curso-142579-aula-13-v1

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Aula 13
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente)
Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital
(Preparação de A a Z)
Autor:
Guilherme Neves
Aula 13
3 de Agosto de 2020
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
1 
 
Sumário 
1. Distribuição Uniforme Contínua ..................................................................................................... 3 
2. Distribuição Exponencial ............................................................................................................... 9 
3. Distribuição Normal ................................................................................................................... 13 
3.1. Propriedades da Curva Normal ............................................................................................. 18 
3.2. Distribuição Normal Padrão .................................................................................................. 22 
3.3. Aproximação da Binomial pela Normal ................................................................................. 49 
3.4. Soma de Variáveis Aleatórias Normais ................................................................................... 56 
4. Distribuição de Qui-Quadrado (𝝌𝟐) ............................................................................................ 57 
5. Distribuição t de Student ............................................................................................................ 61 
6. Distribuição F de Snedecor ......................................................................................................... 64 
7. Lista de Questões de Concursos sem Comentários ....................................................................... 65 
8. Gabarito sem comentário ........................................................................................................... 81 
9. Lista de Questões de Concursos com Comentários ...................................................................... 82 
Exercícios - Distribuição Uniforma Contínua .................................................................................... 82 
Exercícios – Distribuição Normal ..................................................................................................... 95 
Exercícios – Distribuição de Qui-quadrado .................................................................................... 129 
Exercícios – Distribuição t de Student ........................................................................................... 136 
Exercícios – Distribuição F de Snedecor ........................................................................................ 142 
Considerações Finais ....................................................................................................................... 151 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3 
 
1. DISTRIBUIÇÃO UNIFORME CONTÍNUA 
 
Vimos que a distribuição uniforme discreta é aquela em que todos os valores têm a mesma 
probabilidade de ocorrer. 
Vamos agora estudar a distribuição uniforme para uma variável aleatória contínua. 
Este é o modelo mais simples de variável aleatória contínua. Sua função densidade de 
probabilidade é representada através de um segmento de reta horizontal. É igual a zero em toda 
a reta real, com exceção de um dado intervalo, onde assume um valor constante. Se o intervalo 
em que a função é constante for limitado pelos números “a” e “b”, seu gráfico terá a seguinte 
representação. 
 
 
 
Sua fdp (função densidade de probabilidade) é dada por: 
𝑓(𝑥) = ( 𝑘	𝑠𝑒	𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏0	𝑐𝑎𝑠𝑜	𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 
Lembre-se que a área total sob o gráfico tem que ser igual a 1. 
A altura do retângulo é 𝑘 e a base é a amplitude do intervalo, ou seja, a base é 𝑏 − 𝑎. 
𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 1 
 
(𝑏 − 𝑎) ∙ 𝑘 = 1 
 
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4 
 
𝑘 =
1
𝑏 − 𝑎 
Vimos que o processo para calcular média e variância de variáveis aleatórias contínuas é um 
pouco mais complicado, pois exige o conhecimento de Cálculo Integral. Observe a seguinte 
questão. 
 
 
(FUNDATEC 2018/SEPOG-RS) 
Considere Y uma distribuição uniforme variando entre [-3 e 9]. Qual o valor da variância de Y? 
a) 6. 
b) 36. 
c) 12. 
d) 3. 
e) 24. 
Comentário 
A amplitude do intervalo é 9 − (−3) = 12. Essa é a base do retângulo. 
Assim, para que a área do retângulo seja igual a 1, a altura deverá ser A
AB
. 
Outra forma é apenas memorizar que a constante é A
CDE
= A
FD(DG)
= A
AB
. 
Assim, a fdp é dada por: 
𝑓(𝑥) = H
1
12 𝑠𝑒 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 9
0	𝑐𝑎𝑠𝑜	𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
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Não precisamos do gráfico para calcular a variância. Coloquei apenas para que você possa 
visualizar a situação desta distribuição de probabilidades. 
Podemos calcular a variância utilizando cálculo integral (não se preocupe... daqui a pouquinho 
vou ensinar uma dica bem legal para não precisar ter esse trabalho). 
Começamos calculando a média. 
𝐸(𝑋) = K 𝑥 ∙ 𝑓(𝑥)	𝑑𝑥
M
DM
 
 
𝐸(𝑋) = K 𝑥 ∙
1
12 	𝑑𝑥
F
DG
=
1
12 × K 𝑥	𝑑𝑥
F
DG
 
 
=
1
12 × N
𝑥B
2 O
DG
F
 
 
=
1
12 × N
9B
2 −
(−3)B
2 O 
 
𝜇 = 3 
Agora precisamos calcular 𝐸(𝑋B) para depois aplicar a fórmula da variância. 
 
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𝐸(𝑋B) = K 𝑥B ∙ 𝑓(𝑥)	𝑑𝑥
M
DM
 
 
𝐸(𝑋B) = K 𝑥B ∙
1
12 	𝑑𝑥
F
DG
=
1
12 × K 𝑥
B	𝑑𝑥
F
DG
 
 
=
1
12 × N
𝑥G
3 O
DG
F
 
 
=
1
12 × N
9G
3 −
(−3)G
3 O 
 
=
1
12 ×
(243 + 9) 
 
= 21 
Agora vamos aplicar a fórmula da variância. 
𝜎B = 𝐸(𝑋B) − 𝜇B 
 
𝜎B = 21 − 3B 
 
𝜎B = 12 
 
Muito trabalho, né? 
Pois bem. Esse tipo de questão é para fazer de questão na hora da prova. Para tanto, você 
precisa memorizar as fórmulas para o cálculo da média e da variância de uma distribuição 
uniforme contínua. 
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Se X tem uma distribuição uniforma contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], então: 
 
𝐸(𝑋) =
𝑎 + 𝑏
2 
𝜎² =
(𝑏 − 𝑎)²
12 
Na questão que resolvi, a variável Y é uniformemente distribuída no intervalo [−3,9]. Logo, 
𝐸(𝑋) =
−3 + 9
2 = 3 
𝜎B =
X9 − (−3)YB
12 =
12B
12 = 12 
Só isso! 
Gabarito: C 
Então é isso. Estudamos as distribuições de probabilidade justamente para não perder tempo 
resolvendo integrais. É só memorizar as fórmulas. 
Para calcular probabilidades, devemos calcular as áreas abaixo do gráfico como vimos na aula 
passada. 
Veja outro exemplo. 
(AFC-CGU 2008 ESAF)Sendo X uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [0,1], determine sua 
variância. 
a) 1/2. 
b) 1/3. 
c) 1/4. 
d) 1/6. 
e) 1/12. 
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Comentário 
𝐸(𝑋) =
0 + 1
2 =
1
2 
A variância é dada por: 
𝜎² =
(𝑏 − 𝑎)²
12 =
(1 − 0)²
12 =
1
12 
Gabarito: E 
 
• A função densidade de probabilidade de uma variável uniforme contínua X no 
intervalo [𝑎, 𝑏] é igual a A
CDE
 no intervalo e igual a 0 fora do intervalo. 
• A média é igual ao ponto médio do intervalo, ou seja, 𝐸(𝑋) = EZC
B
. 
• A variância é dada por 𝜎B = (CDE)
[
AB
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 
 
A distribuição exponencial é uma importante distribuição de probabilidade, 
Uma variável aleatória contínua X, que tome todos os valores não-negativos, terá uma 
distribuição exponencial com parâmetro 𝜆 > 0, se a sua função densidade de probabilidade for 
dada por: 
𝑓(𝑥) = 𝜆 ∙ 𝑒D^_, 𝑠𝑒	𝑥 ≥ 0 
𝑓(𝑥) = 0, 𝑠𝑒	𝑥 < 0 
A esperança ou valor médio desta variável aleatória é dada por: 
𝐸(𝑋) =
1
𝜆 
A variância desta variável aleatória é dada por: 
𝑉𝐴𝑅(𝑋) =
1
𝜆B 
Tomemos como exemplo uma variável aleatória contínua X com distribuição exponencial com 
parâmetro igual a 𝜆 = 5. 
Assim, a fdp é dada por: 
𝑓(𝑥) = f5 ∙ 𝑒
Dg_	𝑠𝑒	𝑥 ≥ 0
0						𝑥 < 0
 
 
O gráfico sempre corta o eixo 𝑦 no ponto de ordenada 𝜆. Como estamos usando um exemplo 
em que 𝜆 = 5, então a função corta o eixo y no ponto de ordenada 5. 
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Perceba que o gráfico é decrescente, mas nunca “encosta” no eixo x. Dizemos que o eixo x é 
uma assíntota ao gráfico. 
O interessante é que a área abaixo do gráfico de 0 até infinito é igual a 1. 
K 5 ∙ 𝑒Dg_	𝑑𝑥
M
i
= 1 
Pois bem. Memorize as fórmulas da média e da variância da distribuição exponencial. 
𝐸(𝑋) =
1
𝜆 
𝑉𝐴𝑅(𝑋) =
1
𝜆B 
 
(SEE-RJ 2010/CEPERJ) 
Se X é uma variável aleatória exponencial de parâmetro 𝝀 = 𝟏𝟎, então a expectância de X é igual 
a: 
a) 0,10 
b) 0,20 
c) 0,30 
d) 0,40 
e) 0,50 
Comentário 
Expectância é o mesmo que esperança (valor médio). 
A esperança ou valor médio desta variável aleatória é dada por: 
𝐸(𝑋) =
1
𝜆 
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𝐸(𝑋) =
1
10 = 0,10 
Gabarito: A 
 
Problemas sobre a distribuição exponencial com cálculos de probabilidades só podem ser 
resolvidos utilizando cálculo integral. Se você não é da área de exatas, sugiro que pule este 
assunto. 
 
(IBGE 2010/CESGRANRIO) 
O intervalo de tempo entre a chegada de dois navios a um porto, em horas, segue distribuição 
exponencial com média 1. Se acaba de chegar um navio, qual a probabilidade aproximada de 
que leve mais de uma hora até a chegada do próximo? 
(A) 0,37 
(B) 0,5 
(C) 0,63 
(D) 0,75 
(E) 0,9 
Comentário 
A média é igual a 1. 
𝐸(𝑋) =
1
𝜆 
 
1 =
1
𝜆 
 
𝜆 = 1 
 
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A nossa f.d.p. (função densidade de probabilidade) é dada por: 
 
𝑓(𝑥) = 𝜆 ∙ 𝑒D^_ 
 
𝑓(𝑥) = 1 ∙ 𝑒DA_ 
 
𝑓(𝑥) = 𝑒D_ 
Queremos calcular a probabilidade de x>1. 
 
𝑃(𝑥 > 1) = K 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
M
A
= K 𝑒D_𝑑𝑥
M
A
= [−𝑒D_]AM = 𝑒DA ≅ 0,3678 
Gabarito: A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. DISTRIBUIÇÃO NORMAL 
 
A Distribuição Normal (também conhecida como Distribuição de Gauss ou Distribuição 
Gaussiana) é muito importante em Estatística, definida pela equação 
𝑓(𝑥) =
1
𝜎√2𝜋
∙ 𝑒D
A
B∙t
_Du
v w
[
 
Onde 
• 𝜇 é a média, 
• 𝜎 é o desvio-padrão, 
• 𝜋 = 3,1415926… 
• 𝑒 = 2,718281… (número de Euler) 
Calma... Você não precisará memorizar essa fórmula. Coloquei a título de curiosidade e para 
mostrar um fato: a distribuição normal só depende da média e do desvio padrão (ou da variância 
se preferir). Como o desvio padrão será elevado ao quadrado na fórmula, diremos que a 
distribuição normal depende da média e da variância. 
Apesar de não parecer, a distribuição normal possui muitas características matemáticas muito 
desejáveis. Além disso, seu gráfico tem uma forma de “sino”, cuja simetria favorece como 
escolha para muitos modelos populacionais. Ademais, o Teorema do Limite Central afirma que 
sob certas condições, a distribuição normal pode ser usada como aproximação para muitos tipos 
de distribuições em grandes amostras. 
Na aula passada, resolvemos vários problemas calculando áreas sobre os gráficos. Os problemas 
envolvendo a distribuição normal serão bem parecidos. Só que aqui utilizaremos tabelas 
fornecidas pelas provas. Este assunto é muito cobrado nas provas e, com o devido treino, se 
tornará muito fácil. 
Como acabamos de falar, a distribuição normal é bem definida quando são fornecidos a média e 
a variância. 
Logo, 𝑓(𝑥) depende de 𝜇 e de 𝜎B, que são os parâmetros da Distribuição Normal. 
Indicaremos 𝑁(𝜇, 𝜎B) quando X tem uma distribuição normal, com média 𝜇 e variância 𝜎B. 
 
Exemplo: N(4,9) significa uma distribuição normal com média 4 e variância 9. 
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A distribuição N(0,1) de média 0 e variância 1 é muito importante e recebe um nome 
especial: distribuição normal padrão ou distribuição normal reduzida. 
 
Vamos apenas afirmar que a distribuição normal serve como uma excelente aproximação para 
grande classe de distribuições, que têm enorme importância prática. 
Além disso, esta distribuição apresenta algumas propriedades matemáticas muito desejáveis, que 
permitem concluir importantes resultados teóricos. 
 
Genericamente, o gráfico da distribuição normal tem o seguinte aspecto: 
 
 
O gráfico se apresenta em forma de um sino, perfeitamente simétrica em relação à ordenada 
principal (𝜇 = 𝑀{ = 𝑀|). 
Estes fatos são importantíssimos: O GRÁFICO REPRESENTATIVO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL É 
SIMÉTRICO EM RELAÇÃO À MÉDIA!!! Ademais, em toda distribuição normal, a média, a moda e 
a mediana são iguais. 
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Isto significa que TUDO QUE ACONTECER DO LADO ESQUERDO, também acontecerá do 
LADO DIREITO!! Isso é muito importante. 
É óbvio que a função matemática vista anteriormente mostra uma função teórica, e que na 
prática os fenômenos estudados dificilmente seguiriam exatamente esta função. Mas o que 
buscamos, ou ainda, o objetivo deste tópico é tentar estudar este fenômeno de uma maneira 
mais próxima possível da realidade. 
Vimos anteriormente que a distribuição normal depende exclusivamente da média e do desviopadrão. São eles que vão influenciar “o formato do gráfico”. 
 
Vamos dar uma olhada no gráfico da distribuição normal padrão (ou reduzida). Lembrando que 
esta distribuição tem média 0 e variância igual a 1. 
 
 
A média é uma medida de posição. É ela que vai determinar se o gráfico está “mais para a 
esquerda ou mais para a direita”. Ou seja, suponha que o desvio padrão é constante: se 
aumentarmos a média, o gráfico se desloca para a direita; se diminuirmos a média, o gráfico se 
desloca para a esquerda. 
O gráfico que vimos acima, tem média 0 e variância igual a 1. 
Vamos agora construir um gráfico com média 2 e variância 1. Perceba que o formato do gráfico 
continua exatamente o mesmo. A única coisa que vai mudar é que o gráfico não vai ficar 
centrado no 0, vai ficar centrado no 2, que é a média. 
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
-3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
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O desvio padrão é uma medida de dispersão, de afastamento. O desvio padrão 𝜎 determina a 
abertura, visto que todas as curvas normais têm uma área total igual a 1 ou 100%. 
Se diminuirmos o desvio padrão, a distribuição terá um menor grau de afastamento e o gráfico se 
concentrará em torno da média (B). Se aumentarmos o desvio padrão, a distribuição será mais 
dispersa, e o gráfico se afastará da média (A). 
 
Vamos comparar os gráficos de duas distribuições normais com a mesma média (média = 0) e 
com variâncias diferentes. O primeiro gráfico terá variância igual a 1 e o segundo gráfico terá 
variância igual a 4. 
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Observe que o primeiro gráfico é bem mais concentrado em torno da média. É por isso que ele 
tem menor variância. 
Vamos agora aprender e algumas propriedades muito importantes da distribuição normal 
(independente da sua média/variância). 
 
 
 
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3.1. Propriedades da Curva Normal 
 
• A função é simétrica em torno de 𝜇 e área abaixo do gráfico é igual a 1. A área à 
esquerda da média é igual a 0,5 e a área à sua direita também é igual a 0,5 (por isso a 
média é igual à mediana). 50% dos valores estão abaixo da média e 50% dos valores estão 
acima da média. 
 
 
 
 
• A função tem um ponto de máximo para 𝑥 = 𝜇, por isso a média é igual à moda. 
 
• A função é duplamente assintótica, ou seja, a medida que seguimos ao longo do eixo x, o 
gráfico se aproxima cada vez mais do eixo x, porém nunca tocando-o. 
 
• 68,27% dos elementos estão entre os valores 𝝁 ± 𝝈, 95,45% dos elementos estão entre os 
valores 𝝁 ± 𝟐𝝈 e 99,73% dos elementos estão entre os valores 𝝁 ± 𝟑𝝈 (esses valores são 
tabelados). 
 
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Professor, não entendi essa última propriedade!! 
Vejamos com exemplos numéricos. Vamos considerar uma distribuição normal com média 3 e 
desvio padrão igual a 2, ou seja, 𝜇 = 3 e 𝜎 = 2. 
Assim, 
𝜇 + 𝜎 = 3 + 2 = 5 
𝜇 − 𝜎 = 3 − 2 = 1 
Ora, nós dissemos que 68,27% dos valores estão entre 𝜇 ± 𝜎. No nosso exemplo a área entre os 
números 1 e 5 é igual a 68,27%. 
 
 
 
Se fosse a distribuição normal padrão (aquela com média 0 e desvio padrão igual a 1), diríamos 
que a área compreendida entre os números -1 e 1 é igual a 68,27%. 
Também afirmamos que a área compreendida entre 𝜇 ± 2𝜎 é igual a 95,45%. 
Voltemos ao nosso exemplo da distribuição normal de média 3 e desvio padrão 2. 
Neste caso, 
𝜇 + 2𝜎 = 3 + 2 × 2 = 7 
𝜇 − 2𝜎 = 3 − 2 × 2 = −1 
Isto significa que a área compreendida entre os números −1	𝑒	7 é igual a 95,45%. 
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20 
 
 
 
Finalmente, afirmamos que a área compreendida entre 𝜇 ± 3𝜎 é igual a 99,73%. 
Voltemos ao nosso exemplo da distribuição normal de média 3 e desvio padrão 2. 
Neste caso, 
𝜇 + 3𝜎 = 3 + 3 × 2 = 9 
𝜇 − 3𝜎 = 3 − 3 × 2 = −3 
Isto significa que a área compreendida entre os números −3	𝑒	9 é igual a 99,73%. 
 
 
 
Na distribuição normal padrão (ou reduzida) dizemos que a área entre os números −1	𝑒	1 é igual 
a 68,27%; que a área entre os números −2	𝑒	2 é igual a 95,45% e que a área entre os números 
−3	𝑒	3 é igual a 99,73%. 
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(PETROBRAS 2010/CESGRANRIO) 
Qual dos tipos de distribuição a seguir corresponde a uma distribuição de variável aleatória 
contínua, aplicada frequentemente em situações em que valores extremos são menos prováveis 
do que valores moderados? 
(A) Binomial. 
(B) Normal. 
(C) de Poisson. 
(D) Geométrica. 
(E) Hipergeométrica. 
Comentário 
As distribuições binomial, Poisson, Geométrica e Hipergeométrica são todas discretas. A única 
distribuição contínua, dentre as alternativas, é a normal. Pelo formato do seu gráfico, vemos que 
valores extremos são menos prováveis do que valores moderados. 
Gabarito: B 
 
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3.2. Distribuição Normal Padrão 
 
Já falei que representamos as distribuições normais com o símbolo 𝑁(𝜇; 𝜎B) e que a distribuição 
normal com média 0 e variância 1, 𝑁(0,1) é chamada de distribuição normal padrão ou 
distribuição normal reduzida. 
A grande maioria dos problemas sobre distribuição normal envolve cálculos de áreas sobre o 
gráfico. Só que a fdp da distribuição normal é bastante complicada de trabalhar. Então os 
estatísticos resolveram criar uma tabela que fornecesse as áreas abaixo dos gráficos da 
distribuição normal. 
Nós até já vimos algumas áreas. 
Na distribuição normal padrão (ou reduzida) dizemos que a área entre os números −1	𝑒	1 é igual 
a 68,27%; que a área entre os números −2	𝑒	2 é igual a 95,45% e que a área entre os números 
−3	𝑒	3 é igual a 99,73%. 
Bom, na sua prova virá uma tabela parecida com a seguinte (ou alguma variação/parte dela). 
 
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Vamos aprender a trabalhar com essa tabela antes de começar a resolver as questões. 
 
