Matrizes e Operações Matriciais - Algebra Linear

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MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
11 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
MÓDULO 07 
MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
I – Matrizes e Operações Matriciais 
1. Matrizes 
 
Definição: Chama-se de matriz – de ordem 
m n
 (lê-se "m" por 
"n") – qualquer tabela constituída por 
m n
 elementos (ou 
entradas), dispostos em m linhas (horizontais) e n colunas 
(verticais). Genericamente, cada elemento será denotado por 
ija
, 
em que os subscritos i e j representam, respectivamente, a linha e 
a coluna em que tal elemento está localizado. 
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
A
a a a a
 
 
 
 
 
 
 
 
A seguir, destacam-se algumas matrizes especiais e também conceitos relevantes para o 
desenvolvimento do curso. 
 
 Vetor ou Matriz coluna: qualquer matriz que possui uma única coluna. Deve-se notar que 
uma matriz A também pode ser definida como um arranjo de vetores coluna. 
 
 Matriz quadrada: qualquer matriz que possui número de linhas igual ao número de colunas 
(
m n
). Diz-se que uma matriz quadrada A possui ordem n (ou m). A diagonal principal de 
uma matriz quadrada é formada pelas entradas 
ija
 com 
i j
. 
 
 Matriz Diagonal: qualquer matriz quadrada na qual todas as entradas localizadas fora da 
diagonal principal são iguais a zero. 
 
 Matriz Identidade: qualquer matriz diagonal em que todas as entradas da diagonal 
principal são iguais a 1. 
 
 Matriz Triangular Superior: qualquer matriz quadrada em que todos os elementos 
localizados abaixo da diagonal principal são nulos. 
 
 Matriz Triangular Inferior: qualquer matriz quadrada em que todos os elementos 
localizados acima da diagonal principal são nulos. 
 
 Matriz Nula ou Matriz Zero: qualquer matriz na qual todas as entradas são nulas. 
 
 Matriz Transposta: Se A é uma matriz 
m n
 qualquer, então a transposta de A, denotada 
por TA , é definida como a matriz 
n m
 que resulta da permutação das linhas com as 
colunas de A. 
 
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 Matriz Simétrica: qualquer matriz cuja respectiva transposta é igual a ela mesma. Em 
outras palavras, A é uma matriz simétrica quando TA A . 
 
 Matriz Particionada ou Matriz em Blocos: qualquer matriz pode ser subdividida em blocos 
formados por matrizes (de ordens) menores. Por exemplo: 
 
11 12 13 14
21 22 23 24 11 12
31 32 33 34 21 22
41 42 43 44
a a a a
a a a a A A
A
a a a a A A
a a a a
 
 
        
 
 
, 
 
com 
11 12 13
11
21 22 23
a a a
A
a a a
 
  
 
, 
14
12
24
a
A
a
 
  
 
, 
31 32 33
21
41 42 43
a a a
A
a a a
 
  
 
 e 
34
22
44
a
A
a
 
  
 
. 
 
 Traço de uma matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz 
quadrada. Assim, se A é uma matriz quadrada de ordem n, tém-se: 
 
  11 22 33
1
tr
n
nn ii
i
A a a a a a

     
 
2. Aritmética Matricial 
 
2.1 Adição e Subtração : Caso as matrizes A e B possuam a mesma ordem e, respectivamente, 
seus elementos sejam 
ija
 e 
ijb
, então 
A B
 é uma matriz C cujos elementos são 
ij ij ijc a b 
 para 
todo i e j. Isto é: 
 
 
11 12 13 1 11 12 13 1
21 22 23 2 21 22 23 2
1 2 3 1 2 3
11 11 12 12 13 13 1 1
21 21 22 22 23 23 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m m mn m m m mn
n n
n n
m m m m m
a a a a b b b b
a a a a b b b b
C A B
a a a a b b b b
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a b a b a
   
   
       
   
   
   
   
   

  3 3m mn mnb a b
 
 
 
 
 
  
 
 
 
2.2 Multiplicação de Matriz por Escalar: A multiplicação de uma matriz A por um número real 
c (escalar) resulta em uma matriz 
c A
 na qual cada entrada da matriz original é multiplicada por 
este número real. Isto é: 
 
11 12 13 1 11 12 13 1
21 22 23 2 21 22 23 2
1 2 3 1 2 3
n n
n n
m m m mn m m m mn
a a a a c a c a c a c a
a a a a c a c a c a c a
A c A , c
a a a a c a c a c a c a
      
   
   
       
   
   
      
 
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2.3 Propriedades da Aritmética Matricial: Supondo que as matrizes A, B e C possuam a mesma 
ordem e que a e b sejam escalares, valem as seguintes regras da aritmética matricial: 
 
a) 
A B B A  
 (Lei da Comutatividade para a Adição) 
b) 
   A B C A B C    
 (Lei da Associatividade da Adição) 
c) 
 a B C a B aC  
 
d) 
 a b C aC bC  
 
e) 
   a bC ab C
 
 
3. Multiplicação de Matrizes 
 
Sejam as matrizes A e B de ordens 
m p
 e 
p n
. O produto matricial 
C AB
 é uma matriz 
de ordem 
m n
. Em outras palavras, o produto matricial das matrizes A e B só é possível se o 
número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. A seguir, apresentam-se quatro modos de 
calcular o produto de duas matrizes. 
 
 
3.1 Produto Escalar (Produto Interno) 
 
 O produto matricial 
m n m p p nC A B  
 é determinado de forma que cada elemento da matriz C 
é calculado por 
T
ij i jc u v
, em que 
iu
 representa o vetor (coluna) formado pelos elementos da linha i 
da matriz A e 
jv
 designa o vetor coluna j da matriz B. 
 
 
Exemplo 1: Sejam as matrizes 
2 3 4
3 2 2
5 1 6
A
 
 
 
  
 e 
22 12 8
28 15 15
30 12 10
B
 
 
 
  
. Então, 
1
2
3
4
u
 
 
 
  
 e 
1
22
28
30
v
 
 
 
  
. 
 
Utilizando a notação vetorial, tem-se: 
 
 11 1 1
22
2 3 4 28 2 22 3 28 4 30 248
30
Tc u v
 
          
 
  
 (produto escalar) 
 
 Por outro lado, 
3
5
1
6
u
 
 
 
  
 e 
2
12
15
12
v
 
 
 
  
. Daí, 
32 3 2 5 12 1 15 6 12 147
Tc u v       
. 
 
