐
). 
 
Uma vez determinados os pontos críticos, onde 𝒇′(𝒙) = 𝟎, como 
determinar se são pontos de máximos ou de mínimos relativos? 
 
 
 
Teste da Derivada Primeira 
 
Seja 𝒇 uma função derivável sobre um conjunto 𝑺, possuindo um ponto 
crítico (𝒙𝟎, 𝒇(𝒙𝟎)) no interior de 𝑺, isto é, 𝒇
′(𝒙𝟎) = 𝟎. 
1. Se a derivada de 𝒇 é positiva à esquerda de 𝒙 = 𝒙𝟎 e negativa à direita 
de 𝒙 = 𝒙𝟎, então (𝒙𝟎, 𝒇(𝒙𝟎)) é um ponto de máximo relativo. 
2. Se a derivada de 𝒇 é negativa à esquerda de 𝒙 = 𝒙𝟎 e positiva à direita 
de 𝒙 = 𝒙𝟎, então (𝒙𝟎, 𝒇(𝒙𝟎)) é um ponto de mínimo relativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: 
Se 𝒇′(𝒙) à esquerda de 𝒙 = 𝒙𝟎 tiver o mesmo sinal da derivada à direita 
de 𝒙 = 𝒙𝟎, então (𝒙𝟎, 𝒇(𝒙𝟎)) não é ponto de máximo nem de mínimo. 
 
Exemplo 2 
0' xf 0' xf
0x
Ponto de Máximo
0' xf0' xf
0x
Ponto de Mínimo
 
Localize os extremos relativos da função 𝒇(𝒙) =
𝒙𝟑
𝟑
−
𝒙𝟐
𝟐
− 𝟔𝒙 e determine 
se são pontos de máximo ou de mínimo. 
 Solução 
 Já vimos no exemplo 1 que os extremos relativos desta função são os 
pontos (−𝟐,
𝟐𝟐
𝟑
) 𝒆 (𝟑,
−𝟐𝟕
𝟐
). 
a) Para classificar o ponto (−𝟐,
𝟐𝟐
𝟑
) pelo critério da primeira derivada 
precisamos calcular a derivada num ponto à direita e num ponto à 
esquerda de 𝒙 = −𝟐: 
 Ponto à esquerda de 𝒙 = −𝟐: 
→ 𝒙 = −𝟐, 𝟏 ⇒ 𝒇′(−𝟐, 𝟏) = (−𝟐, 𝟏)𝟐 − (−𝟐, 𝟏) − 𝟔 = 𝟎, 𝟓𝟏 𝐥𝐨𝐠𝐨 𝒇′(−𝟐, 𝟏)
> 𝟎 
 Ponto à direita de 𝒙 = −𝟐: 
→ 𝒙 = −𝟏, 𝟗 ⇒ 𝒇′(−𝟏, 𝟗) = (−𝟏, 𝟗)𝟐 − (−𝟏, 𝟗) − 𝟔 = −𝟎, 𝟒𝟗 𝐥𝐨𝐠𝐨 𝒇′(−𝟏, 𝟗)
< 𝟎 
Então o ponto (−𝟐,
𝟐𝟐
𝟑
) é ponto de máximo relativo. 
b) Para classificar o ponto (𝟑,
−𝟐𝟕
𝟐
) pelo critério da primeira derivada 
precisamos calcular a derivada num ponto à direita e num ponto à 
esquerda de 𝒙 = 𝟑: 
 Ponto à esquerda de 𝒙 = 𝟑: 
→ 𝒙 = 𝟐, 𝟗 ⇒ 𝒇′(𝟐, 𝟗) = (𝟐, 𝟗)𝟐 − (𝟐, 𝟗) − 𝟔 = −𝟎, 𝟒𝟗 𝐥𝐨𝐠𝐨 𝒇′(𝟐, 𝟗) < 𝟎 
 Ponto à direita de 𝒙 = 𝟑: 
→ 𝒙 = 𝟑, 𝟏 ⇒ 𝒇′(𝟑, 𝟏) = (𝟑, 𝟏)𝟐 − (𝟑, 𝟏) − 𝟔 = 𝟎, 𝟓𝟏 𝐥𝐨𝐠𝐨 𝒇′(𝟑, 𝟏) > 𝟎 
 Então o ponto (𝟑,
−𝟐𝟕
𝟐
) é ponto de mínimo relativo. 
Estas conclusões podem ser verificadas na figura a seguir. 
 