Exemplo: Calcule a probabilidade de uma variável aleatória normal padrão assumir valores entre 
1 e 1,5. 
Comentário 
Ora, sabemos que a variável aleatória normal padrão possui média 0 e desvio padrão 1 (desvio 
padrão unitário). Eis a área que queremos calcular. 
 
O que essa tabela fornece é a probabilidade de X estar entre zero eZ0 (está descrito no topo da 
tabela). É importante olhar o que a tabela fornece. É possível construí-la de diversas formas, 
trazendo informações diferentes. Veremos alguns outros exemplos de tabelas na resolução das 
questões. 
A tabela nos fornece a área compreendida entre os números 0 e Z. Assim, se procurarmos o 
número 1,00 na tabela, ela fornecerá a área entre os números 0 e 1,00. 
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À esquerda temos a parte inteira e a primeira casa decimal de Z. Acima temos a segunda casa 
decimal de Z. Concluímos que a área entre 0 e 1,00 é igual a 0,3413 (área vermelha abaixo). 
 
Vamos agora olhar o outro valor na tabela: 1,50. 
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Assim, concluímos que a área compreendida entre 0 e 1,5 é igual a 0,4332 (área verde a seguir). 
 
 
 
Então, para obter a área entre 1 e 1,5, basta subtrair a área verde da vermelha. Ficamos com: 
0,4332 - 0,3413 = 0,0919=9,19%. 
A variável assume valores entre 1 e 1,5 com probabilidade igual a 9,19%. 
 
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Exemplo: Calcule a probabilidade de uma variável aleatória normal padrão assumir valores 
menores que −2. 
Comentário 
Ora, sabemos que a distribuição normal é simétrica em relação à média. Assim, calcular a 
probabilidade de a variável assumir valores menores que −2 é o mesmo que calcular a 
probabilidade de a variável assumir valores maiores que 2. Veja o gráfico a seguir. 
 
Bom, sabemos que a área à direita do zero é igual a 0,5 (temos 50% à esquerda do zero e 50% à 
direita do zero). A tabela que estamos trabalhando nos fornece a área entre o 0 e 2. 
Olhe a tabela e verifique que a área entre o 0 e 2 é igual a 0,4772 (região azul). 
 
Assim, a área pedida é igual a 0,5 – 0,4772 = 0,0228 = 2,28%, ou seja, a área vermelha é toda a 
área à direita do zero (0,5) menos a área da região azul. 
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Vocês perceberam que até agora só trabalhamos com a distribuição normal padrão (ou reduzida). 
Isso porque a tabela que é fornecida em todas as provas de estatística sempre se refere a essa 
distribuição. 
Pois bem, vamos agora aprender como utilizar a tabela da distribuição normal reduzida mesmo 
quando a distribuição normal do problema possui média diferente de 0 e variância diferente de 
1. 
 
Exemplo: Considere uma variável aleatória normal com média 3 e desvio padrão 2. Calcule a 
probabilidade de essa variável assumir valores entre 4 e 7. 
Comentário 
Graficamente, o que queremos é o seguinte: 
 
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29 
 
O problema é que não temos uma tabela que forneça áreas em uma distribuição normal de 
média 3 e desvio padrão 2. 
Nós vamos agora aprender a “transformar” uma distribuição normal qualquer em uma 
distribuição normal reduzida. 
Queremos saber a área entre os números 4 e 7. Devemos nos perguntar: 
- O número 4 desta distribuição corresponde a que número na distribuição normal padrão? 
- O número 7 desta distribuição corresponde a que número na distribuição normal padrão? 
Bom, existe uma fórmula para fazer esta correspondência. Ei-la: 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
Onde X é o número que queremos “transportar”, 𝜇 é a média e 𝜎 é o desvio padrão. 
Vamos substituir os nossos valores: 
𝑍 =
𝑋 − 3
2 
Vamos agora substituir os valores 4 e 7 para descobrir os seus correspondentes. 
𝑍 =
4 − 3
2 = 0,5 
Isto significa que o número 4 corresponde ao 0,5 da distribuição normal padrão. 
 
𝑍 =
7 − 3
2 = 2,0 
Isto significa que o número 7 corresponde ao número 2,0 da distribuição normal padrão. 
 
Conclusão: Calcular a área entre os números 4 e 7 (na distribuição normal de média 3 e desvio 
padrão 2) é o mesmo que calcular a área entre os números 0,5 e 2,0 na distribuição normal 
padrão. Em outras palavras: as áreas abaixo são iguais!!! 
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30 
 
 
 
Sensacional, não? 
Agora é só ir lá na tabela da distribuição normal reduzida e calcular a área. 
Ora, a tabela diz que a área entre o 0 e 0,5 é igual a 0,1915. 
A área entre 0 e 2 é igual a 0,4772. 
Como queremos a área entre 0,5 e 2,0, basta subtrair 0,4772 – 0,1915 = 0,2857 = 28,57%. 
Resposta: A probabilidade de uma variável aleatória com média 3 e desvio padrão 2 assumir 
valores entre 4 e 7 é igual a 28,57%. 
 
 
 
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(CESPE 2010/SAD-PE) 
Considere que o tempo de espera por atendimento X em certo local siga uma distribuição 
normal com média igual a 15 minutos. Com base nessas informações, assinale a opção correta 
acerca de probabilidades. 
A) P( X = 15 minutos) > 0,45. 
B) P(X < 10 minutos) = P(X > 20 minutos). 
C) P(X > 15 minutos) < 0,48. 
D) P(X > 20 minutos) < P(X > 25 minutos). 
E) P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos). 
Comentário 
Como o problema nos disse que a média é igual a 15 minutos, temos então o seguinte gráfico: 
 
Analisemos, agora, cada uma das alternativas: 
A) P(X =15 minutos) > 0,45 
FALSO. Ao contrário de uma variável aleatória discreta, uma variável aleatória contínua pode 
assumir qualquer valor dentro de um intervalo definido de valores. 
Desta maneira, para distribuições de probabilidade, não se consegue enumerar todos os 
possíveis valores de uma variável aleatória contínua com os valores de probabilidades 
correspondentes. Para definir uma função de probabilidade contínua, é necessário utilizar 
critérios diferentes das variáveis discretas, isto porque X deverá estar compreendido entre dois 
valores diferentes (em se considerando uma variável aleatória contínua), sendo que em geral a 
probabilidade de x assumir um determinado valor é 0. Portanto, a probabilidade de a variável X 
ser igual a 15 minutos é igual a 0. Portanto a letra A) é falsa!! 
No caso de variáveis contínuas, as probabilidades são especificadas em termos de intervalos, 
pois a probabilidade associada a um número específico é zero. 
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B) P(X < 10 minutos) = P(X > 20 minutos). 
VERDADEIRO!!! 
Para analisar esta alternativa lembre-se: A DISTRIBUIÇÃO NORMAL É SIMÉTRICA!! Repita!! A 
DISTRIBUIÇÃO NORMAL É SIMÉTRICA!! Simétrica em relação a quem?? Simétrica em relação à 
média!!! 
Ou seja, o que acontece à esquerda da média é idêntico ao que acontece à direita. E o que isso 
tem a ver com a questão? 
Ora, 10 está a 5 unidades à esquerda da média enquanto que 20 está a 5 unidades à direita da 
média. Então, a probabilidade de X ser menor do que 10 é igual a probabilidade de X ser maior 
do 15. Veja no gráfico...C) P(X > 15 minutos) < 0,48. 
Falsa 
A média centra a curva e visto que todas as curvas normais têm uma área total igual a 1 ou 100%, 
a probabilidade de X ser maior do que 15 (média) é exatamente 50% = 0,50 > 0,48. 
 
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33 
 
D) P(X > 20 minutos) < P(X > 25 minutos). Falsa 
 
Claramente no gráfico verificamos que a probabilidade de X ser maior do que 20 é maior do que 
a probabilidade de X ser maior do que 25. No gráfico, a probabilidade de X ser maior do que 20 
é a soma da área vermelha com a área cinza, enquanto que a probabilidade de X ser maior do 
que 25 é apenas a área cinza. 
E) P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos). Falsa 
Ora, dizer que P(X < 5 minutos) = 1 – P(X > 20 minutos) é o mesmo que dizer que P(X < 5 
minutos) + P(X > 20 minutos) = 1 =100%. 
 
 
Claramente percebemos que esta alternativa é falsa, pois a área total sob o gráfico é que é igual 
a 1. 
Gabarito: B 
 
 
 
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34 
 
(FEPESE 2008/Prefeitura de Florianópolis) 
Assinale a alternativa que completa corretamente a frase abaixo. A distribuição normal de 
probabilidade é caracterizada por: 
a) ter um formato de sino, com uma área total sob a curva igual a 1. 
b) ser tipicamente uma distribuição discreta de probabilidade. 
c) ter pontos de inflexão da curva quando o valor de variável é igual à média 
mais ou menos dois desvios-padrão. 
d) ter a média e a mediana iguais e superiores à moda quando a distribuição normal é assimétrica 
à direita. 
Comentário 
A) Esta alternativa é claramente verdadeira como vimos na exposição teórica. 
B) A distribuição normal é uma distribuição contínua. Falso. 
C) Eu ainda não tinha falado sobre a propriedade do ponto de inflexão. A função tem dois 
pontos de inflexão para 𝑥 = 𝜇 ± 𝜎. O ponto de inflexão é aquele em que a curva muda de 
concavidade. Em torno da média, o gráfico tem concavidade voltada para baixo. Nas caudas, a 
concavidade está voltada para cima. O ponto em que a concavidade muda é denominado ponto 
de inflexão. Falso. 
 
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D) Falso, pois a distribuição normal é sempre simétrica. A média, a moda e a mediana são 
sempre iguais. 
Gabarito: A 
 
(FGV 2008/SAD-PE) 
A respeito de distribuição normal de probabilidades, analise as afirmativas a seguir: 
I. Se uma variável tem distribuição normal com média 𝝁 e desvio padrão 𝝈, então o intervalo 
(𝝁 − 𝟐𝝈; 𝝁 + 𝟐𝝈) contém cerca de 95% de seus valores possíveis. 
II. Se uma variável aleatória X tem distribuição normal com média 𝝁 e variância 𝝈𝟐, então a 
variável 𝒁 = (𝑿 − 𝝁)/𝝈	tem distribuição normal com média 0 e variância 1. 
III. Se uma variável tem distribuição normal de probabilidades, então o valor de sua média é 
igual ao de sua mediana. 
IV. Se uma variável X tem distribuição normal com média 0,1, então a probabilidade de que X 
assuma um valor negativo é maior do que 50%. 
Assinale: 
(A) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. 
(B) se somente as afirmativas II e IV estiverem corretas. 
(C) se somente as afirmativas I, II e III estiverem corretas. 
(D) se somente as afirmativas II, III e IV estiverem corretas. 
(E) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
Comentário 
I. Verdadeiro. Vimos anteriormente que 68,27% dos elementos estão entre os valores 𝜇 ± 𝜎, 
95,45% dos elementos estão entre os valores 𝜇 ± 2𝜎 e 99,73% dos elementos estão entre os 
valores 𝜇 ± 3𝜎. 
II. Sempre que aplicamos a seguinte fórmula 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
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36 
 
 
transformamos a distribuição dada em uma distribuição normal padrão que possui média 0 e 
variância 1. Verdadeiro. 
III. Vimos na exposição teórica que em toda distribuição normal, a média, a moda e a mediana 
são iguais. Verdadeiro. 
IV. Falso. A média é igual a 0,1. Assim, a probabilidade de a variável assumir valores negativos 
(menor que 0) é menor que 50% (isto porque 0 está à esquerda da média). 
Gabarito: C 
 
(CESGRANRIO 2010/IBGE) 
Seja H a variável aleatória que representa as alturas dos cidadãos de certo país. Sabe-se que H 
tem distribuição normal com média 1,70 m e desvio padrão 0,04 m. A probabilidade de que um 
cidadão desse país tenha mais do que 1,75 m de altura é, aproximadamente, 
(A) 9,9% 
(B) 10,6% 
(C) 22,2% 
(D) 39,4% 
(E) 40,6% 
Comentário 
Como o problema nos disse que a média é igual a 1,70 m, temos então o seguinte gráfico: 
 
Queremos calcular a probabilidade de que um cidadão desse país tenha mais do que 1,75 m de 
altura, ou seja, queremos calcular a seguinte área: 
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37 
 
 
Se padronizarmos a variável H, ou seja, subtrairmos a média e dividirmos pelo desvio-padrão, 
obteremos: 
𝑍 =
𝐻 − 𝜇
𝜎 =
1,75 − 1,70
0,04 = 1,25 
 
Resumindo: Calcular a probabilidade de que um cidadão desse país tenha mais do que 1,75 m 
de altura na distribuição normal com média 1,70 m e desvio padrão 0,04 m é o mesmo que 
calcular a probabilidade de que Z > 1,25 em que Z é a distribuição normal padronizada (média 
zero e variância igual a 1). 
Assim, 𝑃(𝐻 > 1,75) = 𝑃(𝑍 > 1,25). 
Devemos obter a probabilidade através da tabela fornecida na prova: 
 
 
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A tabela diz que 𝑃(0 < 𝑍 < 1,25) = 0,39435. Sabemos que a probabilidade de Z > 0 é igual a 0,5 
(isso porque a distribuição normal é simétrica e a área total é igual a 1. 
Pense assim: A área total sob a curva é igual a 1. Logo, a probabilidade de a variável estar acima 
da média é igual a 0,5. 
 Assim, a probabilidade pedida é: 
 
 
𝑃(𝑍 > 1,25) = 𝑃(𝑍 > 0) − 𝑃(0 < 𝑍 < 1,25) 
 
= 0,5 − 0,39435 
 
= 0,10565 = 10,565% 
 
Gabarito: B 
 
(CESGRANRIO 2004/Prefeitura de Manaus) 
Se X tem distribuição normal com média 4 e variância 9, a probabilidade de que X > 5, 
aproximadamente, vale: 
a) 0,25 
b) 0,28 
c) 0,33 
d) 0,37 
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e) 0,46 
Comentário 
Se a variância é igual a 9, então o desvio-padrão é igual a 3 (basta calcular a raiz quadrada). 
Para calcular a probabilidade de que X > 5, vamos utilizar a distribuição normal padronizada. 
Vamos calcular o valor correspondente de X = 5 na distribuição normal padronizada. Para 
padronizar basta subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 =
5 − 4
3 =
1
3 ≅ 0,33 
 
Em outras palavras: calcular a probabilidade de que X > 5 é o mesmo que calcular a 
probabilidade de que Z > 0,33. 
𝑃(𝑋 > 5) = 𝑃(𝑍 > 0,33) 
Temos que utilizar a tabela fornecida na prova. 
 
 
A tabela nos informa que a probabilidade de a variável estar no intervalo 0 < Z < 0,33 é igual a 
0,1297. Estamos interessados nos valores maioresdo que 0,33. Sabemos que a probabilidade de 
Z ser maior do que 0 é igual a 0,5 (já que a probabilidade total é 1,0 e que a distribuição normal 
é simétrica em relação à média. Assim, a probabilidade pedida é 
𝑃(𝑍 > 0,33) = 0,50 − 0,1297 = 0,3703 
Gabarito: D 
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(CESGRANRIO 2007/TCE-RO) 
O gasto médio dos clientes de um posto de gasolina é uma variável aleatória normal com média 
R$ 100,00 e desvio padrão R$ 25,00. Os 10% dos que mais consomem recebem um tratamento 
VIP, incluindo lavagem de carroceria, calibragem nos pneus e verificação do óleo e da água. 
Quanto você precisa gastar nesse posto de gasolina, em reais, para obter tratamento VIP? 
(A) 158,00 
(B) 149,00 
(C) 141,00 
(D) 132,00 
(E) 128,00 
Comentário 
Temos uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 25. Queremos calcular o 
valor X tal que 10% dos valores sejam superiores a X. Em suma, queremos calcular X de tal forma 
que a área à direita de X seja 10%. 
 
A prova forneceu uma tabela das áreas da distribuição normal padronizada. De acordo com a. 
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41 
 
 
tabela P(Z>1,28) = 0,10 
 
Devemos achar o correspondente de 1,28 (da distribuição normal padrão) na distribuição do 
gasto médio dos clientes do posto de gasolina. 
Usaremos a fórmula de padronização: 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
1,28 =
𝑋 − 100
25 
𝑋 = 132 
Gabarito: D 
 
 
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42 
 
(SEE-RJ 2010/CEPERJ) 
Numa escola, têm-se as seguintes informações sobre os salários de dois professores: 
 
Baseando-se nos dados acima, a média e o desvio padrão para os salários da escola serão, 
respectivamente de: 
a) R$ 500,00 e R$ 100,00 
b) R$ 1.000,00 e R$ 200,00 
c) R$ 1.000,00 e R$ 100,00 
d) R$ 1.150,00 e R$ 100,00 
e) R$ 1.150,00 e R$ 200,00 
Comentário 
O enunciado da questão está incompleto. Eles deveriam dizer que os salários dos professores 
seguiam uma distribuição normal, etc. 
A padronização Z é feita de acordo com a seguinte fórmula: 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
Onde 𝜇 é a média e 𝜎 é o desvio padrão. 
Vamos formar duas equações a partir dos dados da tabela: 
1.400 − 𝜇
𝜎 = 2 
900 − 𝜇
𝜎 = −0,5 
A primeira equação pode ser arrumada da seguinte forma: 
2𝜎 = 1.400 − 𝜇 
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43 
 
𝜇 = 1.400 − 2𝜎 
A segunda equação pode ser arrumada da seguinte forma: 
−0,5𝜎 = 900 − 𝜇 
𝜇 = 900 + 0,5𝜎 
Já que 𝜇 = 1.400 − 2𝜎 e 𝜇 = 900 + 0,5𝜎, podemos afirmar que: 
900 + 0,5𝜎 = 1.400 − 2𝜎 
0,5𝜎 + 2𝜎 = 1.400 − 900 
2,5𝜎 = 500 
𝜎 =
500
2,5 
𝜎 = 200 
Como 𝜇 = 1.400 − 2𝜎, então: 
𝜇 = 1.400 − 2 ∙ 200 
𝜇 = 1.400 − 400 
𝜇 = 1.000 
A média é igual a R$ 1.000,00 e o desvio padrão é igual a R$ 200,00. 
Gabarito: B 
 
 
 
 
 
 
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44 
 
Instruções: Para resolver as duas próximas questões utilize as informações abaixo referentes à 
distribuição normal padrão Z: 
 
(FCC 2010/SEFAZ-SP) 
Os salários dos empregados de uma determinada categoria profissional apresentam uma 
distribuição normal com média igual a R$ 1.200,00 e desvio padrão igual a R$ 160,00. A 
proporção dos empregados com salários superiores a R$ 1.000,00 e inferiores a R$ 1.520,00 é 
a) 87% 
b) 89% 
c) 92% 
d) 96% 
e) 98% 
Comentário 
Para calcular a probabilidade de que 1.000 < X < 1.520 vamos utilizar a distribuição normal 
padrão. Vamos calcular o valor correspondente de X = 1.000 e X = 1.520 na distribuição normal 
padronizada. Para padronizar basta subtrair a média e dividir pelo desvio-padrão. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
𝑍A =
1.000 − 1.200
160 = −1,25 
𝑍B =
1.520 − 1.200
160 = 2 
Ou seja, calcular a área entre 1.000 e 1.520 na distribuição normal do problema é o mesmo que 
calcular a área entre -1,25 e 2 na distribuição normal padrão. 
𝑃(1.000 < 𝑋 < 1.520) = 𝑃(−1,25 < 𝑍 < 2) 
Ora, mas calcular a área de -1,25 até 2 é o mesmo que calcular a área de -1,25 até 0 e de 0 até 2. 
𝑃(−1,25 < 𝑍 < 2) = 𝑷(−𝟏, 𝟐𝟓 < 𝒁 < 0) + 𝑃(0 < 𝑍 < 2) 
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45 
 
Como a distribuição normal é simétrica, a área de -1,25 até 0 é igual à área de 0 até 1,25. 
𝑃(−1,25 < 𝑍 < 2) = 𝑷(𝟎 < 𝒁 < 1,25) + 𝑃(0 < 𝑍 < 2) 
Agora é só pegar os valores dados na tabela: 
𝑃(−1,25 < 𝑍 < 2) = 0,39 + 0,48 = 0,87 = 87% 
Portanto: 
𝑃(1.000 < 𝑋 < 1.520) = 87% 
Gabarito: A 
 
