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• Centenas de questões para você resolver! • Pratique com centenas de questõ .. • li.veja conc•itos-ch•ve d@Álg.br• • Obtenha explicações completas da re.spon.s em tod•s as questões s Tornando tudo mais fácil! Mary Jane Sterling Profesi.01a de Matem•tJ Aagebr• P6ra lr>gos ca • autora de Exercícios de Âl9ebra Para Lei9os® '/.-••o~,4~.-mrl.~:.~0-p-.,-.-f..,--~~~·__,-.~~-~~.r~.....,,~, S Resolva as 01M1raç.6es nesta ordem quondo nenhum s.imbolo de Í conjunto existir. Quando mais de um mesano tipo de opet"açlo apa1ecer, 1es1>tv;i da eliqlle~da para direita . 1. Polincias 011 1aizes ••tblQ•- bl=ifl- tl 2. Multiplicação ou divis.âo 3. Adição ou subtniçâo (it t b l(at- 46t b'l = tP .., IP •,,- bl(;: .. ,,,, , ~-r -b' ~~-...1Vvv- Re9r11.s do &poentes Fórmufas de o/Jjetqs 9eo,11itricq$ Presuma que 11 ~ O: ~ x b • Jt:•'O "" : ,rt-11 ;.:s (;r~JÕ •xD" ~ x' : x.•'11 ,,.., l= x -1 )f I : x-. ;.;, ~,,.,.,..,.,,..,,.,>I'[ ~ º"i''º Retãnguto O.adiado ~ Ttllngulo Trapêzlo f Trap•zio lsôsceles Círculo Cubo Ealtra Cilindro Pa.sso a p4tso com Fdrmulas Seleciqnadas 'kidÃ!A Mil /)1$1.f ~A(/Q, ()IW fff0$ t-Of~ At(!!!ttclll Fi111yll! quadrâtjCjli JC• - b ± .J íi- 4<r& 2a 1. Iguale a equeçit> a O: ai1 + bx+ e= O FJrir1uta 11• 1 Perimetro: P:2il-t 1v) Perim111ro: P: 4L f>etíme1ro: P- a t b t e Perimetro: P.: a -t b, t e .. b1 Perimwo: P: 21 t b, T b, Chcunfe1~nci• : C = nd= 2xr Área da superficie: AS= 2.W ~ 20'H· 2;,<h Ârea da superficie: AS: 4 rti* Ânra da SUl!:!/ÍICJO: AS= 2 ~r lr .. fll . - -- FJ11'1ula a• 2 Are a: A= b.h Álea A:!: Arer.A ~tbb Are a: A= .yi<b1-ob11 Ãlea:A=ll.ib1 .. b~ 2 Â.lell! ll r Vokune: Lf = ~11h Voh.11rt1.1: V=11V' Volum11<: V-= ,;-1' h 2. Identifique os coeficientH (a, b e '* e aubs.titua os flúmetot correspondentes aos coeficientes fia fórmula.. Tenha t ertei.a que in~luiu o $inal negativo, se o termo fof negativo. +J;, C•lc11lc o optsto de li, O negatívv n• hcntc de bnt lórmult .. uda os cocficienh:$ po:silivos di! bpara nçgl)tr.'O e 0 $ nc!lativo11 pa1a P<J$11Í.'t,> ' - - 4, d•bahco do radical./ ií• - 4at- A Eleve o valor clt b ao qaadraclo. Isso sempre resulta e11 um nl'.imero positivo. B. Mu~llque o 4, a. e eenue si e sub1rata o reaultado do quadrado de li.Quando o proéf11to de4, a e eé negat>.-a, a 11Ubtraçio de Ull n99atho n11 venla de vira a ;IK!içaio de um positiw. 5. Encontre 111 11111? quadrada do 11úni1tto ea'lbai10 do f lldical. Sa ft!io 6 u11'111 ra iz quad1ada pa11aila, s1tr1pliflqua a ((l$!.llUIC:f(), 6. Multiplique a pot 2 GO denominador. •1, Ptoi;:urt um fator comum nos tri11 tc:rmo.i difertnt.s loi doii ttrm0$ no numt rador • ilquelt que aitâ no denoll'linador} e divida i;:ada tarll'I• pelG fator comvtn, se extstir vm. 1. Encel.'!IJ& 1t escrava a$ duas 1espost~s dílerer:11e1. Eneontrll a ptl•U!lra somando o •OpG$IO dll b mait n riht qu;,dr11da. t C-ilUodrvida t1.1do pelo llenoinin11dor. f l'ICOrtllC 11 $Cgund11 t ubtn1il)(J(I (1 Op0$lO CIO b dà raí:l quadrada. e ent31>dl\'idlodo tudo p~'la dannn;inado1. - A - a A 1'_.-_ _... A Para Lei9os: a Série de Lic!ros para Iniciantes l[ue mais llende no mundo ' > fQm1MI• da jncljnaciq: m Y1 - Yi x,-x, 1. Escolha uin dos ponlos para ;oro pont() I • o outro pilra ;1.ir o pont() 2. para cor,..;ponder aos pontos 1 • Z subscritos na fórmula. Não importa qual ponto à o qu9, apenas decida para que as coordenadas não se 1nishncm qu:1ndo vc.>c& n:;i,lilar a $Ub:Stituiç5o. ' •2. Subs1ltua os valores "ª tóra1u\11. Ccrt.illquP.·SC dn qun a COOfd(!nada y (!S:lcij3 no numcro\dor e \\S COO(dlln3· ') elas xno denomínador. NJ!o Inverta a ocdem. As co«denadas t especwas dos dol:!t pontos devem fitar uma em cima da ootia. 3. F;tça a subtração no nu morador e l;iça a subtrnçiio no dçnominador. <) 4, Procure um flltOr C(llnun1, Se ho\ 1v..:r u 1n , reduz;, ;.1 fr~çâo. 1 Teor-ma d~lli9i>JJ!S....:..!OC~on.!@1tdq_q ladg,Jlesconhacldo: 11' +IP = c2 1, Oetçnnino qual e ntrs 1>s valorss dados é o walor d;i hipotçnusa d1> tri5n9ulo retfingulo. E 1>s~ lado 9 o e, o l:ado • Htis conlprido lo lado oposto ao ângulo rato• 2. S ubsti1ua os valores conhecidos. 3. S:e sstiver procurando&, ) A. f lçve ·~ b ;io quadrado. Somç o.:; c1oi:s ç lov;,dcn qv;,dr;1do:s. •e. E•tral11 111111b quadn11d111d1t111mbo.s oi1 ladces, c: ~IP + JF. Não nxttaia a ftlÍl quadr:ida d M dois 11(11ncrô$; > s e-paradamente, some-os primeiro. ) ) 4. S:e estiver procurando a, A. Subtraia li' da cada lado para obttr a'= c1 - b' B. Eleve ao quadrado o c e o b, e eilt.lo encootre a dllerf!nça enue os dofs qo.adrados. •e. Extraia a 1alz quadrada de ambos os lados, a= 4et- /Jl. Nno exuaia a raiz quadrada dos dois n6meros separa· damente, subtraia-os: primeiro. (Procurar bifunciona da mesma forma que procurar a- apenas mude il$ lelras.) ffrmula da cflstêncla: d .. ./tx, - x.)t ,_ (y1 - y,)l 1. Escolha um doe pontos pa1a ser o pontQ I e o out10 para eer o ponto 1, coneepondando aoe pontos I e !subscritos na fôrmula. 2. Sub$1itua os K~ e yS pelo$ valore$ numirico$. l . Ein cada c1aso, 1aç11 prhneiro A subtr.:1çilio. 4. Eleva as duas diferenças ao quadrado. S. Soina 0$ qu;11drado1 entre ai. ) 6. Encnntfe 11. rail quadrada d111 so1na que obtfter. Não ex11111ia 111 1ait quadrada dos dois nC.rt*H separada- ) mente. Propriedada 11ul1jplicatjva da reco (para rnatvar 8jJllBÇÕ8'S fatoradas): axlbx- c)(dx- e)(llr- ,g) -=O 1, Cçrtifiqu•1• da que ;i equação t-liteja comptetamaota fato rada, todoli l)li term0$ m11l'tiplicando .. s1:1 entre si, Z. Igual e cada lalor a O: 1111• O, bx- e • O, dx- e • O, f1t - g • O, .. ·~ Rtsolva a equação e encontre x : ~" • O, x - O/;J - O IN5o tn:queç;i de$1G fator.) bJ< - c • O, Jt • clb Jx - c =- 0, x = efJ fx - g : 0, K: gt1, ... - ((lt\~~N ~ ltll! Sl..'.1•1111~ ~" ''"'-Udl. Ali• \'au:i CUWill 151 -1•''" !ntu~!ltl.J> J,:u ~rb Nll~J~lilo•0-1\J*CEP )CJS;(l.tl'I ro,1, >1 -31n.a;m.·~ '' ) - - .. - . 1 f·OUI all>ff(llls.~Cll.W.«iU 1,..lllU ~11 .... - .. J ..... lob to ... . Para Lei9os: a Série de Lillros para Iniciantes que mais llende no mundo Exercícios de Álgebra LEIGOô por Mary Jane Sterling ALTA 800"5 Jbo dr..,_,__~·· Eser.ckicM de ÃlgcbN PaN ~ilJ'M, ~t O 201 ) ~ Surlin AJt:l Con.. Com. Li~. ISBN 978-8)..7608-525-6 1>rocl11çíio f.ditori:al: Slllrlit'I Aha CoJ\. Coll1. Ltd11 GcKn-:Ja d~ Produ5áo: • \f11riud1 Aln'c'-U Supc:rvi-'o de Produçi<>: Ar1S1tl C...ku TTild11çio1 u~ Gibrtelc Red-'o Gtt1nu1tlc.I: f;ibi::ua YclloJO Red.Mo Tb:ni.i;ai Joncx Almci.:U Gmd"""° ~ Fflk.r &ul~ardaJ. <_,.,, lk<>1<i,11lff.1 ~ UF/I/ L'>isgr-am-açi<>1 Gina Li1n11 C1rolinc Olh~ir.a dos fun1w: M b;1mm10: AhundM Talwn~ TfH1t.11.1uJ F,,_ <HJ.i-1: ~ W.,.......,. F"' D.,m,.,Jd ISBN: 978.().761$.8167.J 0Ti,ilMI &tfiilt llmx.,_,l' JiriM Co1pitf11 O JO()J óy U?í"" P;t/>Whiltf. IN<. 6, J.f..-,/<fw Str1/;>f1.. AU riP,1 ~J iw/,.·Ji"I Ih< rir/Jt "f str1'..lw1~ ;,. A>IJ-k '" iN I"" ;,, '"'Y form. 1hU t;r-<f,.J/.rrio.u p,.IJiJW "11tTTif.,,.._Nt ...;J, Wi/q P..UJt;,,g. /.,r • PfftMÓ»1u· ú''(l""&rni.'1J,.,. C.f1"f}t 0101 I Ja Std'l'Gn A/t,, e,..,. C-. J.U,,. Ali r>°Jlt.tr m..,..,,./ ito1J...llng IÍN lltfa i>/ N}"f'O.Jttr.,•,.., '"' ,../;l/ok <»' l.u l""l IJt 1tnyfan1t. 71;1' l•dNJl.11],.,. f>"MJ;l,J 6,Hulf~Nl ,.~,/, W<f? Pi.Wis!i.ut. f.u~. "Wílf? tl>t Wiky/'l.bfimint top.for DN>Nlflkr. ""o .. ,.,,,,,;nilflfN'1.uJ ,../.rtd "" Jms ""' r~tb o.r ftl}Jt.MYI """"-' ,.., •f Jo"'1 Wilq 11,,J $.,"" l>r<. ,..,,/4,. itl <tffi/i,,,..., ,.,, 1k u.,;fd Stmn ,,..,Jfor ft/>tr .... ,.,,,,.;,,. IJwJ 11...,/n 1;·_,,.. Tod.uos Jmltos IC$C!n'."IJ.o•c pf.)~gi&H (IC'la lei ft"9.GIOl?8. Ntt1l11 .. Q!lla p.Jn<:!dtMC! tlvro. $elll 11ot.11o.il. UIÇ'l)O pr~il:o por tsoi:ri10 d.i. cdirou, podtt.i M'f ttptodudda o. u .uumitid11 Hju'n quai$ (01tm ~ ~ oemp1eplos:- cku~n.ko. mco:kako, fotog-~l\(o.gr;ovlÇio o. q• Ailqver o.iuo~ 1'odo o ,,furço foi Í<ilo pin Íom«o:<Sa m.att oomplen c. llli('.'!11;o.J;o in.form:;i~OÇ. ((11'.U;udo, 1 t'ldltc.>n e c.>b) ..iotc.>1(~) n.io -l!Wm "'lf'lln~bil ldad<:: pdoJ to;w!o:;uJoJ e: .,_da infllftll~ll f~id:i. E.-..... C! •1111111.tll'{&co.1 Scomptt OO• C$Ío1Ç11MM pui:i ~trcgl\r .ll(l ld1cu ~m livro livr<:! de' C!UOS cknicoo ou de «UHeúdo1 podm. tlM'I 1i:mptt iuo ~ oon.ll:guido. Kj;i por mot~ d<:! Al~r;lÇ.loo d<: $4'1(...,.~,t, ir11er~uç.io ou metmo qv;oDdo h.i ~lgv.n• duli:ffs 'l'"' (Ol'.l•Uin"" """'° origiruJ dt ~ia lkroJ quo 1nd11l'irno.. ~do uoim, «Amo• em n<»<0 1JOi1e, -w,11luboob..com,\>1, ~ ~ lm11"1, oodtt td:oun:moJ, oom a J.:viJ:i ((ltt(Çio, q11i.lqv·n .:rro cnoon1r:Mlo (m nllttl:* li•~· A•h"" e Rcnoi11cb de D;tdco"' Ea<ic li•'n> é vcndlik. (Of'I•-> ~•"· Mm P"'""" de <fU•l111ae1 1lp•>. *"'"' C'.l.('l\'SU º" l11'-plkiu1. t.t_. ~•trada,. 1'od~"" «naos nw!Kiooidos e ~nh«id"" oorno f\lut'.1 Rq;S'tf'ld.i dou oonwr· c:11,.io""' rupon!'l~if!l.U.k dr .JICllS propric:1m,,~ A Sdiwr;o in.Íonnt ~~~da~ nc:nl.vm ~· 1<1 J.,. fo~ 11pqcn1;.1~ no livlQ. N1><lowr1V• J:i \lbP, inu1go;n). no~ Jc pn>duvoJ e: hbria111~ podD"n '"' ,.a, 11 111 1~..,., c...ta.lc. j.ô a EJh.,.,,. lnform:.<1uc-0 " "''e "loau> Hu.c.,.,;,.,J,,., c:J,..,,.. ;,..._não vl ... nde'I .ll(l lucN>. &.•.:i«•dMMIOOOI ~l'l~IC!ll U'I do proJ,,.1oJf11obrb111c. l•pl'ruo lloO Bfllifil O (Õdigo do propr~do intd~ <k-1u do julho <k 1??2 proi~ ~o:rn.~ o uio ookli•'O «m ""'~ <koJ da.<:~11,.... d11 <liri::itu -·inl .lo ob~ bem oomoo:. <6pia il~ do 01i.gWI. &1:1 pr.io_ic;ll gtswrAlba.la. •- d 1$1hdc.::hnm1..., & ~. f'~llOI oun:i l>ruurl \t;,bco " ""' ,..,.,J:;,., dot. llvn)I ~ l'"'"'I) <lc lil'lf!O"lblllw º' 'll.'-tc>rd dt crbft'm. novu obr"". ALTABOOKS ~,,., ... R"'" ,,....,,,.çt;.,d iQ.. l'?I • l.)..irro 1oi,1,,. ,i;m1 do J•çarê CEP: 20?70-0JI • Rio<k Jmciro - Td: li J27*-806?f841? fa; li J277·12SJ .. w..-.. !ubu<.ik•.