Matrizes: Tipos e Operações

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Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Aula 1
Michael Kennedy
UNEMAT
Cáceres-MT, 10 de agosto de 2015
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Sumário
1 Matrizes
2 Matrizes
3 Tipos de Matrizes
4 Tipos de Matrizes
5 Operações com matrizes
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Matrizes
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em
linhas e colunas. Por exemplo:
Aluno Prova 1 Atividade
A1 9,0 7,0
A2 3,0 5,0
A3 6,5 8,4
Podemos suprimir os títulos, ficando somente com os números:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
9,0 7,0
3,0 5,0
6,5 8,4
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Matrizes
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em
linhas e colunas. Por exemplo:
Aluno Prova 1 Atividade
A1 9,0 7,0
A2 3,0 5,0
A3 6,5 8,4
Podemos suprimir os títulos, ficando somente com os números:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
9,0 7,0
3,0 5,0
6,5 8,4
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Definição
Definição 1.1:
Uma matriz A , m × n (m por n), é uma tabela de m · n elementos
dispostos em m linhas e n colunas:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ .
Usamos também a notação A = [aij ]m×n ou A = [aij ].
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Notação
Podemos usar os símbolos [A ], ||A || e (A ) para denotarmos as
matrizes: [︃
2 −1
0 4
]︃
,
⃦⃦⃦⃦⃦
2 −1
0 4
⃦⃦⃦⃦⃦
,
(︃
2 −1
0 4
)︃
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
3 −1 4
0 4 5
1 2 −3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ,
⃦⃦⃦⃦⃦
⃦⃦⃦ 3 −1 40 4 5
1 2 −3
⃦⃦⃦⃦⃦
⃦⃦⃦ ,
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
3 −1 4
0 4 5
1 2 −3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Igualdade de matrizes
Definição 1.2
Duas matrizes Am×n = [aij ]m×n e Br×s = [aij ]r×s são iguais se elas
têm o mesmo número de linhas (m = r) e o mesmo número de
colunas (n = s), e se todos os seus elementos correspondentes
são iguais (aij = bij).
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Exemplos
Exemplo 1.1:
Escreva, explicitamente, as matrizes
a) A = [aij ]3×2, sendo aij = i + j
b) B = [bij ]3×6, sendo bij =
i
j
c) C = [cij ]3×3, sendo cij = i2 + j2
d) M = [mij ]2×2, sendo mij = 2(i − j). Determine x , y , z, t para
que se tenha: [︃
x + y z − t
x − y 2z − t
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz-linha:
é aquela que possui uma única linha (m = 1), isto é, uma matriz
de ordem 1 × n:
A1×n = [ a11 . . . a1n ]
Matriz-coluna:
é aquela que possui uma única coluna (n = 1), ou seja, é uma
matriz de ordem m × 1:
Am×1 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11
...
am1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz-linha:
é aquela que possui uma única linha (m = 1), isto é, uma matriz
de ordem 1 × n:
A1×n = [ a11 . . . a1n ]
Matriz-coluna:
é aquela que possui uma única coluna (n = 1), ou seja, é uma
matriz de ordem m × 1:
Am×1 =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
a11
...
am1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz quadrada:
é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas
(m = n).
Exemplos:
A = [ 3 ] B =
[︃
3 1
2 −5
]︃
C =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−1 1 0
2 −5 9
7 3 9
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz quadrada:
é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas
(m = n).
Exemplos:
A = [ 3 ] B =
[︃
3 1
2 −5
]︃
C =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−1 1 0
2 −5 9
7 3 9
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz nula:
é aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos:
A = [ 0 ] B =
[︃
0
0
]︃
C =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz nula:
é aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos:
A = [ 0 ] B =
[︃
0
0
]︃
C =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz diagonal:
é toda matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para i , j, isto é, os
elementos que na˜o esta˜o na diagonal (principal) são nulos.
Exemplos:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−1 0 0
0 1 0
0 0 3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ B =
[︃
0 0
0 0
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz diagonal:
é toda matriz quadrada (m = n) onde aij = 0, para i , j, isto é, os
elementos que na˜o esta˜o na diagonal (principal) são nulos.
Exemplos:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−1 0 0
0 1 0
0 0 3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ B =
[︃
0 0
0 0
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz identidade:
é toda matriz diagonal, e portanto, quadrada, cujos elementos
da diagonal são todos unitários, ou seja, iguais a 1.