(FCC 2010/SEFAZ-SP) 
A distribuição das medidas dos cabos fabricados por uma indústria é considerada normal. Sabe-
se que 7% dos cabos medem no máximo 2,4 metros e apenas 2% medem no mínimo 16,4 
metros. A média das medidas destes cabos é igual a 
a) 7,8 metros 
b) 8,0 metros 
c) 8,2 metros 
d) 8,4 metros 
e) 9,4 metros 
Comentário 
Graficamente, temos o seguinte problema: 
 
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==193336==
 
 
46 
 
E foi fornecida a seguinte tabela: 
 
Já que a probabilidade de x estar entre a média e 16,4 é 48%, então 16,4 corresponde a 2,00 na 
distribuição normal padronizada. 
Para padronizar os valores devemos subtrair a média e dividir pelo desvio padrão. 
16,4 − 𝑋
𝜎 = 2 
 
2𝜎 = 16,4 − 𝑋 
 
𝑋 = 16,4 − 2𝜎 
A tabela forneceu valores à direita da média. O problema é que 2,4 está à esquerda da média. 
Aproveitamos o fato de que a distribuição normal é simétrica em relação à média. Então o 2,4 da 
distribuição X corresponde a (-1,50) da distribuição normal padronizada. 
2,4 − 𝑋
𝜎 = −1,5 
−1,5𝜎 = 2,4 − 𝑋 
 
𝑋 = 2,4 + 1,5𝜎 
 
Como 𝑋 = 16,4 − 2𝜎	𝑒	𝑋 = 2,4 + 1,5𝜎, então: 
1,5𝜎 + 2𝜎	 = 16,4 − 2,4 
3,5𝜎	 = 14 
𝜎	 = 4 
Como 𝑋 = 2,4 + 1,5𝜎, então 
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47 
 
𝑋 = 2,4 + 1,5 ∙ 4 = 8,4 
Gabarito: D 
 
(FCC 2011/COPERGAS) 
O tempo que um sistema computacional leva para executar certa tarefa é uma variável aleatória 
com distribuição normal com média 100 segundos e desvio padrão 10 segundos. Se a tarefa é 
realizada 3 vezes, a probabilidade de ela ser executada em mais do que 108,4 segundos em 
pelo menos uma dessas 3 vezes é: 
Dado: Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,84) = 0,8; P(Z < 1,96) = 0,975 
(A) 0,356. 
(B) 0,488. 
(C) 0,512. 
(D) 0,536. 
(E) 0,544. 
Comentário 
Essa questão é bem interessante porque mistura distribuição normal com a distribuição binomial. 
Existe uma tarefa que vai ser realizada 3 vezes. Queremos saber a probabilidade de ela ser 
executada em mais do que 108,4 segundos em pelo menos uma dessas 3 vezes. 
Vamos considerar que executar a tarefa em mais do que 108,4 segundos é um sucesso.Sua 
probabilidade é p. 
Queremos então executar uma tarefa 3 vezes e obter pelo menos um sucesso. Assim, queremos 
calcular a seguinte probabilidade: 
𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) 
Ora, como k só pode ser 0,1,2 ou 3, então é bem mais fácil calcular 𝑃(𝑋 = 0) e dizer que: 
𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) 
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48 
 
Ou seja, a probabilidade de obter pelo menos um sucesso é igual a 1 menos a probabilidade de 
obtermos nenhum sucesso (X=0). 
Pois bem, a conta que queremos fazer é a seguinte: 
1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − t30w ∙ 𝑝
i ∙ 𝑞G = 1 − 𝑞³ 
Só precisamos agora calcular p e q. E como vamos fazer isso? 
Ora, utilizando as informações do texto. 
“O tempo que um sistema computacional leva para executar certa tarefa é uma variável aleatória 
com distribuição normal com média 100 segundos e desvio padrão 10 segundos.” 
Eu disse que p é a probabilidade de executar a tarefa em mais do que 108,4 segundos. 
𝑝 = 𝑃(𝑌 > 108,4) 
Vamos utilizar a padronização. 
𝑍 =
𝑌 − 𝜇
𝜎 =
𝑌 − 100
10 =
108,4 − 100
100 = 0,84 
Ou seja, a probabilidade de a variável normal do problema ser maior que 108,4 é igual à 
probabilidade de a variável normal padrão ser maior que 0,84. 
O problema informou que P(Z < 0,84) = 0,8, ou seja, a área abaixo de 0,84 é igual a 0,8. Então a 
área acima de 0,84 é igual a 0,2 (pois a área total é igual a 1. 
Assim, 
𝑝 = 0,2 
Consequentemente, 𝑞 = 0,8. 
A probabilidade pedida será: 
𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 𝑞³ = 1 − 0,8³ = 0,488 
Poderíamos também ter calculado a soma efetivamente. 
𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) = t31w ∙ 𝑝
A ∙ 𝑞B + t32w ∙ 𝑝
B ∙ 𝑞A + t33w ∙ 𝑝
G ∙ 𝑞i = 
 
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49 
 
= 3𝑝𝑞B + 3𝑝B𝑞 + 𝑝G = 3 ∙ 0,2 ∙ 0,8B + 3 ∙ 0,2B ∙ 0,8 + 0,2G = 0,488 
Gabarito: B 
 
3.3. Aproximação da Binomial pela Normal 
 
O Teorema do Limite Central diz que a soma de um número muito grande de variáveis aleatórias 
independentes tem distribuição aproximadamente normal, desde que nenhuma delas seja 
dominante. Assim, a distribuição binomial tende a uma distribuição normal quando o número de 
ensaios 𝑛 cresce. 
De uma forma mais simples: sob certas condições, podemos utilizar a distribuição normal como 
uma aproximação da distribuição binomial. 
O livro Statistical Inference (George Casella and Roger Berger, 2001) diz que uma distribuição 
binomial X com parâmetros 𝑛 e 𝑝 pode ser aproximada por uma distribuição normal de média 
𝜇 = 𝑛𝑝 e variância 𝜎B = 𝑛𝑝𝑞 desde que 𝑛 seja suficientemente grande e 𝑝 não seja extremos 
(nem muito próximo de 0 nem muito próximo de 1). Queremos que 𝑛 seja suficientemente 
grande para que haja suficientes valores discretos de X para que uma aproximação por uma 
variável contínua seja aceitável e 𝑝 tem que ser próximo de 1/2 (“no meio”) para que a 
distribuição binomial seja aproximadamente simétrica assim como a distribuição normal. Os 
autores ainda dizem que, como a maioria das aproximações, não há regras absolutas e cada 
aplicação tem que ser checada para decidir se a aproximação é boa ou não. 
 
Já o livro Estatística para Economistas (Rodolfo Hoffmann) diz que “Na prática, para saber se a 
forma de uma distribuição binomial pode ser considerada aproximadamente igual à forma da 
distribuição normal, usamos a seguinte regra empírica: se 𝑛𝑝 > 5 quando 𝑝 ≤ 0,5, ou quando 
𝑛𝑞 > 5 quando 𝑝 > 0,5, a aproximação é aceitável. Para maior exatidão, devemos ter 𝑛𝑝	𝑒	𝑛𝑞 
maiores do que 15 (ver Hoel, 1968, p.88 e Silva Leme, 1972, p.119)”. 
Vejamos um problema para entendermos melhor a aplicação prática deste fato. 
 
Tomemos como exemplo uma variável binomial X com parâmetros 𝑛 = 200 e 𝑝 = 0,6. Imagine 
que queremos calcular 𝑃(110 ≤ 𝑋 ≤ 130). 
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50 
 
 
𝑃(110 ≤ 𝑋 ≤ 130) = 𝑃(𝑋 = 110) + 𝑃(𝑋 = 111) + ⋯+ 𝑃(𝑋 = 130) 
 
= t200110w 𝑝
AAi𝑞Fi + t200111w 𝑝
AAA𝑞�F + ⋯+ t200130w 𝑝
AGi𝑞�i 
 
Sabemos que 𝑝 = 0,6. Consequentemente, 𝑞 = 0,4. 
O cálculo acima é “impossível” de ser feito à mão ou mesmo usando uma calculadora comum. 
Usando o Excel, obtive o seguinte resultado (função DISTR.BINOM): 
𝑃(110 ≤ 𝑋 ≤ 130) ≅ 0,8706 
Poderíamos ter usado a aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal para 
avaliar a probabilidade acima. 
A média é 𝜇 = 𝑛𝑝 = 200 × 0,6 = 120 e a variância é 𝜎B = 𝑛𝑝𝑞 = 200 × 0,6 × 0,4 = 48. 
Assim, o desvio padrão é aproximadamente 6,928. 
Pois bem, a variável binomial X pode ser aproximada por uma distribuição normal Y com média 
120 e variância 48. Logo, 
𝑃(110 ≤ 𝑋 ≤ 130) = 𝑃(110 ≤ 𝑌 ≤ 130) 
 
Vamos agora usar a distribuição normal reduzida. Precisamos transformar os valores acima. 
𝑍A =
𝑌A − 𝜇
𝜎 =
110 − 120
6,928 ≅ −1,44 
 
𝑍B =
𝑌B − 𝜇
𝜎 =
130 − 120
6,928 ≅ 1,44 
 
Portanto, a probabilidade pedida é aproximadamente: 
𝑃(−1,44 ≤ 𝑍 ≤ 1,44) 
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A tabela informa que 𝑃(0 < 𝑍 < 1,44) = 0,4251. Como a distribuição normal é simétrica, então: 
 
𝑃(−1,44 ≤ 𝑍 ≤ 1,44) = 2 × 0,4251 
 
= 0,8502 
Observe que obtivemos um valor bem próximo do correto valor 0,8706. 
 
A aproximação acima foi boa, mas não foi excelente. A aproximação pode ser melhorada 
utilizando a correção de continuidade. De uma maneira geral, a aproximação é bem melhor 
usando a correção de continuidade do que sem ela. 
A correção de continuidade consiste em subtrair 0,5 do limite inferior e adicionar 0,5 ao limite 
superior. A ideia é “aumentar” um pouquinho o intervalo. SEMPRE deveremos utilizar 0,5 na 
correção de continuidade. 
No exemplo anterior, queremos avaliar 𝑃(110 ≤ 𝑋 ≤ 130). Usando a correção de continuidade, 
ficamos com: 
𝑃(109,5 ≤ 𝑌 ≤ 130,5) 
Vamos agora usar a distribuição normal reduzida. Precisamos transformar os valores acima. 
𝑍A =
𝑌A − 𝜇
𝜎 =
109,5 − 120
6,928 ≅ −1,52 
 
𝑍B =
𝑌B − 𝜇
𝜎 =
130,5 − 120
6,928 ≅ 1,52 
 
Portanto, a probabilidade pedida é aproximadamente: 
𝑃(−1,52 ≤ 𝑍 ≤ 1,52) 
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A tabela informa que 𝑃(0 < 𝑍 < 1,52) = 0,4357. Como a distribuição normal é simétrica, então: 
 
𝑃(−1,52 ≤ 𝑍 ≤ 1,52) = 2 × 0,4357 
= 0,8714 
 
Agora sim obtivemos uma aproximação EXCELENTE. O valor dado pelo Excel foi 0,8706. 
 
É importante notar se a probabilidade pedida na distribuição binomial inclui ou não os 
extremos. 
Imagine, por exemplo, que X é uma variável binomial e que queremos calcular 𝑃(10 <
𝑋 ≤ 20). 
Ora, o intervalo acima não inclui o número 10. Assim, a probabilidade acima é, na 
verdade, dada por 𝑃(11 ≤ 𝑋 ≤ 20). Desta forma, ao aplicar a correção de 
continuidade, deveríamos calcular a probabilidade 𝑃(10,5 ≤ 𝑌 ≤ 20,5) em que Y é a 
distribuição normal usada na aproximação. 
 
 
(ESAF 2008/CGU) 
Em determinadas circunstâncias, uma variável aleatória binomial pode ser bem aproximada por 
uma variável aleatória normal. Seja X uma variável aleatória binomial com n = 400 e p = 1/2. 
Calcule o valor mais próximo de 𝑷(𝟏𝟖𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟐𝟏𝟗) usandoa aproximação da variável binomial 
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pela normal, dado que 𝝓(𝟏, 𝟗𝟔) = 𝟎, 𝟗𝟕𝟓,𝝓(𝟐, 𝟏𝟕) = 𝟎, 𝟗𝟖𝟓, 𝝓(𝟐, 𝟑𝟑) = 𝟎, 𝟗𝟗, 𝝓(𝟐, 𝟒𝟏) = 𝟎, 𝟗𝟗𝟐 e 
𝝓(𝟐, 𝟓𝟖) = 𝟎, 𝟗𝟗𝟓, 𝝓(𝒛) é a função de distribuição de uma variável aleatória normal padrão Z. 
a) 0,95 
b) 0,97 
c) 0,98 
d) 0,984 
e) 0,99 
Comentário 
O exercício não forneceu uma tabela com as áreas da distribuição normal. Ele forneceu valores 
da função de distribuição da variável aleatória normal padrão. 
Por exemplo: 𝜙(1,96) = 0,975 significa que 𝑃(𝑍 ≤ 1,96) = 0,975, ou seja, a área abaixo do 
número 1,96 é igual a 0,975 (ver figura abaixo). 
 
O nosso objetivo é descobrir a probabilidade de X assumir valores entre 181 e 219. 
O texto informou que X é uma variável aleatória binomial. O texto ainda informa que utilizaremos 
a distribuição normal como uma aproximação da binomial. 
Vamos calcular a média e a variância. Como a variável é binomial, utilizemos as fórmulas vistas 
par a média e a variância. 
𝜇 = 𝑛𝑝 = 400 ∙
1
2 = 200 
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𝜎² = 𝑛𝑝𝑞 = 400 ∙
1
2 ∙
1
2 = 100 
Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, temos: 
𝜎 = 10 
Esta variável binomial X é muito próxima de uma variável normal de média 200 e desvio padrão 
igual a 10. 
Vamos reescrever o enunciado deixando-o mais simples: calcule a probabilidade de uma variável 
normal de média 200 e desvio padrão 10 assumir valores entre 181 e 219? 
Para obter um resultado ainda mais preciso, podemos usar a correção de continuidade. Assim, 
vamos calcular a probabilidade de uma variável normal Y (de média 200 e desvio padrão 10) 
assumir valores entre 180,5 e 219,5. 
𝑃(180,5 < 𝑌 < 219,5) =? 
Vamos “transportar” estes valores para a variável normal reduzida. 
𝑍A =
𝑌A − 𝜇
𝜎 =
180,5 − 200
10 = −1,95 
 
𝑍B =
𝑌B − 𝜇
𝜎 =
219,5 − 200
10 = 1,95 
Assim, o nosso objetivo será calcular a área entre -1,95 e 1,95. 
O problema não fornece valores da função de distribuição para z = 1,95. Como ele pede o valor 
mais próximo, vamos utilizar Z = 1,96. 
𝜙(1,96) = 0,975 
Isto significa que a área vermelha seguinte é 97,5%. 
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Como a área total é igual a 1, então a área verde é igual a 100% - 97,5% = 2,5%. 
Só que estamos interessados na área entre -1,96 e 1,96. 
 
Ora, se a área da região que fica após 1,96 é igual a 2,5%, então, por simetria, a área da região 
que fica abaixo de -1,96 também será 2,5%. Portanto, a área entre -1,96 e 1,96 será igual a 100% 
- 2,5% - 2,5% = 95%. 
Assim, aproximadamente 95% dos valores de Z estão entre -1,96 e 1,96. Concluímos que 
aproximadamente 95% dos valores de X estão entre 181 e 219. 
Gabarito: A 
 
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3.4. Soma de Variáveis Aleatórias Normais 
 
Considere 𝑋A, 𝑋B, 𝑋G, … , 𝑋� variáveis aleatórias com distribuições normais. Sejam 𝜇A, 𝜇B, 𝜇G, … , 𝜇� e 
𝜎AB, 𝜎BB, 𝜎GB, … , 𝜎�B as respectivas médias e variâncias. 
Vamos considerar que 𝑌 é a soma das variáveis normais acima definidas. 
𝑌 = 𝑋A + 𝑋B +⋯+ 𝑋� 
𝑌 = ∑𝑋� 
É possível demonstrar que a soma de variáveis normais com distribuições normais também tem 
distribuição normal, ou seja, Y é uma variável aleatória com distribuição normal. A média de Y é 
igual à soma das médias. 
𝐸(𝑌) = 𝜇A + 𝜇B + ⋯+ 𝜇� 
Se as variáveis 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, 𝑿𝟑, … , 𝑿𝒏 forem independentes, então a variância de Y será igual à soma 
das variâncias de 𝑋A, 𝑋B, 𝑋G, … , 𝑋�. 
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝜎AB +	𝜎BB +	𝜎GB + ⋯+	𝜎�B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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57 
 
4. DISTRIBUIÇÃO DE QUI-QUADRADO (𝝌𝟐) 
 
A distribuição de Qui-Quadrado tem importantes aplicações no estudo de intervalos de 
confiança e também dos testes de hipóteses. 
Vimos que uma variável normal padrão (ou reduzida) é aquela que possui média zero e variância 
igual a 1 (consequentemente o desvio padrão também é 1). 
𝑍~𝑁(0,1) 
Vamos considerar 𝑘 variáveis normais reduzidas e independentes. Pois bem, a soma dos 
quadrados das 𝑘 variáveis normais reduzidas e independentes é, por definição, a distribuição de 
qui-quadrado 𝜒¡B com 𝑘 graus de liberdade. 
Assim, se 𝑍A, 𝑍B, …𝑍¡ são variáveis aleatórias normais reduzidas (as médias são 0 e os desvios-
padrão são iguais a 1), então: 
𝜒¡B = 𝑍AB + 𝑍BB + ⋯+ 𝑍¡B 
Utilizando a notação do somatório, temos: 
𝜒¡B =¢𝑍�B
¡
�£A
 
E se as variáveis normais não são reduzidas? 
Ora, se uma variável 𝑋A é normal com média 𝜇A e desvio padrão 𝜎A, então basta transformá-la em 
uma distribuição normal reduzida através da fórmula 
𝑍A =
𝑋A − 𝜇A
𝜎A
 
 
Dessa forma, se 𝑋A, 𝑋B, … , 𝑋¡ são variáveis aleatórias independentes com distribuições normais de 
médias 𝜇A, 𝜇B, … , 𝜇¡ e desvios-padrão 𝜎A, 𝜎B, … , 𝜎¡, então são variáveis normais reduzidas as 
seguintes variáveis. 
𝑍A =
𝑋A − 𝜇A
𝜎A
, 𝑍B =
𝑋B − 𝜇B
𝜎B
, … , 𝑍¡ =
𝑋¡ − 𝜇¡
𝜎¡
 
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58 
 
Assim, a variável 
𝜒¡B =¢¤
𝑋� − 𝜇�
𝜎�
¥
B¡
�£A
=¢𝑍�B
¡
�£A
 
tem distribuição de qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade. 
 
Resumindo: uma variável tem distribuição de qui-quadrado (com 𝑘 graus de liberdade) se ela 
puder ser escrita como a soma dos quadrados de 𝑘 variáveis normais reduzidas. 
 
A distribuição de qui-quadrado é a soma de 𝑘 variáveis (cada variável é o quadrado de uma 
distribuição normal reduzida). Assim, pelo Teorema do Limite Central, a distribuição de 𝜒¡B será 
aproximadamente normal para um 𝑘 grande. 
Para 𝑘 pequeno, a distribuição qui-quadrado é assimétrica à direita. 
Observe os gráficos a seguir da distribuição de qui-quadrado com 𝑘 = 1, 3, 5, 50. 
 
O valor máximo ocorre para 𝜒¦á_B = 𝑘 − 2. Assim, por exemplo, o valor máximo quando 𝑘 = 5 
(terceiro gráfico) ocorre para 𝜒¦á_B = 5 − 2 = 3. 
À medida que o número de graus de liberdade vai aumentando, o gráfico da qui-quadrado vai se 
aproximando cada vez mais de uma distribuição normal. 
 
A média e a variância de uma distribuição de Qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade são dadas 
por: 
𝜇 = 𝑘 
𝜎B = 2𝑘 
 
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59 
 
 
(ESAF 2012/MIN) 
Se X for a soma dos quadrados de n variáveis aleatórias N(0,1) independentes, então X é uma 
variável 
a) F com 1 grau de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador. 
b) T2 de Hotelling com n-1 graus de liberdade. 
c) "t" de Student com n-1 graus de liberdade. 
d) Lognormal. 
e) Qui quadrado com n graus de liberdade. 
Comentário 
A soma dos quadrados de n variáveis aleatórias reduzidas independentes é uma variável que tem 
distribuição de qui-quadrado com n graus de liberdade.Gabarito: E 
 
(CESPE 2018/EBSERH – Analista Administrativo) 
A variância da distribuição 𝜒B com 25 graus de liberdade é superior a 40. 
Comentário 
A variância de uma distribuição de qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade é 2𝑘. Logo, a 
variância de uma distribuição 𝜒B com 25 graus de liberdade é 2 × 25 = 50. 
Gabarito: Certo 
 
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60 
 
 
A soma de duas variáveis independentes com distribuições 𝜒B com 𝑘A e 𝑘B graus de 
liberdade é também uma distribuição 𝜒B com 𝑘A + 𝑘B graus de liberdade. 
 
