Questão resolvida - Determinar o ângulo no vértice B do triangulo ABC, dados_ A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1) - ângulo entre vetores - Álgebra Linear

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• Determinar o ângulo no vértice B do triangulo , dados : , abc A -1,-2, 4( ) B -4,-2, 0( )
e .C 3,-2, 1( )
 
Resolução:
 
Um esquema do triângulo está na sequência;
 
O ângulo em B é o mesmo ângulo formado pelos vetores e , um ângulo qualquer entre u v 𝛽
vetores é dado por;
 
cos 𝛽 =( )
⋅
| || |
u v
u v
 
Primeiro, devemos encontrar os vetores e , esses vetores são formados da seguinte u v
forma;
 
= B -A = -1, -2, 4 - -4, -2, 0 = -1 - -4 , - 2 - -2 , 4 - 0 = -1 + 4, -2 + 2, 4 = 3, 0, 4u ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) → u ( )
 
 
= C - B = 3, -2, 1 - -4, -2, 0 = 3 - -4 , - 2 - -2 , 1 - 0 = 3 + 4, -2 + 2, 1 = 7, 0, 1v ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) → v ( )
 
Agora, vamos achar os módulos dos vetores;
 
| | = = | | = | | = 5u 3 + 0 + 4( )2 ( )2 ( )2 9 + 0 + 16 → u 25 → u
 
| | = = = = = ⋅ | | = 5v 7 + 0 + 1( )2 ( )2 ( )2 49 + 0 + 1 50 2 ⋅ 25 25 2 → v 2
 
 
A -1,-2, 4( ) B -4,-2, 0( )
C 3,-2, 1( )
u
𝛽
v
(1)
O produto escalar entre e é;u v
 
⋅ = 3, 0, 4 ⋅ 7, 0, 1 ⋅ = 3 ⋅ 7 + 0 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 = 21 + 0 + 4 ⋅ = 25u v ( ) ( ) → u v → u v
 
 
 
 Substituindo as informações encontradas em 1, temos;
 
cos 𝛽 = cos 𝛽 = = = ⋅ = =( )
⋅
| || |
u v
u v
→ ( )
25
5 ⋅ 5 2
25
25 2
1
2
2
2
2
2
2 2
2
Para saber o ângulo , consultamos a tabela abaixo:𝛽
Relação 
trigonométrica/
ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
Veja que para o valor encontrado, o ângulo é;𝛽
 
𝛽 = 45° = rad
𝜋
4
 
 
(2)
(Resposta )