Exemplos:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ B =
[︃
1 0
0 1
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz identidade:
é toda matriz diagonal, e portanto, quadrada, cujos elementos
da diagonal são todos unitários, ou seja, iguais a 1.
Exemplos:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ B =
[︃
1 0
0 1
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz triangular superior:
é toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i > j. Ou seja, é
uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da
diagonal são nulos.
Exemplos:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 3
0 −2 5
0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ B =
[︃
3 2
0 1
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz triangular superior:
é toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i > j. Ou seja, é
uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da
diagonal são nulos.
Exemplos:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 1 3
0 −2 5
0 0 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ B =
[︃
3 2
0 1
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz triangular inferior:
é toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i < j. Ou seja, é
uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da
diagonal são nulos.
Exemplos:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0
−1 −2 0
4 5 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ B =
[︃
a 0
b c
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz triangular inferior:
é toda matriz quadrada tal que aij = 0, quando i < j. Ou seja, é
uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da
diagonal são nulos.
Exemplos:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 0
−1 −2 0
4 5 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ B =
[︃
a 0
b c
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Observações
Observação 1.1:
Chamamos de diagonal principal de uma matriz quadrada, os
elementos onde i = j.
Observação 1.2:
Indicaremos o conjunto de todas as matrizes m × n, com
elementos em R, por ℳmn(R)
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Observações
Observação 1.1:
Chamamosde diagonal principal de uma matriz quadrada, os
elementos onde i = j.
Observação 1.2:
Indicaremos o conjunto de todas as matrizes m × n, com
elementos em R, por ℳmn(R)
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Operações com matrizes
Adição
A soma de duas matrizes de mesma ordem, Am×n = [aij ]m×n e
Bm×n = [bij ]m×n, 7 é uma matriz m × n, que denotaremos por
A + B, cujos elementos são as somas correspondentes de A e
B. Isto é,
A + B = [aij ]m×n + [bij ]m×n
= [aij + bij ]m×n
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Exemplo
Seja A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 −1
4 0
2 5
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ e B =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 4
−2 5
1 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦. Então
A + B =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 −1
4 0
2 5
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ +
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 4
−2 5
1 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 + 0 −1 + 4
4 − 2 0 + 5
2 + 1 5 + 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
=
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 3
2 5
3 5
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Propriedades
Dadas as matrizes A , B e C de mesma ordem m × n, temos:
i) A + B = B + A (comutatividade)
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
iii) A + 𝒪 = A , onde 𝒪 denota a matriz nula m × n (elemento
neutro)
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Propriedades
Dadas as matrizes A , B e C de mesma ordem m × n, temos:
i) A + B = B + A (comutatividade)
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
iii) A + 𝒪 = A , onde 𝒪 denota a matriz nula m × n (elemento
neutro)
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Propriedades
Dadas as matrizes A , B e C de mesma ordem m × n, temos:
i) A + B = B + A (comutatividade)
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
iii) A + 𝒪 = A , onde 𝒪 denota a matriz nula m × n (elemento
neutro)
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Propriedades
Dadas as matrizes A , B e C de mesma ordem m × n, temos:
i) A + B = B + A (comutatividade)
ii) A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
iii) A + 𝒪 = A , onde 𝒪 denota a matriz nula m × n (elemento
neutro)
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Multiplicação por escalar ou produto por escalar
Multiplicação por escalar
Seja Am×n = [aij ]m×n e k um número, então definimos uma nova
matriz tal que
k · A = k · [aij ]m×n
= [k · aij ]m×n
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Exemplo
Considere k = −2 e A =
[︃
2 10
1 −3
]︃
, então
k · A =
− 2 ·
[︃
2 10
1 −3
]︃
=
[︃ −2 · 2 −2 · 10
−2 · 1 −2 · (−3)
]︃