Isso é bem fácil de entender. 
O que significa que uma distribuição 𝜒B com 3 graus de liberdade? Significa que somamos os 
quadrados de 3 variáveis normais reduzidas. 
O que significa que uma distribuição 𝜒B com 4 graus de liberdade? Significa que somamos os 
quadrados de 4 variáveis normais reduzidas. 
 
Assim, se somamos as duas variáveis 𝜒B mencionadas, teremos ao todo a soma dos quadrados 
de 7 variáveis normais reduzidas. Assim, teremos uma distribuição 𝜒B com 7 graus de liberdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. DISTRIBUIÇÃO T DE STUDENT 
 
Se 𝑍 é uma variável normal padrão (média 0 e variância unitária), 𝜒B é uma distribuição de qui-
quadrado com 𝑘 graus de liberdade e 𝑍	𝑒	𝜒Bsão independentes, então a variável 
𝑡 =
𝑍
§𝜒
B
𝑘
 
tem distribuição t-Student com 𝑘 graus de liberdade. Note que 𝑍 e 𝜒B precisam ser 
independentes. 
A distribuição t-Student se aproxima de uma distribuição normal quando o número de graus de 
liberdade aumenta. 
A média da distribuição t-Student é 0 se o número de graus de liberdade é maior do que 1. 
𝜇 = 0	𝑠𝑒	𝑘 > 1 
A média não é definida para 𝑘 = 1. 
A variância é dada por 
𝜎B =
𝑘
𝑘 − 2 	𝑠𝑒	𝑘 > 2 
A variância não é definida para 𝑘 ≤ 2. 
 
(FCC 2015/DPE-SP - Adaptada) 
Julgue o item a seguir. 
Se Z é uma variável com distribuição normal padrão e X é uma variável com distribuição qui-
quadrado com 1 grau de liberdade, então 𝑡 = ¨
©/G
 tem distribuição t de Student com 3 graus de 
liberdade. 
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62 
 
Comentário 
Coloquei a questão como “adaptada” porque era uma questão de múltipla escolha e havia 
outras assertivas para julgar de outros assuntos de Estatística. Vamos focar na distribuição t de 
Student. 
Se Z é uma variável com distribuição normal padrão e X é uma variável com distribuição qui-
quadrado com 1 grau de liberdade, então 𝑡 = ¨
ª©/A
 tem distribuição t de Student com 1 grau de 
liberdade. 
O erro foi não ter colocado a raiz quadrada no denominador. Ademais, se foi utilizado 3 no 
denominador, a distribuição X deveria ser qui-quadrado com 3 graus de liberdade. 
Gabarito: Errado 
 
Assim como a distribuição normal, a distribuição t-Student também é simétrica e tem um gráfico 
com a forma de sino. Entretanto, as caudas são mais largas, ou seja, a distribuição t-Student é 
mais dispersa. 
Observe o gráfico a seguir comparando a curva normal padrão e a distribuição t de Student com 
1 grau de liberdade. 
 
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63 
 
À medida que o número de graus de liberdade vai aumentando, a curva t-Student vai se 
aproximando cada vez mais da normal. Observe os gráficos a seguir (curva t-Student com 2, 3 e 9 
graus de liberdade, respectivamente). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR 
 
Vamos considerar duas variáveis aleatórias independentes 𝜒¡«
B e 𝜒¡[
B com distribuições de qui-
quadrado com 𝑘A e 𝑘B graus de liberdade, respectivamente. 
Define-se a variável 𝐹¡«,¡[ com 𝑘A graus de liberdade no numerador e 𝑘B graus de liberdade no 
denominador por 
𝐹¡«,¡[ =
	𝜒¡«
B /𝑘A
	𝜒¡[
B /𝑘B
 
A distribuição acima é denominada F de Snedecor ou F de Fisher-Snedecor. 
A média e a variância da distribuição 𝐹 são: 
𝜇 =
𝑘B
𝑘B − 2
, 𝑠𝑒	𝑘B > 2 
 
𝜎B =
2𝑘BB ∙ (𝑘A + 𝑘B − 2)
𝑘A(𝑘B − 2)B ∙ (𝑘B − 4)
, 𝑠𝑒	𝑘B > 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS SEM COMENTÁRIOS 
 
1. (CESPE 2018/IFF) 
Suponha que o tempo, em anos, de vida útil de um equipamento eletrônico, contado a partir da 
data de sua fabricação, é uniformemente distribuído no intervalo [2, 10] anos. Nesse caso, a 
probabilidade de esse equipamento ter pelo menos 8 anos de vida útil é igual a 
a) 1/5. 
b) 1/4. 
c) 1/3. 
d) 3/5. 
e) 3/4. 
 
2. (FUNDATEC 2018/SEPOG-RS) 
Considere Y uma distribuição uniforme variando entre [-3 e 9]. Qual o valor da variância de Y? 
a) 6. 
b) 36. 
c) 12. 
d) 3. 
e) 24. 
 
 
 
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3. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
A variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [k, b − k]. Sabe-se que a 
média de X é 10 e que P(X > 16) = 0,125. Nessas condições, a variância de X é igual a 
a) 64/3 
b) 32/3 
c) 128/5 
d) 65/12 
e) 85/12 
 
(CESPE 2016/TCE-PA) 
A respeito de uma variável aleatória contínua U, uniformemente distribuída no intervalo [0, 1], 
julgue os seguintes itens. 
4. A variância de U é inferior a 1/10. 
 
5. 𝑃(𝑈 > 1/10) = 0,9. 
 
 
6. (FCC 2016/TRT 20ª Região 
Sabe-se que a variável aleatória X tem distribuição uniforme contínua no intervalo [𝟎, 𝜽], 𝜽 > 𝟎 e 
que tem variância igual a 1/3. 
Uma amostra aleatória com reposição, de tamanho 4, será tomada da distribuição de X. Seja 
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, 𝑿𝟑, 𝑿𝟒 essa amostra e seja Y a variável aleatória que representa o menor dentre os valores 
dessa amostra. Nessas condições, a probabilidade denotada por P(Y > 1) é igual a 
a) 1/8 
b) 1/16 
c) 1/4 
d) 3/8 
e) 3/16 
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7. (FCC 2015/CNMP) 
A variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b]. Sabe-se que a média 
de X é 3 e que o primeiro quartil de X é 1. Nessas condições, a variância de X é igual a 
a) 16/3 
b) 25/12 
c) 18/7 
d) 12/5 
e) 4/3 
 
8. (FCC 2015/TRE-RR) 
Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme contínua com média igual a 4 e variância igual 
a 12. Nessas condições, P(X < 7) é igual a 
a) 0,45. 
b) 0,75. 
c) 0,25. 
d) 0,60. 
e) 0,67. 
 
9. (FCC 2015/TRT 3ª Região) 
A função densidade de probabilidade do tempo, em horas, requerido para completar uma tarefa 
realizada por funcionários de um determinado departamento de um órgão público tem 
distribuição uniforme contínua no intervalo [a − b; a + b], onde a e b são números reais positivos, 
cuja unidadeé hora e a > b. Sabe-se que o tempo médio para a conclusão da tarefa é igual a 11 
(horas) e a variância do tempo para conclusão da tarefa é de 3 (horas)2. Nessas condições, a 
probabilidade do tempo requerido para a conclusão da tarefa ser inferior a c = 4b (horas) é igual 
a 
a) 1/6 
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68 
 
b) 2/5 
c) 2/3 
d) 3/4 
e) ½ 
 
10. (NC-UFPR 2019/ISS-Curitiba) 
 
Para uma determinada profissão, sabe-se que o salário é uma variável aleatória que possui 
distribuição Normal com média R$ 5.000,00 e um desvio padrão de R$ 800,00. Nesse caso, qual 
é a probabilidade de que um salário seja maior que R$ 7.400,00? 
 
a) menor que 0,01. 
 
b) 0,16. 
 
c) 0,48. 
 
d) 0,58. 
 
e) maior que 0,99. 
 
 
11. (FCC 2018/TCE-RS) 
Os preços de um determinado equipamento adquirido no mercado formam uma população 
normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. Sabe-se que 5% destes preços são 
superiores a R$ 53,20 e 10% são inferiores a R$ 38,60. 
Seja P um desses preços, em reais, tal que 88% dos preços são iguais ou inferiores a P. 
 
O valor de P é igual a 
a) R$ 51,40 
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69 
 
b) R$ 52,05 
c) R$ 50,85 
d) R$ 49,40 
e) R$ 50,25 
 
12. (FCC 2018/TRT 2ª Região) 
Em uma grande cidade, a população formada pela altura de seus habitantes adultos é 
normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. 
 
Sabe-se que 5% destes habitantes têm altura superior a 180 cm. Se apenas 2,5% destes 
habitantes têm altura inferior a 162 cm, então a média desta população é de 
a) 171,2 cm 
b) 171,8 cm 
c) 171,4 cm 
d) 171,6 cm 
e) 172,0 cm 
 
13. (FCC 2018/ICMS-SC) 
Seja X a variável que representa o diâmetro de uma peça fabricada por uma metalúrgica. Sabe-
se que X tem distribuição normal com média 10 cm e variância 4 cm2. Toda peça cujo diâmetro 
se distanciar da média por menos do que 1,68 cm é considerada boa. Três peças são 
selecionadas aleatoriamente e com reposição da distribuição de X. A probabilidade de 
exatamente uma ser boa é igual a 
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Dados: 
Se Z tem distribuição normal padrão: 
P(Z < 0,84) = 0,8 
P(Z < 1) = 0,841 
P(Z < 1,96) = 0,975 
a) 0,441 
b) 0,348 
c) 0,288 
d) 0,340 
e) 0,291 
 
14. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
Instruções: Considere as informações abaixo para responder à questão. Se Z tem distribuição 
normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,67) = 0,75; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,64) = 0,95; 
P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,05) = 0,98 
O diâmetro de uma peça produzida por uma indústria metalúrgica é uma variável aleatória X, 
normal, com média de 10 cm e primeiro quartil igual a 7,99 cm. Todas as peças desta produção 
que distam da média por mais do que 4,2 cm são vendidas como sucata. Nessas condições, a 
proporção de peças da produção que será vendida como sucata é igual a 
a) 15,6% 
b) 12,4% 
c) 8,1% 
d) 8,7% 
e) 16,2% 
 
 
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15. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
Instruções: Considere as informações abaixo para responder à questão. Se Z tem distribuição 
normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,67) = 0,75; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,6) = 0,945; 
P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,05) = 0,98 
A porcentagem do orçamento gasto com educação nos municípios de certo estado é uma 
variável aleatória X com distribuição normal com média 𝝁(%) e variância 4(%)2. 
Um gasto em educação superior a 10% tem probabilidade de 4%. Nessas condições, o valor de 
𝝁 é igual a 
a) 5,50% 
b) 6,20% 
c) 7,35% 
d) 6,50% 
e) 7,85% 
 
16. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
Instrução: Para responder à questão utilize, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2) = 0,977. 
 O efeito do medicamento A é o de baixar a pressão arterial de indivíduos hipertensos. O 
tempo, em minutos, decorrido entre a tomada do remédio e a diminuição da pressão é uma 
variável aleatória X com distribuição normal, tendo média 𝝁 e desvio padrão 𝝈. 
Se o valor de 𝝁 é de 56 min e o valor de 𝝈 é de 10 min, a probabilidade de X estar 
compreendido entre 52 min e 74 min é igual a 
a) 61,9% 
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b) 52,4% 
c) 64,5% 
d) 30,9% 
e) 56,0% 
 
17. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
Instrução: Para resolver à questão utilize, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,5) = 0,691; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,28) = 0,90. 
Suponha que a nota em conhecimentos gerais dos indivíduos que prestaram um determinado 
concurso público tenha distribuição normal com média 5 e desvio padrão 1,5. Suponha, ainda, 
que foram selecionados, ao acaso e com reposição, 4 indivíduos que prestaram o referido 
concurso. Nessas condições, a probabilidade de que exatamente 2 indivíduos dessa amostra 
tenham obtido nota maior do que 6,92 é igual a 
a) 5,95% 
b) 4,96% 
c) 5,15% 
d) 4,86% 
e) 3,84% 
 
18. (FCC 2015/CNMP) 
Atenção: Para responder à questão use, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,53) = 0,70; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,55) = 0,94; 
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73 
 
P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2,05) = 0,98 
A porcentagem do orçamento gasto com pessoal em 40 municípios de certa região é uma 
variável aleatória X com distribuição normal com média μ(%) e desvio padrão 3%. 
O valor de K tal que 𝑷(|𝑿 − 𝝁| > 𝑲) = 𝟎, 𝟏𝟎 é, em %, igual a 
a) 3,84. 
b) 4,92. 
c) 5,46. 
d) 4,53. 
e) 3,96. 
 
19. (FCC 2015/CNMP) 
Atenção: Para responder à questão use, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,53) = 0,70; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,55) = 0,94; 
P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2,05) = 0,98 
A porcentagem do orçamento gasto com pessoal em 40 municípios de certa região é uma 
variável aleatória X com distribuição normal com média μ(%) e desvio padrão 3%. 
Sabe-se que a probabilidade de que o gasto com pessoal seja superior a 80% é igual a 0,02. 
Nessas condições, o valor de μ é, em %, igual a 
a) 72,50. 
b) 62,80. 
c) 70,35. 
d) 73,85. 
e) 65,90. 
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74 
 
20. (FCC 2015/TRE-RR) 
Atenção: Para responderà questão use as informações dadas abaixo. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 1,8) = 0,964. 
O diâmetro de uma peça é uma variável aleatória X, com distribuição normal com média 𝝁 (cm) 
e variância igual a 2,25(cm)2. 
Ao vender a peça, o lucro obtido pelo fabricante é de 50 reais se X se distanciar de sua média 
por, no máximo, 1,5 cm e, é de − 10 reais caso contrário. Nessas condições, o lucro esperado 
por peça do fabricante é, em reais, igual a 
a) 25,40. 
b) 32,80. 
c) 30,92. 
d) 28,50. 
e) 32,84. 
 
21. (FCC 2015/TRE-RR) 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 1,8) = 0,964. 
Suponha que os funcionários de um determinado órgão público realizem uma tarefa em duas 
etapas. Sejam X1 e X2, respectivamente, os tempos para a realização das etapas 1 e 2. Sabe-se 
que: 
 
I. 𝑿𝟏 e 𝑿𝟐 são variáveis aleatórias independentes. 
II. 𝑿𝟏 tem distribuição normal com média igual a 2 horas e desvio padrão de 10 minutos. 
III. 𝑿𝟐 tem distribuição normal com média igual a 3 horas e variância de 300 (minutos)2. 
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75 
 
Nessas condições, a probabilidade de que um funcionário selecionado ao acaso leve, no mínimo, 
270 minutos e, no máximo, 320 minutos, para a realização da tarefa é, em %, igual a 
a) 49,4. 
b) 60,6. 
c) 58,8. 
d) 75,0. 
e) 77,4. 
 
22. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
No período de 81 dias úteis, foram coletadas informações sobre o fluxo de conciliações em um 
Tribunal Regional do Trabalho. Considere que diariamente são realizados, em média, 64 acordos 
de conciliação no Tribunal segundo uma distribuição de Poisson. Usando o Teorema Central do 
Limite, pode-se considerar que a média diária da amostra de 81 dias terá uma distribuição 
aproximadamente normal. Considere, abaixo, a tabela referente à distribuição normal padrão, Z: 
 
Com base nessa aproximação e os dados fornecidos, a probabilidade de que a média amostral 
da amostra de 81 dias seja superior a 66 conciliações é, em %, igual a 
a) 6,7. 
b) 0,6. 
c) 1,2. 
d) 2,3. 
e) 4,0. 
 
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23. (FGV 2017/MPE-BA) 
A probabilidade de que uma decisão de 1ª instância da Justiça Federal do Paraná seja 
reformada pelo Tribunal Superior da 4ª Região é de 0,20. No momento 100 recursos aguardam 
por uma decisão dos Srs. Desembargadores daquele Tribunal. 
São informados alguns valores da distribuição acumulada da normal-padrão: 
 𝝓(𝟏) = 𝟎, 𝟖𝟕, 𝝓(𝟏, 𝟐𝟖) = 𝟎, 𝟗𝟎 e 𝝓(𝟐) = 𝟎, 𝟗𝟖 
Sem usar o ajuste de continuidade, a probabilidade de que mais de 24 decisões sejam 
reformadas é: 
a) 13%; 
b) 10%; 
c) 8%; 
d) 5%; 
e) 2%. 
 
24. (CESPE 2018/STM) 
Para um estudo sobre a gestão de riscos jurídicos em determinado tribunal, um analista efetuará 
simulações de Monte Carlo com base em realizações de variáveis aleatórias contínuas Y 
(exponencial, com média m), U (uniforme no intervalo [0,1]) e Q (qui-quadrado, com k graus de 
liberdade.) 
Considerando que Y, U e Q sejam mutuamente independentes, julgue o item. 
A transformação ª𝑄 proporciona uma realização da distribuição normal padrão. 
 
25. (CESPE 2018/EBSERH – Analista Administrativo) 
A variância da distribuição 𝜒B com 25 graus de liberdade é superior a 40. 
 
 
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26. (CONSULPLAN 2017/TRF 2ª Região) 
Sobre medidas de posição, medidas de dispersão, assimetria e curtose, assinale a 
alternativa INCORRETA. 
a) A curtose é interpretada com base na distribuição normal. 
b) No gráfico boxplot, os outliers são os pontos a 3 desvios-padrões de distância da média. 
c) A distribuição qui-quadrado tende a ficar simétrica com o aumento dos seus graus de 
liberdade. 
d) Para um conjunto de dados positivos com pelo menos dois valores diferentes entre si tem-se 
que a média harmônica é menor que a média geométrica e a média geométrica é menor que a 
média aritmética. 
 
27. (CESPE 2016/TCE-PA) 
Considerando que 𝒁 e 𝑾 sejam variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição 
normal padrão, julgue o item subsequente. 
A soma dos quadrados 𝑍B +𝑊B segue distribuição t de Student. 
 
28. (FGV 2013/INEA-RJ) 
Em relação à distribuição de qui-quadrado, avalie as afirmativas a seguir. 
I. Se 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 são variáveis independentes normalmente distribuídas com médias 𝝁𝒊 e 
desvios padrões 𝝈𝒊, 𝒊 = 𝟏,… , 𝒏, então a variável 𝑸 = ∑ t
𝑿𝒊D𝝁𝒊
𝝈𝒊
w𝒏𝒊£𝟏
𝟐
 tem distribuição qui-quadrado 
com (𝒏 − 𝟏) graus de liberdade. 
II. Se 𝑼 e 𝑽 são variáveis aleatórias independentes e têm distribuição qui-quadrado com 𝒎 e 𝒏 
graus de liberdade respectivamente, então 𝑼 + 𝑽 tem distribuição qui-quadrado com (𝒎 + 𝒏) 
graus de liberdade. 
III. Se 𝑼 tem distribuição qui-quadrado com 𝒌 graus de liberdade, então 𝑬[𝑼] = 𝒌 e 𝒗𝒂𝒓[𝑼] =
𝟐𝒌. 
Assinale: 
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(A) se apenas a afirmativa I estiver correta. 
(B) se apenas as afirmativas I e II estiverem corretas. 
(C) se apenas as afirmativas I e III estiverem corretas. 
(D) se apenas as afirmativas II e III estiverem corretas. 
(E) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
 
29. (FCC 2012/TRF 2ª Região) 
Uma variável aleatória contínua, X, com distribuição uniforme no intervalo [𝒂, 𝒃], tem média igual 
à variância de uma variável com distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade. Se 
𝑷(𝑿 < 𝟏) = 𝟏
𝟗
, então 𝑷(𝟏 < 𝑿 < 𝟓) é 
a) 1/5. 
b) 1/8. 
c) 2/7. 
d) 1/7. 
e) 2/9. 
 
30. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
Sabe-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b] com b > 
a, que sua média é 1 e que sua variância é igual à variância de uma distribuição t de Student 
com 8 graus de liberdade. Nessas condições, P(X < 1,5) é igual a 
a) 0,625. 
b) 0,725. 
c) 0,225. 
d) 0,150. 
e) 0,450. 
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31. (CESPE 2016/TCE-PR) 
Sabendo que Z segue uma distribuição normal padrão e que 𝑻𝒏 segue uma distribuição t de 
Student com 𝒏 graus de liberdade, assinale a opção correta. 
a) 𝑃(𝑍 > −2) < 𝑃(𝑍 < 2) 
b) 𝑃(𝑍 ≤ 2) > 𝑃(𝑇g ≤ 2) 
c) O valor esperado de 𝑇A é igual a zero. 
d) A variância de 𝑇Ai é igual ou superior a 1,3. 
e) 𝑃(𝑍 < 0) < 𝑃(𝑇Ai ≤ 0) 
 
32. (FGV 2018/TJ-AL) 
Sejam 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝟓 variáveis aleatórias independentes, todas normalmente distribuídas com 
média zero e variância unitária. Então, é correto afirmar que: 
a) ∑𝑋� também tem distribuição normal padrão. 
b) ∑𝑋�B é uma qui-quadrado com 4 graus de liberdade. 
c) B©«
X∑©Á
[Y
«/[ é uma t-Student com 5 graus de liberdade. 
d) (3𝑋g − 2𝑋B) é normal com média zero e variância 13. 
e) ©Â
©Ã
 tem distribuição F-Snedecor com 2 graus de liberdade. 
 
33. (FGV 2017/MPE-BA) 
Sejam 𝑿, 𝒀,𝑾	𝒆	𝒁 variáveis aleatórias todas com distribuição normal padrão, com X 
independente de Y e Y independente de Z. Já W é independente das demais. Sobre algumas 
combinações dessasvariáveis, é correto afirmar que: 
a) 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 não é uma normal. 
b) 𝑋B + 𝑌B + 𝑍B é qui-quadrado com 3 graus de liberdade. 
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c) ©
√¨[ZÆ[
 é t-Student com 2 graus de liberdade. 
d) B∙©
[
Ç[ZÆ[
 é uma F-Snedecor com 1 e 2 graus de liberdade. 
e) ©
√Ç[ZÆ[
 é uma t-Student com 2 graus de liberdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8. GABARITO SEM COMENTÁRIO 
 
01. B 
02. C 
03. A 
04. Certo 
05. Certo 
06. B 
07. A 
08. B 
09. C 
10. A 
11. C 
12. B 
13. C 
14. E 
15. D 
16. A 
17. D 
18. B 
19. D 
20. C 
21. E 
22. C 
23. A 
24. Errado 
25. Certo 
26. B 
27. Errado 
28. D 
29. E 
30. A 
31. B 
32. D 
33. D 
 
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82 
 
9. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS COM COMENTÁRIOS 
 
Exercícios - Distribuição Uniforma Contínua 
1. (CESPE 2018/IFF) 
Suponha que o tempo, em anos, de vida útil de um equipamento eletrônico, contado a partir da 
data de sua fabricação, é uniformemente distribuído no intervalo [2, 10] anos. Nesse caso, a 
probabilidade de esse equipamento ter pelo menos 8 anos de vida útil é igual a 
a) 1/5. 
b) 1/4. 
c) 1/3. 
d) 3/5. 
e) 3/4. 
Comentário 
O gráfico da fdp é um segmento de reta horizontal. A base do retângulo é 10 − 2 = 8 e altura é 
1/8 para que a área total seja igual a 1. 
A probabilidade pedida é igual à área sob o gráfico. Observe: 
 
Logo, 
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83 
 
𝑃(𝑋 ≥ 8) = 2 ×
1
8 =
1
4 
Gabarito: B 
 
2. (FUNDATEC 2018/SEPOG-RS) 
Considere Y uma distribuição uniforme variando entre [-3 e 9]. Qual o valor da variância de Y? 
a) 6. 
b) 36. 
c) 12. 
d) 3. 
e) 24. 
Comentário 
Se X tem uma distribuição uniforma contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], então: 
𝐸(𝑋) =
𝑎 + 𝑏
2 
𝜎² =
(𝑏 − 𝑎)²
12 
A variável Y é uniformemente distribuída no intervalo [−3,9]. Logo, 
𝐸(𝑋) =
−3 + 9
2 = 3 
𝜎B =
X9 − (−3)YB
12 =
12B
12 = 12 
Gabarito: C 
 
 
 
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3. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
A variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [k, b − k]. Sabe-se que a 
média de X é 10 e que P(X > 16) = 0,125. Nessas condições, a variância de X é igual a 
a) 64/3 
b) 32/3 
c) 128/5 
d) 65/12 
e) 85/12 
Comentário 
Consideremos uma distribuição uniforme no intervalo [𝑚, 𝑛]. 
A fdp é dada por: 
𝑓(𝑥) =
1
𝑚 − 𝑛 	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑥 ∈ [𝑚, 𝑛] 
𝑓(𝑥) = 0 caso contrário. 
Temos uma variável aleatória X uniformemente distribuída no intervalo [𝑘, 𝑏 − 𝑘]. A amplitude do 
intervalo é (𝑏 − 𝑘) − 𝑘 = 𝑏 − 2𝑘. 
Assim, a fdp é dada por: 
𝑓(𝑥) =
1
𝑏 − 2𝑘 	𝑝𝑎𝑟𝑎	𝑥 ∈ [𝑘, 𝑏 − 𝑘] 
𝑓(𝑥) = 0 caso contrário. 
 
A média é o ponto médio do intervalo. 
𝑘 + (𝑏 − 𝑘)
2 = 10	 
 
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85 
 
𝑏
2 = 10 
 
𝑏 = 20 
Assim, a fdp no intervalo referido é dada por: 
𝑓(𝑥) =
1
20 − 2𝑘 
 
Sabemos que 𝑃(𝑋 > 16) = 0,125. Assim, a área sobre o gráfico no intervalo X>16 é igual a 0,125. 
 
A base do retângulo verde é (20 − 𝑘) − 16 = 4 − 𝑘. 
A área do retângulo verde é 0,125 = 1/8. 
𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 =
1
8 
 
(4 − 𝑘) ×
1
20 − 2𝑘 =
1
8 
 
4 − 𝑘
20 − 2𝑘 =
1
8 
 
20 − 2𝑘 = 8 × (4 − 𝑘) 
 
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86 
 
20 − 2𝑘 = 32 − 8𝑘 
 
6𝑘 = 12 
 
𝑘 = 2 
Assim, o intervalo é [𝑘, 𝑏 − 𝑘] = [2; 20 − 2] = [2; 18] 
A variância de uma distribuição uniforme no intervalo [𝑚, 𝑛] é (�D¦)
[
AB
. 
Logo, a variância de X é 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
(18 − 2)B
12 =
16B
12 =
256
12 
 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
64
3 
Gabarito: A 
 
(CESPE 2016/TCE-PA) 
A respeito de uma variável aleatória contínua U, uniformemente distribuída no intervalo [0, 1], 
julgue os seguintes itens. 
4. A variância de U é inferior a 1/10. 
 
5. 𝑃(𝑈 > 1/10) = 0,9. 
Comentário 
Se X tem uma distribuição uniforma contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], então: 
𝐸(𝑋) =
𝑎 + 𝑏
2 
𝜎² =
(𝑏 − 𝑎)²
12 
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87 
 
Logo, 
𝑉𝑎𝑟(𝑈) =
(1 − 0)B
12 =
1
12 
Como 1/12 < 1/10, o item I está certo. 
Vamos ao segundo item. 
A amplitude do intervalo é 1 − 0 = 1. Logo, a altura do retângulo será 1/1 = 1. 
Queremos calcular 𝑃(𝑈 > 0,1). 
 
 
A base do retângulo verde é 1 − 0,1 = 0,9. Assim, a área é 
𝑃(𝑈 > 0,1) = 0,9 × 1 = 0,9 
O segundo item está certo. 
Gabarito: Certo, Certo 
 
6. (FCC 2016/TRT 20ª Região 
Sabe-se que a variável aleatória X tem distribuição uniforme contínua no intervalo [𝟎, 𝜽], 𝜽 > 𝟎 e 
que tem variância igual a 1/3. 
Uma amostra aleatória com reposição, de tamanho 4, será tomada da distribuição de X. Seja 
𝑿𝟏, 𝑿𝟐, 𝑿𝟑, 𝑿𝟒 essa amostra e seja Y a variável aleatória que representa o menor dentre os valores 
dessa amostra. Nessas condições, a probabilidade denotada por P(Y > 1) é igual a 
a) 1/8 
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b) 1/16 
c) 1/4 
d) 3/8 
e) 3/16 
Comentário 
Se X tem uma distribuição uniforma contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], então: 
𝐸(𝑋) =
𝑎 + 𝑏
2 
𝜎² =
(𝑏 − 𝑎)²
12 
A variância dada foi igual a 1/3. Logo, 
(𝜃 − 0)B
12 =
1
3 
 
𝜃B
12 =
1
3 
 
3𝜃B = 12 
 
𝜃B = 4 
 
𝜃 = 2, 𝑝𝑜𝑖𝑠	𝜃 > 0 
 
Assim, X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [𝟎, 𝟐]. 
 
A probabilidade de um número selecionado aleatoriamente nesse intervalo ser maior do que ou 
igual a 1 é igual a 1/2 (basta perceber que 1 é o ponto médio do intervalo). 
 
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89 
 
Queremos que o menor número seja maior do que 1. Para que o menor número seja maior do 
que 1, os outros três obrigatoriamente também têm que ser maiores do que 1. 
 
Aprobabilidade de os quatro números selecionados com reposição serem maiores do que ou 
iguais a 1 é igual a 
𝟏
𝟐 ×
𝟏
𝟐 ×
𝟏
𝟐 ×
𝟏
𝟐 =
𝟏
𝟏𝟔 
 
Gabarito: B 
 
7. (FCC 2015/CNMP) 
A variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b]. Sabe-se que a média 
de X é 3 e que o primeiro quartil de X é 1. Nessas condições, a variância de X é igual a 
a) 16/3 
b) 25/12 
c) 18/7 
d) 12/5 
e) 4/3 
Comentário 
A média da distribuição uniforme éo ponto médio do intervalo. 
𝑎 + 𝑏
2 = 3 
 
𝑎 + 𝑏 = 6 
O primeiro quartil de X é 1. Logo, 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 0,25 
Isso quer dizer que de 𝑎 até 1 temos 25% das observações. Em outras palavras, o intervalo [𝑎, 1] 
corresponde a 25% do intervalo [𝑎, 𝑏]. 
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90 
 
 
1 − 𝑎 = 0,25 × (𝑏 − 𝑎) 
 
1 − 𝑎 =
𝑏 − 𝑎
4 
 
4(1 − 𝑎) = 𝑏 − 𝑎 
 
4 − 4𝑎 = 𝑏 − 𝑎 
 
3𝑎 + 𝑏 = 4 
Temos um sistema de equações. 
( 𝑎 + 𝑏 = 63𝑎 + 𝑏 = 4 
Vamos multiplicar a primeira equação por -1. 
(−𝑎 − 𝑏 = −63𝑎 + 𝑏 = 4 
 
Somando as duas equações, temos: 
−𝑎 + 3𝑎 = −6 + 4 
2𝑎 = −2 
𝑎 = −1 
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91 
 
Como 𝑎 + 𝑏 = 6, temos: 
−1 + 𝑏 = 6 
𝑏 = 7 
Assim, o intervalo é [−1,7]. A variância de X é 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
(𝑏 − 𝑎)B
12 
 
=
X7 − (−1)YB	
12 =
64
12 =
16
3 
Gabarito: A 
 
8. (FCC 2015/TRE-RR) 
Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme contínua com média igual a 4 e variância igual 
a 12. Nessas condições, P(X < 7) é igual a 
a) 0,45. 
b) 0,75. 
c) 0,25. 
d) 0,60. 
e) 0,67. 
Comentário 
Se X tem uma distribuição uniforma contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], então: 
𝐸(𝑋) =
𝑎 + 𝑏
2 
𝜎² =
(𝑏 − 𝑎)²
12 
A média é 4. 
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92 
 
𝑎 + 𝑏
2 = 4 
 
𝑎 + 𝑏 = 8 
 
A variância é 12. 
(𝑏 − 𝑎)B
12 = 12 
 
(𝑏 − 𝑎)B = 144 
 
𝑏 − 𝑎 = 12 
 
Temos um sistema de equações. 
( 𝑎 + 𝑏 = 8𝑏 − 𝑎 = 12 
Somando as duas equações: 
2𝑏 = 20 
𝑏 = 10 
Como 𝑎 + 𝑏 = 8, temos: 
𝑎 + 10 = 8 
𝑎 = −2 
 
Assim, a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [−2,10]. 
A amplitude do intervalo é 10 − (−2) = 12. Logo, a altura do retângulo é 1/12. 
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93 
 
 
A probabilidade pedida 𝑃(𝑋 < 7) é dada pela área do retângulo verde cuja base é 9 e altura é 
1/12. 
𝑃(𝑋 < 7) = 9 ×
1
12 =
3
4 = 0,75 
Gabarito: B 
 
9. (FCC 2015/TRT 3ª Região) 
A função densidade de probabilidade do tempo, em horas, requerido para completar uma tarefa 
realizada por funcionários de um determinado departamento de um órgão público tem 
distribuição uniforme contínua no intervalo [a − b; a + b], onde a e b são números reais positivos, 
cuja unidade é hora e a > b. Sabe-se que o tempo médio para a conclusão da tarefa é igual a 11 
(horas) e a variância do tempo para conclusão da tarefa é de 3 (horas)2. Nessas condições, a 
probabilidade do tempo requerido para a conclusão da tarefa ser inferior a c = 4b (horas) é igual 
a 
a) 1/6 
b) 2/5 
c) 2/3 
d) 3/4 
e) 1/2 
Comentário 
Se X tem uma distribuição uniforma contínua no intervalo [𝑚, 𝑛], então: 
𝐸(𝑋) =
𝑚 + 𝑛
2 
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94 
 
𝜎² =
(𝑚 − 𝑛)²
12 
O intervalo dado é [𝑎 − 𝑏; 𝑎 + 𝑏]. A média é 11. 
(𝑎 − 𝑏) + (𝑎 + 𝑏)
2 = 11 
 
2𝑎
2 = 11 
 
𝑎 = 11 
A variância é 3. 
[(𝑎 + 𝑏) − (𝑎 − 𝑏)]B
12 = 3 
(2𝑏)B
12 = 3 
 
4𝑏B
12 = 3 
 
4𝑏B = 36 
𝑏B = 9 
𝑏 = 3 
 
O intervalo é [𝑎 − 𝑏; 𝑎 + 𝑏] = [11 − 3; 	11 + 3] = [8,14]. 
A amplitude desse intervalo é 14 – 8 = 6. Assim, a altura do retângulo é 1/6. 
Queremos calcular a probabilidade de a variável assumir valores menores do que 𝑐 = 4𝑏 =
4 × 3 = 12. 
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95 
 
𝑃(𝑋 < 12) =? 
 
A base do retângulo é 12 – 8 = 4. Assim, a área é 
𝑃(𝑋 < 12) = 4 ×
1
6 =
2
3 
Gabarito: C 
 
Exercícios – Distribuição Normal 
10. (NC-UFPR 2019/ISS-Curitiba) 
 
Para uma determinada profissão, sabe-se que o salário é uma variável aleatória que possui 
distribuição Normal com média R$ 5.000,00 e um desvio padrão de R$ 800,00. Nesse caso, qual 
é a probabilidade de que um salário seja maior que R$ 7.400,00? 
 
a) menor que 0,01. 
 
b) 0,16. 
 
c) 0,48. 
 
d) 0,58. 
 
e) maior que 0,99. 
Comentário 
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96 
 
Seja X a variável aleatória descrita no enunciado. Queremos calcular 𝑷(𝑿 > 𝟕. 𝟒𝟎𝟎). 
 
Sabemos que 𝑿 tem distribuição normal com média 𝝁 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 e desvio padrão 𝝈 = 𝟖𝟎𝟎. A 
probabilidade pedida é igual à área a seguir: 
 
Para avaliar tal área, podemos padronizar os dados, ou seja, calcular os valores correspondentes 
na distribuição normal padrão. 
 
Para tanto, devemos subtrair a média e dividir pelo desvio padrão. 
 
𝒁 =
𝑿 − 𝝁
𝝈 
 
𝒁 =
𝟕. 𝟒𝟎𝟎 − 𝟓. 𝟎𝟎𝟎
𝟖𝟎𝟎 
 
𝒁 = 𝟑 
 
Assim, 𝑷(𝑿 > 𝟕. 𝟒𝟎𝟎) = 𝑷(𝒁 > 𝟑), ou seja, calcular a área acima é o mesmo que calcular a área 
acima de 3 na distribuição normal padrão. 
 
Sabemos que, na distribuição normal padrão, 𝑷(−𝟑 < 𝒁 < 𝟑) ≅ 𝟗𝟗, 𝟕𝟑%. 
 
Esse valor não foi dado na prova. O candidato precisa ter noção de que 𝑷(−𝟑 < 𝒁 < 𝟑) é maior 
do que 99%. Assim, 𝑷(𝒁 > 𝟑) é menor do que 1%. 
Gabarito: A 
 
 
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97 
 
 
11. (FCC 2018/TCE-RS) 
Os preços de um determinado equipamento adquirido no mercado formam uma população 
normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. Sabe-se que 5% destes preços são 
superiores a R$ 53,20 e 10% são inferiores a R$ 38,60. 
Seja P um desses preços, em reais, tal que 88% dos preços são iguais ou inferiores a P. 
 
O valor de P é igual a 
a) R$ 51,40 
b) R$ 52,05 
c) R$ 50,85 
d) R$ 49,40 
e) R$ 50,25 
Comentário 
Temos uma variável aleatória X com distribuição normal. Não sabemos a sua média nem a sua 
variância. Sabemos apenas que 𝑃(𝑋 > 53,20) = 5% e 𝑃(𝑋 < 38,60) = 10%. 
O problema fornece uma tabela com valores para a curva normal padrão, ou seja, a curva normal 
com média 0 e variância 1. 
Precisamos achar os correspondentes valores de 53,20 e 38,60 da variável X na distribuição 
normal padrão. Para tanto, vamos usar a fórmula de conversão. 
 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
 
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98 
 
𝑍A =
53,20 − 𝜇
𝜎 
 
𝑍B =
38,60 − 𝜇
𝜎 
Precisamos encontrar 𝑍A e 𝑍B. 
𝑍A é um número tal que 𝑃(𝑍 > 𝑍A) = 5% e 𝑍B é um número tal que 𝑃(𝑍 < 𝑍B) = 10%, ou seja, 𝑍A 
e 𝑍B são os valores correspondentes de 53,20 e 38,60 da variável X na variável normal reduzida. 
Observe a tabela dada no enunciado. 
 
A tabela diz que 𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 1 − 𝛼. Vamos então acrescentar uma linha à tabela com esses 
valores. 
𝒛 1,64 1,41 1,28 1,17 0,99 
𝛼 5% 8% 10% 12% 16% 
𝑃(𝑍 ≤ 𝑧) = 1 − 𝛼 95% 92% 90% 88% 84% 
 
Essa tabela indica, por exemplo, que 𝑃(𝑍≤ 1,64) = 95%. Isso quer dizer que 𝑃(𝑍 > 1,64) = 5%. 
Percebeu? Se não, observe: 
 
𝑃(𝑋 > 53,20) = 5% 
𝑃(𝑍 > 1,64) = 5% 
Isso quer dizer que 1,64 é o correspondente de 53,20 na variável normal reduzida. Assim, 𝑍A =
1,64. 
𝑍A =
53,20 − 𝜇
𝜎 
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99 
 
 
1,64 =
53,20 − 𝜇
𝜎 
 
1,64𝜎 = 53,20 − 𝜇 
 
𝜇 = 53,20 − 1,64𝜎 → 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜	𝐼 
A tabela indica ainda que 𝑃(𝑍 ≤ 1,28) = 90%. Isso quer dizer que 𝑃(𝑍 > 1,28) = 10%. 
Como a distribuição normal reduzida é simétrica em torno de 0, então 𝑃(𝑍 < −1,28) = 10%. 
Observe: O primeiro gráfico corresponde a 𝑃(𝑍 > 1,28). O segundo gráfico corresponde a 𝑃(𝑍 <
−1,28). 
 