- ·b• - t•m,.il: •h•l.oo~!ubu<,ik •. nxn.b• Sobre a Autora Mary ,fane Stcrli11ft 1.tunbé.n1 é a utora das Ob rti$ Álflt:br:J p..1rt} lt;ig():;, Tril/Orl()ttletri:J p;Jr{J /e~f/()$, Algebr.a I C/UfsStudySoJvere Algebra li CJJllsStudySolver. foi professora de matemática para ensino tlltldamental e médio por muitos anos antes de lnklar sua carrelJ'a atual de 25 anos (e mais por vir) na Bradley Uni\1ersity, em Pf!oria. llLinois, EUA. t.lar)' Jane igosta, particularmente, de trabalhar com fu turos profttsores e de testar novas tecnologias, Dedicatória . .\autora dedJca este Livro a seu;.s pais, Seu pai. Tom Maclde. sempre a Incentivou a perseguir seus .s<>nhos na 111011co161ic;3 e n;.."I c:i i:su::i<t - en1 1.11n iern1><> en1 c1vc :is 111~1in3s ertul'.I e.sti rnvladtis a estudar economia doméstica. Sua mãe, Jane Macki(o., ~ra uma mulher à frw te de sw tempo - procurando s.eu lugar no inundo quando a lndependl!ncla não esla\'a na 1noda para mulheres. E, ;:10$ 84 anoi; de id.,de, ct.i 1tnunc;.iou orgulh-Osamcote que tu:1Vi3 lido Álgebra P<Jnl leigos <lo começo ao fim e tinha compreendido! Sumário Resumid10 Introdução .........................•........................................................................ 1 Parte /: Entenda os Conceitos Básicos ..............................•............................. 7 Capttul<> 1: lnlrodução AO$ l\'Un'leros c::on• Shlài~ ............................................................................................. .!) Capitulo 2:: Uso das Propr~ades Algébrk-as ................................................................................................... 19 Cap1tulo 3: Trabalho com Frações ..................................................................................................................... 29 Capitulo 4: A Oescobt'tta dos Expoentes .......................................................................................................... 5) Capftulo 5: Domesticando os Radicais ............................................................................................................... 61 Ca1>itu\Q 6: S-implifique c.:om ExprC$$ÕC:::$ AJgébriCi\$ ........................................................................................ 71 Parte li: Operações e Fat11raçdo ................................................................... 79 Capttul<> 7: U$0 de ~~ras EilptéL'\i$ p3r3 ~tultiplicação de ()1:1>res.sôe'$ ....................................................... 81 Capitulo 8: Divisões Longas para Slmp ll6car Exprttsões Algébricas ........................................................... 93 Cap1tulo 9·: Fa.toração de Expressões A1gébt1eas ........................................................................................... 103 Capitulo 10: Doi$ ao Me$mO Tempo com fatoração ...................................................................................... 11 1 Capftulo 11: FatoraçAo de Trlnôm'°s e Outras F.xpressôes ........................................................................... J 17 Parte Ili: Procurando Solução •..........................................•......................... 133 Capitulo 12: Entrando na Unha: Resotução de Equaçôe$ Lineares ............................................................. 135 Capttul<> 13: ~t$Oluçi«> de l±:quaçõ~ Quadrãtiea$ .......................................................................................... IS7 Capitulo 14: Rendendo-se a.s Potência:s t.la iores ............................................................................................. 173 Cap1tulo tS:Resotução de E:quaçoes com Radicais e com Valores Absolutos ............................................ 183 C31>fh..1k> 16: ·rrtib3ilh<> <:001 hH::qu;:u;õe~ ........................................................................................................... 195 Pam Ili: Aplii(ue Seus Conhecimentos fH"" Restllver Uuestõa-problema e Gráficos -··· 211 C.a1>ttu1<> 17: Deseobe.rta de f'órmulas .............................................................................................................. 213 Capitulo 18: AAplicaçAo de Fónnulas "m Questões;>roblema Bá.skas . ..................................................... 227 Capftulo 19: Comparação de Cotsas em Questões.Problemas ...................................................................... 243 Capitulo 20: PonderaçÕe$ Sobre QuaUdade e Quantidade em Questões-Problemi\ ........•.•.•..............•.•.•. 253 Capitulo 21: Dl.reto ao Assunto com Crificos ..................................................................................................... 265 Parte li: A Parte dos Dez ......•.................................................................... 291 Capitulo 22-: Dez ElTo$ Comun5 e Como Evit.i·lo5 ............................................................................................. 293 Capftulo 23: Dez Dicas Rápidas para T omar FAcJI a Álg<>bra ........................................................................ 297 lndlce Remissivo ............................................................. .......................... 301 Sumário Introdução ...•... ...•.....•... ....•.•. ...•.....•... ....•... ....... ..•... ....... , .........•... ................ 1 Sobre este Livro ........................................................................................................................................... ) Con\1enções utUJzadas n(>:Ste livro ............................................................................................................. 2 SuposiçÕ<:$ Tol41s •.................•..•.............•...•............•...•................•..............•.•..•.................•..............•.•....... 2 Como este U\•ro está Organizado "'"""""' "'" .................................. "'"'"""' ""' "'' ' .................................. 3 Parte 1: €nterid.a o~ Conce·l1011 8A111cos ............................................................................................ 3 Po'.'rte U: Opert1ç~ e Ftitor a-c;ão .......................................................................................................3 Parte Cll: F'omento de Soluções . ........................................................................................................ 3 1•3rtc IV: Aplique. 11eu11 Cc:u111eci11'l t11t<>$ para Re11<>h·er Q\.Je$1ôes-.l'roble1n3 e C::r6llço11 ............. 4 Parte V: A Parte dos Dez . ....................................................................................................................... 4 lcones Uiiados neste l ivro ........................................................................................................................ 4 Aonde Ir a Partir Daqui .............................................................................................................................. 5 Parte /: Entenda 11s C11nceit11s BdsiCJJs ............................................................ 7 Capitulo 1: Introdução aos Números com Sinais .................................................................................. 9 Co1npa.ração de Ntl1nero11 na U nha de Nlln1eros .............................................. ..................................... 9 Al>1s<>h1tan1ente correto - cxpres$âo de \•tilore$ õ:'bsoh..110$ ................................................................. 10 AdlçAo de no.meros com sinais ................................................................................................................ 11 Subt·raç&o de non1ero11 co1n si..-al ............................................................................................................ 13 Multiplicação de nómeros contJ sinais ..................................................................................................... 14 Divisão de no.meros com slnats ............................................................................................................... JS Re11oluç5o dos problemo:\$ $Obre númc-ro$ com $inais ......................................................................... 16 Capítulo Z: Uso das Propriedades Algébricas .............................................................................. 19 Uso de Silnb<>kls de ;\qrup.'ll1nen to .......................................................................................................... 19 Distribuindo a Riqueza ................................................................................................................................ 21 Associe Corre tamente .............•.......................................................................•........................................ 22 Comute para re$olver ............................................................................................................................... 23 Resotução dos Problemas Sobre Propriedades .-\lgébrkas ................................................................. 25 ~pllulo 3: Trabalho com Fraçl>ts .................................................................................................. 29 Cort\'Cf$âO de Fra-c;.óe$ Impróprias e Mistas ........................................................................................... 29 Encontrando Frações Equivalen tes ........................................................................................................ 31 MO'.\nlc:nho:\"' Proporção ............................................................................................................................. 32 Encontre Denominadores Com:uns .......................................................................................................... 34 So1na de F\'aç~ ........................................................................................................................................ 35 Subt ração de Frações .. ~ ............................................................................................................................. 36 Multlpllcação de Frações ......................................................................................................................... 