=
[︃ −4 −20
−2 6
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Exemplo
Considere k = −2 e A =
[︃
2 10
1 −3
]︃
, então
k · A = − 2 ·
[︃
2 10
1 −3
]︃
=
[︃ −2 · 2 −2 · 10
−2 · 1 −2 · (−3)
]︃
=
[︃ −4 −20
−2 6
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Exemplo
Considere k = −2 e A =
[︃
2 10
1 −3
]︃
, então
k · A = − 2 ·
[︃
2 10
1 −3
]︃
=
[︃ −2 · 2 −2 · 10
−2 · 1 −2 · (−3)
]︃
=
[︃ −4 −20
−2 6
]︃
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Exemplo
Considere k = −2 e A =
[︃
2 10
1 −3
]︃
, então
k · A = − 2 ·
[︃
2 10
1 −3
]︃
=
[︃ −2 · 2 −2 · 10
−2 · 1 −2 · (−3)
]︃
=
[︃ −4 −20
−2 6
]︃
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) k (A + B) = kA + kB (distributividade)
ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A (distributividade)
iii) 0 · A = 𝒪
iv) k1(k2A ) = (k1k2)A (associatividade)
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) k (A + B) = kA + kB (distributividade)
ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A (distributividade)
iii) 0 · A = 𝒪
iv) k1(k2A ) = (k1k2)A (associatividade)
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) k (A + B) = kA + kB (distributividade)
ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A (distributividade)
iii) 0 · A = 𝒪
iv) k1(k2A ) = (k1k2)A (associatividade)
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) k (A + B) = kA + kB (distributividade)
ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A (distributividade)
iii) 0 · A = 𝒪
iv) k1(k2A ) = (k1k2)A (associatividade)
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) k (A + B) = kA + kB (distributividade)
ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A (distributividade)
iii) 0 · A = 𝒪
iv) k1(k2A ) = (k1k2)A (associatividade)
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) k (A + B) = kA + kB (distributividade)
ii) (k1 + k2)A = k1A + k2A (distributividade)
iii) 0 · A = 𝒪
iv) k1(k2A ) = (k1k2)A (associatividade)
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Matriz transposta
Transposição
Dada uma matriz Am×n = [aij ]m×n podemos obter uma outra
matriz A t = [aij ]n×m, ou seja, suas linhas são as colunas da
matriz A .
Exemplo
A =
[︃
2 10
1 −3
]︃
⇒ A t =
[︃
2 1
10 −3
]︃
B =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 1
0 3
−1 4
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⇒ B t =
[︃
2 0 −1
1 3 4
]︃
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Matriz transposta
Transposição
Dada uma matriz Am×n = [aij ]m×n podemos obter uma outra
matriz A t = [aij ]n×m, ou seja, suas linhas são as colunas da
matriz A .
Exemplo
A =
[︃
2 10
1 −3
]︃
⇒ A t =
[︃
2 1
10 −3
]︃
B =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 1
0 3
−1 4
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⇒ B t =
[︃
2 0 −1
1 3 4
]︃
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) (A t )t = A
ii) (A + B)t = A t + B t
iii) 0 · A = 𝒪
iv) (kA )t = kA t
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) (A t )t = A
ii) (A + B)t = A t + B t
iii) 0 · A = 𝒪
iv) (kA )t = kA t
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) (A t )t = A
ii) (A + B)t = A t + B t
iii) 0 · A = 𝒪
iv) (kA )t = kA t
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) (A t )t = A
ii) (A + B)t = A t + B t
iii) 0 · A = 𝒪
iv) (kA )t = kA t
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) (A t )t = A
ii) (A + B)t = A t + B t
iii) 0 · A = 𝒪
iv) (kA )t = kA t
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Propriedades
Dadas as matrizes A e B e de mesma ordem m × n e números
k , k1 e k2, temos:
i) (A t )t = A
ii) (A + B)t = A t + B t
iii) 0 · A = 𝒪
iv) (kA )t = kA t
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Matriz simétrica
Definição:
Uma matriz quadrada é simétrica se A = A t . Isto é, os
elementos que estão dispostos simetricamente em relação à
diagonal são iguais (aij = aji).
Exemplo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 1 3
1 6 4
3 4 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Matriz simétrica
Definição:
Uma matriz quadrada é simétrica se A = A t . Isto é, os
elementos que estão dispostos simetricamente em relação à
diagonal são iguais (aij = aji).
Exemplo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
2 1 3
1 6 4
3 4 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Matriz anti-simétrica
Definição:
Uma matriz quadrada é dita anti-simétrica se A t = −A . Isto é, os
elementos que estão dispostos simetricamente em relação à
diagonal tem sinais opostos (aij = −aji).
Exemplo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 −2 3
2 0 −5
−3 5 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Observação:
A diagonal de uma matriz A anti-simétrica é nula. Isto é, aii = 0.
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Matriz anti-simétrica
Definição:
Uma matriz quadrada é dita anti-simétrica se A t = −A . Isto é, os
elementos que estão dispostos simetricamente em relação à
diagonal tem sinais opostos (aij = −aji).