 
 
Ora, temos que: 
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100 
 
𝑃(𝑋 < 38,60) = 10% 
𝑃(𝑍 < −1,28) = 10%. 
Isso quer dizer que −1,28 é o correspondente de 38,60 na variável normal reduzida. Assim, 𝑍B =
−1,28. 
𝑍B =
38,60 − 𝜇
𝜎 
 
−1,28 =
38,60 − 𝜇
𝜎 
 
−1,28𝜎 = 38,60 − 𝜇 
 
𝜇 = 38,60 + 1,28𝜎 → 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜	𝐼𝐼 
Igualando as equações I e II, temos: 
38,60 + 1,28𝜎 = 53,20 − 1,64𝜎 
 
2,92𝜎 = 14,6 
 
𝜎 = 5 
Consequentemente, 
𝜇 = 38,60 + 1,28𝜎 
𝜇 = 38,60 + 1,28 × 5 
 
𝜇 = 45 
Queremos calcular o preço P tal que 88% dos preços são iguais ou inferiores a P. 
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101 
 
𝑃(𝑋 < 𝑃) = 88% 
A tabela indica que 𝑃(𝑍 < 1,17) = 88%. 
Isso quer dizer que 1,17 é o correspondente de 𝑃 na variável normal reduzida. 
𝑃 − 𝜇
𝜎 = 1,17 
𝑃 − 45
5 = 1,17 
 
𝑃 − 45 = 5 × 1,17 
 
𝑃 = 50,85 
Gabarito: C 
 
12. (FCC 2018/TRT 2ª Região) 
Em uma grande cidade, a população formada pela altura de seus habitantes adultos é 
normalmente distribuída e considerada de tamanho infinito. 
 
Sabe-se que 5% destes habitantes têm altura superior a 180 cm. Se apenas 2,5% destes 
habitantes têm altura inferior a 162 cm, então a média desta população é de 
a) 171,2 cm 
b) 171,8 cm 
c) 171,4 cm 
d) 171,6 cm 
e) 172,0 cm 
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102 
 
Comentário 
Seja X a variável aleatória que representa as alturas dos habitantes adultos. Sabemos que X tem 
distribuição normal. Sejam 𝜇 e 𝜎 a média e o desvio padrão, respectivamente. 
Sabemos que 𝑃(𝑋 > 180) = 5% e que 𝑃(𝑋 < 162) = 2,5%. 
A tabela indica que 𝑃(|𝑍| < 𝑧) = 1 − 𝛼. Vamos construir uma linha para esta probabilidade. 
z 1,64 1,75 1,96 2,24 
𝛼 10% 8% 5% 2,5% 
𝑃(|𝑍| < 𝑧) = 1 − 𝛼 90% 92% 95% 97,5% 
Isso quer dizer, por exemplo, que 𝑃(|𝑍| < 1,64) = 90%, ou seja, 𝑃(−1,64 < 𝑍 < 1,64) = 90%. 
Observe o gráfico a seguir. 
 
 
A região azul acima, 𝑃(−1,64 < 𝑍 < 1,64) tem uma área de 90%. Como a distribuição normal é 
simétrica, então cada região branca nas caudas tem uma área de 5% (para que o total seja 100%). 
Assim, concluímos que 𝑃(𝑍 > 1,64) = 5%. 
Ora, mas sabemos também que 𝑃(𝑋 > 180) = 5%. 
Isso quer dizer que 1,64 é o correspondente de 180 na distribuição normal reduzida. 
E como transformamos 180 no seu correspondente da normal reduzida? Através da seguinte 
fórmula. 
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103 
 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
Logo, 
1,64 =
180 − 𝜇
𝜎 
 
1,64𝜎 = 180 − 𝜇 
 
𝜇 = 180 − 1,64𝜎 → 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜	𝐼 
 
Vamos agora focar na outra probabilidade dada: 𝑃(𝑋 < 162) = 2,5%. 
Precisamos achar um número z tal que 𝑃(𝑍 < 𝑧) = 2,5%, ou seja, a área à esquerda de 𝑧 tem que 
ser 2,5%. 
A tabela indica que 𝑃(|𝑍| < 1,96) = 95%, ou seja, 𝑃(−1,96 < 𝑍 < 1,96) = 95%. 
Essa é a área entre os números −1,96 e 1,96. Como a área total é 100%, ainda faltam 5%. Assim, 
temos que a área abaixo de −1,96 é 2,5% e a área acima de 1,96 também é 2,5%. 
Logo, 
𝑃(𝑍 < −1,96) = 2,5% 
Concluímos que −1,96 é o correspondente de 162 na distribuição normal reduzida. Vamos aplicar 
a fórmula. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
−1,96 =
162 − 𝜇
𝜎 
 
−1,96𝜎 = 162 − 𝜇 
 
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104 
 
𝜇 = 162 + 1,96𝜎 → 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜	𝐼𝐼 
 
Igualando as expressões obtidas nas equações I e II, temos: 
162 + 1,96𝜎 = 180 − 1,64𝜎 
 
3,6𝜎 = 18 
𝜎 = 5 
Consequentemente, 
𝜇 = 162 + 1,96𝜎 
 
𝜇 = 162 + 1,96 × 5 
 
𝜇 = 171,8 
A questão quer saber justamente o valor da média. 
Gabarito: B 
 
13. (FCC 2018/ICMS-SC) 
Seja X a variável que representa o diâmetro de uma peça fabricada por uma metalúrgica. Sabe-
se que X tem distribuição normal com média 10 cm e variância 4 cm2. Toda peça cujo diâmetro 
se distanciar da média por menos do que 1,68 cm é considerada boa. Três peças são 
selecionadas aleatoriamente e com reposição da distribuição de X. A probabilidade de 
exatamente uma ser boa é igual a 
Dados: 
Se Z tem distribuição normal padrão: 
P(Z < 0,84) = 0,8 
P(Z < 1) = 0,841 
P(Z < 1,96) = 0,975 
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105 
 
a) 0,441 
b) 0,348 
c) 0,288 
d) 0,340 
e) 0,291 
Comentário 
Vamos calcular a probabilidade de uma peça selecionada ao acaso ser boa. Para que a peça seja 
considerada boa, ela deve distar menos de 1,68 cm da média. 
A média é 10cm. Assim, a peça boa tem que ter menos de 10 + 1,68 = 11,68𝑐𝑚 e mais de 10 −
1,68 = 8,32	𝑐𝑚. 
Logo, a probabilidade de uma peça selecionada ao acaso ser boa é 𝑃(8,32 < 𝑋 < 11,68). 
Para calcular essa probabilidade, precisamos encontrar os valores correspondentes de 8,32 e 
11,68 na distribuição normal padrão. O enunciado informa que a média é 10 e a variância é 4 
(logo, o desvio padrão é 2). Para transformar valores de uma distribuição normal qualquer para a 
distribuição normal padrão, devemos usar a seguinte fórmula. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 =
𝑋 − 10
2 
Logo, 
𝑍A =
8,32 − 10
2 = −0,84 
𝑍B =
11,68 − 10
2 = 0,84 
Assim, calcular 𝑃(8,32 < 𝑋 < 11,68) é o mesmo que calcular 𝑃(−0,84 < 𝑍 < 0,84). 
O enunciado afirma que 𝑃(𝑍 < 0,84) = 0,8. 
Em outras palavras, a área abaixo de 0,84 é 0,8. 
Como a área total abaixo da curva normal é 1, então a área acima de 0,84 é 0,2. Observe: 
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106 
 
 
Lembre-se que a área do 0 pra frente é igual a 0,5. 
Logo, a área (figura a seguir) entre 0 e 0,84 é 0,5 − 0,2 = 0,30. 
 
Como a distribuição normal é simétrica, então a área entre 0 e −0,84 também é 0,30. 
Concluímos que a área de −0,84 até 0,84 é 0,30 + 0,30 = 0,60 (veja a figura abaixo). 
 
𝑃(−0,84 < 𝑍 < 0,84) = 0,60 
Logo, 
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107𝑃(8,32 < 𝑋 < 11,68) = 0,60 
Isso quer dizer que a probabilidade de retirarmos uma peça boa é 0,60. 
O problema diz que 3 peças serão retiradas aleatoriamente com reposição. Queremos calcular a 
probabilidade de exatamente uma ser boa. Vamos utilizar a probabilidade binomial. 
O experimento será realizado 3 vezes (com reposição). Logo, 𝑛 = 3. Queremos calcular a 
probabilidade de obtermos exatamente 1 sucesso. 
𝑃(𝑌 = 1) = t31w 𝑝
A𝑞B 
 
𝑃(𝑌 = 1) = 3 × 0,6 × 0,4B 
 
𝑃(𝑌 = 1) = 0,288 
Gabarito: C 
 
14. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
Instruções: Considere as informações abaixo para responder à questão. Se Z tem distribuição 
normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,67) = 0,75; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,64) = 0,95; 
P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,05) = 0,98 
O diâmetro de uma peça produzida por uma indústria metalúrgica é uma variável aleatória X, 
normal, com média de 10 cm e primeiro quartil igual a 7,99 cm. Todas as peças desta produção 
que distam da média por mais do que 4,2 cm são vendidas como sucata. Nessas condições, a 
proporção de peças da produção que será vendida como sucata é igual a 
a) 15,6% 
b) 12,4% 
c) 8,1% 
d) 8,7% 
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108 
 
e) 16,2% 
Comentário 
Dizer que o primeiro quartil é 7,99 é o mesmo que dizer que 𝑃(𝑋 < 7,99) = 0,25. 
Precisamos encontrar o correspondente de 7,99 na distribuição normal padrão. 
Os dados do enunciado informam que 𝑃(𝑍 < 0,67) = 0,75. Como a área total abaixo da curva 
normal é 1, então 𝑃(𝑍 > 0,67) = 0,25. Observe a figura a seguir que representa 𝑃(𝑍 > 0,67). 
 
 
Ora, como a distribuição normal padrão é simétrica em torno de 0, então 𝑃(𝑍 < −0,67) também 
é igual a 0,25. 
𝑃(𝑍 < −0,67) = 0,25 
Assim, concluímos que −0,67 é o correspondente de 7,99 na distribuição normal padrão. 
Como transformamos 7,99 no seu correspondente da normal padrão? Através da seguinte 
fórmula. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
O valor de 𝑍 é −0,67, a média é 10 e o valor X que queremos transformar é 7,99. 
−0,67 =
7,99 − 10
𝜎 
 
−0,67𝜎 = −2,01 
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109 
 
 
𝜎 = 3 
A questão diz que as peças que distam mais de 4,2cm da média são vendidas como sucata. 
Como a média é 10, então são vendidas como sucata as peças com mais de 10 + 4,2 = 14,2 cm 
ou com menos de 10 – 4,2 = 5,8 cm. 
Assim, queremos calcular 𝑃(𝑋 < 5,8	𝑜𝑢	𝑋 > 14,2). 
Para calcular tal probabilidade, precisamos encontrar os correspondentes de 5,8 e 14,2 na 
distribuição normal padrão. 
A fórmula de transformação é 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 =
𝑋 − 10
3 
Logo, 
𝑍A =
5,8 − 10
3 = −1,4 
𝑍B =
14,2 − 10
3 = 1,4 
Assim, queremos calcular 𝑃(𝑍 < −1,4	𝑜𝑢	𝑍 > 1,4). 
O enunciado afirma que P(Z < 1,4) = 0,919. 
Isso quer dizer que a área de 1,4 pra trás é 0,919, ou seja, a área a seguir é 0,919. 
 
Ora, se a área azul acima é 0,919, então a área da região branca é 1 − 0,919 = 0,081. 
A área desejada, 𝑃(𝑍 < −1,4	𝑜𝑢	𝑍 > 1,4) corresponde a duas vezes a região branca. 
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110 
 
Voltemos à região que queremos calcular a área. 
 
Logo, a área procurada é 2 × 0,081 = 0,162. 
Portanto, 
𝑃(𝑋 < 5,8	𝑜𝑢	𝑋 > 14,2) = 16,2% 
Gabarito: E 
 
15. (FCC 2017/TRT 11ª Região) 
Instruções: Considere as informações abaixo para responder à questão. Se Z tem distribuição 
normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,67) = 0,75; P(Z < 1,4) = 0,919; P(Z < 1,6) = 0,945; 
P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 2) = 0,977; P(Z < 2,05) = 0,98 
A porcentagem do orçamento gasto com educação nos municípios de certo estado é uma 
variável aleatória X com distribuição normal com média 𝝁(%) e variância 4(%)2. 
Um gasto em educação superior a 10% tem probabilidade de 4%. Nessas condições, o valor de 
𝝁 é igual a 
a) 5,50% 
b) 6,20% 
c) 7,35% 
d) 6,50% 
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111 
 
e) 7,85% 
Comentário 
A variância é 4. Logo, o desvio padrão é 𝜎 = 2. 
Sabemos que 𝑃(𝑋 > 10) = 4%. Precisamos calcular o correspondente de 10 na distribuição 
normal padrão. 
O enunciado informa que 𝑃(𝑍 < 1,75) = 0,96. Como a área total abaixo da curva normal é 1, 
então 𝑃(𝑍 > 1,75) = 0,04 = 4%. 
Assim, o correspondente de 10 na distribuição normal padrão é 1,75. 
Como transformamos 10 no seu correspondente da normal padrão? Através da seguinte fórmula. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
 
1,75 =
10 − 𝜇
2 
 
1,75 × 2 = 10 − 𝜇 
 
3,5 = 10 − 𝜇 
 
𝜇 = 6,5 
Gabarito: D 
 
16. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
Instrução: Para responder à questão utilize, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
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112 
 
 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2) = 0,977. 
 O efeito do medicamento A é o de baixar a pressão arterial de indivíduos hipertensos. O 
tempo, em minutos, decorrido entre a tomada do remédio e a diminuição da pressão é uma 
variável aleatória X com distribuição normal, tendo média 𝝁 e desvio padrão 𝝈. 
Se o valor de 𝝁 é de 56 min e o valor de 𝝈 é de 10 min, a probabilidade de X estar 
compreendido entre 52 min e 74 min é igual a 
a) 61,9% 
b) 52,4% 
c) 64,5% 
d) 30,9% 
e) 56,0% 
Comentário 
Temos uma variável aleatória X com distribuição normal. Sabemos ainda que a média é 56 e o 
desvio padrão é 10. 
Queremos calcular 𝑃(52 < 𝑋 < 74). 
Precisamos calcular os correspondentes de 52 e 74 na distribuição normal padrão. 
Vamos aplicar a fórmula de transformação. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 =
𝑋 − 56
10 
 
𝑍A =
52 − 56
10 = −0,4 
 
𝑍B =
74 − 56
10 = 1,8 
Assim, a probabilidade que queremos calcular é igual a 𝑃(−0,4 < 𝑍 < 1,8), ou seja, queremos 
calcular a área entre -0,4 e 1,8 na curva normal padrão. 
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113 
 
 
 
Há duas informações relevantes no enunciado: P(Z < 0,4) = 0,655 e P(Z < 1,8) = 0,964. 
Ora, se 𝑃(𝑍 < 1,8) = 0,964, então 𝑃(𝑍 > 1,8) = 1 − 0,964 = 0,036. 
Analogamente, 𝑃(𝑍 > 0,4) = 1 − 0,655 = 0,345. 
Como a distribuição normal é simétrica em torno de zero, então 𝑃(𝑍 < −0,4) = 𝑃(𝑍 > 0,4) =
0,345. 
 
 
 
Assim, a área da região azul é: 
1 − 0,345 − 0,036 = 
 
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114 
 
= 0,619 
Gabarito: A 
 
17. (FCC 2015/SEFAZ-PI) 
Instrução: Para resolver à questão utilize, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,5) = 0,691; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,2) = 0,885; P(Z < 1,28) = 0,90. 
Suponha que a nota em conhecimentos gerais dos indivíduos que prestaram um determinado 
concurso público tenha distribuição normalcom média 5 e desvio padrão 1,5. Suponha, ainda, 
que foram selecionados, ao acaso e com reposição, 4 indivíduos que prestaram o referido 
concurso. Nessas condições, a probabilidade de que exatamente 2 indivíduos dessa amostra 
tenham obtido nota maior do que 6,92 é igual a 
a) 5,95% 
b) 4,96% 
c) 5,15% 
d) 4,86% 
e) 3,84% 
Comentário 
Vamos assumir que obtemos um sucesso quando um indivíduo selecionado aleatoriamente tem 
nota maior do que 6,92. 
𝑝 = 𝑃(𝑋 > 6,92) 
Vamos selecionar ao acaso e com reposição 4 indivíduos e queremos calcular a probabilidade de 
obtermos exatamente 2 sucessos (probabilidade binomial). 
𝑃(𝑌 = 2) = t42w𝑝
B𝑞B 
 
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115 
 
=
4 ∙ 3
2 ∙ 1 ∙ 𝑝
B𝑞B = 6𝑝B𝑞B 
Precisamos calcular 𝑝 = 𝑃(𝑋 > 6,92). 
Para tanto, precisamos encontrar o correspondente de 6,92 na distribuição normal padrão. A 
média da variável normal X é 5 o seu desvio padrão é 1,5. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 =
𝑋 − 5
1,5 
Logo, 
𝑍 =
6,92 − 5
1,5 = 1,28 
Assim, queremos calcular 𝑃(𝑍 > 1,28) 
O enunciado informa que P(Z < 1,28) = 0,90. 
Logo, 
𝑃(𝑍 > 1,28) = 1 − 0,90 = 0,10 
Esta é justamente a probabilidade 𝑝. Vamos voltar à probabilidade binomial pedida. 
𝑃(𝑌 = 2) = 6𝑝B𝑞B 
 
= 6 ∙ 0,10B ∙ 0,90B 
 
= 0,0486 
Gabarito: D 
 
 
 
18. (FCC 2015/CNMP) 
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116 
 
Atenção: Para responder à questão use, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,53) = 0,70; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,55) = 0,94; 
P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2,05) = 0,98 
A porcentagem do orçamento gasto com pessoal em 40 municípios de certa região é uma 
variável aleatória X com distribuição normal com média μ(%) e desvio padrão 3%. 
O valor de K tal que 𝑷(|𝑿 − 𝝁| > 𝑲) = 𝟎, 𝟏𝟎 é, em %, igual a 
a) 3,84. 
b) 4,92. 
c) 5,46. 
d) 4,53. 
e) 3,96. 
Comentário 
Sabemos que 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
Logo, 
𝑋 − 𝜇 = 𝜎𝑍 
 
𝑋 − 𝜇 = 3𝑍 
A questão diz que 𝑃(|𝑋 − 𝜇| > 𝐾) = 0,10. Logo, 
𝑃(|3𝑍| > 𝐾) = 0,10 
 
𝑃(3 ∙ |𝑍| > 𝐾) = 0,10 
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117 
 
 
𝑃 ¤|𝑍| >
𝐾
3¥ = 0,10 
Se |𝑍| > 𝐾/3, então 𝑍 < −𝐾/3 ou 𝑍 > 𝐾/3	. 
 