 
Teste da Concavidade 
Seja f uma função com derivada segunda em um intervalo aberto I. 
1. Se f (x) > 0 para todo x em I,então f é côncava para cima em I. 
2. Se f (x) < 0 para todo x em I,então f é côncava para baixo em I. 
 
 
Teste da Derivada Segunda 
 
Seja 𝒇′(𝒙𝟎) = 𝟎 e suponhamos que 𝒇
′′(𝒙) exista em um intervalo que 
contem 𝒙𝟎. 
1. Se 𝒇′′(𝒙𝟎) > 𝟎 , então (𝒙𝟎, 𝒇(𝒙𝟎)) é ponto de mínimo relativo. 
2. Se 𝒇′′(𝒙𝟎) < 𝟎 , então (𝒙𝟎, 𝒇(𝒙𝟎)) é ponto de máximo relativo. 
3. Se 𝒇′′(𝒙𝟎) = 𝟎, então o teste falha, neste caso podemos aplicar o teste 
da derivada primeira para determinar se (𝒙𝟎, 𝒇(𝒙𝟎)) é mínimo relativo 
ou máximo relativo. 
 
 
 
Pontos de Inflexão 
 
 
Se o gráfico de uma função 𝒇(𝒙), contínua, possui uma tangente em um 
ponto 𝒙 = 𝒙𝟎 onde sua concavidade muda de sentido, então o ponto (𝒙𝟎, 𝒇(𝒙𝟎)) 
é um ponto de inflexão. 
Como um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade de um gráfico 
muda de sentido, deve ser verdade que, em tais pontos, o sinal de 𝒇′′(𝒙) 
também varia. Assim, para localizar possíveis pontos de inflexão, basta 
determinar os valores de x para os quais 𝒇′′(𝒙) = 𝟎 ou 𝒇′′(𝒙) = ∄ (não existe). 
 Propriedade dos pontos de inflexão 
Se (𝒙𝟎, 𝒇(𝒙𝟎)) é um ponto de inflexão do gráfico de 𝒇(𝒙), então ou 
𝒇′′(𝒙𝟎) = 𝟎 ou 𝒇
′′(𝒙𝟎) = ∄ (não existe). 
 
 
Exemplo 3 
Utilize o teste da derivada segunda para determinar se os pontos críticos 
de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 são de máximo ou de mínimo relativo. 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 
 𝒇′(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 = 𝟒𝒙(𝒙𝟐 − 𝟏) ⇒ {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟏
𝒙 = −𝟏
} → 3 raízes 
→ 𝒇(𝟎) = 𝟎 , ponto crítico: (𝟎, 𝟎) 
→ 𝒇(𝟏) = −𝟏 , ponto crítico: (𝟏, −𝟏) 
→ 𝒇(−𝟏) = −𝟏 , ponto crítico: (−𝟏, −𝟏) 
 
 𝒇′′(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 − 𝟒 
→ Para o ponto (𝟎, 𝟎): 𝒇′′(𝟎) = −𝟒 < 𝟎 
logo, o ponto (𝟎, 𝟎) é máximo relativo; 
→ Para o ponto (𝟏, −𝟏): 𝒇′′(𝟏) = 𝟖 > 𝟎 
logo, o ponto (𝟏, −𝟏) é mínimo relativo; 
→ Para o ponto (−𝟏, −𝟏): 𝒇′′(−𝟏) = 𝟖 > 𝟎 
logo, o ponto (𝟏, −𝟏) é mínimo relativo; 
 
 
Aplicações 
 
Exemplo 4 
Sabendo que a função lucro de uma lanchonete, na produção de x 
unidades de hambúrgueres, é 𝑳(𝒙) = 𝟐, 𝟒𝟒𝒙 −
𝒙𝟐
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
− 𝟓𝟎𝟎, encontre o nível 
de produção que gera o lucro máximo e calcule este lucro. 
 