37 Dh1is5o de Frtiçóes .................................................................................................................................... 39 Mudança de Frações pa.ra Oeciinai.s e Vice-versa ................................................................................... 40 Rt$Oh.1ç5o dos l,roblen13$ $Obre F'r3ç()es .............................................................................................. 42 ~pítulo 4: A Descobena dos Expoentes ...................................................................................... 51 Multlpllcaçao de Nõmero11 com Expoentes ........................................................................................... 51 l)i\•iSão <.Se Nli1nen)s <;01n Expo~11 1e11 ...................................................................................................... 52 Elevação de Potências à Potência ............................................................................................................... 53 Uso de expoente11 ne:g,atlvo11 .................................................................................................................... SS E.screva núrnt"rO$ com notação <ientifica .............................................................................................. 56 Re11otuçào dos problema11 sobre de11coberta de expoentes ................................................................ 58 /( Exarciciosde Álgebra Para Leigos ____________________ _ Capítulo 5: Domesticando os Radica.is ................................................................................................... 61 Slmpllficaç.ao de Expressões (:Om Radical ............................................................................................. 61 R.Aeionali2açiio de Fraç~ ....................................................................................................................... 6:~ Transforme RadJcal em Expoentes. ........................................................................... ..................................... 64 Uso dos EJrpoentes FraclooArkis ............................................................................................................. 65 Simpli.ficação de E.1:pres$Õ(-$ <:om Expot'nte$ ........................................................................................ 66 ResoluçAo dos Problemas Sobre Radk'ais ........................................................... ................................... 68 Capitulo 6: Simplifique com Expr8'Ssões Algébricas .................................................................. 71 Adição e subtração de termos s c-melhantes .......................................................................................... 71 f\fuJUpUcaçao e Divisão de fatores Algt!obr1cos ..................................................................................... 12 Uso di' Ordem nM Ope t'i'ÇÕes ....................... , ..................................................................... , ................... 73 Desenvolvimento de Expressão com Ordem de OperaçAo .............................. ................................... 75 Resolução d O!I problenlà!I !!Obre e!ll:p ressúes 1dgEbr'lcas ..................................................................... 76 Part• li: Qperaçi;es e Fat11ração ....... ..... ......................................................... 79 Capitulo 7: Uso de Regras Especiais para Multiplicação de Expre,.ões .............................. 81 Dbtribui<;3<:> de um Filtor por V;iri«>11 ...................................................................................................... 81 PEru novamente ..................................................................................................... ................................... 82 6i11õ111 ios ao Qu,,c.trado ............................................................................................................................. 84 f\tultipUcaçAo da Soma e da Diferença dos f\fesmos Dois Termos..................................................... 85 Blnõnilos ao Cubo ..................................................................................................................................... 86 Soma e Diferença de Cubos ...................................................................................................................... 87 Blnôm.los Elevados a Potfncias ~talores .............................................................. ................................... 88 Res<:>lu('.60 dos Probltiru.t.$ Sobre Multiplirutilo de ExprCS$ÕC$ .......................................................... 90 Capíwlo 8: Divisões longas pua Simplificar Expressões Algébricas ................................... 93 Divl:são por Monõ1nlos ............................................................................................................................. 93 Dh·b3<:> por Binõntios ................................................................................................................................ 94 Dtvls!o por Outros PolJnômios ............................................................................ .................................... 97 u11111.ação <IA OivlsAo Sintél.ica ................................................................................................................ 98 Re.soluçào dos Probkinas sobreDivisão ................................................................................................. 100 Capi'tulo 9: Fatoração de Expressões Algébricas ...................................................................... 103 Conhcc;<1"' Í';)toniç5o Prim<1 ................................................................................................................... J03 FatoraçAo do Máximo Dtvtsor C.omum ................................................................ ................................. 104 Redução de Frações Algébricas ............................................................................................................ 105 Resoluçào dos Problemas Sobre Fatoração de Exprttsões .............................................................. J07 Capitulo 10: Dois ao Mesmo Tempo com Fatoração ................................................................. 111 F~loraç3<:> d ., Diferetl('-il entre Qu;:i,drad0$ ............................................................................................ 111 Fatoração das Somas e Diferenças de Cubos ...................................................................................... l 12 Fa1oraçiio e.1n Mais de Un'lll Maoe.i..a ..................................................................................................... 11;! Resolução dos Probleiru.t.$ Sobre Fatoração ........................................................................................ J J5 Capítulo 11: Fatoração de Trinômios a Outras Expressões ...................................................... 117 Enc:ont rnndo o ~l;i.ximo Divisor Comum (m.d.c;.) ................................................................................ 117 FOIL ao lnver$O .............................................................................................................................................. J 19 F;11oraçiio 4e T rh1õ1n i().S por ~l tti$ 4e urna ~IAneirA ............................................................................ 122 Fa to ração por Agt\lparnento .................................................................................................................. 124 Juntando Todos os Tl·pos de Fatoração ............................................................................................... 126 Resolu('4iO dos Probleni~ ti<:>bre F~•t<:>ri&('ii-0 de Trinõn1i<:>11 e Outra$ Expres11ões ........................... 129 . __________________________ Sumario XI Parte Ili: Procurando Solução ... ....... ............................................................ 7 33 C..pítulo 12: Entrando na Linha: Resolução de Equaç~e• Lineares ........................................ 135 Uso da Proprtedade AdiçAo/ Su.'btraç.ào .................................................................................................. 135 U$0 da Propried.,dc: t.h>lliplic..i.t;..io}l)ivisi"o ..................................................•...................................... 137 Uti.lizando VâriM Opcraç~ ao ~lnmo Tt"mpo .................................................................................. 138 ResotuçAo de equações Hne.!lrtt com stn1bolo-s de agrupa1nento .................................................... 140 Tr;,iOOlho c:om fr;\~~$ ............. r .............. ................. . . ................. ................. . . . . ............... . . ................. . . ... 142 Resotução de Proporções · ·· ·· ·· ~· ···· ......................................................................................................... l.f4 Trabtd ho cOn'l F6r1n ulas ......................................................................................................................... 146 Resolução dos problemas sobre resol\'er equações lineares ........................................................... 148 C..pilulo 13: Resolução de Equações Quadráticas .................................................................... 157 Uso da Rcgr;:t d<' R.ai:t Qu<.drtada ............................................................................................................ 157 Resolução por f'atoraçAo ....................................................................................................................... 158 Uso da F6n t1ula Qu,'lldrfl li<:a ................................................................................................................... 