[Lista 4] Métodos Estatísticos- Prof Paulo Henrique Ferreira da Silva

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UFBA – DEst 
MAT236 – Métodos Estatísticos (Turma 03) 
Prof. Paulo Henrique Ferreira da Silva 
 
Lista de Exercícios 4 – Entregar até o dia 26/04 
 
Exercício 1. Considere uma prova de múltipla escolha com 5 questões com 4 alternativas 
cada, sendo que apenas uma é correta. Cada questão respondida corretamente vale 2 pontos. 
Suponha que um aluno responda cada questão, independentemente das demais, com 
probabilidade de acerto igual a 0,5. Considere X o número de questões que este aluno acerta 
e Y a nota que este aluno recebe. 
a) Encontre a distribuição de X e Y. Qual destas variáveis tem distribuição Binomial? 
b) Qual a probabilidade de Y ≥ 5? Qual a probabilidade de 5 ≤ Y ≤ 9? 
c) Encontre a função de distribuição acumulada de X e Y e esboce seus gráficos. 
d) Encontre a média, a variância e o desvio-padrão de X e Y. Escreva uma fórmula que 
relacione as médias e variâncias de X e Y. 
 
Exercício 2. Suponha que na fabricação de chapas metálicas, o número de deformações em 
uma certa chapa de metal seja uma variável aleatória X com distribuição de Poisson com 
taxa λ = 5. Uma chapa que não tenha deformações acarreta um lucro de R$ 100,00, uma que 
tenha entre 1 e 3 deformações dá um lucro de R$ 60,00, enquanto que uma que tenha mais do 
que 3 deformações dá um lucro de apenas R$ 30,00. Considere Y o lucro de uma chapa 
metálica. Encontre a distribuição, a média e a variância de Y. 
 
Exercício 3. Seja X uma variável aleatória com distribuição Exponencial de parâmetro λ. 
Demonstre que: 
𝑃 𝑋 > 𝑥 + 𝑘 | 𝑋 > 𝑥 = 𝑃 𝑋 > 𝑘 , ∀𝑥, 𝑘 ≥ 0. 
Este resultado é conhecido como propriedade da “falta de memória” da distribuição 
exponencial. 
 
Exercício 4. A durabilidade de um tipo de pneu da marca Rodabem é descrita por uma 
variável aleatória Normal de média 60.000 km e desvio-padrão de 8.300 km. 
a) Se a Rodabem garante os pneus pelos primeiros 48.000 km, qual a proporção de pneus que 
deverão ser trocados pela garantia? 
b) Qual deveria ser a garantia (em km) de tal forma a assegurar que o fabricante trocaria, sob 
garantia, no máximo 2% dos pneus? 
 
Gabarito das Listas de Exercícios
MAT236 - Métodos Estatísticos (Turma 03)
Lista 4
Exercício 1:
(a) X ∼ Binomial(n = 5, p = 0,5)
y 0 2 4 6 8 10
P(Y = y) 0,03125 0,15625 0,3125 0,3125 0,15625 0,03125
(b) P(Y ≥ 5) = 0,5 e P(5 ≤ Y ≤ 9) = 0,46875
(a) F(x) (b) F(y)
(c)
(d) E(X) = 2,5; V ar(X) = 1,25; DP (X) ∼= 1,12
E(Y ) = 5; V ar(Y ) = 5; DP (Y ) ∼= 2,24
Y = 2X =⇒ E(Y ) = 2E(X) e V ar(Y ) = 4V ar(X)
Exercício 2:
y 30 60 100
P(Y = y) 0,7350 0,2583 0,0067
1
E(Y ) = 38,218 e V ar(Y ) = 197,7645
Exercício 3:
Obs.: P(X > x+ k | X > x) e P(X > k) são ambas iguais a e−λk.
Exercício 4:
(a) P(X ≤ 48.000) = . . . = 0,07353
(b) P(X ≤ a) = 0,02 =⇒ . . . =⇒ a = 42.985 km
2