Solução: 
 𝑳′(𝒙) = 𝟐, 𝟒𝟒 −
𝒙
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
 , 
 
como o lucro máximo ocorre quando 𝑳′(𝒙) = 𝟎: 
𝟐, 𝟒𝟒 −
𝒙
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
= 𝟎 → 𝒙 = 𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎. 
 
Assim, teremos o lucro máximo com a produção de 24400 
unidades de hambúrgueres, logo, o lucro máximo será: 
𝑳(𝒙) = 𝟐, 𝟒𝟒(𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎) −
(𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎)𝟐
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎
− 𝟓𝟎𝟎 = 𝟐𝟒𝟕𝟔𝟖 
 
Resposta: O lucro máximo, de R$24.768,00, será alcançado com a 
produção de 24400 unidades de hambúrgueres. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios I 
 
Nos exercícios 1 a 6, ache todos os extremos relativos da função. Use o teste 
da Derivada Segunda quando aplicável. 
1. 𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥2 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3 + 2 
2. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 5)2 5. 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 − 3 
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 7𝑥 6. 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
4
𝑥
 
 
Nos exercícios 7 a 10, indique o sinal de 𝑓′(𝑥) e 𝑓′′(𝑥), no intervalo (0,2). 
 
 
 
Nos exercícios 11 a 15, ache os pontos de inflexão do gráfico. 
11. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 + 24𝑥 − 18 
12. 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 6)2 
13. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3(𝑥 − 5) 
14. 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 18𝑥2 + 5 
15. 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 8𝑥3 + 12𝑥2 + 12𝑥 
 
Nos exercícios 16 e 17 faça um gráfico de uma função f com as características 
seguintes: 
 Função Derivada primeira Derivada segunda 
 𝑓(2) = 0 𝑓′(𝑥) < 0, 𝑥 < 3 
 16. 𝑓(4) = 0 𝑓′(3) = 0 𝑓′′(𝑥) > 0 
 𝑓′(𝑥) > 0, 𝑥 > 3 
 
 𝑓(2) = 0 𝑓′(𝑥) > 0, 𝑥 < 3 
 17. 𝑓(4) = 0 𝑓′(3) não definida 𝑓′′(𝑥) > 0, 𝑥 ≠ 3 
 𝑓′(𝑥) < 0, 𝑥 > 3 
 
 
 
Nos exercícios 18 e 19, use os gráficos para encontrar os intervalos em que (a) 
𝑓′(𝑥) > 0 , (b) 𝑓′(𝑥) < 0 , (c) 𝑓′(𝑥) é crescente e (d) 𝑓′(𝑥) é decrescente. 
 
 
 
 
Exercícios II Pontos Críticos/Aplicações 
 
1. Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular, 
utilizando-se de uma tela de 16m de comprimento. Sabendo-se que ele 
vai usar um muro como fundo do galinheiro, determinar asdimensões 
do mesmo para que a área cercada seja a maior possível. 
 (R: 4m e 8m) 
 
2. Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em 
cima, com capacidade de 6.280m3. Sabendo que o preço da chapa de 
aço é de R$50,00 o m2, determinar: a) suas dimensões de forma que o 
custo seja mínimo; b) qual é esse custo mínimo. 
 (R: r = 10m, h = 20m e C = R$94.200,00) 
 
3. De uma longa folha retangular de metal de 30cm de largura deve-se 
fazer uma calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. 
Quantos centímetros devem ser dobrados de cada lado de modo que a 
calha tenha capacidade máxima? 
 (R: 7,5cm de cada lado) 
 
4. Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de 
x mesas coloniais é dado por C(x) = x3 – 3x2 – 80x + 500. Cada mesa é 
vendida por R$280,00. Que produção semanal maximizará o lucro? 
Qual o máximo lucro semanal possível? 
 (R: x = 12; Lmax = R$2.524,00) 
 
5. Uma empresa vendia, mensalmente, 200 unidades de um produto a 
R$80,00 cada um. Observou que, para cada real de desconto no preço 
de uma peça, eram vendidas 10 peças a mais. Qual deve ser o valor do 
desconto para que se tenha o faturamento máximo e qual é este 
faturamento? 
 (R: x = 30 e F(3) = R$25.000,00) 
 