Assim, obtém-se 
2 3 4 22 12 8 248 117 101
3 2 2 28 15 15 182 90 74
5 1 6 30 12 10 318 147 115
C AB
     
        
     
          
. 
 
 
 
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3.2 Combinação linear das colunas de A 
 
 O produto matricial 
m n m p p nC A B  
 é determinado da forma 
 
   1 1 1m n n p nC c c a a b b     
, 
 
em que 
a
 (
1, , p 
), 
b
 e 
c
 (
1, ,n 
) são as colunas das matrizes A, B e C, respectivamente. 
Assim, cada coluna do produto matricial C é calculado por 
1 1 2 2 p pc b a b a b a      
. 
 
Exemplo 2: Seja o produto matricial 
2 3 4 22 12 8 248 117 101
3 2 2 28 15 15 182 90 74
5 1 6 30 12 10 318 147 115
C AB
     
        
     
          
. 
A primeira coluna doproduto AB pode ser determinada a partir de: 
 
11 21 31
1 2 3
1
2 3 4 248
22 3 28 2 30 2 182
5 1 6 318
b b b
a a a
c
       
             
       
              
. 
 
 
3.3 Combinação linear das linhas de B 
 
 O produto matricial 
m n m p p nC A B  
 é determinado da forma 
 
1 1 1
m n
m p m
a b c
C
a b c

    
    
      
        
, 
 
com 
a
 e 
c
 (
1, ,m 
) e 
b
 (
1, , p 
) representando as linhas das matrizes A, C e B, 
respectivamente. Assim, cada linha da matriz C é calculada por 
1 1 2 2 p pc a b a b a b      
. 
 
 
Exemplo 3: Seja o produto matricial 
2 3 4 22 12 8 248 117 101
3 2 2 28 15 15 182 90 74
5 1 6 30 12 10 318 147 115
C AB
     
        
     
          
. 
 
 
A primeira linha do produto AB pode ser determinada a partir de: 
 
       
11 1312
1 2 3
1 2 22 12 8 3 28 15 15 4 30 12 10 248 117 101
a aa
b b b
c       
. 
 
 
 
 
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3.4 Soma dos Produtos Externos coluna-linha 
 
O produto matricial 
m n m p p nC A B  
 é determinado da forma 
1 2m n pC C C C    
, em que 
T
i i iC u v
, 
iu
 designa a coluna i da matriz A e 
iv
 é o vetor (coluna) formado pelos elementos da linha 
i da matriz B. 
 
Exemplo 4: Seja o produto matricial 
2 3 4 22 12 8 248 117 101
3 2 2 28 15 15 182 90 74
5 1 6 30 12 10 318 147 115
C AB
     
        
     
          
. 
 
Pode-se escrever este produto sob a forma: 
 
     
1 2 3
1 2 3
2 3 4 248 117 101
3 22 12 8 2 28 15 15 2 30 12 10 182 90 74
5 1 6 318 147 115T T Tv v v
u u u
C AB
       
              
       
              
. 
 
 
3.5 Propriedades elementares da multiplicação matricial: Sejam as matrizes A, B e C – com 
ordens tais que as operações indicadas possam ser efetuadas – e os números reais a e b. A 
multiplicação matricial apresenta as seguintes propriedades: 
 
a) 
   A BC AB C
 (Lei da Associatividade da Multiplicação) 
b) 
 A B C AB AC  
 (Lei da Distributividade à Esquerda) 
c) 
 A B C AC BC  
 (Lei da Distributividade à Direita) 
d) 
     a BC aB C B aC 
 
 
Observação: Em geral, 
AB BA
. 
 
4. Propriedades da transposição: Sejam as matrizes A e B – com ordens tais que as operações 
indicadas possam ser efetuadas – e o número real k. A transposição de matrizes apresenta as 
seguintes propriedades: 
 
a) 
 
T T TA B A B  
 c) 
 
T T TAB B A
 
b) 
 
T TkA k A
 d) TA A e TAA são sempre matrizes simétricas. 
 
5. Potências de uma Matriz 
 
Seja A uma matriz quadrada e k um inteiro não negativo, então a enésima potência da 
matriz A é definida por: 
fatores
k
k
A A A A   
. 
 
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A potenciação de matrizes exibe as seguintes propriedades (considera-se A uma matriz 
quadrada e r e s inteiros não negativos): 
 
a) 0A I 
b) r s r sA A A  
c) 
 
s
r rsA A
 
 
Exercícios propostos: 
 
E1. Cerro Azul possui duas universidades: Alfa e Beta. As matrizes A e B representam o número de 
alunos matriculados nos cursos de graduação (G) e pós-graduação (P) de Alfa e Beta, separados por 
sexo (F) e (M). 
 
   
 
 
1500 300
2000 350
G P
F
A
M
 
  
 
 
   
 
 
1000 150
1500 190
G P
F
B
M
 
  
 
 
 
Sabe-se que os custos semestrais para a graduação e pós-graduação são de $3000,00 e 
$5000,00, respectivamente. 
 
a) Quantas mulheres estão matriculadas no curso de graduação em Cerro Azul? 
 
Resposta: 2500 mulheres. 
 
b) Em um ano atípico, o número de alunos de Alfa dobrou e o de Beta foi reduzido a metade 
do valor original. Neste cenário, quais as novas matrizes 
1A
 e 
1B
? Repita o item anterior. 
 
Resposta: 
1
3000 600
4000 700
A
 
  
 
 ; 
1
500 75
750 95
B
 
  
 
 ; 3500 mulheres. 
 
c) Qual a receita da universidade Alfa, gerada pelas mulheres, no cenário do item anterior? 
E pelos homens? 
 
Resposta: Renda gerada pelas mulheres: $12 milhões; renda gerada pelos homens: $15,5 
milhões. 
 
E2. Os insetos daninhos podem ser exterminados com a aplicação de pesticida nas plantas. 
Entretanto, parte do pesticida utilizado é absorvida pela planta e posteriormente ingerida por um 
herbívoro. A matriz A representa a quantidade, em mg por kg, de um tipo de pesticida absorvida por 
determinada espécie de planta e a matriz B representa a quantidade, em kg, de cada tipo de planta 
ingerida mensalmente por determinado herbívoro. 
 