161 Estimativa de Respostas .......... " .................................................................................................................. 164 Udando conl Respostas Impossíveis .................................................................................................... 166 Resolução dos Problemas Sobre Equ.:,çõe.s Quadráticas ................................................................... 167 Capítulo 14: Rendendo-se as Potências Maiores ...................................................................... 173 Ototern1ini\çào do N1itnero f>oss i\•tl de Ri'iies ..................................................................................... 173 Apücação do Teorema das Raízes Raciona.is ...................................................................................... 174 Utilização do Teorema fator/ raiz .......................................................................................................... 176 Resoh1ç5<> por Ftt.l<>rc:ac;il<> ....................................................................................................................... 177 Resolução de Potências no Formato Quadr.itko ................................................................................ 178 Resposta aos Problema" Sobrê Resolução de Eq uações con1 Pot~nclas 1'fls1ores ......................... 180 Capitulo 15: Resolução de Equações com Radicais e com Valores Absolutos ................... 183 Resotução de Eq uações co1n lladlcals Elevando Ao Quadrado u1na Vez ........................................ 18.1 Elc\'.,,ndo E<1ut1ç~ com R.adicui.s Duas \'czes .................................................................................... 186 Resolução de Equações com \lalores Absolutos ................................................................................ 188 Resotuç5<> do' Problentas sobre Equaçôe$ <:01n lla<Jieai:s e co1n Valores Ab:&olutc>s .................... 190 C..pítulo 16: Trabalho com Inequações ........................................................................................ 195 Utillzaçâo das Regras para Trabalhar com Afirmações de lnequaçõt.>$ ....•...................................... 195 Res<>h•\'.50de lneqoo.c;ôeis UneMts ....................................................................................................... 196 Resolução de Inequações Quadráticas ................................................................................................... 198 Rt'$OluÇ5<> de Oulrl)S lne(lu;:içõ~$ .......................................................................................................... 199 Rcsohlção de Inequações com Valor« Absoluto.s ............................................................................. 20) Resotução de Inequações por Seções ................................................................................................... 203 R~oh1ç5o dos 1>roblcm.,,:; is<ibre tnab.,, lho c:.0111 i11cc1ut,ções .............................................................. 204 Parte Ili: Aplit(ue Seus C;mlrecimentos para Resolller Questões•problema e Grti(icos ... ...... ...... ........ ...... ....... ........ ...... ....... ...... ...... 21 1 C..pítulo 17: Descoberta de Fórmulas .......................................................................................... 213 Aplicação do Teorenta de Pltágoras ..................................................................................................... 213 Acos1urnorn:l~e cont lórmul~s. de 1)erin1etr<>s ................................................................................... 2 15 Resposta a o Quadrado com fórmulas de Área ..................................................................................... 2 16 Trabalhando com Formulas de Vohlnle ............................................................................................... 2 17 Oistanc:iand<>-$e com a Fórmu\u da Dis tância ...................................................................................... 2 19 Interesse pelo Uso da Percentagem ....................................................................................................... 220 Resoh1ç5o dos Problcm.,,:; Sobre Uso de Fórmul.i:i.$ ............................................................................. 222 .. XII Exarciciosde Álgebra Para Leigos __________________ _ Capítulo 18: Aplicação de Fónnulas em Questões·problema Básicas ........ " ................... ""' 227 De<;ilr~.r Peri1n t lrO, Áreii e VOluJ!le ....................................................................................................... 227 U5o da ClC'ometria para Rt"$olver Qu4:'5tôe.s-problC"ma " ' """'"" """""'""" '"' "'' " '"""""" ................. 230 Superando Dlll 15ncla~ eo1n Ques túe5-problernll ................................................................................. 232 Resoluçào d05 Problemai; Sobre Utili~t-ào de Fórmultt.s en1 QuestÕC$--J>rOblcm;,i, ....................... 235 Capítulo 19: Comparação de Coisas em Questões·problamas ................................................ 243 Resposta às Questões de Idade ........................................................................................................... 2·\3 Trabalho com Problemas Inteiros Consecutivos ................................................................................ 245 Trabalho Companllhado em Problemas de Trabalho ....................................... ................................. 248 Resoluç.flo do:; Problemas Sobre Compilrilt-flo de Coi~ ent Questõe:;-problem;t ........................ 250 Capítulo 20: Ponderações Sobre O.uali dade e Quantidade em Questões-problema ........... 253 A 1nedlda certa com proble:1na.s de mlSluras ....................................................................................... 253 Encontre a Solução Correta em 100% das Vez.t>S ................................................................................ 256 Cuide de suas flnanças com ProbCemas de Dinheiro ........................................ ................................. 258 Resolução do:; Probletru:» Sobre r ·ei;o, Qoolid.:i.de e Qmntid;,de ..................................................... 260 Capítulo 21: Di.re.to ao Assunto com Gráficos ..................................................................................... 265 Engrossanclo o Caldo com Pontos ........................................................................................................ 265 DivLs5o por Qu.idrõ:lntes .......................................................................................................................... 266 Traee Unhas com Pontos .......................................................................................................................... 267 GrâfiC::O$ de Linha$ <:Onl ln l erc::ep 1~çõ~s ............................................................................................... 269 Dete.nn.lnaç.Ao da lnclinaçAo de Limhas .................................................................... .................................. 270 Criando Crãflcos conl o Fom1.a.10 lncllnaçAo-lnterceptação .............................................................. 272 Transfonoando para o formato Inclinação-interceptação ................................................................. 274 Trabalho ronl Unhas Paralelas e Linhas Perpendiculares ................................................................ 275 Encontre dii;lilnci"i; entre ponto:; ......................................................................................................... 275 Representação de. Parábolas ................................................................................................................. 277 1±:11co11tre il in1ercep1i1Ç50 dai1 f>Arábolas ............................................................................................. 219 Gráficos c::om Trõ:ln$formaç.õe& ............................................................................................................... 280 Resolução dos Problemas Sobre Gráficos ............•..•.........................................•................................. 283 Parte IV: A Paru tios Dez ............... .............................................................. 291 Capitulo 22: Dez Erros Comuns e Como Evitá-los ...................................................................... 293 Elevando uina Potência ao Quadrado .................................................................................................. 293 Elevando uni RhlônliO ao Quadrado ................................................................................................... 293 Ordeni d<t.5 Ope r.içóes ............................................................................................................................ 294 RadJcallze ................................................................................................................. .................................. 294 OL-1tribulçâo de u1n Negativo ................................................................................................................. 294 Quebra de Frações ................................................................................................. ................................. 295 Redução de Frações ................................................................................................................................... 295 U&o de Expoente5. Negath•o.s .................................................................................................................. 295 Dete.rm.lnaçAo do Nó.mero "tenor ............................................................................. ................................... 296 111\'eri;ão do i;cnt.ido ................................................................................................................................ 