Se ficou difícil perceber isso com letras, pense com números. Imagine que temos |𝑥| > 3. Ora, se 
o módulo de x é maior do que 3, então x é menor do que -3 ou x é maior do que 3. 
Assim, 
𝑃 ¤𝑍 < −
𝐾
3 	𝑜𝑢	𝑍 >
𝐾
3¥ = 0,10 
Como a distribuição normal padrão Z é simétrica em relação a zero, então 
𝑃 ¤𝑍 < −
𝐾
3¥ = 𝑃 ¤𝑍 >
𝐾
3¥ 
Como a soma dessas probabilidades é 0,10, então cada uma delas vale 0,05. 
𝑃 ¤𝑍 >
𝐾
3¥ = 0,05 
 
Há uma informação relevante no enunciado: 𝑃(𝑍 < 1,64) = 0,95. Assim, podemos concluir que 
𝑃(𝑍 > 1,64) = 0,05. 
Observe: 
𝑃 ¤𝑍 >
𝐾
3¥ = 0,05 
𝑃(𝑍 > 1,64) = 0,05 
 
Logo, 
𝐾
3 = 1,64 
 
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118 
 
𝐾 = 3 × 1,64 
 
𝐾 = 4,92 
Gabarito: B 
 
19. (FCC 2015/CNMP) 
Atenção: Para responder à questão use, dentre as informações dadas a seguir, as que julgar 
apropriadas. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,4) = 0,655; P(Z < 0,53) = 0,70; P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,55) = 0,94; 
P(Z < 1,6) = 0,945; P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,75) = 0,96; P(Z < 1,8) = 0,964; P(Z < 2,05) = 0,98 
A porcentagem do orçamento gasto com pessoal em 40 municípios de certa região é uma 
variável aleatória X com distribuição normal com média μ(%) e desvio padrão 3%. 
Sabe-se que a probabilidade de que o gasto com pessoal seja superior a 80% é igual a 0,02. 
Nessas condições, o valor de μ é, em %, igual a 
a) 72,50. 
b) 62,80. 
c) 70,35. 
d) 73,85. 
e) 65,90. 
Comentário 
Sabemos que 𝑃(𝑋 > 80) = 0,02. 
Há uma informação relevante no enunciado: 𝑃(𝑍 < 2,05) = 0,98. 
Ora, como a distribuição normal padrão tem uma área total igual a 1, então 𝑃(𝑍 > 2,05) = 0,02. 
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119 
 
Assim, concluímos que 2,05 é o correspondente de 80 na distribuição normal padrão. Vamos 
aplicar a fórmula de transformação. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
 
2,05 =
80 − 𝜇
3 
 
2,05 × 3 = 80 − 𝜇 
 
6,15 = 80 − 𝜇 
 
𝜇 = 73,85 
Gabarito: D 
 
20. (FCC 2015/TRE-RR) 
Atenção: Para responder à questão use as informações dadas abaixo. 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 1,8) = 0,964. 
O diâmetro de uma peça é uma variável aleatória X, com distribuição normal com média 𝝁 (cm) 
e variância igual a 2,25(cm)2. 
Ao vender a peça, o lucro obtido pelo fabricante é de 50 reais se X se distanciar de sua média 
por, no máximo, 1,5 cm e, é de − 10 reais caso contrário. Nessas condições, o lucro esperado 
por peça do fabricante é, em reais, igual a 
a) 25,40. 
b) 32,80. 
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120 
 
c) 30,92. 
d) 28,50. 
e) 32,84. 
Comentário 
A variância é 2,25. Logo, o desvio padrão é 𝜎 = ª2,25 = 1,5. 
Vamos calcular a probabilidade de X se distanciar da média por no máximo 1,5, ou seja, vamos 
calcular 
𝑃(𝜇 − 1,5 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 1,5) 
Precisamos calcular os correspondentes de 𝜇 − 1,5 e 𝜇 + 1,5 na distribuição normal padrão. Para 
tanto, basta utilizar a fórmula de transformação. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
Assim, temos: 
𝑍A =
(𝜇 − 1,5) − 𝜇
1,5 = −1 
𝑍B =
(𝜇 + 1,5) − 𝜇
1,5 = 1 
Assim, calcular 𝑃(𝜇 − 1,5 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 1,5) é o mesmo que calcular 𝑃(−1 < 𝑍 < 1). 
O enunciado afirma que P(Z < 1) = 0,841. 
Essa é toda a área de 1 pra trás. 
 
Assim, a área à direita de 1 é 1 − 0,841 = 0,159. 
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121 
 
Como a distribuição normal é simétrica, então a área à esquerda de −1 também é 0,159. 
 
Portanto, a área entre -1 e 1 é 1 − 2 × 0,159 = 0,682. 
𝑃(−1 < 𝑍 < 1) = 0,682 
Quando isso ocorre, o fabricante tem um lucro de 50 reais. Assim, a probabilidade de o 
fabricante ter um lucro de 50 reais é 0,682. 
𝑃(𝐿 = 50) = 0,682 
Caso isso não ocorra, o fabricante tem um prejuízo de 10 reais. Assim, a probabilidade de o 
fabricante ter um prejuízo de 10 reais é 
𝑃(𝐿 = −10) = 1 − 0,682 = 0,318 
Queremos saber o lucro esperado do fabricante por peça. 
Para calcular o lucro esperado (esperança, lucro médio), devemos multiplicar cada possível valor 
do lucro pelas respectivas probabilidades e somar. 
 
𝑳𝒖𝒄𝒓𝒐	(𝑳) 𝑷(𝑳) 𝑳 ∙ 𝑷(𝑳) 
+50 0,682 34,10 
−10 0,318 −3,18 
 
Assim, o lucro esperado é: 
𝐸(𝐿) = 34,10 − 3,18 
 
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122 
 
𝐸(𝐿) = 30,92 
Gabarito: C 
 
21. (FCC 2015/TRE-RR) 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 1) = 0,841; P(Z < 1,28) = 0,90; P(Z < 1,5) = 0,933; P(Z < 1,8) = 0,964. 
Suponha que os funcionários de um determinado órgão público realizem uma tarefa em duas 
etapas. Sejam X1 e X2, respectivamente, os tempos para a realização das etapas 1 e 2. Sabe-se 
que: 
 
I. 𝑿𝟏 e 𝑿𝟐 são variáveis aleatórias independentes. 
II. 𝑿𝟏 tem distribuição normal com média igual a 2 horas e desvio padrão de 10 minutos. 
III. 𝑿𝟐 tem distribuição normal com média igual a 3 horas e variância de 300 (minutos)2. 
Nessas condições, a probabilidade de que um funcionário selecionado ao acaso leve, no mínimo, 
270 minutos e, no máximo, 320 minutos, para a realização da tarefa é, em %, igual a 
a) 49,4. 
b) 60,6. 
c) 58,8. 
d) 75,0. 
e) 77,4. 
Comentário 
Sabemos que 𝐸(𝑋A) = 120	𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 e 𝐸(𝑋B) = 180	𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠. 
Sabemos também que 𝑉𝑎𝑟(𝑋A) = 10B = 100 e 𝑉𝑎𝑟(𝑋B) = 300. 
Vimos que a soma de duas variáveis normais é também uma variável normal. 
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123 
 
Como os funcionários vão realizar as duas etapas, então o tempo total é a soma dos tempos das 
duas tarefas. 
Vamos definir uma variável 𝑇 que é a soma de 𝑋A e 𝑋B. 
𝑇 = 𝑋A + 𝑋B 
Vamos calcular a média e a variância de 𝑇. 
𝐸(𝑇) = 𝐸(𝑋A + 𝑋B) = 
 
= 𝐸(𝑋A) + 𝐸(𝑋B) 
 
= 120 + 180 = 300	𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
Assim, a média do tempo total é de 300 minutos. 
Vamos à variância. 
𝑉𝑎𝑟(𝑇) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋A + 𝑋B) 
 
= 𝑉𝑎𝑟(𝑋A) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋B) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋A, 𝑋B) 
 
Como as variáveis 𝑋A e 𝑋B são independentes, então 𝑐𝑜𝑣(𝑋A, 𝑋B) = 0. Logo, 
𝑉𝑎𝑟(𝑇) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋A) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋B) = 
 
= 100 + 300 = 400 
 
Assim, a variável T é uma variável com distribuição normal com média 𝜇 = 300 e variância 𝜎B =
400. Logo, seu desvio padrão é 𝜎 = √400 = 20. 
Queremos calcular a probabilidade de o tempo total T ser no mínimo 270 minutos e no máximo 
320 minutos. 
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124 
 
𝑃(270 ≤ 𝑇 ≤ 320) =? 
 
Para tanto, precisamos calcular os correspondentes de 270 e 320 na distribuição normal padrão. 
Vamos utilizar a fórmula de transformação. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 =
𝑋 − 300
20 
Logo, 
𝑍A =
270 − 300
20 = −1,5	 
 
𝑍B =
320 − 300
20 = 1 
 
Assim, a probabilidade pedida é 𝑃(−1,5 < 𝑍 < 1). 
 
 
Sabemos que P(Z < 1) = 0,841. Logo, 𝑃(𝑍 > 1) = 1 − 0,841 = 0,159. 
Sabemos que P(Z < 1,5) = 0,933. Logo, 𝑃(𝑍 > 1,5) = 1 − 0,933 = 0,067. 
Como a distribuição normal é simétrica, então 𝑃(𝑍 < −1,5) também é igual a 0,067. 
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125 
 
 
 
Assim, a área sombreada 𝑃(−1,5 < 𝑍 < 1) é dada por: 
1 − 0,067 − 0,159 = 
 
= 0,774 
Gabarito: E 
 
 
22. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
No período de 81 dias úteis, foram coletadas informações sobre o fluxo de conciliações em um 
Tribunal Regional do Trabalho. Considere que diariamente são realizados, em média, 64 acordos 
de conciliação no Tribunal segundo uma distribuição de Poisson. Usando o Teorema Central do 
Limite, pode-se considerar que a média diária da amostra de 81 dias terá uma distribuição 
aproximadamente normal. Considere, abaixo, a tabela referente à distribuição normal padrão, Z: 
 
Com base nessa aproximação e os dados fornecidos, a probabilidade de que a média amostral 
da amostra de 81 dias seja superior a 66 conciliações é, em %, igual a 
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126 
 
a) 6,7. 
b) 0,6. 
c) 1,2. 
d) 2,3. 
e) 4,0. 
Comentário 
A média diária é de 64 acordos. 
Assim, a média referente ao período de 81 dias é: 
𝜇�A = 81 × 64 
 
𝜇�A = 5.184 
Uma das características da distribuição de Poisson é que a variância é igual à média. Assim, a 
variância referente ao período de 81 dias é: 
𝜎�AB = 5.184 
O correspondente desvio padrão é: 
𝜎�A = √5.184 = √81 × 64 = 9 × 8 
 
𝜎�A = 72 
O enunciado diz que, pelo Teorema do Limite Central, essa distribuição de Poisson pode ser 
considerada aproximadamente normal. 
Assim, temos uma distribuição normal com média 5.184 e desvio padrão 72. 
Queremos calcular a probabilidade de que a média amostral da amostra de 81 dias seja superior 
a 66 conciliações. Faltou a questão dizer que é uma média diária, ou seja, uma média de 66 
conciliações por dia. 
Como estamos trabalhando com o período de 81 dias, então queremos calcular a probabilidade 
de haver mais de 81 × 66 = 5.346 conciliações. 
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127 
 
𝑃(𝑋 > 5.346) =? 
Para calcular essa probabilidade, precisamos encontrar o correspondente de 5.346 na 
distribuição normal padrão. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 
 
𝑍 =
5.346 − 5.184
72 = 2,25 
Assim, queremos calcular: 
𝑃(𝑍 > 2,25) 
 
Esse valor foi dado pelo enunciado. 
𝑃(𝑍 > 2,25) = 0,012 = 1,2% 
Lembre-se que como Z é uma distribuição contínua, temos que 𝑃(𝑍 > 2,25) = 𝑃(𝑍 ≥ 2,25). 
Gabarito: C 
 
23. (FGV 2017/MPE-BA) 
A probabilidade de que uma decisão de 1ª instância da Justiça Federal do Paraná seja 
reformada pelo Tribunal Superior da 4ª Região é de 0,20. No momento 100 recursos aguardam 
por uma decisão dos Srs. Desembargadores daquele Tribunal. 
São informados alguns valores da distribuição acumulada da normal-padrão: 
 𝝓(𝟏) = 𝟎, 𝟖𝟕, 𝝓(𝟏, 𝟐𝟖) = 𝟎, 𝟗𝟎 e 𝝓(𝟐) = 𝟎, 𝟗𝟖 
Sem usar o ajuste de continuidade, a probabilidade de que mais de 24 decisões sejam 
reformadas é: 
a) 13%; 
b) 10%; 
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128 
 
c) 8%; 
d) 5%; 
e) 2%. 
Comentário 
Vamos considerar que obtemos um sucesso quando uma decisão é reformada. Assim, queremos 
calcular a probabilidade de obtermos mais de 24 sucessos. Sendo X o número de sucessos: 
𝑃(𝑋 > 24) =? 
A variável X tem distribuição binomial com parâmetros 𝑛 = 100 e 𝑝 = 0,20. Sua média, variância e 
desvio padrão são dados por: 
𝜇 = 𝑛𝑝 = 100 × 0,20 = 20 
𝜎B = 𝑛𝑝𝑞 = 100 × 0,20 × 0,80 = 16 
𝜎 = √16 = 4 
Vamos aproximar a variável X por uma variável com distribuição normal com média 20 e desvio 
padrão 4. Para calcular 𝑃(𝑋 > 24), devemos encontrar o correspondente de 24 na distribuição 
normal padrão. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎 =
24 − 20
4 = 1 
Assim, queremos calcular 𝑃(𝑍 > 1). 
A questão forneceu valores da função de distribuição acumulada. 
𝜙(1) = 𝑃(𝑍 ≤ 1) = 0,87 
Assim, 
𝑃(𝑍 > 1) = 1 − 0,87 = 0,13 = 13% 
Gabarito: A 
 
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129 
 
Exercícios – Distribuição de Qui-quadrado 
24. (CESPE 2018/STM) 
Para um estudo sobre a gestão de riscos jurídicos em determinado tribunal, um analista efetuará 
simulações de Monte Carlo com base em realizações de variáveisaleatórias contínuas Y 
(exponencial, com média m), U (uniforme no intervalo [0,1]) e Q (qui-quadrado, com k graus de 
liberdade.) 
Considerando que Y, U e Q sejam mutuamente independentes, julgue o item. 
A transformação ª𝑄 proporciona uma realização da distribuição normal padrão. 
Comentário 
Uma distribuição Q qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade corresponde à soma dos quadrados 
de 𝑘 distribuições normais reduzidas 𝑍�. 
𝑄 = 𝑍AB + 𝑍BB + ⋯+ 𝑍¡B 
Assim, 
ª𝑄 = §𝑍AB + 𝑍BB + ⋯+ 𝑍¡B 
Essa não é uma distribuição normal padrão. O item estaria certo se 𝑘 fosse igual a 1, pois 
teríamos. 
ª𝑄 = §𝑍AB = 𝑍A 
Gabarito: Errado 
 
25. (CESPE 2018/EBSERH – Analista Administrativo) 
A variância da distribuição 𝜒B com 25 graus de liberdade é superior a 40. 
Comentário 
A variância de uma distribuição de qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade é 2𝑘. Logo, a 
variância de uma distribuição 𝜒B com 25 graus de liberdade é 2 × 25 = 50. 
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130 
 
Gabarito: Certo 
 
26. (CONSULPLAN 2017/TRF 2ª Região) 
Sobre medidas de posição, medidas de dispersão, assimetria e curtose, assinale a 
alternativa INCORRETA. 
a) A curtose é interpretada com base na distribuição normal. 
b) No gráfico boxplot, os outliers são os pontos a 3 desvios-padrões de distância da média. 
c) A distribuição qui-quadrado tende a ficar simétrica com o aumento dos seus graus de 
liberdade. 
d) Para um conjunto de dados positivos com pelo menos dois valores diferentes entre si tem-se 
que a média harmônica é menor que a média geométrica e a média geométrica é menor que a 
média aritmética. 
Comentário 
Coloquei essa questão aqui por causa da alternativa C. 
Vimos que se o número de graus de liberdade da distribuição qui-quadrado é pequeno, o gráfico 
é assimétrico à direita. À medida que o número de graus de liberdade vai aumentando, a 
distribuição qui-quadrado se aproxima de uma distribuição normal, que é simétrica. Logo, a 
alternativa C está correta. 
Vamos agora fazer breves análises às outras alternativas. 
A) A curtose mede o grau de achatamento de uma curva. Tomamos a distribuição normal como 
“padrão”. Uma curva mais achatada que a normal é chamada de platicúrtica. Uma curva menos 
achatada que a normal é chamada de leptocúrtica. A distribuição normal, que é o padrão, é 
chamada de mesocúrtica. 
B) O gráfico Boxplot é construído a partir dos quartis 𝑄A, 𝑄B e 𝑄G. 
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131 
 
 
Sendo 𝐷𝐼𝑄 = 𝑄G − 𝑄A a distância interquartil, temos que: 
O maior valor que não é considerado um outlier é 𝑄G + 1,5𝐷𝐼𝑄 e o menor valor que não é 
considerado um outlier é 𝑄A − 1,5𝐷𝐼𝑄. 
Valores que forem menores do que 𝑄A − 1,5𝐷𝐼𝑄 ou maiores do que 𝑄G + 1,5𝐷𝐼𝑄 serão 
considerados valores extremos (outliers) e serão representados por bolinhas ou asteriscos. 
A alternativa B está errada. 
D) A alternativa D é verdadeira. Basta lembrar da desigualdade das médias. Sendo H a média 
harmônica, G a média geométrica e X a média aritmética, temos que: 
𝐻 ≤ 𝐺 ≤ 𝑋 
A igualdade ocorre somente se todas os valores observados forem iguais. 
Gabarito: B 
 
27. (CESPE 2016/TCE-PA) 
Considerando que 𝒁 e 𝑾 sejam variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição 
normal padrão, julgue o item subsequente. 
A soma dos quadrados 𝑍B +𝑊B segue distribuição t de Student. 
Comentário 
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132 
 
A soma dos quadrados de 𝑘 distribuições normais reduzidas independentes segue uma 
distribuição de qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade. 
Como estamos somando os quadrados de 2 distribuições normais reduzidas, então temos uma 
distribuição de qui-quadrado com 2 graus de liberdade. 
Gabarito: Errado 
 
28. (FGV 2013/INEA-RJ) 
Em relação à distribuição de qui-quadrado, avalie as afirmativas a seguir. 
I. Se 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝒏 são variáveis independentes normalmente distribuídas com médias 𝝁𝒊 e 
desvios padrões 𝝈𝒊, 𝒊 = 𝟏,… , 𝒏, então a variável 𝑸 = ∑ t
𝑿𝒊D𝝁𝒊
𝝈𝒊
w𝒏𝒊£𝟏
𝟐
 tem distribuição qui-quadrado 
com (𝒏 − 𝟏) graus de liberdade. 
II. Se 𝑼 e 𝑽 são variáveis aleatórias independentes e têm distribuição qui-quadrado com 𝒎 e 𝒏 
graus de liberdade respectivamente, então 𝑼 + 𝑽 tem distribuição qui-quadrado com (𝒎 + 𝒏) 
graus de liberdade. 
III. Se 𝑼 tem distribuição qui-quadrado com 𝒌 graus de liberdade, então 𝑬[𝑼] = 𝒌 e 𝒗𝒂𝒓[𝑼] =
𝟐𝒌. 
Assinale: 
(A) se apenas a afirmativa I estiver correta. 
(B) se apenas as afirmativas I e II estiverem corretas. 
(C) se apenas as afirmativas I e III estiverem corretas. 
(D) se apenas as afirmativas II e III estiverem corretas. 
(E) se todas as afirmativas estiverem corretas. 
Comentário 
Comecemos pela assertiva I. 
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133 
 
Se 𝑋� é uma variável aleatória com distribuição normal e média 𝜇� e desvio padrão 𝜎�, então a 
variável ©ÁDuÁ
vÁ
 tem média 0 e desvio padrão 1. Assim, a variável 𝑍� =
©ÁDuÁ
vÁ
 é uma variável aleatória 
padrão (pois tem média 0 e desvio padrão 1). 
Assim, podemos escrever: 
𝑄 =¢¤
𝑋� − 𝜇�
𝜎�
¥
�
�£A
B
 
 
𝑄 =¢(𝑍�)B
�
�£A
 
 
𝑄 = 𝑍AB + 𝑍BB + ⋯𝑍�B 
Logo, 𝑄 corresponde à soma dos quadrados de 𝑛 variáveis aleatórias normais reduzidas. Isso é o 
mesmo que dizer que Q tem uma distribuição qui-quadrado com 𝑛 graus de liberdade. 
A assertiva I está errada porque são 𝑛 graus de liberdade. 
Vamos à assertiva II. Basta lembrar que: 
A soma de duas variáveis independentes com distribuições 𝜒B com 𝑘A e 𝑘B graus de 
liberdade é também uma distribuição 𝜒B com 𝑘A + 𝑘B graus de liberdade. 
 
Ora, se U tem uma distribuição de qui-quadrado com m graus de liberdade, então U é a soma 
dos quadrados de m distribuições normais reduzidas independentes. 
Se V tem uma distribuição de qui-quadrado com n graus de liberdade, então V é a soma dos 
quadrados de n distribuições normais reduzidas independentes. 
Ao somar U e V, teremos a soma dos quadrados de m + n distribuições normais reduzidas 
independentes. Assim, U+V tem uma distribuição qui-quadrado com m + n graus de liberdade. 
A assertiva II está certa. 
Vamos à assertiva III. 
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134 
 
A média e a variância de uma distribuição de Qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade são dadas 
por: 
𝜇 = 𝑘 
𝜎B = 2𝑘 
O item III está certo. 
Gabarito: D 
 
29. (FCC 2012/TRF 2ª Região) 
Uma variável aleatória contínua, X, com distribuição uniforme no intervalo [𝒂, 𝒃], tem média igual 
à variância de uma variável com distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade. Se 
𝑷(𝑿 < 𝟏) = 𝟏
𝟗
, então 𝑷(𝟏 < 𝑿 < 𝟓) é 
a) 1/5. 
b) 1/8. 
c) 2/7. 
d) 1/7. 
e) 2/9. 
Comentário 
A média e a variância de uma distribuição de Qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade são dadas 
por: 
𝜇 = 𝑘 
𝜎B = 2𝑘 
Assim, a variância de uma variável com distribuição qui-quadrado com 4 graus de liberdade é 
igual a 
𝜎B = 2 × 4 = 8 
Essa variância é igual à média da distribuição uniforme. 
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135 
 
𝑎 + 𝑏
2 = 8 
 
𝑎 + 𝑏 = 16 
 
𝑏 = 16 − 𝑎 
 
A amplitude do intervalo é 𝑏 − 𝑎. 
Sabemos que 𝑃(𝑋 < 1) = A
F
. 
 