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1 2 3
2 3 4 Pesticida 1
3 2 2 Pesticida 2
5 1 6 Pesticida 3
P P P
A
 
 
 
  
 
1 2 3
1
2
3
22 12 8
28 15 15
30 12 10
H H H
P
B P
P
 
 
 
  
 
 
a) Que quantidade do pesticida 1 foi ingerida pelo herbívoro 1? Resposta: 248 mg 
 
b) Que quantidade do pesticida 3 foi ingerida pelo herbívoro 2? Resposta: 147 mg 
 
E3. Considere as matrizes: 
 
3 0 1 5 2 6 1 3 1
4 1 1 4 2
1 2 ; ; ; 1 0 1 ; 1 1 2 ; 1
0 2 3 1 5
1 1 3 2 4 4 1 3 9
A B C D E F
       
                            
                 
 
 
Calcule, se possível: 
a) 
D E
 b) 
D E
 c) 
5A
 d) 
1
3
C
 
e) 
1
2
2
B C
 f) 
1
4
3
E D
 g) 
 3 2D E 
 h) 
A A
 
 
i) 
 tr D
 j) 
 tr A
 k) 
BC
 l) 
CB
 
 
m) 
TCC
 n) TF F o) TFF p) EF 
 
 
Respostas: a) 
7 6 5
2 1 3
7 3 7
D E
 
   
 
  
 ; b) 
5 4 1
0 1 1
1 1 1
D E
  
    
 
  
 ; c) 
 
 
  
  
15 0
5 5 10
5 5
A
 
 
d) 
1 3 4 3 2 31
1 1 3 5 33
C
   
      
 ; e) 
1
2
2
B C
 (impossível) ; f) 
71 3 7 3 34 3
1
4 11 3 4 23 3
3
15 10 3 32 3
E D
 
 
   
  
 
 
g) 
 
39 21 24
3 2 9 6 15
33 12 30
D E
   
     
 
    
 ; h) 
0A A 
 ; i) 
 tr 5D 
 ; j) 
 tr A
 (impossível) 
 
k) 
1 15 3
6 2 10
BC
 
  
 
 ; l) 
CB
 (impossível) ; m) 
21 17
17 35
TCC
 
  
 
 ; n) 
83TF F 
 
 
o) 
1 1 9
1 1 9
9 9 81
TFF
  
  
 
  
 ; p) 
22
20
24
EF
 
 
 
  
 
 
 
 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
88 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Desafios!!D1. Quantas matrizes A, 3x3, você consegue encontrar tais que 
 
0
x x y
A y x y
z
   
    
   
      
, para todas as escolhas de x, y e z? 
 
D2. Quantas matrizes A, 3x3, você consegue encontrar tais que 
 
0
0
x xy
A y
z
   
   
   
      
, para todas as escolhas de x, y e z? 
 
 
II – Geometeria das Equações Lineares e Matriz Inversa 
 
 
1. Equações e Sistemas Lineares 
 
Um dos grandes ramos da Álgebra Linear é o estudo da teoria dos Sistemas Lineares. De 
fato, este tópico é de fundamental importância para Matemática Moderna. Diversos algoritmos 
computacionais projetados para determinar a(s) solução(ões) de tais sistemas formam a base para o 
crescente ramo da Álgebra Linear Numérica. Estes métodos, por sua vez, permitem a análise e a 
previsão do comportamento dinâmico de grande parte dos fenômenos físicos de interesse para a 
Engenharia, Física, Química, Economia, etc. Até mesmo aqueles fenômenos de comportamento 
governado por um sistema de equações não-lineares podem, frequentemente, ser descritos de forma 
aproximada por um sistema de equações lineares. De fato, esta técnica – denominada linearização – 
é bastante útil na modelagem matemática ou simulação computadorizada de sistemas complexos. 
Ao longo do curso, diversos tópicos da Álgebra Linear farão uso dos conceitos descritos neste 
material. Sendo assim, é de extrema importância que este conteúdo seja compreendido em sua 
totalidade. 
 
1.1 Equação Linear 
 
É uma equação da forma 
1 1 2 2 3 3 n na x a x a x ..... a x b    
 com 
1 2 3n , , ,....
 em que: 
 
 
1 2 3 nx ,x ,x ,.....,x 
 são as variáveis, podendo cada uma delas assumir qualquer valor real; 
 as constantes reais 
1 2 3 na ,a ,a ,.....,a
 designam os respectivos coeficientes das variáveis 
1 2 3 nx ,x ,x ,.....,x
; 
 a constante b é denominada termo independente. 
 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
99 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
1.2 Solução de uma Equação Linear 
 
Uma solução da equação linear 
1 1 2 2 3 3 n na x a x a x ..... a x b    
 é uma n-upla ordenada de 
números reais 
 1 2 3 nk ,k ,k ,.....,k
 tal que 
1 1 2 2 3 3 n na k a k a k ..... a k b    
. 
 
Outra abordagem, que será adotada neste curso, é associar a solução da referida equação 
linear ao vetor 
 1 2 3
T
ns k k k k
. 
 
Assim, tem-se: 
 
1
2
31 2 3 n
n
k
k
ka a a a a s b
k
 
 
 
    
 
 
  
 (*). 
1.3 Sistema de Equações Lineares 
 
Um sistema de equações lineares é um conjunto de m equações lineares a n incógnitas – com 
 m,n 
 – do tipo: 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x .... a x b
a x a x a x .... a x b
S
a x a x a x .... a x b
    
     


     
 
 
Caso 
1 2 3 0mb b b b    
, o sistema S é dito homogêneo. 
 
1.4 Soluções de um Sistema Linear 
 
São as soluções simultâneas de todas as equações que constituem o sistema linear S. Caso o 
sistema em questão seja homogêneo admitirá, ao menos, a solução trivial 
1 2 3 0nk k k k    
. 
 
1.5 Tipos de Sistemas de Equações Lineares 
 
 Sistema consistente (ou compatível, ou possível): Um sistema de equações lineares é dito 
consistente quando admite solução (ou soluções). Neste caso, existem duas subdivisões: 
 
 Sistema compatível e determinado: quando admite uma única solução; 
 Sistema compatível e indeterminado: quando o sistema admite mais de uma solução 
(serão infinitas soluções). 
 
 Sistema inconsistente (ou incompatível, ou impossível): Um sistema de equações lineares é dito 
inconsistente quando não admite nenhuma solução. 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
1100 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
1.6 Matrizes e Sistemas de Equações Lineares 
 
O sistema de equações lineares 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x .... a x b
a x a x a x .... a x b
S
a x a x a x .... a x b
    
     


     
 
 
é equivalente à equação matricial 
1 111 12 1
2 221 22 2
1 2
n
n
n mm m mn
x ba a a
x ba a a
x ba a a
     
     
      
     
     
    
, ou 
A x b
, em que: 
 
ij m n
A a

   
 é a matriz dos coeficientes das variáveis; 
 
1j n
x x

   
 é a matriz coluna das variáveis; 
 
1j m
b b

   
 é a matriz coluna dos termos independentes. 
 Deve-se notar que a representação matricial 
A x b
 é uma ampliação da notação (*) 
apresentada em 1.2. 
 