296 Capítulo 23: Dez Dicas Rápidas para Tomar Fácil a Álgebra ................................................. 2'7 ln\•ersAo de Proporções ........................................................................................ ................................. 297" tuJtiplique p..ina :se Uvr;)r de l'r<tÇ-OC$ .................................................................................................. 298 Atenção rom o 0 .......................................................................................................... ................................... 298 Encontrando o Oenornl:nador Co1n un1 ................................................................................................ 298 ... ________________________ sumario XIII Oi\'b 3o por 3 ou 9 .................................................................................................................................... 299 Oi\•isão por 2. 4 ou 8 ....................................... "'"'""'"'''""·""'"""""""·"·"'""'•' •"''"""""···· .................... 299 Co1nu1açito A Von1Ade ..•........... ~ .•..•.....•.........•....•.............•..................•..•.........•...•....•.............•....•.......... 299 U$O da Simctritl ........................................................................................................................................ 300 Oesradlcall2ando .....•.•.............. ~ .............................................................................................................. 300 Flu1çõt, Polinc>rni.i.is :i Olh<>t1li •...........................................................•.........•...........................•.......... 300 ÍnJ;ce Rem;ss;llo ..................•............................................. ....................... 301 JfÍ(/ Exarciciosde Álgebra Para Leigo•------------------- Introdução Alguma:; d;:as minh\:1:1 memóri.M mais antigas do colCgio dizem a respeito, reccl>cr li\l10$ dklãtkos nM•lnhos em folha,llmpo.s e em bom ~ado no começo do ano letivo.OI JIV'l'O.S dklálkoso trata- V\ín~ de ari tn~tca.gt'Ogr.)113,0rtogrtll\a e.se;a qual fOr a 1tl\ítêri\í que~ ab<>rd\ída no arl().0 11\•ro OO\o'O e inteiro nào possuía folha alguma dani ficada ainda. EIE'$ eram lindos e intimkiantes ao mesmo 1empo.Con1Ud<>. não ~'Ou muito 1empo pam que aque~ liVI0$5e tornarem usad<).$ e esl:umpadQS.. com páginas arrancadas e capas amassadas. E&tou torcendo para que i sso nào acon teça com este livro, Usado tudo 'bem. mM esfarrapado ~demais. Isso mesmo. vocf precisa es.ereve.r neste ltvro e dominar as lnón1eras habilidades algêbricM em seu interio r. \ 'oc.:C deve .ser seu próprio ª"alia.dor. mM de qoo.Jquier forma, inclui as respostas dos problemas ao final de cada cap ftu lo, de forma que você possa verificar seu tr;,b.<tlho. VO<;ê p<>de 31é 1nesn1<> \'()ll<ir e "lter"r Su.'1$ re111)0Slas 1)-''" a respo$1" ce.rlà, e<is<> voeê erre. Não. isso não ê trapaça. VOC'ê está descobrindo como trabalhar c:orrttamcnte com pro- -bl~mas de AJgebra. (Na verdade. rnudar das re.<1pos1as er-radtl.s para as eorreta11 é u1na exee~ te nwi1eira de o.tpre11der coto $«::US pró1>rios enos.) Lembre-:se, este livro é $eu. Você p<>de Íi!.Zer o que quiser dele (n1as. por lavor. não alln1en te seu cão com ele). Agora voe~ o teLn em m!o-s: sua oportunidade de mo-strar o que v~ pode taze.r em álgebra. N5o. nao entre en1 p.'ir1k:<>! V<>cé nao ir~ re11ot.,,er e11se11 pr<>blern"s $0til'lli(). COf1fonne \'OCt: avançar por este Exerr:klo-s de Álgebra para leigos. você perceberá multas indicaçO« de que está no c11n1lnho. Encon trar á. m ul tas explicações, exe1nplos e out ras tnlornw,ções para 1omar esta tom ada uma expcrã.Wcia a mais tranquila possível. Matemática f . uma mattria que. dever ser monejodo. Você pode ler Liter.atura e compreender senl ter de fazer apontamentos. V~ pode ler sobre fenômenos blológleos e compreend~ -10$ também sem ter de razer Mgum tipo de c:ltperimento. Mi\temâtica é diferente. \'oc:C tem realmente de (azê-la. praticA-laa, manuseá-la e utilizá-la de forma que ela se tom e parte de seu Cl)1lhe<;in1en tl) e de $UI\$ h4b ili<J.'\d ê'I. e (1 1.1~1 é1\ 1nelh()r m1tneir~ ~C C()l()Cl\r " ltlâ() "" TJHIS$ol c1ue não *enfiar • a cara neste liv ro? Lemb~e. aproas prática. prática e mais prática pode ajudá4o a don1lnar álgebra. Si rva-se! :Sobre este Li~ro Organizei este Exe.rcíck>S de Álgebra para Leigos prallcamente da 1nesn:i11 1orn1a que organ11el Álgebra para leigos (Wilcy), q:uc talvez você já tC'Oha, ou seja, dos conc:ci tos ma.is básicos aos mais completos. Algo bom a respeito deste livro e outros llvros pam Leigos é que \'OC~ não precisa começar do inkio e ir avançando, PM30 a PM30. do inkio no fim. \tlcõ pode começar onde bem entender. e nào precisa seguir regra a)guma rclath•a à ordem de lei tura. Se você n.ào conseguir progr('dir e1n -'l.JtlUl'.I 010111t11tO J)(>r(lu e n3<> <;()1111egve len1br a r u 111 delernlin"do p r<ttes.110, t-Ol<>Que u 111a observtlÇão cm um marcador na página em que parou e peça ajuda ao seu profeuor de á)ge- bra. ou busqlt(>, a tnfornu~ç-Ao no livro Álgebra p:tra /eig0$ ou outro li\'rO, e então retome para a p~g'.ini\ m1t.rc?1di' qoo.ndo \·o<.:C t:S<>luc:i<>n<'r a dll\'id<t.. CIMO. você prec:i :s.a dos c:<>nc:ei tos básic:<>s de álgebra para c:omec;ar em qu.-i.lquer p<>nto d<> livro. mas depois de entend~Jos perfeitamente, voe@ pode escolher a parti r d e onde quer trabalhar. e p0$sfvel l)t.ll:tr para (ltHle (11.Ji:Ser e da.ti C()n'le('.tlr 3 e$ 1U~~r. 2 Exercícios de Álgebra Para Leígos ____________________ _ Conr/enções Utilizadas neste Liflro Utilizei as .seguintes con\•enções neste livro para tomá-lo consist(>tlte e de fácil comprttnsão à n1edi(l.;t c1ue voei: ~$0l"c" er1onn e c1u~nlid(lide de problêintas 1>râticos. v Novc>11 tennc>$ àl)a.recern eni ittllk() e siio gegui<.l<>s p()r unut <.lelíniçiio -cita~. V A$ rc:$pOslàs d<is <IUe.llh)ei; 1>rliliCt\S e d05 e.xe1n1>IO$ estão e111 n egr11<.1 l><tr 3 f;iç i l identi fi cação. Contudo, não são n~ritadas as pontuações conseguintes para C\•itar qualquer contusão com pontuação ou pontos declrtH\ls que po~sar.n ser eon1'1Clerados pt1rt e da ret1posta. V A álgebril req uer vârit\s fetr;:u partt represcntt\r nUmeros. Em gcrttl. fo.ram utilizadt\s fetr.-s do conleço do alfabeto (.t, b. e. k) para o represeritar con,srantement~. ou seja. nOnieros que n5o rnud:u11 o tetnpo todo, rnt\$ po<Jeo1 ser e111)t<;f1'.i<;O$ l)\\r\\ t.101õ.\ (ltt~niOM.1\\ sit.....-.. çAo . .. \s letras do final do a1fa~to normalmente representam i•arlAve/$, O\I se)a, a sotuçAo que voe~ está buscando. Utlll:tel as letras n\akS conlun1en1e utUIZadas (x e y) para as varlã· veis . E todM as con.stantc.s e variá\1Cis estão c m Itálico. *"'" Foram utilizados os sfmbol0$ <orrespondmtes para rcp~smtar as opcra.çóes matcmáti· cas de adição, ~ublraç-Ao, n1ulliplicaç.ao e diVislto: •, -. x e • . 1.las 11u1.ntenh.a. se mpre e1n mente M l"(lgtas espcc:ia i11 a seguir qu.m do utili:w.r cs.scs 11inais cm âlg;cbra ou nes te livro: ·Subtração{-) 6 uma operação, contudo o s ímbolo tamb~m reprC$tnta o oposto de, tnen0$ e negativo. Ao se deparar con1 situações diferentes, vocf .saberá dUerenclar qu.'tl inlcrprel.itç~o t: nccc::11s~ri.t1 . •A rnul liplic;aç5o (x) noroataln1entc é indk<t.dt\ com um po11to (3 · 4 • 12) ou pi\J'inlc- ses () en1 á lgebra. Neste livro, utilizei parênteses eom maior frequ ência, mas vocf p<>derá oc~ional r11ente e ncontra um slmbol<> x . Para evitar qualq uer conluslto, n&o utilizei o ponto neste livro. Entretanto. lembre-se de que ao resolver problemas de álgebra na escola, \'o.d provavelmente encontra.râ o ponto c::onl mais trequ~ncla do que o x. Não confunda o símbolo x com a variável cm itánco. x. • A di\'bão (•)às vezes é :indicada por uma ban.- (j). Suposições Tolas Não me aprolundo muito a o explicar as t('Orias e. r~as por trás de cada probltma. Presumo q ue você pos.sui algurn ou1ro uvro, corno a 1nlnha Álgebra l>'ra Leig()$ (Wll.ey) para rtferblcW mais profundas, se ncccs.sário. ü te mtmool fornece a você problcm<1$ prát iCO$ para que \·ocê possa verificar se está realmente ~ntendendo um conceito ou processo especf.tlco. Ao escrever este lfVro, p~suml as: seguJntes lnfornlações a seurespeito. caro leitor: Y" Voe~ JA possui um.a base decente enl conceitos básicos de álgebra e deseja uma oportunt- <.lltdc p.i.rn prnti(;ar CS$M habilida de$. *"'" Você cursou ou está cursando Álgebra l, mas precisa revisar certas á.rcas. *"'" Seu fi lho, filha, neto. neta. sobrinho. sobrinha. ou alguém espec:ial está CUl'$ando Álgebra 1. \bc~ não se depara eom lLma equação hâ anos e ''OCf deseja ajudá-lo ou aludá-la. *"'" Voe~ ama matenlátlca, e sua Ideia de dlve.rs&o é resolver equações en:i unla tarde chw.·osa. Como este Liflro está Or9anizado Como em todos O$ livros da série Para Leigos, este livro está di\•idido t'lTl partes .. Essa organiza- t..ãO 1>errnile que v<>cé k1<;31ize <> po1110 <)ndc desej.1 <:01nt!Çar ou que prt<;is3 $er rtvi$a<Jo. Cad\\ parte cobre uma área comum de estudo oo tipo de conceito. 0$ tópicos mais n:1levantes de Álgebra são bt-.m divididos naii seguintes partes. Parte /: Entenda os Conceitos Básicos E~ta prfn1elra parte co1neça no Inicio de algun" tópicos de Algebra, 1na..<1 nAo co1neça no tnlck> da ari tmética nem cobre tóplc<is an tt>riorff à álgebra. Esse começo incJ:ul trabalho com nóme- ros com sinais e suas ope.rações. lncluJ ta1nMm as tão anladas frações e aqul)O que vocf, prec~ .sa .saber para somâ·l\'111 o multi plicâ-13$. VocC prcci:si\ comp~ender f.raç6es, de forma geral. para ser capaz de trabalhar com (rações e tennos alg4brlcos. Essa parte também foca o.s expoente$, 1u.inlen>11. vnri~vei.s , e t,:()01<> el.a3 t,:()nlbi1i...'11n <>l• n5<>. Del)<>i.s d<» CJ(p<>cn1't$ segue1n 0$ r.idic;:i i:s - não aquefes hjppies da d6c:ada de 1960, mas s im aquelM opC"rações que podem $er rcprnenta· das corn exp~rites traelonârlos. Elei aridarn Juntos! Por llllhno, tnclut a. eonl blnação de tenuos que lW.o simil:ire:s o :suficiente ic ten1 00.Strutte em <.:onnun. Parte li: Operações e Fatoração A álgebra é o ponto de partida para a nla tem.