6. Um novo refrigerante será lançado no mercado. Para isso, foi feito um 
contrato com uma indústria de embalagens, que deve fabricar 
recipientes cilíndricos em alumínio, com capacidade para 400cm3. Qual 
deve ser o raio r da base e a altura h de cada um desses recipientes 
cilíndricos, de modo que a quantidade de alumínio utilizada para sua 
fabricação seja mínima? 
 (R: r = 4 cm e h = 8 cm) 
 
7. O gerente de uma loja deseja construir uma área retangular fechada de 
600m2 no estacionamento a fim de instalar um equipamento. Três lados 
devem ser construídos em tapumes de madeira ao custo de R$7,00 por 
metro linear. O quarto lado deve ser construído com blocos de cimento 
ao custo de R$14,00 por metro linear. Determinar as dimensões da cerca 
que minimizam o custo total dos materiais de construção. 
(R: x = 20m e y =30m) 
 
8. A janela de uma casa deve ter a forma retangular, sobreposta por um 
semi-círculo. Sabendo que o perímetro da janela deve ser de 714cm, 
calcular as dimensões, base e altura do retângulo, que permitam uma 
maior entrada de luz. (R: 100 cm e 200 cm) 
 
 
 
 
Exercícios Complementares: 
Nos exercícios 1 a 6, encontre todos os extremos relativos da função. Use o 
Teste da Derivada Segunda quando aplicável. 
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 − 8 
2. 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 5)2 
3. 𝑓(𝑥) = 5 + 3𝑥2 − 𝑥3 
4. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 + 5𝑥2 − 2 
5. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 
6. 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−1
 
Nos exercícios 7 a 9, ache os pontos de inflexão do gráfico. 
7. 𝑓(𝑥) = −4𝑥3 − 8𝑥2 + 32 
8. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)3(𝑥 − 1) 
9. 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑡)(𝑡 − 4)(𝑡2 − 4) 
 
Nos exercícios 10 a 21, usando o graphmatica (ou qualquer outro programa 
gráfico) trace o gráfico da função e identifique todos os extremos relativos e 
pontos de inflexão. 
10. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 12𝑥 
11. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 
12. 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥4 − 2𝑥2 
13. 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)2 
14. 𝑔(𝑥) = 𝑥√𝑥 + 3 
15. 𝑓(𝑥) =
4
1+𝑥2
 
16. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 
17. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 −
3
2
𝑥2 − 6𝑥 
18. 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 8𝑥 + 3 
19. 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 6)(𝑥 + 2)3 
20. 𝑔(𝑥) =
𝑥3
16
(𝑥 + 4) 
21. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4√𝑥 + 1 
 
 
 
 
Nos exercícios 22 a 29 resolva as situações. 
 
22. Cortando quadrados idênticos de cada canto de um pedaço retangular de 
papelão e dobrando as abas resultantes, o papelão pode ser transformado numa 
caixa aberta. Se o papelão tem 16 polegadas de comprimento e 10 polegadas de 
largura, encontre as dimensões da caixa com o máximo de volume. 
 
23. Um homem deseja ter um jardim de forma retangular no seu quintal. Ele 
tem 50 metros de material para cercar seu jardim. Encontre as dimensões do 
maior jardim que ele pode ter se usar todo o material. 
 
24. Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga 
de 18m de comprimento. Encontre as dimensões para que a área do gol seja 
máxima. 
 
25. Suponha que a equação de demanda para uma certa mercadoria seja p 
= 4 – 0,0002x, onde x é o número de unidades produzidas semanalmente e p 
reais é o preço de cada unidade. O número do custo total da produção de x 
unidades é 800 + 3x. Se o lucro semanal deve ser o maior possível, encontre o 
número de unidades que serão produzidas semanalmente, o preço de cada 
unidade e o lucro semanal. 
26. Dada a figura abaixo, encontre as dimensões do retângulo destacado para 
que sua área seja máxima. 
 
 
 
 
 
 
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