2. Geometria das Equações Lineares 
 A seguir, a geometria associada às equações lineares é analisada por meio de exemplos 
aplicáveis à espaços geométricos bidimensionais. 
 
Exemplo 1: O sistema de equações lineares 
1 1 1
2 2 1 2 2
5 1 1 5
x y x
S A x b
x y y
       
                 
 
exibe como solução única o vetor 
   4 1
T T
x x y   
. De fato: 
1 1
1 2 4 1 2 2
4 1
1 1 1 1 1 5
A x b
         
                          
. 
 
Geometricamente, existem dois modos de se interpretar essa solução. São eles: 
 
2.1 Geometria das Linhas 
 
A solução do sistema linear é 
interpretada como o ponto de 
intersecção de duas retas do 
2 , descritas por cada uma 
das equações lineares que 
compõem o sistema. A situação 
estudada no Exemplo 1 é 
ilustrada ao lado. 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
1111 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
2.2 Geometria das Colunas 
 
Neste caso, o vetor solução do sistema linear (x*) contém os coeficientes de uma combinação 
linear das colunas da matriz dos coeficientes (A1) que gera o termo independente (b1): 
 
1 1
1 2 1 2 2
1 1 1 1 5
x
A x x y b
y
                                   
. 
 
Assim, solucionar o sistema linear 
resume-se à procura de escalares x e y 
tais que a combinação linear dos 
vetores 
 1 1 1
T
c 
 e 
 2 2 1
T
c  
– 
as colunas da matriz A1 – gere o vetor 
 1 2 5
T
b 
. Estes escalares são 
4x 
 
e 
1y  
, como mostra a figura. A 
interpretação da(s) solução(ões) de um 
sistema linear 
A x b
 em termos da 
geometria das colunas revela que este 
sistema admite solução(ões) apenas 
quando o vetor b puder ser escrito 
como combinação(ões) linear(es) dos 
vetores coluna da matriz A. 
 
 
Exemplo 2: O sistema de equações lineares 
 
1 2 2
2 4 2 1 4
4 2 8 4 2 8
x y x
S A x b
x y y
        
                 
 
 
 
admite solução. De fato, o vetor b2 pode ser escrito como uma 
combinação linear das colunas da matriz A2: 
 
2
4 2 1
1 2
8 4 2
b
     
              
 
 
 
 No entanto, esta combinação não é única. Também é 
possível escrever 
 
2
4 2 1
2 0
8 4 2
b
     
             
. 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
1122 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Logo, o sistema S2 admite infinitas soluções. Esta ocorrência está associada ao fato das 
colunas da matriz A2 serem múltiplas uma da outra (em um linguajar mais técnico, pode-se dizer 
que uma coluna é combinação linear da outra) e b2 ser combinação linear destas mesmas colunas. 
 
 
Exemplo 3: O sistema de equações lineares 
 
1 3 3
2 4 2 1 4
4 2 6 4 2 6
x y x
S A x b
x y y
        
                 
 
 
não admite solução, uma vez que 
 3 4 6
T
b 
não pode ser 
escrito como combinação linear das colunas da matriz A3, 
como mostra a figura. 
Deve-se notar que, sob a ótica da geometria das 
linhas, o fato de que o sistema em estudo não admite solução 
provém do paralelismo das retas designadas por cada 
equação linear que o compõe. 
 
 
 
 
3. Dependência e Independência Linear 
 
Seja o sistema linear homogêneo 
1 0A x 
, com a matriz A1 proveniente do Exemplo1. Tem-se: 
 
1
1 2 1 2 0
0
1 1 1 1 0
x
A x x y
y
         
                         
. 
 
 Uma simples inspeção revela que 
 0 0
T
x 
é a única solução para o sistema. Esta é a 
denominada solução trivial. Tal resultado já era esperado, uma vez que as duas colunas da matriz 
A1 (de ordem 2) não são múltiplas uma da outra. Neste caso, os vetores coluna da matriz A1, 
 1 1 1
T
c 
e
 2 2 1
T
c  
, são ditos linearmente independentes. Em outras palavras, a única 
combinação linear dos vetores c1 e c2 capaz de gerar o vetor nulo do 2 é a combinação linear trivial 
(na qual todos os coeficientes envolvidos são nulos). 
 
Seja o sistema linear homogêneo 
2 0A x 
, com a matriz A2 igual à do Exemplo 2. Tem-se: 
 
2
2 1 2 1 0 1
0 2
4 2 4 2 0 2
x
A x x y y x x ,
y
                                                
. 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
1133 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Assim, o sistema 
2 0A x 
 admite infinitas soluções. Isto decorre do fato de que as colunas da 
matriz A2 são múltiplas uma da outra. Nesta situação, os vetores coluna de A2, 
 1 2 4
T
c 
e 
 2 1 2
T
c   
são ditos linearmente dependentes. Isto significa que existe ao menos uma combinação 
linear dos vetores c1 e c2 – diferente da trivial – capaz de gerar o vetor nulo do 2 . Formalmente: 
 
Os conceitos de independência e dependência linear são importantes para a discussão de 
sistemas lineares. Já é conhecido o fato de que o sistema 
A x b
, com A quadrada, só admite 
solução se o vetor b puder ser escrito como combinação linear das colunas de A. Sendo tal condição 
satisfeita, pode-se afirmar que: 
 
 Caso as colunas de A sejam l.d., o sistema 
A x b
 admite infinitas soluções. 
 Caso as colunas de A sejam l.i., o sistema 
A x b
 admite uma única solução. 
 
Exemplo 4: O sistema de equações lineares 
 
4 4 4
3 3 1 3 1 3
3 1 0 1 3 1
3 0 0 0 3 0
x y z x
S y z A x b y
z z
         
                 
            
 
 
admite solução, uma vez que o vetor 
 3 1 0
T
b 
pode ser escrito como combinação linear dos 
vetores 
 1 1 0 0
T
c 
, 
 2 3 1 0
T
c 
 e 
 3 1 3 3
T
c  
– colunas da matriz A4. De fato: 
 
 
4
3 1 3 1
1 0 0 1 1 0 3
0 0 0 3
b
       
             
       
              
 e 
0
1
0
x
 
 
 
  
. 
 