átka mab avançada. Na verdade. vocf não pode fazer n1ulta ni.ate11\A1ica 8v:u1.çada se1n ela. Hã u n1A lh1guage11\ <: r'lt ica no l onnato das letras e simbolos de operação. e M também as operações, Você precisa $e familiarl:zar com esses slmbolos e operações de modo a progredir para outros processos a lgêbrlcos como 0$ de solucionar C"quações e fonnar grâficos. Esta parte dncrmre e n::fina as opC"raçõtt de adlçAo. subtração. mulllplk-aç.ào e divisão. 'Tumbém coordena as operaçÕ<'s em ternlos de 11e obter lermOIS e f«l<>res de:s<.:onhct:idOIS ou \'(lri.iiveit1. A11 operoçõts são tLS mes1nM dt\s com rn1meros; somtnte. parecem difen-ntcs e tem diferentes tipos de resultados. A parte de fatoração é eA·ten.~.'I. Na verdade. latorar é apenas redescobr:lr quanto er-a. a ceT· ta altura, algo c1ue loi O\ulliJ)fi<:ado. Ma$ i$$O - ~Q(1il() que lt>i 111t1ltiplic.1do - ê o que ajlulà a aprender a fatorar. Você pode :Imaginar a fatoração como o primeiro passo de uma charada ou desafio de lógk.a. iome-se bom em fatorar. e as respostas v1rão multo mais lacllnlente. Parte Ili: Fomento de Soluções Descobrir a solução de uma equaç.ão normalmtt1te é a parte prclerkla d e todos na â lgebra, Dõ- -n~e un~a equaçAo. e pwso des<4.'obrlr o seu segredo. Algumas veies só de othar para uma equa· çao, e., 11oluç.5.o st\ltt\ ;aoi; :;em olho$. Por e.xe1nplo, "eqoo.\·3o >.' • J • 7 não g:ril<' llll1t\ rt$po:sl.- x ., 6? Algum<l.$ vezes você. aclra que sabe a resposta, mas tome ("Uidadet, pode ha\1er aJ mais do t1uc V()CC pode 1)ereeber. Esta p:u1e dtscul.e <» tlifertt1tt$ liJ)OS de equaçü~ e inequaÇ{>es, en\ rt-Jaçâo à.s suas simil<'lrklades e sobre como lidar c:om elas. Exercícios de Álgebra Para Leígos ____________________ _ Parte IV: Aplique seus Conhecimentos para Resolller Uuestões-Problema e Gráffoos Se ''ocf dominar todas as técnicas nec:essárias para resolver os diferentes tipos de equa.çóes. vocC pode concentrnr4e en1 e5~r«:ver algu111~, e pr;.ttirur C$Si'll lwbilid;,id e:.s. O uso da Afgebl<' vem em forma de fórmuJas comuo.s para área, temperatura, distância. t>· em muitas outras forinas. Seu u.so t:unbé1n 10 11111.., lc>rnl:\ de qu.esh)~·problerna que prtcis1ur.1 sei- tr1ulut idas en• uma equação para que possam ser rcsot.,.idas. Os problemas com historinha são divkUdos em \1ários tipos dlfttentn, e cada tipo tem uma maneira especl6ca de ser abordado a flnl de resolv~los. Parte V: A Parte dos Dez Corno en1 quàlque.r livro P.trn Leigt>:J, o capitulo de 08 Ot2 ~lai11 olereee a \'Oé~ algu1nas dicas rápidas. Esta parte tem duas listas completamente diferentes. Você pode cha~s de listas · como fazer" e "como não faler". A lista .. corn<> fater· i11cl'.JI a~ns 1ruques 1>rofls$i()ntai$ de diver$11.S á~;l$ q ue eu ~uni.~$.$;\$ dicas ajudam a C"conomizar tf:'mpo emergia ao lklar com diferwt<'5 5ituaç00 na álgebra. A lista -como não fazer .. contfm a..lguns d05 erros que ocorrem mais fr<"quentf:'mtt1t<' f:'m Algebra. t shn, as pe11soas ten1 1ncr1ta11 oporttmklade11 de errar ao lidar co1n ter1nos algébricos e proces50$, nias alg\111$ $<' destaérun em rel<t.c;ào a ootro5, T"hrei CS$CS erros comun$ $Cj;:"11n oriundos das profundezas do cérebro humano - eles enganam as pessoas ''árias e ''ãrlas ve;i:es por algurn 1no1ivo. Oe qualquer lonna, preste atenç5o 11eles p:tra evitar e#,Sas annadilhas. /cones Usados neste Liflro e® ~ ~~ Um li\•ro Pil.n:t Leigos inc~I fcone5 que ajudam a encontrar e entender as ideias centrais e as lnfonnaÇôes. Entretanto, coni este n1anual. o ll\•ro Inteiro e11tA recheado de ln:.portantes pedaços de informação. Como N!Sultado, apcnM destaquei com ÍCOllC$ as informações ma.is C$$tt\Ciai5, de prlmeb·a linha. Elas se destacam para obter sua atenção. pois você não pode lgJl.orar esses gráficos bonitinho$ nt'l rntugem et1querd<I. E:spero quoe ~ 0$ <.:Qnsktere bem k>caliui.d0$ e degrtwde aj~. \ 'oc:C encontra 0$ kones de exemplo$ em todos o5 llJ$<UC$ d($te livro. Ante5 de tentar resolver os problenlas. dê unla olhada em um exemplo ou dois. eles podenl ajudlt·lo a conteçar. Esses extrnpki$ <;<:>br-etn 100:.\8 ;\$ tê<;11i<;õ.'\$ netts.lltiri~ p:ir:i $01\lc::k>n~.r pr<>blern~is p râ lf<;()$, nuas, à$ ve;i:es. voc@tem de olhar as so1uç.Oes ao linaJ do capítulo para ver os detalhes menores. Esse11 kones de dkas são pequenas suge11tões ou palpites para ajudar a lacllita r seu caminho atr<1\·é$ dO$ proble10<1.$. Eles ap;:'lte<:t!.nl quando <.:Ompliruc;õe11 co11h«idas ocorrern coro lllna pMsfvel resolução. PMso economtzar .seu 1empo e energia. e dlmlnuJr o nfveJ de rru.straçllo éOn• ts$ts t.rr(l<S. Este fcone destaca regras de extrema Importância ou process05 que \'OC.@ d everia lntemallzar enl seou cérebro para releml>râ·los raplda1nen1e qu:tndo necessário. Apesa.r deste !cone não estar em vermelho. ele chama a a tenção para pontos part icular· mente problemãtlcos. Quando uUll20 esse (cone. Identifico elementos t raiçoeiros e dou um justo aviso. Aonde Ir a Partir Dat[ui Agora você está pronto para c<imeçar, Você ~tá equipado e em prontidào. E.stá na hora de co1ntÇ3r tsl:i h1cu r$âO 113 falgeb r:a. l::$1)t;r(> (ll•e lenh;\ et1tusio.'1.$tl'l c> -e .11e11.sc> de :ive11tura. Sio1, C$1e livro é 1..11111) gr.u1de à\'Cnh1r3, <\~ nas esperando por voei. Eu ta.mt>tm recomwdo um livro guia para ajudar \'OCi com os pontos d.itrce111. Uni exen1plo de gula ê nleu Uvro, ÁlgebrA Par:, Leig()$(,Wlley), que é um co1npanheJro dC$lC li\•ro. Além d<> que ele reflete 3 n1aiori;i d<» difcrenlC$ tópkos. \'o<:i: 1><Xlc ulki-k> P<'ft' preencher as Jaeunas. Aconselho a 1er com voe@ um ]ápts e uma borracha.to professor e o matemátk'o em mlm qm> pereebe1n <1ue erros pode.111 3t:.r c-0111etid()<S, e que eles s5o otàis la<;Un'u:1'1h': a1)og:,,dos qu:uHIO feitos com U.pis. Aquele monte de rasuras me Incomoda multo. Onde \'Geê começa? NAo. \'~ nAo preclsa seguir o r i tmo do grupo. Võoc~ pode se aventurar .soi.lnho, l rllhando .seu próprio canl lnho, la2endo .seus planos, puland.o de capitulo para capi· tulo. Você podt fazer o que quiser. ~tas. você sempre pode escolhera.. segurança e o plant· Jamento e começar no primeiro capftulo e progredir com cuidado. Vo.c~ nào deseja perder al,t.l'\.lrn;t <:Ois" in1port antc:. 6 Exercícios de Álgebra Para Leígos ____________________ _ Parte 1 Entenda os Conceitos Básicos A ~ Onda Pcx- ~K:h Tcn11an1 ""'' Plúl ,;,1 .. a .... 1 ... das "f'rof6<• •• 1 ... b.t~1r C'lOm J"'Ol~tmllf Je álttl•r8 fl1u•Rnlt U"' tnCOn ll"O ás esir.unts e 111\Q rl'fW>i~ cfd,. Nesta parte ... C:ltela 1no14ria tt:n1 t'l\Jrl'K'.nke bá~lcO!l.O!i elf.'menios b.'.'i.ik06 da l\l(tt'bn1 to1n~~1uu n ti \'ttdllclt con1 átu µriu)t'ilO 1 ... 1 1Jlili5 e:sw pt111to nlkl tetl'l"!Cl'tl~ lllllkl,Ôlelenienlot bõslcos nece.~rios paro fazer lilgc:brt1 de hJf111,1 ~lel 'l\•o intlul'••• conçc:1IQ1S i1nport1:1.nl<:$,çomo os doe lld1u corn ~nal<1 n~1t•'ll f\'<t'I ('ln nl1n1toq e coloc:i-Jt frações em ex-PQerites;. Sabor co1110 u1lht..11 ~e' elt•mcnl'o~ é c~cn<.:kl l p.:ir<l toOO ;,a matêrit1.. lJl llií'.ft <18 <·01>flul1)11 t~ l )·lfil' l)JTa •~ ''~ª''' 1nemo11 o:1 - ou slg.l fldiar11to..,. voet" ~ l<'m u 1n.l hoo ba\t' Capítulo 1 Introdução aos Números com Sinais Nut~ Capitulo Uso ela linha de 1u"tn1eros Teste com valores absotutos OperaÇÕC$ de número11 com s inais: . .,di~'.âO. subtn1,ç3.o, 111uJtjplicó.lç.ào e divi$fM) A. f..~ue capftub vocf praticará operações com ndmeros e sinais.aprenderá como la.1.er com que eles /V;e comportem da maneir.l q ue \"OC~ d~ (Dip à sua mãe que ela n5o pode utiJizarnte capitulo com seu irmão mais 00'<'0 para lazê-lo se comportar.) As propriedades são muito lÍ!eis para tornar as ex· 1>re&!Õe$ 1n{)1em61.icas 1n~i:s li1<:ei;;1 de .seretn lidM e n\tti$ W<:ei:s de li<Sllr ;.o ré$0lver eq~ e1n tilgébr.:i.. Comparação de Números na Linha de Números Voci deve achM u1n co11cei to fócil de kh:ntificar que - 16 é 10<1ior que - 10. ~\;u e se for - 16 e - 10! Qual ~ maior! A maneira mais fácil de. comparar ndmeros e dizer quaJ f maior ou qua~ possui um \•alor maior é en <:<>nlrllir s uas posiçõ~ e1n u nta. linha. de n1inu~ros. A lioha d e 1ui1ner0s \'ld dO$ llegilliVOS à esquerda l'O$ po.sith'O$ na din::it<'I {veja a Figura l·I). Qualquer n(imero mi\is a direita terá maior valor. é nlalor. Ft11ur11 1·1: li111h1 de .. ÚllllkOS. Q. Utilizando a linha de nómeros da Figura J.J, determine qual é maior. - 16 ou -lO. R, - 10. O número-10 está à direita do núme- ro -16. então é o maklr ent:re os d<1ls. Voe~ expres.si'i i:s.so <.:omo-10 > -16 (leitt is.so <.:orno ~10 negativo é maior que 16 negativo"). Ou \1(W';C ~d~ r;t13r .. Hj < - 10 (16 ll~liVQ é menor do que 10 negativo). Q. Qual é maior. -.1)023 ou-.023? R. - ,0023. O nl11nero - ,{X)23 eslA à d ireito do número -.023 entã<1 é maior. 1 O Par:te 1: Entenda os Conceitos Básicos ___________________ _ 1. Qual é maior. - 2 ou - 8? 2. Qual t('m o maior \'alor, O o u - I? 3. Qoo.J é m;,ior, - .oro ou - .03? "· Qual é maior. - 1 ou- 2? 6 3 Absolutamente Correto - Expressão de Valores Absolutos &fJ. O valor <1bsolutode urn •lümero, c:ht1.n1000 de l t'l l , é unw. operoç.So que ;iv.Ukt tudo o que e:stâ d('ntro das barras verticais(' depois extrai um n(lm('ro positivo, Outra maneira d(' 4!'ntwder es!la operà~..ão ê que ela p<>de lhe dl1.er qual o nll1nero entre o O que está nà linha de nú1nel'O:S - sem ~ferétlc::"'- ;:tlgumt'I a qualqu er lado. O ""Jor ab:soluto de a la l = a, se a é um número positi\•O (a > O) ou :se a= O la l = - a. sea é um n6mcro ncgati"lo (d< O). LcW. isso como -o valor absoluto de a é igual 3() ()/)()$1(J d e t'I• • ~ R. < IJ. 1- 31. R. 3 __________________ Capitulo 1: Introdução aos Números com Sinais 11 5. 181" 6. 