Exemplo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 −2 3
2 0 −5
−3 5 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Observação:
A diagonal de uma matriz A anti-simétrica é nula. Isto é, aii = 0.
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Matriz anti-simétrica
Definição:
Uma matriz quadrada é dita anti-simétrica se A t = −A . Isto é, os
elementos que estão dispostos simetricamente em relação à
diagonal tem sinais opostos (aij = −aji).
Exemplo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 −2 3
2 0 −5
−3 5 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
Observação:
A diagonal de uma matriz A anti-simétrica é nula. Isto é, aii = 0.
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Traço
Definição:
Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A , denotado por
tr(A ), é definido pela soma das entradas na diagonal principal
de A : a11 + a22 + . . . + ann.
Exemplo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−1 2 3
2 5 −5
−3 5 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
tr(A ) = − 1 + 5 + 0 = 4
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Traço
Definição:
Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A , denotado por
tr(A ), é definido pela soma das entradas na diagonal principal
de A : a11 + a22 + . . . + ann.
Exemplo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−1 2 3
2 5 −5
−3 5 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
tr(A ) = − 1 + 5 + 0 = 4
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Traço
Definição:
Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A , denotado por
tr(A ), é definido pela soma das entradas na diagonal principal
de A : a11 + a22 + . . . + ann.
Exemplo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−1 2 3
2 5 −5
−3 5 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
tr(A ) =
− 1 + 5 + 0 = 4
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Traço
Definição:
Se A é uma matriz quadrada, então o traço de A , denotado por
tr(A ), é definido pela soma das entradas na diagonal principal
de A : a11 + a22 + . . . + ann.
Exemplo:
A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−1 2 3
2 5 −5
−3 5 0
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
tr(A ) = − 1 + 5 + 0 = 4
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Multiplicação de matrizes
Definição:
Seja A uma matriz de ordem m × n e B uma matriz de ordem
n × p. O produto de A por B, denotado por AB, é a matriz de
ordem m × p, cujo elemento de ordem ij é obtido multiplicando
ordenadamente, os elementos da i-ésima linha de A pelos
elementos da j-ésima coluna de B e somando-se os produtos
assim obtidos. Isto, é,
(ab)ij = AiB j = (ai1, . . . ,ain)
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
b1j
...
b1j
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
= ai1b1j + . . . + ainb1j =
n∑︁
k=1
aikbkj
Matrizes Matrizes Tipos de Matrizes Tipos de Matrizes Operações com matrizes
Multiplicação de matrizes
Exemplo:
Dada as matrizes A =
(︃
1 0 −1
2 1 3
)︃
e B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2
0 1
0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, determine
AB.
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Multiplicação de matrizes
Propriedades:
Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes
propriedades são válidas:
i) Em geral AB , BA
ii) AI = IA = A (I matriz identidade)
iii) A (B + C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade à direita)
v) (AB)C = A (BC) (associatividade)
vi) (AB)t = B tA t
vii) 𝒪A = A𝒪 = 𝒪
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Multiplicação de matrizes
Propriedades:
Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes
propriedades são válidas:
i) Em geral AB , BA
ii) AI = IA = A (I matriz identidade)
iii) A (B + C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade à direita)
v) (AB)C = A (BC) (associatividade)
vi) (AB)t = B tA t
vii) 𝒪A = A𝒪 = 𝒪
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Multiplicação de matrizes
Propriedades:
Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes
propriedades são válidas:
i) Em geral AB , BA
ii) AI = IA = A (I matriz identidade)
iii) A (B + C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade à direita)
v) (AB)C = A (BC) (associatividade)
vi) (AB)t = B tA t
vii) 𝒪A = A𝒪 = 𝒪
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Multiplicação de matrizes
Propriedades:
Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes
propriedades são válidas:
i) Em geral AB , BA
ii) AI = IA = A (I matriz identidade)
iii) A (B + C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade à direita)
v) (AB)C = A (BC) (associatividade)