Os vetores coluna c1, c2 e c3 são l.i., pois a combinação linear 
 
0 1 3 1
0 0 1 3
0 0 0 3
  
       
            
       
              
 
 
só se verifica para 
0    
. Assim, 
 0 1 0
T
x 
 é a solução única do sistema 
4 4A x b
. 
Nota-se que, caso as colunas de uma matriz quadrada A sejam l.i., então suas linhas também 
o são. Isto pode ser verificado facilmente ao se aplicar a transposição ao sistema linear 
A x b
. 
Assim, 
     
1 0 0
3 1 0 3 1 0
1 3 3
T T T T TA x b A x b x A b x y z
 
       
 
  
 
 
admite solução única 
   0 1 0Tx


. 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
1144 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
4. Matriz Inversa 
 
A inversa de uma matriz A de ordem n é outra matriz B de ordem n, tal que 
AB I
 e 
BA I
. A matriz inversa de A é única e denotada por 1A . 
A seguir são listados alguns fatos acerca da inversa de uma matriz de ordem n: 
 
1. Se A é inversível, a única solução do sistema linear 
A x b
 é 
1 nx A b, b   
. Isto 
acarreta em um conceito muito importante: uma matriz A só admite inversa se, e somente se: 
 
 i) A é quadrada e 
 ii) As colunas (ou linhas) de A são l.i. 
 
2. Uma matriz diagonal admite inversa desde que nenhum elemento da diagonal seja nulo. 
De fato, uma vez que 1DD I  , tem-se: 
 
 
1 1
1
0 1 0
0 0 1n n
d d
D D
d d

   
     
   
      
 
 
 
 
3. Se A e B são matrizes inversíveis, então: 
 
i) 
 
1
1A A

 
 ii) 
 
1 11k A A , k
k
   
 iii) 
 
1 1 1AB B A
  
 
iv) 
   
1
1
T
TA A

 
 v) 
1 1 1
fatores
k
k
A A A A    
, k inteiro não negativo. 
 
4. Seja Q uma matriz inversível. Caso 
1 TQ Q 
, diz-se que Q é ortogonal. Os vetores coluna 
(ou linha) de uma matriz ortogonal são unitários e dois a dois ortogonais. 
 
Exemplo 5: A matriz 
1 11
1 12
Q
 
   
 é ortogonal. De fato: 
 
 
1
1 1 1 1 1 01 1
1 1 1 1 0 12 2
TQ Q Q Q I
     
             
; 
 
 
 1 2
11 1
1 1 0
12 2
Tc c
 
    
 
; 
 
 
 
22
1
1
1 1 1
2
c    
 e 
2 2
2
1
1 1 1
2
c   
. 
 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
1155 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Exercícios propostos: 
 
E1. O sistema de equações 
2 0
2 0
ax y
x ay
 

 
 tem a solução 
0x y 
. 
 
Para quais valores de a há uma reta como solução? 
 
Resposta: Quando 
 2a
 as colunas da matriz A serão ld. Consequentemente, o diagrama de linhas 
apresentará duas retas paralelas coincidentes. Isto indica a existência de infinitas soluções 
(compostas por todos os pontos da reta 
0x y 
). 
 
E2. A representação de um sistema é 
1 1 1
1 2 3
0 1 2
u v w b
     
       
     
          
. 
Mostre que os três vetores do lado esquerdo se localizam em um mesmo plano. Quais serão todas as 
soluções 
 
T
u v w
 se b for o vetor nulo? 
 
Respostas: Os três vetores u, v e w são ld, uma vez que 
2 2 0v u w v u w     
. Uma vez que 
u, v e w sãotrês vetores ld do 3 , é possível localizar representantes destes vetores em um mesmo 
plano (diz-se que os vetores são coplanares). No cenário em que b é nulo, as infinitas soluções do 
sistema serão da forma 
   2
T T
u v w u v v u 
. 
E3. Determine os valores do parâmetro c para os quais as colunas das seguintes matrizes tornam-se 
l.d. (linearmente dependentes). 
 
1 3 5 1 0
1 2 4 ; 1 1 0 ; 2 1 5
1 1 0 1 1 3 3 6
c c c c
A B C
c
     
       
     
          
 
 
Respostas: Para que as colunas das matrizes sejam ld, é necessário que ao menos uma delas possa 
ser escrita como combinação linear das demais. Assim, para a matriz A, tem-se 
3c 
; para a matriz 
B o parâmetro assume o valor 
1c  
 e para a matriz C, tem-se 
0c 
. 
 
E4. Considere o sistema linear 1 1
2 2
3 3
1 0 0
1 1 0
1 1 1
y B
Sy B y B
y B
    
       
    
         
. 
 
a) As colunas de S são dependentes ou independentes? 
 
Resposta: As colunas de S são li, uma vez que representam vetores não-coplanares do 3 . 
Algebricamente, mostra-se que a única combinação lienar de tais colunas que gera o vetor nulo é a 
combinação linear trivial. 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
1166 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
b) O sistema 
Sy B
 tem solução única? Em caso afirmativo, resolva o sistema em função de 
1B
, 
2B
 
e 
3B
 escrevendo a solução na forma 
1y S B
. 
 
Resposta: Sim, pois S é uma matriz quadrada com colunas li. Daí: 1
1
2
3
1 0 0
1 1 0
0 1 1
B
y S B B
B

  
    
  
     
 
 
III – Sistemas Lineares Equivalentes e Operações Elementares 
 
Definição: Dois sistemas de equações lineares são ditos equivalentes quando apresentam o mesmo 
conjunto solução. 
 
É simples verificar que a substituição de uma das linhas de um sistema linear por uma 
combinação linear dessa mesma linha com outras não provoca alteração no conjunto solução do 
referido sistema. Esta operação que envolve as linhas de um sistema linear é chamada operação 
elementar. 
Portanto, a aplicação de operações elementares dá origem a outros sistemas lineares, 
equivalentes ao sistema original, como mostra o exemplo a seguir. 
 
Exemplo 1: Seja o sistema linear  
 
1
1
2
2 2
2 14
x y l
S
x y l
  

 
. 
 
 É possível substituir a linha l2 pela combinação linear 
2 12l l
 e obter-se assim um sistema 
linear S2 equivalente ao sistema original S1. 
 