1- 61 . '7. - ,_ 61 = s. - 181 = Adição de Números com Sinais A :adi\'.i() de 11fu1u:.r()S corn sin'1i$ envc>tve <.fu"' regras diíertt1te3 . .,, \'ocê titi liua qu:andc> ()$ $i J1 '1i$ d0$ <.loi1.1 n(lrner0$ $fH) igu<ti:s., un1bo:s po$iliv<:»1ov111:g.1livo:s. Y' \'0<.:ê utJliw <> ou1.ro qu<111•do <» l.linah1 do$ doh1 número$ fon:rn djferente$. Depois que você determinM ste o:s $ittai$ 3-âo igU...i$ ou diferentes., você 1.1tiliu..rã o.s valo~$ ;:1ib$O- luto.s dos nllmeros. Para adicionar mlmen:is com slna1s Se M slnal:S são os mesn,os, tu)me os valores absolulos dos no1neros, e delice seu sinal comum com sinal da resposta. (-a)• (-b) • •{• • b) (-a)-(- b) . -<•· b) Se os sinais $lO diferentes. encontre t'lltào a diferença entre o.s va.lorff absotuto dos nõ- meros (subtraia o menor.' valor absoluto do nlalor \•alor absotuto), e deixe a resposta conl o sinal do número <:om maior valor ab$o)uto. Prnumindo que l al > l b l , (-a) <(-b) • •(• - b) (-a) · (-b) • -{•-b) {J. (- 6)·(-4) • - (6· • ) · R. - 10 {J. (-8)•(-IS) • - (15 - 8)• R. - 7 __________________ Capitulo 1: Introdução aos Números com Sinais 13 Subtração de Números com Sinal Na \•erdade você não utiBu um novo conjunto de regras para a subtração de n6meros com sinui.s, vo<;~ Apenas rnuda (1 p roblema de subtr3çâ<> 1>ara u1n probletn .o'I de adiÇ;i<> e u l i lit3 as rcgrru; de adição de números com sinal. Para certificar-se de que sua iresposta a esse novo problenia de adição é a resposta para o problema de subtração, você não muda só a ope- r;:tção de sublrt\t,~30 para 3dit.iio, 111;:c; iou11t>én1 nnad., o $inal do segunc.10 1ni.n1ero ;:tquele ClllC está sendo subt:rafdo. Para subtrair do!.$ no.meros conl slnaJs • - ( .. ) .... (- b) •-(-b) ·• · (<b) {J. (- 8) - (- S) R. - 3 17. S- (- 2) · 19. •-81- :21. 2,4 -(-6.8) • Q. Qua l a prt<;ipitaç5<> 1nedi.i.1u1u.'\I de Scot111da· le. Arizona? R. . 7 ,OS pqlcgada.., lnnri? De Ond e 11.Uu C$Sõ.\ resposta. v~ está pensando? Queria só \'er se \•OCê est.á prestan.do atençAO! NAo esqueça des&a informação da próxima v~z que plane- ~r wna \•Mi.gem para o Arl:zona. 20. 0-(-15)· 22. - 15 - (-11) . __________________ Capitulo 1: Introdução aos Números com Sinais 13 Subtração de Números com Sinal Na \•erdade você não utiBu um novo conjunto de regras para a subtração de n6meros com sinui.s, vo<;~ Apenas rnuda (1 p roblema de subtr3çâ<> 1>ara u1n probletn .o'I de adiÇ;i<> e u l i lit3 as rcgrru; de adição de números com sinal. Para certificar-se de que sua iresposta a esse novo problenia de adição é a resposta para o problema de subtração, você não muda só a ope- r;:tção de sublrt\t,~30 para 3dit.iio, 111;:c; iou11t>én1 nnad., o $inal do segunc.10 1ni.n1ero ;:tquele ClllC está sendo subt:rafdo. Para subtrair do!.$ no.meros conl slnaJs • - ( .. ) .... (- b) •-(-b) ·• · (<b) {J. (- 8) - (- S) R. - 3 17. S- (- 2) · 19. •-81- :21. 2,4 -(-6.8) • Q. Qua l a prt<;ipitaç5<> 1nedi.i.1u1u.'\I de Scot111da· le. Arizona? R. . 7 ,OS pqlcgada.., lnnri? De Ond e 11.Uu C$Sõ.\ resposta. v~ está pensando? Queria só \'er se \•OCê est.á prestan.do atençAO! NAo esqueça des&a informação da próxima v~z que plane- ~r wna \•Mi.gem para o Arl:zona. 20. 0-(-15)· 22. - 15 - (-11) . ] !., Par:te 1: Entenda os Conceitos Básicos ___________________ _ Muftipf icação de Números com Sinais Quando \10Cê· multiplica dua,s expressões com o mesmo sinal o produto é positivo. quando vo<;ê n'lutliplká du"s elCp~»óes c:om sinoi$ di ferentes o produ to é ne,.,Hvoe:>. Se v<>cé rnulli· plk:ar mais de dois fatores ao m('Smo tC"mpo, apenas <:on te a quantidade d~ sinais n tgativos no problenla. Se a quant idade de tlegatlvos lor um nl11nero par, o resull.ado será positivo. Se a qu.i..nt i~de de tiin~js nqptivc.» 107 orn 1nin1ero hop.'tr, ent~o o rl:St1ll;,do ser611i:g.-tlh10. Pro<tulo de d<>b números com $irlâlis (-)(') • • <-X-J .. (-)(-) • - (-X•) • - Produto de mais de dois nómeros com slrtais ( • )( •X•)(-)(-X-X-) Há um :res.ultado positivo quando houver um ntbnero pt1rde fatores negativo,. (·)(•)(•)(-)(-X-) Hã um resul tado ncgativoqwndo houver um número ímpar de fti.10íe$ negativos. ~ ~ {}. (-2) (-3). R. + 6 {}. (-2)(·3). li. - 6 23. (-6) (3) . 2~. ( 14) (- 1) . 25. (-6) (-3) . 26.(6)(-3)(4)(-2) • 27. (- 1)(- 1)(- 1)(- 1)(- 1){2). 28. (- 10)(2) (3) (1) (· 1). __________________ Capitulo 1: Introdução aos Números com Sinais 15 Diflisão de Números com Sinais As r~rM para dividir sinais com n(lmel"O$ são exatamente ;u mesmas da mul tiplicação de 1u)nler<>!I C(l•Tl $hl.o'tis , c<>rU<>rme o quanlid;)de de $h1a is . (l..t:io ·~tullip l ica.çit<> de NUn\er()$ 0011'1 Sinais" acima, neste «:apftuJo). A diferença 6 que você tem que dividir, é claro. Ao dividir números com s inais., conte a quant idade de s inais ntg.:i.tivos que a:istem no problo- rna no nun1erador, no denominador e talve?. na frente do proble.1na. Se houver um nlln1ero par de sin <tis r,1eg;,tivoi; o re3uJl.:adO é p0$ilivo. Se houver urn nümero 'imvt'r de s iM is neg;:ttivos <.> resultadG é negativo. Esta regra só funciona quando os fatores estiverem muJtfpUca.ndo e divi- dindo, e não qusndo esti\<ere1n ad1c1on1ul d<> ou subtraindo. (J. _,._ (J. - (-3)(- 12) . • - 9 R. • • :29 . • 22 • =rr 31. -3(-4) . - 2 33. (·2)(-3)(-1). (-1)(-6) R. -9 30. 24 • - 3 32. (-5)(2)(3). _, 3ti•l · (- 1) 16 Par:te 1: Entenda os Conceitos Básicos ___________________ _ Resolução dos Problemas Sobre Números com Sinais Esta seção fornece a.s respostas (em negrito}aos problemas práticos deste capítuJo. Qual é maior. - 2 ou-trr - % é m111.ior. A linha. de númtro;S a 5eguir m01StJ<1 .que o número- 2 e5tâ à direita de- 8. Entào- 2 é maior que - 8 (ou- 2 .. - 8). -2 Qual tem o 1na1or vaJor, O ou -1? O é 11111.ior. O nomero O estâ 1nais à dlreila de -1. €ntão O 1ern un\ vruor mator do que - 1 (ou O> -1)~ Qual é maior, - 0,003 ou - 0,03? -0,.003 é ma.l.or . A linha de númel'OIS a s~r m0$lra que o número- 0,003 está à dlrelta de-0,03, o que significa que-0,003 é maior que-0,00 (ou-0,003 > -0,03). .,1)3 -.02 -.003 o Qual é n\AIOr, - 1 ou -2? - 1 é 1nak>r. 0 numero - 2 ª - 4, e - 4 está A esquerda de - J na linha de 6 3 6 3 6 6 6 nOnleros a segul.r. Então=! é maklr do que-2 (ou ::.! >~). 6 3 6 3 o 18 1 = S.. pois8> 0. 1-61 • 6 , po1s- 6 < O e 6 ê o oposto de- 6. - 1- 61 ... - 6 porque 1- 61 ... 6, como no problema anterior. - 1$1 .. - 8 , p()i.s 1$1 .. 8 4 • (--3) • 1,poi.s 4 é o 10.Uor v;.dor ab:;olu10. 4'(-~) · '(4-3) · 1 5 • (-l J) = - G .po i.s - l J tem um valor ab.soluto maior do que l I. 5 • (-li) . - (li - 5) . - 6 (-18) • (- 5) • - 13. pol.s ambos os nómeros tem sinais negath.·os: quando os sinais são os 'º"mo. wc:o11t re" soma de :;eu:; v<'lorc:; ;ibsolutos. (-18) • (-5) • -(IS~ S) • - 2.3. 47 • (- 33) • 14, pois 47 tem o maior valor absolu to. 47 ~ (-33) • +<(47 - 33) • 14 __________________ Capitulo 1: Introdução aos Números com Sinais 17 (- 3)· 5·(- 2) • 0 (-3) . s. (- 2) -((- 3) .S) . (- 2) . (2) . (-2) . o (-4) . (- 6)-(-10).-20 ( - 4) . (- 6). (- 10). -<•. 6) '(- 10). (- 10) '(- 10) · - ( 10. 10) . - 20 5 -(- 18) -(W) . - 3 5 -<- J8) <(JO) . - (18 -5). 10 · -(J3). 10 . -(13- 10) . - 3 Ou voei pode preferir som<'lr os <loi :s números com o mesmo $int\I primeiro, <U.sim: 5 ~ (- 18) ~ (10) • (5 • 10) • (-18) • J5 • (-J8) • -( J8- JS) • -3 (-4) • 4- (- 5) • 5 • (- 6)• -G (-4) • 4 • (-5) • 5 • (- 6) • ((- 4) • 4 ) • ((- 5) • 5) • ( - 6) • O• O• (- G) · - 6 5-(-2)·7 5-(-2) ·5·(·2)· 7 -6-(-8) - 2 - 6 -(-8)· - • '(·8)·8 - 6· 2 4 -87 : - 8:3 4-87"-(87-4)- - 83 0 -(-15)- JS 0- (-JS) =O· 15 = 15 2A - (- 6.8) . 0,2 2.4 -(- 6,8) -2.4 • 6,8. 9,2 - 15 - (- 11)· - ·• - 15 - (- 11)· - 15 • ll · - ( 15 - 11)· -•I (- 6) (J) • - IS. poi:s o prvblern;, <ie 111l1llip l ic.,ç-~o 1>()511l1i(t u111 neg.ilivo, ~ vm é u1n número hn1>;:tr. ( 14) (-1) = -14, pois o problema dt mul tiplicaçào po.swía um negativo, e wn é um n(Imcro fmpar. {- 6) (- 3) = 18, poi.s o problema de mul tiplicaçio pos.sufa doi.s negatr.·os, e dois é par. (6) (- 3) (4) (- 2) a J+t, pois o problenla de muJUplJcaçAo possuta dois negativos. 18 Par:te 1: Entenda os Conceitos Básicos ___________________ _ (- IX- JX-1)(-1)(-1)(2) • - 2, poisio problema de mulllplk-aç;ào p0$SU1a cinco negativos. (-10) (2) (3) ( 1) (- 1) • 60. pois o problema de multfpllcaçllo poss.uia dois n egativos. 24 = - 8, pois o probl4!ma de divisão possuia um n t"gativo, e um hnpar. -3 ... 3 (- 4) ..... 6 tn'I frAçil(), PQis três neg~tiv()s rtsu llorn ern 11eg.fílivo. - 2 (- 5)(2)(3) = 30 com fração. poU o probkma de dhisâo pos.sufa dois nc~ti..,os... - 1 - 2(- 3)(- 4) = - 4 com fraçào. pois o probbna de cl\isào J)O$$UÍa ci'tco n~. {-IX- 6) ( - 1) .. l com traça.o. pois o problema de divisão possufa dois negatl1"os. (-1) ~ , Capítulo2 Uso das Propriedades Algébricas Neste c«pítulo Compreensão dos diferen tes tipos de símbolos de agrupa1nento Propriedade5 distributivas em adiç6es e multlpllcaçÕ(>s Uso (las 1>r(IJ)rie(la<JC$ co1nut:ilivas ~ 3.S$Oéi..'\liY3.S A álgebra ~i regras ,.Pªta lud~ incl.~>e algumas n?1açõ~ oon~'fflci.onais ~ra.poupar ~empo e esixt<;(). ~ noc~es l~J'nbê1n d1n11nue1n os CQUl\'OCO$ 1nterpreui11Vé1$.poJ:S&'IO ~11i<:M e un~~IS<!Jmente conhecidas.(As regras para ra:o:-roperaçóes como adiçào,9.llbtração. multiplicação e dlvisrto toram abOrdada.~ no capflu)O 1.) Nes:1e capitulo. \'OCê ver..\ a.~ regras para utlli iars.imbolos de .:.grupamento e"' n:aminju.r o:; lert'll0$. Uso de Símbolos de A9rupamento Os símbolo$ de alftupamr:nto ro<1is comuns em álgebra $.ão {do m<1is p<'l'f<I o menO;S comum): Y' Parêntnes () ,... Cokhetff 1 ) ,.... Chaves ( 1 "' Slmbo1o de \'alor absolut.o 1 1 "' Radlcals ..r Y' Barra de fração / O que~ conhecido sobre slmbookis de agrupan1en10 ê que seJa o que lor que exlsUr dentro dtlcs (ou sob ou sobre tles. rio CMO de frações} ttm destr calculado p.rimciro, antes que voei possa uUllzar aque~ resultado para resolver o problema. Ou. caso o que houver no lnterklr n3o for P<'$$ivel de siJn 1>lilic~u;J.o em w n Unico termo. ent3o tudo que houver fOf<' do sín1bolo de agrupamento que multipllc11t um dos termos tem de muJUplicar todo$ ek>s - essa f a proprJe.. d.1de dislrilJutil'.J.. oi.