Isso quer dizer que a amplitude do intervalo [𝑎, 1] representa 1/9 da amplitude do intervalo [𝑎, 𝑏]. 
1 − 𝑎 =
1
9 × (𝑏 − 𝑎) 
 
9 − 9𝑎 = 𝑏 − 𝑎 
 
𝑏 + 8𝑎 = 9 
 
Substituindo 𝑏 por 16 − 𝑎, temos: 
16 − 𝑎 + 8𝑎 = 9 
 
7𝑎 = −7 
 
𝑎 = −1 
 
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136 
 
Logo, 
𝑏 = 16 − 𝑎 
 
𝑏 = 16 − (−1) = 17 
O intervalo considerado é [−1,17], que tem amplitude 17 − (−1) = 18. Assim, a altura do 
retângulo é 1/18. 
Queremos calcular 𝑃(1 < 𝑋 < 5), ou seja, queremos calcular a área sob o gráfico de 1 até 5. 
 
A base do retângulo é 5 − 1 = 4. Logo, a área (probabilidade) pedida é 
𝑃(1 < 𝑋 < 5) = 4 ×
1
18 =
2
9 
Gabarito: E 
 
 
 
 
Exercícios – Distribuição t de Student 
30. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
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137 
 
Sabe-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo [a, b] com b > 
a, que sua média é 1 e que sua variância é igual à variância de uma distribuição t de Student 
com 8 graus de liberdade. Nessas condições, P(X < 1,5) é igual a 
a) 0,625. 
b) 0,725. 
c) 0,225. 
d) 0,150. 
e) 0,450. 
Comentário 
Se uma variável Y tem distribuição t de Student com 𝑘 graus de liberdade, então: 
𝜇 = 0	𝑠𝑒	𝑘 > 1 
A média não é definida para 𝑘 = 1. 
A variância é dada por 
𝜎B =
𝑘
𝑘 − 2 	𝑠𝑒	𝑘 > 2 
Como a distribuição t de Student tem 8 graus de liberdade, então sua variância é igual a: 
𝜎B =
8
8 − 2 =
8
6 =
4
3 
A questão disse que a variância da variável aleatória X (que tem distribuição uniforme contínua no 
intervalo [a,b]) também é 4/3. 
Logo, 
(𝑏 − 𝑎)B
12 =
4
3 
 
(𝑏 − 𝑎)B =
4
3 × 12 
 
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138 
 
(𝑏 − 𝑎)B = 16 
 
𝑏 − 𝑎 = 4 
 
𝑏 = 𝑎 + 4 
Além disso, a média de X (que tem distribuição uniforme contínua no intervalo [a,b]) é igual a 1. 
𝑎 + 𝑏
2 = 1 
 
𝑎 + 𝑏 = 2 
Vamos substituir 𝑏 por 𝑎 + 4. 
𝑎 + 𝑎 + 4 = 2 
 
2𝑎 = −2 
𝑎 = −1 
Logo, 
𝑏 = 𝑎 + 4 
𝑏 = −1 + 4 
𝑏 = 3 
Assim, a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [−1,3]. A amplitude desse 
intervalo é 3 − (−1) = 4. Logo, a altura do retângulo é 1/4. 
Queremos calcular 𝑃(𝑋 < 1,5). 
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139 
 
 
A área do retângulo verde corresponde justamente a 𝑃(𝑋 < 1,5). A altura do retângulo é 1/4 e a 
base é 1,5 – (–1) = 2,5. 
𝑃(𝑋 < 1,5) = 2,5 ×
1
4 =
2,5
4 =
25
40 = 0,625 
Gabarito: A 
 
31. (CESPE 2016/TCE-PR) 
Sabendo que Z segue uma distribuição normal padrão e que 𝑻𝒏 segue uma distribuição t de 
Student com 𝒏 graus de liberdade, assinale a opção correta. 
a) 𝑃(𝑍 > −2) < 𝑃(𝑍 < 2) 
b) 𝑃(𝑍 ≤ 2) > 𝑃(𝑇g ≤ 2) 
c) O valor esperado de 𝑇A é igual a zero. 
d) A variância de 𝑇Ai é igual ou superior a 1,3. 
e) 𝑃(𝑍 < 0) < 𝑃(𝑇Ai ≤ 0) 
Comentário 
Vamos analisar cada uma das alternativas. 
a) 𝑃(𝑍 > −2) < 𝑃(𝑍 < 2) 
Lembre-se que a distribuição normal padrão tem média 0 e é simétrica em torno da média. 
Observe: 
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140 
 
 
 
As duas áreas acima são iguais. Logo, 𝑃(𝑍 > −2) = 𝑃(𝑍 < 2). A alternativa A está errada. 
 
b) 𝑃(𝑍 ≤ 2) > 𝑃(𝑇g ≤ 2) 
Vimos que a distribuição T é mais dispersa, ou seja, as caudas da distribuição T são mais largas. 
Observe os gráficos de 𝑍 e 𝑇g. 
 
Queremos comparar as áreas de 2 “pra trás”. 
É mais fácil avaliar a área do 2 pra frente. Como a cauda de T é mais larga, então: 
𝑃(𝑇g > 2) > 𝑃(𝑍 > 2)							𝐼𝑛𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜	𝐼 
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141 
 
Entretanto, queremos comparar 𝑃(𝑍 ≤ 2) com 𝑃(𝑇g ≤ 2). A área total abaixo de cada curva é 1. 
Logo, podemos trabalhar com a probabilidade do evento complementar. 
𝑃(𝑍 > 2) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2) 
𝑃(𝑇g > 2) = 1 − 𝑃(𝑇g ≤ 2) 
Substituindo essas expressões na inequação I, temos: 
𝑃(𝑇g > 2)ÚÛÛÜÛÛÝ
ADÞ(ßÃàB)
> 𝑃(𝑍 > 2)ÚÛÛÜÛÛÝ
ADÞ(¨àB)
 
 
1 − 𝑃(𝑇g ≤ 2) > 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 2) 
Cancelamos 1. 
−𝑃(𝑇g ≤ 2) > −𝑃(𝑍 ≤ 2) 
Para multiplicar uma inequação por -1, devemos inverter o sentido da desigualdade. 
𝑃(𝑇g ≤ 2) < 𝑃(𝑍 ≤ 2) 
É justamente o que tem escrito na alternativa B. A resposta é a alternativa B. 
 
c) O valor esperado de 𝑇A é igual a zero. 
A alternativa C está errada, pois a distribuição T não tem média definida para 1 grau de 
liberdade. A demonstração desse fato pode ser encontrada no seguinte link (a demonstração é 
bem complicada). 
 https://www.statlect.com/probability-distributions/student-t-distribution 
 
No mesmo link há a demonstração para a variância da distribuição T. 
 
d) A variância de 𝑇Ai é igual ou superior a 1,3. 
A variância da distribuição T com 𝑘 graus de liberdade é dada por 
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142 
 
𝜎B =
𝑘
𝑘 − 2 	𝑠𝑒	𝑘 > 2 
A variância não é definida para 𝑘 ≤ 2. 
Assim, a variância de da distribuição T com 10 graus de liberdade é 
𝜎B =
10
10 − 2 =
10
8 = 1,25 
A alternativa D está errada, pois 1,25 < 1,3. 
 
e) 𝑃(𝑍 < 0) < 𝑃(𝑇Ai ≤ 0) 
As distribuições 𝑍 e 𝑇Ai são simétricas em torno de 0. Logo, 
 
𝑃(𝑍 < 0) = 𝑃(𝑇Ai ≤ 0) = 0,50 
Como as distribuições Z e T são contínuas, não importa se estamos calculando 𝑃(𝑇Ai ≤ 0) ou 
𝑃(𝑇Ai < 0). 
 
Gabarito: B 
 
Exercícios – Distribuição F de Snedecor 
32. (FGV 2018/TJ-AL) 
Sejam 𝑿𝟏, 𝑿𝟐, … , 𝑿𝟓 variáveis aleatórias independentes, todas normalmente distribuídas com 
média zero e variância unitária. Então, é correto afirmar que: 
a) ∑𝑋� também tem distribuição normal padrão. 
b) ∑𝑋�B é uma qui-quadrado com 4 graus de liberdade. 
c) B©«
X∑©Á
[Y
«/[ é uma t-Student com 5 graus de liberdade. 
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143 
 
d) (3𝑋g − 2𝑋B) é normal com média zero e variância 13. 
e) ©Â
©Ã
 tem distribuição F-Snedecor com 2 graus de liberdade. 
Comentário 
Vamos analisar cada alternativa. 
a) ∑𝑋� também tem distribuição normal padrão. 
 
A soma de variáveis aleatórias com distribuições normais também é uma variável aleatória com 
distribuição normal. Vamos calcular a média e a variância da soma. 
𝐸(∑𝑋�) = 𝐸(𝑋A + 𝑋B + 𝑋G + 𝑋á + 𝑋g) = 
 
= 𝐸(𝑋A) + 𝐸(𝑋B) + 𝐸(𝑋G) + 𝐸(𝑋á) + 𝐸(𝑋g) 
 
= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 
A média da soma é igual a 0. Vamos agora calcular a variância. 
A variânciada soma de duas variáveis A e B é 
𝑉𝑎𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑉𝑎𝑟(𝐴) + 𝑉𝑎𝑟(𝐵) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) 
 
Se A e B são independentes, então 𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) = 0. Assim, se A e B são independentes, então 
𝑉𝑎𝑟(𝐴 + 𝐵) = 𝑉𝑎𝑟(𝐴) + 𝑉𝑎𝑟(𝐵) 
 
Assim, a variância da soma de variáveis aleatórias independentes é a soma das variâncias. 
As variáveis 𝑋A, 𝑋B, … , 𝑋g são variáveis aleatórias independentes. Logo, a variância da soma é: 
𝑉𝑎𝑟(∑𝑋�) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋A + 𝑋B + 𝑋G + 𝑋á + 𝑋g) 
 
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 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
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144 
 
= 𝑉𝑎𝑟(𝑋A) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋B) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋G) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋á) + 𝑉𝑎𝑟(𝑋g) 
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 
= 5 
Assim, concluímos que ∑𝑋� é uma variável aleatória com distribuição normal com média 0 e 
variância 5. Assim, ∑𝑋� não tem distribuição normal padrão (para ser padrão tem que ter média 0 
e variância 1). 
A alternativa A está errada. 
 
b) ∑𝑋�B é uma qui-quadrado com 4 graus de liberdade. 
 
A variável ∑𝑋�B é a soma dos quadrados de 5 variáveis aleatórias normais reduzidas. Logo, ∑𝑋�B 
tem distribuição qui-quadrado com 5 graus de liberdade. A alternativa B está errada. 
 
c) B©«
X∑©Á
[Y
«/[ é uma t-Student com 5 graus de liberdade. 
 
Se 𝑍 é uma variável normal padrão (média 0 e variância unitária), 𝜒B é uma distribuição de qui-
quadrado com 𝑘 graus de liberdade e 𝑍	𝑒	𝜒Bsão independentes, então a variável 
𝑡 =
𝑍
§𝜒
B
𝑘
 
 
tem distribuição t-Student com 𝑘 graus de liberdade. Note que 𝑍 e 𝜒B precisam ser 
independentes. 
Assim, uma distribuição t-Student com 5 graus de liberdade é dada por: 
𝑡 =
𝑍
§𝜒
B
5
 
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𝑡 =
𝑍
ª𝜒B
√5
 
 
𝑡 =
√5 ∙ 𝑍
ª𝜒B
 
 
No numerador devemos colocar alguma variável normal reduzida. A questão sugeriu colocar 𝑋A. 
No denominador, precisamos colocar uma distribuição qui-quadrado com 5 graus de liberdade, 
ou seja, precisamos colocar a soma dos quadrados de 5 variáveis aleatórias normais reduzidas 
independentes. A questão sugeriu colocar ∑𝑋�B. Assim, a distribuição t com 5 graus de liberdade 
é igual a 
𝑡 =
√5 ∙ 𝑋A
§∑𝑋�B
 
 
O erro da alternativa foi colocar 2 em vez de √5. 
 
d) (3𝑋g − 2𝑋B) é normal com média zero e variância 13. 
A combinação linear de duas ou mais variáveis aleatórias independentes com distribuições 
normais é também uma distribuição normal. 
Vamos calcular a média e a variância. Sabemos que 𝐸(𝑋g) = 𝐸(𝑋B) = 0 e 𝑉𝑎𝑟(𝑋g) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋B) = 1. 
𝐸(3𝑋g − 2𝑋B) = 
 
= 3𝐸(𝑋g) − 2𝐸(𝑋B) 
 
= 3 × 0 − 2 × 0 
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= 0 
Até aqui tudo ok. Temos uma variável com distribuição normal e média 0. Vamos calcular a 
variância. Lembre-se que as variáveis são independentes e, portanto, a variância da diferença é a 
soma das variâncias. 
Se você não lembrava disso, eis a fórmula da variância da diferença. 
𝑉𝑎𝑟(𝐴 − 𝐵) = 𝑉𝑎𝑟(𝐴) + 𝑉𝑎𝑟(𝐵) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) 
 
Se as variáveis são independentes, 𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵) = 0. Logo, 
𝑉𝑎𝑟(𝐴 − 𝐵) = 𝑉𝑎𝑟(𝐴) + 𝑉𝑎𝑟(𝐵) 
 
Assim, temos 
𝑉𝑎𝑟(3𝑋g − 2𝑋B) = 𝑉𝑎𝑟(3𝑋g) + 𝑉𝑎𝑟(2𝑋B) 
 
= 3B × 𝑉𝑎𝑟(𝑋g) + 2B × 𝑉𝑎𝑟(𝑋B) 
 
= 9 × 1 + 4 × 1 
 
= 13 
A alternativa D está correta. 
 
e) ©Â
©Ã
 tem distribuição F-Snedecor com 2 graus de liberdade. 
A distribuição F tem graus de liberdade para o numerador e também graus de liberdade para o 
denominador. Além disso, a distribuição F é construída a partir do quociente de distribuições de 
qui-quadrado. 
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Define-se a variável 𝐹¡«,¡[ com 𝑘A graus de liberdade no numerador e 𝑘B graus de liberdade no 
denominador por 
𝐹¡«,¡[ =
	𝜒¡«
B /𝑘A
	𝜒¡[
B /𝑘B
 
A alternativa E está errada. 
Gabarito: D 
 
33. (FGV 2017/MPE-BA) 
Sejam 𝑿, 𝒀,𝑾	𝒆	𝒁 variáveis aleatórias todas com distribuição normal padrão, com X 
independente de Y e Y independente de Z. Já W é independente das demais. Sobre algumas 
combinações dessas variáveis, é correto afirmar que: 
a) 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 não é uma normal. 
b) 𝑋B + 𝑌B + 𝑍B é qui-quadrado com 3 graus de liberdade. 
c) ©
√¨[ZÆ[
 é t-Student com 2 graus de liberdade. 
d) B∙©
[
Ç[ZÆ[
 é uma F-Snedecor com 1 e 2 graus de liberdade. 
e) ©
√Ç[ZÆ[
 é uma t-Student com 2 graus de liberdade. 
Comentário 
Vamos analisar cada uma das alternativas. 
a) 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 não é uma normal. 
A soma de variáveis aleatórias normais é uma variável aleatória normal. A alternativa A está 
errada. 
 
b) 𝑋B + 𝑌B + 𝑍B é qui-quadrado com 3 graus de liberdade. 
A soma de dos quadrados de 𝑘 variáveis aleatórias normais reduzidas INDEPENDENTES é uma 
variável aleatória com distribuição qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade. 
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Sabemos que X é independente de Y e que Y é independente de Z, mas não sabemos se X e Z 
são independentes. Assim, não podemos garantir que 𝑋B + 𝑌B + 𝑍B é qui-quadrado. 
 
c) ©
√¨[ZÆ[
 é t-Student com 2 graus de liberdade. 
Vimos que se 𝑍 é uma variável normal padrão (média 0 e variância unitária) e 𝜒B é uma 
distribuição de qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade, então a variável 
𝑡 =
𝑍
§𝜒
B
𝑘
 
Tem distribuição t-Student com 𝑘 graus de liberdade. 
Queremos construir uma distribuição t-Student com 2 graus de liberdade. Logo, 𝑘 = 2. 
𝑡 =
𝑍
§𝜒
B
2
 
𝑡 =
𝑍
ª𝜒B
√2
 
 
𝑡 =
√2 ∙ 𝑍
ª𝜒B
 
No numerador devemos colocar uma variável normal reduzida. A questão escolheu colocar X. 
𝑡 =
√2 ∙ 𝑋
ª𝜒B
 
No denominador, devemos colocar uma distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade. 
Assim, devemos colocar a soma dos quadrados de DUAS variáveis aleatórias normais reduzidas 
independentes. A questão escolheu colocar 𝑍B + 𝑌B. 
𝑡 =
√2 ∙ 𝑋
√𝑍B + 𝑌B
 
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Há dois problemas nessa alternativa. O primeiro é que está faltando √2. O outro problema é que 
a variável normal reduzida do numerador tem que ser independente da variável com distribuição 
de qui-quadrado do denominador. Como não sabemos se X e Z são dependentes ou 
independentes, não podemos garantir que t tem distribuição t-Student. A alternativa C está 
errada. 
 
d) B∙©
[
Ç[ZÆ[
 é uma F-Snedecor com 1 e 2 graus de liberdade. 
Define-se a variável 𝐹¡«,¡[ com 𝑘A graus de liberdade no numerador e 𝑘B graus de liberdade no 
denominador por 
𝐹¡«,¡[ =
	𝜒¡«
B /𝑘A
	𝜒¡[
B /𝑘B
 
Assim, para construir uma F-Snedecor com 1 e 2 graus de liberdade, devemos ter 
𝐹A,B =
	𝜒AB/1
	𝜒BB/2
 
𝐹A,B =
2 ∙ 𝜒AB
𝜒BB
 
Uma variável com distribuição qui-quadrado com k graus de liberdade é a soma dos quadrados 
de k variáveis aleatórias normais reduzidas independentes. 
Como o numerador tem 1 grau de liberdade, então devemos colocar apenas uma variável normal 
reduzida (elevada ao quadrado). A questão escolheu colocar 𝑋B. 
No denominador, temos 2 graus de liberdade. Precisamos colocar a soma dos quadrados de 
DUASvariáveis aleatórias normais reduzidas independentes. A questão escolheu colocar 𝑊B +
𝑌B. 
𝐹A,B =
2 ∙ 𝑋B
𝑊B + 𝑌B 
Além disso, a qui-quadrado do numerador 𝑋B é independente da qui-quadrado do denominador 
𝑊B + 𝑌B. A alternativa D está perfeita. 
e) ©
√Ç[ZÆ[
 é uma t-Student com 2 graus de liberdade. 
 
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Vimos que se 𝑍 é uma variável normal padrão (média 0 e variância unitária) e 𝜒B é uma 
distribuição de qui-quadrado com 𝑘 graus de liberdade, então a variável 
𝑡 =
𝑍
§𝜒
B
𝑘
 
Tem distribuição t-Student com 𝑘 graus de liberdade. 
Queremos construir uma distribuição t-Student com 2 graus de liberdade. Logo, 𝑘 = 2. 
𝑡 =
𝑍
§𝜒
B
2
 
𝑡 =
𝑍
ª𝜒B
√2
 
𝑡 =
√2 ∙ 𝑍
ª𝜒B
 
No numerador devemos colocar uma variável normal reduzida. A questão escolheu colocar X. 
𝑡 =
√2 ∙ 𝑋
ª𝜒B
 
No denominador, devemos colocar uma distribuição qui-quadrado com 2 graus de liberdade. 
Assim, devemos colocar a soma dos quadrados de DUAS variáveis aleatórias normais reduzidas 
independentes. A questão escolheu colocar 𝑊B + 𝑌B. 
𝑡 =
√2 ∙ 𝑋
√𝑊B + 𝑌B
 
Sabemos que X é independente de Y e X é independente de W. Assim, a variável t assim 
definida tem distribuição t-Student. O problema da alternativa E foi não ter colocado √2 no 
numerador. A alternativa E está errada. 
 
Gabarito: D 
 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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