 
  2 2 1
1
1 2
2
2
2 22 2
5 102 14 l l l
x yx y l
S S
yx y l   
    
 
   
 
 
A única solução 
 6 2
T
x  
é facilmente obtida a partir do sistema linear S2. 
Isto deve-se ao fato de que a matriz dos coeficientes (A2) do sistema S2 é do tipo triangular 
superior: 
 
2
1 2
50
A
 
   
. 
 
Esse processo de resolução para sistemas de equações lineares é denominado Eliminação 
Gaussiana (ou Método de Gauss ou Escalonamento) – apesar de não ter sido criado por Gauss – e 
será detalhado a seguir. 
 
 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
1177 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
IV – Eliminação de Gauss-Jordan 
 
 Até o momento, a discussão dos sistemas lineares 
A x b
 restringiu-se à matrizes A 
quadradas de ordem n. A partir de agora, será tratado o caso geral em que a matriz A é retangular, 
com m linhas e n colunas. 
 Este problema será abordado com o uso da Eliminação de Gauss-Jordan. O objetivo deste 
método é a geração de um sistema linear 
Rx d
 equivalente a 
Ax b
 (e também a 
Ux c
, 
proveniente da eliminação gaussiana) de modo que R seja uma matriz escalonada reduzida por 
linhas. 
 
O uso da matriz R não é restrito ao estudo de sistemas lineares. Mais adiante, a inspeção de 
uma matriz escalonada reduzida por linhas R – oriunda de uma determinada matriz A – será 
responsável pela geração de bases para os espaços vetoriais fundamentais associados à matriz A. 
 
1. Matrizes Escalonadas Reduzidas por Linhas 
 
Definição 01: Uma matriz M (mxn) está na forma escalonada por linhas (ref – row echelon form) se: 
 
i) Toda linha não-nula de M está acima de todas as linhas nulas (se estas existirem); e 
ii) O coeficiente líder (primeiro elemento não nulo de uma linha não nula), denominado pivô, 
está sempre à direita do coeficiente líder da linha imediatamente acima. 
 
Exemplo 01: Sejam as matrizes 
1
0 8 9
0 5 4
0 0
3
2
0 0
M
 
 
 
  
 e 
2
3
1
5
1 2 3 2
0 0 5 0
0 0 0 5
0 0 0 60
M
 
  
 
 
 
 
. 
 
A matriz M1 não está na forma escalonada por linhas. De fato, embora os elementos 
1,12 3m 
 
e 
1,21 2m 
 sejam pivôs, sua localização não satisfaz a condição ii. Deve-se notar, porém, que a 
condição i é satisfeita. No entanto, a matriz 
3 12 1M P M
 está na forma escalonada por linhas 
(verifique). 
M2 está na forma escalonada por linhas, uma vez que a localização dos pivôs 
2,11 3m 
, 
2,23 1m  
, 
2,34 5m 
 e 
2,45 6m 
 satisfaz a condição ii. Deve-se notar que a condição i não se aplica a 
matriz M2, uma vez que não existem linhas nulas. 
 
 
Exemplo 02: A matriz 4
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
M
        
       
 
     
 
   
 
 
 está na forma escalonada por linhas. 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
1188 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
Os elementos denotados por ‘’ são os pivôs de M4, enquanto os elementos ‘*’ podem assumir 
qualquer valor real. É importante notar o padrão “em escada” que se estabelece em matrizes que 
estão na forma escalonada por linhas. 
 
Definição 02: As colunas que contém os pivôs de uma matriz M na forma escalonada por linhas são 
denominadas colunas líderes ou colunas pivô. As demais colunas de M são as colunas livres1. 
 
Exemplo 03: A matriz M4 do Exemplo 02 possui a seguinte configuração com respeito às colunas pivô 
e livres: 
4
0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
M
        
       
 
     
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição 03: Uma matriz R (mxn) está na forma escalonada reduzida por linhas (rref – reduced row 
echelon form) se: 
 
i) Todo pivô de R é unitário; e 
 ii) Os pivôs são os únicos elementos não nulos de cada coluna líder (ou coluna pivô). 
 
Exemplo 04: Sejam as matrizes 
5
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
1
0
1
1
0
M
 
 
 
 
 
 
 e 
6
5 0 9 7 0
0 0 4 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1
1
1
M
  
 
 
 
 
 
. 
 
Ambas as matrizes estão na forma escalonada reduzida por linhas. As colunas 2, 3 e 4 de M5 
são colunas pivô e a coluna 1 é uma coluna livre. Já com relação à matriz M6, as colunas pivô são as 
colunas 1, 3 e 6, enquanto as colunas livres são as colunas 2, 4 e 5. 
 
 
 
1
 A razão para a escolha dos termos ‘líderes’ e ‘livres’ se tornaráevidente quando da aplicação do método de 
eliminação de Gauss-Jordan. 
 
Colunas pivô: 1, 2, 5 e 6 
Colunas livres: 3, 4, 7 e 8 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
1199 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
2. Como escrever a forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz A? 
 
Qualquer matriz A mxn pode ser escrita na forma escalonada reduzida por linhas após um 
número finito de operações elementares realizadas sobre suas linhas. 
O conjunto de operações elementares (sobre linhas) permitido é composto por: 
 
 
 ijL
, em que linha i  (linha i – 

linha j). O multiplicador deve ser calculado de 
forma que o elemento alvo da operação elementar seja anulado após a sua aplicação. 
 
 iL
, em que linha i  

linha i. 
 
ijP
, em que ocorre a permutação entre as linhas i e j. 
 
Definição 04: 
 rrefR A
 indica que a matriz R é a forma escalonada reduzida por linhas de A, 
obtida após um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. 
 
Exemplo 05: A forma escalonada reduzida por linhas de 
1 3 1 1
2 6 3 1
1 3 2 2
X
 
 
 
  
 é obtida a partir de: 
 
 
 
     21 32 12
31
1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 3 0 4
2
6 3 1 0 0 1 3 1 0 0 1 3 1 0 0 3 rref
1
3 2 2 0 0 3 0 0 0 0
1
2
1 0 0
1
1 0
1
0
L
X L L R X
L
          
         
       
              
. 
 
 
3. O Método de Eliminação de Gauss-Jordan 
 
 O Método de Gauss-Jordan apoia-se no fato de que os sistemas lineares 
A x b
 e 
R x d
, 
com 
 rrefR A
, são equivalentes (ou seja, partilham do mesmo conjunto solução). De fato, mostra-
se que a aplicação das operações elementares sobre as linhas de 
 |A b
 que resultam na matriz 
 |R d
, mantém inalterado o conjunto solução de 
A x b
. 
 A vantagem do Método de Gauss-Jordan é a eliminação do processo de retrossubstituição 
necessário à eliminação gaussiana. 
 