vi) (AB)t = B tA t
vii) 𝒪A = A𝒪 = 𝒪
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Multiplicação de matrizes
Propriedades:
Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes
propriedades são válidas:
i) Em geral AB , BA
ii) AI = IA = A (I matriz identidade)
iii) A (B + C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade à direita)
v) (AB)C = A (BC) (associatividade)
vi) (AB)t = B tA t
vii) 𝒪A = A𝒪 = 𝒪
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Multiplicação de matrizes
Propriedades:
Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes
propriedades são válidas:
i) Em geral AB , BA
ii) AI = IA = A (I matriz identidade)
iii) A (B + C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade à direita)
v) (AB)C = A (BC) (associatividade)
vi) (AB)t = B tA t
vii) 𝒪A = A𝒪 = 𝒪
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Multiplicação de matrizes
Propriedades:
Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes
propriedades são válidas:
i) Em geral AB , BA
ii) AI = IA = A (I matriz identidade)
iii) A (B + C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade à direita)
v) (AB)C = A (BC) (associatividade)
vi) (AB)t = B tA t
vii) 𝒪A = A𝒪 = 𝒪
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Multiplicação de matrizes
Propriedades:
Desde que sejam possíveis as operações, as seguintes
propriedades são válidas:
i) Em geral AB , BA
ii) AI = IA = A (I matriz identidade)
iii) A (B + C) = AB + AC (distributividade à esquerda)
iv) (A + B)C = AC + BC (distributividade à direita)
v) (AB)C = A (BC) (associatividade)
vi) (AB)t = B tA t
vii) 𝒪A = A𝒪 = 𝒪
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Matrizes Invertíveis
Definição:
Dada uma matriz A quadrada se pudermos encontrar uma
matriz B de mesma ordem tal que
AB = BA = I,
então diremos que A é invertível e que B é a inversa de A . Se
não puder ser encontrada tal matriz B então diremos que A não
é invertível ou A é dita singular.
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Matrizes Invertíveis
Exemplo:
A matriz B =
[︃
3 5
1 2
]︃
é a inversa de A =
[︃
2 −5
−1 3
]︃
.
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Matrizes Invertíveis
Teorema:
A inversa de uma matriz quadrada A é única e será denotada
por A−1.
Teorema:
A matriz A =
[︃
a b
c d
]︃
é invertível se ad − bc , 0, caso em que
a inversa é dada pela fórmula: A−1 = 1ad−bc
[︃
d −b
−c a
]︃
Teorema:
Se A é uma matriz invertível, então A t também é invertível. E
ainda, (A t )−1 = (A−1)t .
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Matrizes Invertíveis
Teorema:
A inversa de uma matriz quadrada A é única e será denotada
por A−1.
Teorema:
A matriz A =
[︃
a b
c d
]︃
é invertível se ad − bc , 0, caso em que
a inversa é dada pela fórmula: A−1 = 1ad−bc
[︃
d −b
−c a
]︃
Teorema:
Se A é uma matriz invertível, então A t também é invertível. E
ainda, (A t )−1 = (A−1)t .
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Matrizes Invertíveis
Teorema:
A inversa de uma matriz quadrada A é única e será denotada
por A−1.
Teorema:
A matriz A =
[︃
a b
c d
]︃
é invertível se ad − bc , 0, caso em que
a inversa é dada pela fórmula: A−1 = 1ad−bc
[︃
d −b
−c a
]︃
Teorema:
Se A é uma matriz invertível, então A t também é invertível. E
ainda, (A t )−1 = (A−1)t .
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Matrizes Invertíveis
Exercício:
Use o teorema (1.3) para calcular as inversas das seguintes
matrizes.
a) A =
[︃
3 1
5 2
]︃
b) B =
[︃
2 4
−3 4
]︃
c) C =
[︃
6 4
−2 1
]︃
d) D =
[︃
2 0
0 3
]︃
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Matrizes Ortogonais
Exercício:
Uma matriz A é dita ortogonal se, A é quadrada, invertível e
A · A t = A t · A = I, ou seja,
A−1 = A t .
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Matrizes Ortogonais
Exemplo:
Verifique se A =
[︃
cosθ − sinθ
sinθ cosθ
]︃
é ortogonal.
Exemplo:
Verifique se A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
3/7 2/7 6/7
−6/7 3/7 2/7
2/7 6/7 −3/7
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ é ortogonal.
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Matrizes Ortogonais
Exemplo:
Verifique se A =
[︃
cosθ − sinθ
sinθ cosθ
]︃
é ortogonal.
Exemplo:
Verifique se A =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
3/7 2/7 6/7
−6/7 3/7 2/7
2/7 6/7 −3/7
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ é ortogonal.
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Bibliografia
Boldrine, J.L.. Álgebra Linear. 3ª Ed.. São Paulo: Habra
Ltda, 1986.
Steinbruch, A.; Winterle, P. Introdução à Álgebra Linear.
São Paulo: Makron Books, 1990.
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	Operações com matrizes