>ôrd.'lido no 1>róxirno seç5o. Q. 16-(4 -2) . R. 10. So1ne o 2 co1n o 4, e então subtràl.a de 16 o 1'(!5Ult<\do: 16; 16-(4 • 2) ,. 16 - 6 • 10 Q. Simplifique 216 - (3 - 7)). R. 20. Primeiro sublra.i~ 7 de 3, e depots sublra l3 o- 4 de 6 1nudru1do--o P<'1"1 um problema de adlçlo. Vocf pode então multlplJcar o 2 pelo I(>.2 16 - (3 - 7)1•2 [ 6 - (- ·l)I • 2 [6 • 41-2 1101-20 2 O Pa_rte 1: Entenda os Conceitos Básicos ___________________ _ ~" {}. R. l- 1-8+ 191 +3 ( 4+2) = 8. Combine aquilo que csti,1er como "alor absoluto e nas chaves primeiro. após com- bine 03 rc::s.ultttdo:s: 1- 1-8+ 191+3( 4•2 ) • I - ' 111+316) =l-11 +18 =19 - 11=8 1. 3(2 - 5) ... . 3. 51812 -(6 - 3)) - 4). 5. 4-51 6 - 3(8 -2)1 = {}. 32 = 30 - 2(3 -4) R. 2, Você dC\'C completar o câlculo no dwomina- dor primeiro antes de dividir 32 pelo resul tado: 32 32 • 32 30 - 2(3 · 4) :I0 - 2 (7} 30 - M 2. •13(6 - 8) · 2(5. 9))- 11 . ~. .fi9 - 3(6 - 8) 6)8 - 4(5-2))-1 6. (9-1)5-4(6) m-f.f-<z .1 • 32 . 2 16 _________________ Capitulo 2: Uso das Propriedades Algébricas 21 Distribuindo a Ri<(ueza A propriedade d/.s trlbutlva é u1ilizada para executar uma operaçJio em tod0$ os tennos dentro de u1n $hn t>ol<> de ;)ftru1>;uneo to. A$ seguinles rttnis denlOflSlrurn o dislribuiç5o de roulliJ)fieei· ção na adição e a distribuição de multiplicação na subtração. a(b • e) = a x b • a .e e a(b - e) = a x b - a x e ~ {}. 3(6- •I)• R. 6. Primeiro distribua o 3 sobre 6 menos 4: 3 (6 - 4) o3 X 6 - 3 X 4 • 18 - 12-6. Su1>- 1raJr <1 ele 6 que depolll para multiplicar seria mais fácil, mas quero demonstrar M duas fonnas de obter a resposta correta: 3 (2) '" 6 . Gerabnentc vocC uliliw " propri-ed<\de distributiva quando não consegue combinar <> <1ue h6 de11tro dc>s 11iml.>(ll<>s de c>rden •• '\- m<"nto . :7. 4(7 • y) . 9. 2 (6 .JSy) • 3 q. 5(•- 1)- R. oa-1 S)(a-Sx t .. Sa- l s s.- 3(x- li) . 10. -8(!-! •1) • 2 4 8 2 2 Pa_rte 1: Entenda os Conceitos Básicos ___________________ _ 11. 4a(x-2)• 12. S(x..i_-2) • 5 Associe Corretamente e A propriedade associativa na mat·cmátka d iz que cm probkmas de" adição e multiplicação você p<>de allerar a ~$$oc;.1çJo ou ordenaçAo de 1~ ou 11\lllS nll1ne.ros e nAo nHJdllr o resultado final. A propricd;.ide õ.t.$SOCi;.itiv;.t; se apresenl;.i <.:Orno il $eg\lir: a • (b • e) • (a • b) #e e a,. (b w e) • (a w b)" e Essa regra~ especifica para ad ição e multiplk:ação, não runciona cm $Ubtraçâo ou divi$âo. Prova.ve l nlf~nle voe~ está pensando enl po r que u tlll:2ar essa regra? Porque ela pode às vezes IOnl;:tr () <.:611.-"l.lk> IJU&.i$ $iltll)IC$. V A<> invés de cW<.:uJ;,r 5 • (-S • 17), mude 1>;,r;, 15 • (-S)I • 17 • O• 17 • 17 V taoinv~s de6{ l ,. 19 } faça(6" Dl9 = ( 1) 19 = 19. 6 6 {}, •I <(S .6) - R. 15. Sonle os termos dentro dos pa~nteses em primeiro hig<i.r. 4 • (5 • 6) • 4 .. 1 J "' 15. Ou você poderia reassociar os tennos e somar 0$ dOi$ pri1ne.il'()S: (4 • 5) • 6 .. 9 • 6 .. 15. {). 4(5 X 6) • R. 120. Multiplique na ordem dada. 4(5 " 6) . 4(30) .. 120. Ou você poderls rea~soclsr e. multiplkar os primeiros doi.s (atores an t('S; (4 • 5)6 . (20)6 . 120. 14. (S - 13) '13 • _________________ Capitulo 2: Uso das Propriedades Algébricas 2 3 15 . 18{&_>< 7} • 9 Comute para Resof'1er A propriedttde comutativa de adição e multiplkac;âo diz que a ordem qlJe você $Orna ou multi- plk-a os no.meros nào tem lmpo rtâncla. Contudo. a ordem de subt raçAo- e dlvis.ão é importante . VC'.>tê obte~ o niesrno rt:$Ull;1d» nu.dliplic.'tndo 3x4 W 4~3. A~ :i1>rese111"' oou10 <'seguir: a• b • b •a e a1tb • b1t<J vexe pode usó.tr c»i'I reg:nt en1 seu 1>rovei to "º fõ.\ier cálculQll m;.tte1ntitic0$. Ncn doi:; c:cemplos a seguir a propriedade ass.oc&attva tennlna o problema antes de mudar a ordem. R. .f. \tocf; realmente ntt.o deseja mult:fpllcar 7 lraçOff sem que seja necessário. Perceba que o :s p r irn eiro e fllt iroo f;tl<.>r t$ $liO 01ullip Uc;1ções invel'$aS um do outro: s •1.• .!- s x l. • .:!.:· cs x D.! ... 1 xj_. ;t 7 5 5 7 57 77 O segundo e ó ltlmo lator !o i Invertido. 17. 8·5-(- 8) • Q. - 3 -16. 303 . R~ 3!~. <) p.rlme!r(> ~ ~~gundo latnr 101 tnv~~o. - 3 • 16 . 303" 16 . (- 3) . 303 • 16 . 1- 3 • 3031 " 16 .. 3()() .. 316 2 !, Pa_rte 1: Entenda os Conceitos Básicos __________________ _ 19.1,x 13>< IO a s 21, Jx 15 x 4x2 : - - 2 3 22, - 6 • 97+66-57 a ________________ Capitulo 2: Uso das Propriedades Algébricas 2 5 Resolução dos Problemas Sobre Propriedades Al9ébricas üta seção forne<e as respostas (c-m n~to) aos problemas prâtico.s dt:"$le capitulo. 3(2 - 5) >14 . 5 3(2 - 5)· 14 · 3(- 3)· 14 · (- 9)· 14 · 5 413(6-8). 2(5 ·9)1- 11 · 77 4 (3 (6-8). 2(5 . 9)1- 11 «13(-2)- 2 (14))- 11 · •1-6 -281 -11 ,. 41221- 11 . ss - 11 . n 5(8{2 -(6 - 3)1- •I • 1so s 18(2 • 6-3)1-•I • s {8(2 • 3 ) -41 0 518(5) -4} ·5140-•I) • 51361·180 /19-3(6-8) ·-.!. 6(8-4(5-2))-1 5 ~19-3(6- 8) •• ~19~-~3~(-~2~) • fü76 • ..ris • 5 • 5 • -1 -- - 6(8-4(5-2)1- 1 6(8 -4(3))-1 6 (8-121- 1 6(-4)- 1 -24-1 -25 s 4- 5 16 - 3(8- 2) 1 · -156 4-516-3 (8 - 2) 1 =4-5 16 -18 1 : 4-51-12 1 - 4 - 5(12) : 4-60 : -56 (9-1)5-4(6} • 8 .fíN - .f4 - ./271 (9 - 1)5 - 4(6) • (8)5 - 24. • ./11 - 2 -./4- ./i77 lii- l4- .f9 40 - 24 " 16 • 16 .. 16 • 8 ---- - 3 -~4 - 3 3- .fí 3 - 1 2 4(7 • y) • 28 ... ,. 4(7 •)')=4,.. 7 • 4 "Y" 28 · 4y -3(x - 11) = - 3x + 33 -3{x- li}- (-J)x - (-3)(11)- -3.<- 33 2 6 Pa_rte 1: Entenda os Conceitos Básicos __________________ _ 2(6• 1Sy) • 4 + 10.Y 3 .!_(6 • 15y) • .!_ x 6 • !_ (15y) • 2 x 6 • 2 x 15 y • 4 • JO y 3 3 3 3 3 -a(t-t·~~ - s -8 (l - .L• 1.) = (-8) ( .L)-(-8) (l) .(- 8) (1.) = -.! • ! -.Ll. 2 •1 8 2 4 8 2 4 8 4à(x - 2)· 4ax - Sa 40(/< - 2) • ("") • x • ("")(2) • 4ar • 8o S(x•,!- 2) .. 5x - 6 5 s(x· f - 2) = 5 • x .. s{~) - 5(2) = 5x .. s 54- 10 ·-4 · 2 - 3 • (-4<2)-3 · -2-3 · - 5 ·Sx••l - IO·Sx-6 16 .. (-16. 47) . 47 16. (-16. 47) . ( 16. (-16)) • 47 . o. 47 . 47 (5 -13)· 13= 5 (S-13)> 13 · (5-(-13)) • 13 • 5 • 1(-13) • 13) · 5 • o. s 18 (t· ~ . 10 18 ( ~"') . (18 • ~ 7 = (IOJ7= 70 (110·6) 1 =1 10 6 (110 X 6)_!. • 110( 6" .!_) • llO(J) • 110 G 6 8•5•(- 8) =S 8. 5. (- 8) · 5. 8· (- 8) . 5. (8 - 8) = 5 · 0 · 5 5 • 47112 .. 470 5 • 47 " 2 .. 5 • 2" 47 · (S" 2)47 ,. 10•47 : 470 _________________ Capitulo 2: Uso das Propriedades Algébricas 2 7 3xl3x l0·78 s 1.• L3' LO • 2• 10 • L3 • (1.• LO) 13 • ( 3 .JO) 13 • 6 • 13 o78 5 5 5 5 -23 · 41 ·23-47 · 8 · 8 - 23 • •17 • 23 - ·17. 8 .. - 23 • 23 • 47- 47 • 8 l x 1Sx4x2 .. 20 2 3 "(-23 . 23). (·17 - 47). 8 • O·O• 8 • 8 _l.x 15x<lx !· .!,x·1x ISx .! ·( i 11 <1V1S x2) . (.!)(is 11 2'\ .. 2 11 10 .. 20 2 32 3 2:1\3 2 31 - 6 . 97 • 66 - 57 . 100 - 6 .97 •66 - 57 ·-6• 66 • 9ii - S7 • (- 6 • 66) • (97 • 57) =60·40: )00 2 8 P•rt1 I: Entenda os Co11ttito1 Búicoa ___________________ _ Capítulo3 Trabalho com Frações Neste upitulo Simplificação e tran$formaçâo de fn>.ÇÕC$ Uso de proporções Operaç~s com fraçOff I lri 1X>dt: tenltu tu.gire tic: ~n<Jer,mM 1:imbêrn po<Je enc@nir de l ren1~.A$ l~Ç6es vier..'u11 1)ôr.\ V ~r.As p~s não costumam comer uma pizua inteira, comprar mobflla com exatos 2 me1ros de comprlmen10 ou u11t1uu um chapéu com unl nllmero ex$.IO de centfme11'0$ <te 1amanho. f'raoôe$5áo uma parte essencial da vida cotid iana. Fraç~s &lo muito importantes em á~bra para resotver um problema e você deve saber como mudar de uma fomla pa.ra outra. Este eapltulo tomece questões suftclentes para que vocl! tr• balhe «:om todas t\S sui.\S frustr.açÕ« com a fração. Conrlersão de Frações Impróprias e Mistas & ~{J. R. Uma Ir.ação impr6pria é aqucla na qual o num~r.idor(o número no topo da fração) tem um valor maior do que o denomlnsdor(o neimero de baixo na fraçAo)-a fração tem valor maklr ern cin1a. As lr<'çôe$ i1oprópri.1~ pode1n t1er exprC$$\LS co100 11ú1nt•rw 1nist<JS, quer diier, <i parte do nómero in teiro indka quantas \'ezes o denominador di\•kle o numerador e a parte da fração indtea o rdt() da di'iislio. Por ~iu~n1p lo, 4 ~é um nU111ero rnl"to. Pi\r A t r&1$IOrm;\r uni:\ frAção iJn1>r61>ri..1 em vm ntln1el"() 1ili$I() d i vi<.LA () 1t umeri\dQr 1>~ki tl er10ril i· na.dor e anote o resto no numerador da nova fraçAo. Para transformar um nOmero m isto em uma f raçAo impróprla mul tiplique o nómero inteiro pelo denominador e adicklne o numerador. Es11e resullado vai ao numerador de uma tração que tem como dtnominador o denominador original. 1'-311.sforme ~em um ntl1nero n1i11to. 8 3 $18• Prin1t iro, divida 29 por 8; 29 La -61 3 5 Então et1crev;,i o n(11oero misto com o quo<:~ ente sendo o nómero inteiro e o rE.'$lO sendo o 11u1i1erador d.tt frA('AO no 1uin1cro r.nisto: 3 . S 8 Q. i ranslonne 6 ~em uma !'ração hnpropria. R. •7'7. Mul tlpllque 6 por 7 e então adicione O & (l\lt f igual O 4T, t3Cl"M 3 fr3('.-i.O t:OIO o resul tado no num erador e o 7 como deno1n lnador: 47 T 3 O Parte 1: Entenda os Conceitos Básicos ___________________ _ 1. Transforme o nó.mero misto em uma fraçào irnprópr i3: 4 ~ J. iran.sforme o nó.mero mi.sto em unla fraçAo hnprõprl3: - S ~ 5. Transforme a fraçAo lm próprLa em um número nli$1(): 1~ 2. Transforme o nómero mlst:o em uma fraçào i1n1>rópri.a: 2 '.113 4. Transforme a fraçAo lmpr6pr\a em unl nó.mero rn is lo: ~ 6. Transforme a fraçào lmpróprLa em um nó.mero 1tliSI(): ?.$1)'\ l _____________________ Capítulo 3 ; Trabalho com Frações 31 Encontrando Frações Equif/alentes Em álgebra as frações são utilizada& em vários tipos de cálc-ulos e a pllcaçõt-s. Em muito d«St$ pr<>çts!S-0$ v<>eé deve lr3n.sf()n t ia r :\$ fr;t(:ÕC$ d e IOrto:ia que e&à.s 1l<>ssuo10 (t mcs1no de11omina<.1or ou de forma que (")as S("jam compatf.,.ei.s «.:om aquilo que você precisa p.ara r~olver o problema. Duas
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