Exemplo 06: A aplicação do Método de Gauss-Jordan na solução do sistema linear 
 
2 2 6 4
2 7 6
2 6 7 1
x y z
x y z
x y z
  

  
     
 
 
segue a sequência de passos2 mostrada abaixo: 
 
 
 
2
 Trata-se de uma dentre as infinitas sequências possíveis. 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
2200 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
 
 
 
 211 2
31
2 6 4 1 3 22
1
1 3 2
21
| 2 1 7 6 2 1 7 6 0
1
1 2 1
22
2 6 7 1 2 6 7 1 1
1
0 4 3
L
A b L L
L
     
      
                         

 
 
 
 
 
 
 
 12 133
32 23
1 3 2 0 4 4 0 4 4 0 0 0
1 41
0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1 |
4 15
0 4 1 3 0 0
1
5 0 0
1 1 1
1 1 1 1
1 11 0 0 15
L L
L R d
L L
       
        
                                 
. 
 
 Assim, a solução única do sistema é 
   0 1 1
T T
x x y z  
. 
 
 
 
Exemplo 07: Sejam 
0 4 3
1 7 5
1 8 6
1 15 11
A
 
  
 
  
 
 
, 
1
3
4
5
0
b
 
 
 
 
 
 
, 
2
0
0
1
0
b
 
 
 
 
 
 
 e 
3
0
0
0
0
b
 
 
 
 
 
 
. 
 
 A aplicação do Método de Gauss-Jordan à solução simultânea dos sistemas 
1 1Ax b
, 
2 2Ax b
 
e 
3 3Ax b
 resulta em: 
 
 
 
 
 
21
1 2 3 14
31
0 4 3 3 0 0 15 11 0 0 0 15 11 0 0 0
1 7 5 4 0 0 1 7 5 4 0 0 0 8 6 4 0 01
| | |
1 8 6 5 1 0 1 8 6 5 1 0 0 7 5 5 1 01
1 15 11 0 0 0 0 4 3 3 0 0 0 4 3 3 0 0
1 1
L
A b b b P
L
       
     
         
         
     
            
 
 
 
 322 3
42
15 11 0 0 0 15 11 0 0 0
0 3 4 1 2 0 0 0 3 4 1 2 0 071
4
0 7 5 5 1 0 0 0 3 2 1 048
0 4 3 3
1
0 0 0 0 0 5 0 0
1 1
1 1
4
L
L L
L
    
   
               
   
      

 
 
 
13
12
23
15 11 0 0 0 0 1 4 15 2 0 0 1
0 3 4 1 2 0 0 0 3 4 1 2 0 0 4
15
0 0 6 4 0 0 0 6 4 0 3
0 0 0
1
5 0 0 0 0 0 5 0 0
1
1 1
1
4
1
L
L
L
       
             
        
     
       
 
 
 1 2 3
0 0 9 1 0
0 0 4 3 0
| | |
0 0 6 4 0
0 0
1
5 0
1
1
0 0
R d d d
  
 
  
  
 
  
. 
 
 
 
 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
2211 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
 
O resultado anterior mostra que: 
 
  O sistema 
1 1Ax b
 é inconsistente, pois 
0 0 0 5x y z  
 é impossível (
0 5
!!); 
 Os sistemas 
2 2Ax b
 e 
3 3Ax b
 são consistentes e determinados. Deve-se notar que a 
última equação (desnecessária) é do tipo 
0 0 0 0x y z  
 e as demais equações dos sistemas 
admitem as soluções únicas 
 2 1 3 4
T
x    
 e 
 3 0 0 0
T
x 
(3 equações, 3 pivôs, 3 
incógnitas). 
 
Exemplo 08: Sejam 
2 2 3
1 0 1
3 4 7
A
 
 
 
  
, 
1
1
5
3
b
 
 
 
  
 e 
2
0
0
0
b
 
 
 
  
. 
 
A aplicação do Método de Gauss-Jordan à solução simultânea dos sistemas 
1 1Ax b
 e 
2 2Ax b
 resulta em: 
 
 
 
 
 
21
1 2 12 2
31
2 2 3 1 0 0 1 5 0 0 1 5 0
2 1
| | 1 0 1 5 0 2 2 3 1 0 0 5 9 0
3 2
3 4 7 3 0 3 4 7 3 0 0 4 10 18 0
1
2
1
L
A b b P L
L
     
       
          
                
 
 
   31 1 2
1 10 1 5 0 0 1 5 0
0 5 2 9 2 0 4 0 5 2 9 2 0 | |
0 4 10 18 0 0 0 0 0 0
1 1L R d d
   
   
       
       
. 
 
O resultado anterior mostra que: 
 
 Os sistemas 
1 1Ax b
 e 
2 2Ax b
 são consistentes e indeterminados. Deve-se notar que a 
última equação (desnecessária) é do tipo 
0 0 0 0x y z  
 e as demais equações dos sistemas 
admitem infinitas soluções (2 equações, 2 pivôs, 3 incógnitas). 
 
As colunas 1 e 2 de R são colunas pivô (ou colunas líderes). Então, as variáveis (incógnitas) x 
e y são denominadas variáveis líderes. 
A coluna 3 de R é uma coluna livre. Logo, a variável z é denominada variável livre. 
As componentes x e y (variáveis líderes) dos infinitos vetores solução dos sistemas 
1 1Ax b
 e 
2 2Ax b
 são combinações lineares da variável livre z. Para que isto se torne evidente, reescrevem-se 
os sistemas 
1 1Rx d
 e 
2 2Rx d
, equivalentes a 
1 1Ax b
 e 
2 2Ax b
: 
 
 
 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
2222 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
Sistema 
1 1Rx d
 Sistema 
2 2Rx d
 
 
5 5
5 9 9 5
2 2 2 2
x z x z
y z y z
    
 
 
      
 
 
 
1
9 5
5 , , |
2 2
S z z z z  
        
  
 
 
9 5
5, ,0 1, ,1 |
2 2
z z
    
         
    
 
 
 
9
5, ,1 2,5,2 |
2
         
  
 
 
0
5 5
0
2 2
x z x z
y z y z
    
 
 
   
 
 
 
2
5
, , |
2
S z z z z
  
      
  
 
 
5
1, ,1 |
2
z z
  
     
  
 
 
  2,5,2 |   
 
 
 
A inspeção da matriz aumentada 
 |R d
 permite avaliar a natureza do sistema linear 
Ax b
. Em outras palavras, as colunas líderes, livres e as (possíveis) linhas nulas de R revelam se o 
sistema é consistente (determinado ou indeterminado) ou inconsistente. 
 
Resumindo: 
 
 Caso o número de linhas nulas de R seja diferente do número de linhas nulas de 
 |R d
, o 
sistema 
Ax b
 será inconsistente. 
 Caso contrário (número de linhas nulas de R 

 número de linhas nulas de 
 |R d
), 
Ax b
 
será consistente: 
 determinado: número de pivôs 

 número de incógnitas. 
 indeterminado: número de pivôs < número de incógnitas. 
 
Exemplo 09: O sistema linear 
 1 2 6
T
Ax A x x x b 
 exibe, após a aplicação do Método de 
Gauss-Jordan, a matriz aumentada 
 |R d
 a seguir: 
 
 
1 0 0
0 0 0 1 0
|
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
R d

    
 
  
  
 
  
. 
 
Ax b
 será inconsistente quando 
0 
. Caso contrário, 
Ax b
 admite infinitas soluções. As 
variáveis livres serão x2, x3 e x6. As variáveis líderes x1, x4 e x5 são combinações lineares de x2, x3 e x6. 
 
 
 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
2233 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
4. Exercícios propostos 
 
E1. Resolver os sistemas lineares utilizando o Método de Gauss-Jordan: 
 
a) 
3 6
3 2 8 7
4 5 3 17
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 b) 
3 2 0
3 3 0
2 0
x y z t
x y z t
y z t
   

   
   
 c) 
0
2 3 0
4 2 0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 d) 
1
2
2 3
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
 
Respostas: 
a) A solução é 
    3 1 0 2 1 1S x , , z , , z     
. 
 
b) A solução é 
  5 0 6 3S x t , , , t    
. 
 
c) A solução é 
2 3
1
5 5
S x z , , z
  
     
  
. 
 
d) A solução é 
 S  
. 
 
E2. Dado o sistema linear 
2 5
4 2
x y
x y t
 

 
: 
 
a) Determine um valor de t para o qual o sistema tem uma única solução; 
 
Resposta: Não existe valor de t que leve o sistema a admitir uma única solução. 
 
b) Determine um valor de t para o qual o sistema não possui solução. 
 
Resposta: Para que o sistema não admita solução deve-se ter 
t 10
. 
 
 
E3. Uma fábrica de plásticos produz dois tipos de plásticos: o normal e o especial. Cada tonelada de 
plástico normal necessita de 2 horas na máquina A e de 5 horas na máquina B; cada tonelada de 
plástico especial necessita de 2 horas na máquina A e de 3 horas na máquina B. Se a máquina A 
está disponível 8 horas por dia e a máquina B 15 horas por dia, quantas toneladas de cada tipo de 
plástico devem ser produzidas diariamente para que as máquinas sejam plenamente utilizadas? 
 
Resposta: O sistema linear que modela o problema é 
2 2 8
5 3 15
x y
x y
 

 
. 
 
Tem-se 
x ,3 2 1 5 
toneladas de plástico normal e 
y ,5 2 2 5 
 toneladas de plástico especial. 
 
 
 
 
 
MMóódduulloo 0077 –– MMaattrriizzeess ee SSiisstteemmaass ddee EEqquuaaççõõeess LLiinneeaarreess 
 
2244 EEFFBB110022 -- GGeeoommeettrriiaa AAnnaallííttiiccaa ee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaarr 
 
E4. Um nutricionista está planejando uma refeição contendo os alimentos A, B e C. Cada grama do 
alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 4 unidades de carboidratos. 
Cada grama do alimento B contém 3 unidades de proteína, 2 unidades de gordura e 1 unidade de 
carboidratos. Cada grama do alimento C contém 3 unidades de proteína, 3 unidades de gordura e 2 
unidades de carboidratos. Se a refeição precisa conter exatamente 25 unidades de proteínas, 24 
unidades de gordura e 21 unidades de carboidratos, quantos gramas de cada tipo de alimento devem 
ser utilizados? 
Resposta: O sistema linear que modela o problema é 
2 3 3 25
3 2 3 24
4 2 21
x y z
x y z
x y z
  

  
   
. 
Tem-se 
x ,3 2
g de A, 
y ,4 2
g de B e 
z ,2 0
g de C. 
 
E5. Faça o balanceamento da reação química: 
       1 4 2 2 3 2 4 2x CH x O x CO x H O  
 
[ metano ] + [ oxigênio ]  [ dióxido de carbono ] + [ água ] 
Resposta: O balanceamento da equação química deve ser realizado de tal maneira que o número de 
mols de C, H e O nos reagentes seja igual ao número de mols de C, H e O nos produtos. Assim: 
 Para o Carbono: 
1 3 1 3, assimx C x C x x 
. 
 Para o Hidrogênio: 
1 4 1 44 2 , assim 4 2x H x H x x 
. 
 Para o Oxigênio: 
2 3 4 2 3 42 2 , assim 2 2x O x O x O x x x   
. 
 
Então, o problema é modelado por: 
1 3
1 4
2 3 4
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
4 2 0 4 0 0 2 0 0 4 2 0 2 2 1
2 2 0 0 2 2 1 0 2 2 1 0 0 4 2
x x
x x
x x x
          
                     
                  
 
 
4 4
1 0 1 0 1 0 0 1 2
1 1
0 1 1 1 2 0 1 0 1 ,1, ,1
2 2
0 0 1 1 2 0 0 1 1 2
S x x x
    
                             
. 
 
CH O CO H O4 2 2 2Uma possível solução seria: 2 2  
. 
 
 
Desafios!! 
 
D1. Utilize o método de Gauss-Jordan para determinar as inversas das matrizes: 
 
1
1 0 0
1 1 1
0 0 1
A
 
 
 
  
 ; 
2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
 
   
 
  
 ; 
3
0 0 1
0 1 1
1 1 1
A
 
 
 
  
 
 
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D2. Sob quais condições em seus elementos A e B são inversíveis? 
 
0
0 0
a b c
A d e
f
 
 
 
  
 ; 
0
0
0 0
a b
B c d
e
 
 
 
  
 
 
Referências bibliográficas. 
 
ANTON, H., RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. 
STRANG, G. Álgebra Linear e suas Aplicações. 4. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.